MA111 - Cálculo I. Primeiro semestre de Ricardo M. Martins

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MA111 - C´

alculo I

Primeiro semestre de 2021

Ricardo M. Martins rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

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Exerc´ıcio da aula 04

Exemplo 6 Considere a fun¸c˜ao g (x ) =    x2− 9 x − 3 , x 6= 3, b , x = 3.

Este fun¸c˜ao tem limite em x = 3? Qual deve ser o valor de b para

que a fun¸c˜ao seja cont´ınua?

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Defini¸c˜

ao formal de limite

Sejam A, B ⊆ R e f : A → B uma fun¸c˜ao. Seja p ∈ A ou ent˜ao

suponha que p ´e extremidade de um intervalo que esteja no

dom´ınio de f . Dizemos que o limite de f (x ) quando x tende a p ´e

igual a L se para todo ε > 0, existir δ > 0 tal que, para todo x ∈ A temos

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x ) − L| < ε.

Quando tal n´umero L existe, denotaremos

lim

x →pf (x ) = L.

A no¸cão formal de continuidade é obtida supondo que p ∈ A e que L = f (p) na defini¸cão anterior.

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} p= 1

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} p= 1

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} x f(x) p= 1 lim x→1f(x) = 4

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} p= 1 lim x→1f(x) = 4

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} ε p= 1 Dadoε> 0 p= 1 L= 4 lim x→1f(x) = 4

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} ε δ Dadoε> 0 Existeδ> 0tal que

p= 1

L= 4

lim x→1f(x) = 4

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} ε δ Dadoε> 0 Existeδ> 0tal que

0 < |x − p| < δ p= 1 se então| f(x) − L| < ε L= 4 lim x→1f(x) = 4

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} ε δ -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 Dadoε> 0 Existeδ> 0tal que

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Defini¸c˜

ao formal de limite

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 f(x) = x2_{+ 3x} ε δ -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 2 4 6 8 10 Dadoε> 0 Existeδ> 0tal que

É preciso encontrar , que sempre vai depender de , que faça esta condição funcionar.δ> 0 ε> 0

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Exemplo

Se f (x ) = mx + n ent˜ao lim

x →pf (x ) = mp + n. Al´em disto, f ´e

cont´ınua.

Note queseprovarmos que lim

x →pf (x ) = mp + n, como

f (p) = mp + n, obteremos gratuitamente que f ´e cont´ınua em p.

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Exemplo

lim x →p(mx + n) | {z } f (x ) = mp + n | {z } L Seja ε > 0.

Queremos obterδ > 0 tal quese0 < |x − p| < δ ent˜ao |f (x) − L| = |(mx − n) − (mp + n)| < ε.

Vamos fazer a conta “ao contr´ario”:

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Exemplo

lim x →p(mx + n) | {z } f (x ) = mp + n | {z } L

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Exemplo

|f (x) − L| = |(mx − n) − (mp + n)| = |m(x − p)| = |m||x − p| Se m > 0, tomando δ = ε/m, podemos garantir que:

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x ) − L| = (m)|x − p|< (m)δ = m ε m

= ε

Se m < 0, podemos tomar δ = ε/(−m) e a mesma condi¸c˜ao se

verifica. Se m = 0, podemos tomar δ = 1 (ou qualquer outro valor).

Com isto, provamos que lim

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Exemplo

Se f (x ) = 3x + 2 ent˜ao lim

x →1f (x ) = 5. De fato, dado ε > 0, tome δ = ε/3. Assim, se 0 < |x − 1| < ε/3 temos

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Exemplo

A fun¸c˜ao g (x ) = x2 ´e cont´ınua.

Repeteco do que fizemos antes, agora mais r´apido. Seja p > 0. O

caso p ≤ 0 fica de exerc´ıcio para casa.

Vamos mostrar que g (x ) ´e cont´ınua em x = p, ou seja, que

lim

x →pf (x ) = p 2_.

Seja ε > 0. Devemos encontrar δ > 0 tal que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x ) − p2| < ε.

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Exemplo

Exemplo A fun¸cão g (x ) = x2 é cont´ınua. Como |f (x) − p2| = |x2− p2| = (x − p)(x + p)|, caso |x − p| < δ teremos −δ < x − p < δ, o que é equivalente a −δ + p < x < δ + p.

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Exemplo

Somando p na desigualdade anterior, temos −δ + 2p < x + p < δ + 2p.

Agora supondo que δ < p, temos

−p + 2p < x + p < p + 2p, ou ainda

−3p < x + p < 3p, o que implica |x + p| < 3p.

