UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Departamento de Economia
Laboratório de Econometria I
Lista de Exercícios I
Questão 1 - A tabela abaixo apresenta a distribuição de probabilidade conjunta entre a situação empregatícia e a região de residência em uma determinada cidade.
Desempregados (Y=0) Empregados (Y=1) Total
Região Sul (X=0) 0,15 0,45 0,60
Região Norte (X=1) 0,10 0,30 0,40
Total 0,25 0,75 1,00
a) A taxa de desemprego é a fração da força de trabalho que está desempregada. Mostre que a taxa de desemprego é dada por 1-E[Y].
Taxa de desemprego = P(Y=0)/[P(Y=0)+P(Y=1) = 0,25/1 = 0,25 Agora calcule 1-E[Y]
( )
(
)
(
)
( )
0,25 1 75 , 0 75 , 0 . 1 25 , 0 . 0 1 . 1 0 . 0 = − = + = = + = = Y E Y P Y P Y EValor igual ao calculado acima para a taxa de desemprego.
b) Calcule E[Y|X=1] e E[Y|X=0].
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
0,75 6 , 0 45 , 0 0 0 , 1 . 1 0 1 . 1 0 0 . 0 0 75 , 0 4 , 0 3 , 0 1 1 , 1 . 1 1 1 . 1 1 0 . 0 1 = = = = = = = = + = = = = = = = = = = = = + = = = = X P X Y P X Y P X Y P X Y E X P X Y P X Y P X Y P X Y Ec) Usando a lei das expectativas iteradas, obtenha E[Y].
Usando os resultados que você já encontrou no exercício da letra (b), pode fazer direto:
( )
(
( )
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
75 , 0 4 , 0 . 75 , 0 6 , 0 . 75 , 0 1 . 1 0 . 0 . = = + = = = = + = = = = = ∑ P X X Y E X P X Y E X P X Y E X Y E E Y E Xd) Calcule a taxa de desemprego para: i) Indivíduos na região sul. ii) Indivíduos na região norte. (i)
Da letra (a), você já sabe que a taxa de desemprego é igual a 1-E(y): Para moradores da Região Sul: taxa de desemprego é igual a:
(
)
1 0,75 0,25 0 1− = = − = X Y E(
)
(
)
(
)
0,25 6 , 0 15 , 0 0 0 , 0 0 0 = = = = = = = = X P X Y P X Y P (ii)Fazendo de forma similar ao item acima, chegará numa taxa de desemprego de 0,25
e) Um morador dessa cidade selecionado aleatoriamente diz que está desempregado. Qual é a probabilidade de que este indivíduo more na região sul?
(
)
(
)
(
)
0,6 25 , 0 15 , 0 0 0 , 0 0 0 = = = = = = = = Y P Y X P Y X Pf) Pode-se dizer que a região de residência e a situação do trabalhador (empregado/desempregado) são independentes? Explique.
Teria que verificar se as probabilidades conjuntas são iguais à multiplicação de todas probabilidades marginais, ou seja:
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
X Y) (
P X) (
PY)
P VERDADE Y P X P Y X P VERDADE Y P X P Y X P VERDADE Y P X P Y X P 1 . 1 1 , 1 25 , 0 . 4 , 0 10 , 0 0 . 1 0 , 1 75 , 0 . 6 , 0 45 , 0 1 . 0 1 , 0 25 , 0 . 6 , 0 15 , 0 0 . 0 0 , 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =Questão 2 - [Baseado na Tabela 2.3 de Stock e Watson (2003)] Você precisa usar um computador do laboratório para escrever um texto. O computador designado aleatoriamente para você pode ser velho ou novo, e pode “congelar” algumas vezes durante seu uso, sendo necessário reiniciá-lo. Defina Y = variável aleatória que assume valor 0 se o computador é velho e 1 se o computador é novo; X = variável aleatória que assume valor 0 se o computador não congela nenhuma vez, valor 1 se o computador congela 1 vez etc. A distribuição de probabilidade conjunta das variáveis X e Y é dada pela tabela abaixo:
X = 0 X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 Total Y = 0 0,35 0,065 0,05 0,025 0,01 0,50 Y = 1 0,45 0,035 0,01 0,005 0,00 0,50 Total 0,80 0,10 0,06 0,03 0,01 1,00
a) Qual é a probabilidade de você receber um computador velho?
(
Y =0)
=0,5=50%P
b) Qual é a probabilidade de você receber um computador que não congele nenhuma vez?
(
X =0)
=0,8=80%P
c) Qual é a probabilidade de você receber um computador velho que não congele nenhuma vez?
(
Y =0,X =0)
=0,35=35%P
d) Você usou o computador e ele não congelou nenhuma vez. Qual é a probabilidade de se tratar de um computador velho?
(
Y =0/X =0)
=0,35/0,8=0,4375=43,75%P
e) Você recebeu um computador velho. Qual é a probabilidade dele não congelar nenhuma vez?
(
X =0/Y=0)
=0,35/0,5=0,7=70%P
f) Você recebeu um computador velho. Qual é o número esperado de congelamentos dado que o computador é velho?
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
0,56 0 0 , 4 . 4 0 0 , 3 . 3 0 0 , 2 . 2 0 0 , 1 0 4 . 4 0 3 . 3 0 2 . 2 0 1 . 1 0 0 . 0 0 = = = = + = = = + = = = + = = = = = = = + = = + = = + = = + = = = = Y P Y X P Y P Y X P Y P Y X P Y P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X Eg) Você recebeu um computador novo. Qual é o número esperado de congelamentos dado que o computador é novo?
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
0,14 1 1 , 4 . 4 1 1 , 3 . 3 1 1 , 2 . 2 1 1 , 1 1 4 . 4 1 3 . 3 1 2 . 2 1 1 . 1 1 0 . 0 1 = = = = + = = = + = = = + = = = = = = = + = = + = = + = = + = = = = Y P Y X P Y P Y X P Y P Y X P Y P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X Eh) Você ainda não sabe se receberá um computador velho ou novo. Qual é o número esperado de congelamentos?
( )
X =0,10+0,12+0,09+0,04=0,35E
Questão 3 -Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com médias µx e µy e variâncias σx2 e σy2 respectivamente. Prove:
a) Cov(X,Y)=E[(X-µx)Y]= E[(Y-µy)X]
(
)
[
(
)(
)
]
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
) (
)
[
(
)
]
( )
XY E(
XY) (
E XY Y)
E[
(
X)
Y]
E OU Y X E X XY E XY E XY E XY E X E Y E XY E X Y XY E Y X E Y X COV X X Y X Y X Y Y Y X Y X Y X X Y Y X Y X Y X Y X Y X Y X µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ − = − = − = − = − = − = − = − = = + − − = = + − − = = + − − = − − = ,b) Se µy = 0 ou µx = 0, então cov(X,Y) = E(XY). Vem direto da fórmula da covariância:
) ( 0 ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) , cov(X Y =E XY −E X E Y =E XY −µXµY =E XY − =E XY
c) Se E(Y|X) = µy, então cov(X,Y) = 0. Da letra (b), sabemos que:
( )
(
)
(
.( )
)
(
.)
0 ) ( ) , cov( = = = =E X Y = X Y E X E X XY E E XY E Y X µd) Sejam a e b duas constantes, prove que var [aX+b] = a2var(X) [Use var(W)=E(W2 )-[E(W)]2].
(
) (
)
(
(
)
)
(
)
(
( )
)
( )
( )
(
( )
)
( )
( )
(
( )
)
( )
(
( )
)
(
)
.var( ) . 2 . 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X a X E X E a X E a X E a b X E ab X E a b X E ab X E a b X E a b abX X a E b aX E b aX E b aX VAR = − = = − = − − − + + = = + − + + = + − + = +Questão 4 – Este exercício mostra que cov(X,Y) = 0 não implica necessariamente E(Y|X)=
µy (uma constante independente de X). Sejam X e Z duas variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão e Y=X2+Z.
a) Mostre que E(Y|X)= X2
( )
2 2( )
2 2 0 X X X Z E X X E X Z X E X Y E + = + = = + =Lembre que Z e X são duas variáveis aleatórias independentes, logo, E(Z/X)=E(Z)=0 Lembre que toda variável aleatória normal padrão tem média igual a zero
b) Mostre que E(XY)=0 [Você deve usar o resultado do item (a) e o fato que, para uma variável normal padrão qualquer W, E(W3)=0].
[ ]
X.Y =E[
X.(
X2 +Z)
] [
=EX3 +X.Z] [ ]
=E X3 +E[ ]
X.Z =0E
c) Mostre que cov(X,Y)=0.
[ ]
[ ] [ ]
0 ) ( ). ( ) ( ) cov( 0 . 0 . = − = = = Y E X E XY E XY Y E X E Y X EQuestão 5 – Seja X igual ao número de gols que um jogador de futebol faz em 2 lances
para o gol. Sendo P(X=0)=0,44, P(X=1)=0,2, P(X=2)=0,36. Calcule as probabilidades abaixo:
a) P(X≥0) =1 b) P(X≤1) = 0,64 c) P(0<X≤2) = 0,56