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Exemplo

O que temos at´e agora:

# |x − p| < δ (ainda temos que escolher δ)

# |x + p| < 3p Escolhendo δ = min ε 3p, p obtemos que se 0 < |x − p| < δ ent˜ao |f (x) − p2| = |x − p||x + p| < δ · 3p < ε,

como quer´ıamos demonstrar. Logo limx →pf (x ) = f (p) = p2 e a

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Propriedades

Se lim

x →af (x ) = L e limx →ag (x ) = M ent˜ao:

# lim

x →a(f (x ) + g (x )) = L + M = limx →af (x ) + limx →ag (x )

# lim

x →ak · f (x ) = k · L = k limx →af (x )

# lim x →a(f (x ) · g (x )) = L · M = lim x →af (x ) · lim x →ag (x ) # lim x →a f (x ) g (x ) = L M = lim x →af (x ) lim x →ag (x ) se M 6= 0

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Propriedades

Teorema

As fun¸c˜oes dos tipos abaixo s˜ao cont´ınuas (em todos os pontos

do dom´ınio):

# fun¸c˜oes polinomiais

# fun¸c˜oes racionais

# fun¸c˜oes trigonom´etricas (e suas inversas)

# fun¸c˜oes exponenciais (e sua inversa a fun¸c˜ao logaritmica)

# fun¸c˜oes “ra´ızes”

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio Calcule lim x →3 √ x −√3 x − 3 . Exerc´ıcio Calcule lim x →1 x4− 2x + 1 x3_{+ 3x}2_{+ 1}. Exerc´ıcio Calcule lim x →−1 x3+ 1 x2_{+ 4x + 3}.

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Continuidade da composi¸c˜

ao

Teorema

Se f ´e cont´ınua em x = b e limx →ag (x ) = b, ent˜ao

lim

x →af (g (x )) = f (g (a)) = f (b),

ou “o limite entra no argumento da fun¸c˜ao”.

Com base no teorema acima, obtemos

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio Calcule lim x →1 s x2− 1 x − 1. Exerc´ıcio Calcule lim t→0 2 −√4 − t t .

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Exerc´ıcios

# Mostre que f (x ) = x + 1/x ´e cont´ınua para todo x > 0.

# Mostre que a fun¸c˜ao

q(x ) = ( x , x ∈ Q, −x , x /∈ Q ´ e cont´ınua na origem.

# Estude a continuidade da fun¸c˜ao f (x ) = x

2_{− 7x + 1}

x2_{− 9} . O que

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Fun¸c˜

_{oes e limites de f (n) com n ∈ N}

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A fun¸c˜

ao exponencial

Seja k(n) = 1 +1 n n , com n ∈ N. Note que

# k(1) = 1 +1 1 1 = 2 # k(2) = 1 +1 2 2 = 9/4 ≈ 2, 25 # k(10) = 1 + 1 10 10 = 64/27 ≈ 2, 59 # k(1000) = 1 + 1 1000 1000 ≈ 2, 71692 # k(1000000) = 1 + 1 1000000 1000000 ≈ 2, 71828

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A fun¸c˜

ao exponencial

Se f : N → R, diremos queo limite de f (n) quando n tende a

infinito ´e igual a αse para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que se

n ≥ n0 temos |f (n) − α| < ε. Neste caso diremos que f (n)

converge para α.

A nota¸c˜ao para isto ser´a lim

n→∞f (n) = α

ou ent˜ao

f (n) → α,

poisno caso da variável ser natural, a única possibilidade é que n → ∞.

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A fun¸c˜

ao exponencial

Exemplos # 1_n → 0 # _{2n + 2}n + 1 → 1 2 # (−1)n n˜ao converge # 1 + 1 n n

converge para um n´umero real denotado por e.

Isto define o n´umero neperiano:

e = lim n→∞ 1 +1 n n

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A fun¸c˜

ao exponencial

O n´umero definido no slide anterior ser´a usado para definir a

fun¸cão exponencial f (x ) = ex (ou f (x ) = exp(x )). Outra forma de definir esta fun¸cão é

f (x ) = ex = lim n→∞ 1 +x n n .

Assim f (1) = e e f (0) = 1. Note que f (x ) > 0 para todo valor de x ∈ R.

Esta fun¸cão é invert´ıvel, e sua inversa será denotada por ln(x ) = log_e(x ).

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio Considere a fun¸c˜ao f (x ) =      ex +1 , x ≤ −1, 2ax2 , −1 < x < 1, b + ln(x ) , x > 1.

Determine, se existirem, valores de a, b para os quais a fun¸c˜ao ´e

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Pr´oxima aula:

# Teorema do Valor Intermedi´ario.