Capítulo 2. Revisão e Pré-Requisitos (2) 2.1 Coordenadas no plano

(1)

Revis˜

ao e Pr´

e-Requisitos (2)

2.1 Coordenadas no plano

Da mesma maneira que os pontos de uma reta podem ser associados a n´umeros reais, ditos suas coordenadas, os

pontos do plano podem ser associados a pares de n´umeros reais.

Para isto, fixamos duas retas numeradas perpendiculares entre si que se interceptam na origem O de cada uma delas. Usualmente, uma delas é horizontal com a dire¸cão positiva para a direita. Esta reta ser´a chamada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta, vertical com a dire¸cão positiva para cima, ´e chamada eixo y ou eixo das ordenadas.

Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um único par de números da seguinte maneira: a

coordenada x ou abscissa de um ponto P ´e a coordenada no eixo x, do p´e da perpendicular a este eixo passando por

P e a coordenada y ou ordenada de P é a coordenada no eixo y, do pé da perpendicular a este eixo passando por P . Se P tem coordenadas x e y escrevemos P(x, y). Veja o gr´afico:

1 P P x y –2 –1 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3

Observe que a ordem na qual as coordenadas s˜ao escritas ´e importante. O ponto de coordenadas (1, 3) ´e P1, e este

ponto ´e diferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y) mostrados na ﬁgura acima. Neste sentido, as coordenadas

de um ponto formam um par ordenado de n´umeros reais.

Pelo esquema ﬁxado, todo ponto P determina um par ordenado de n´umeros reais, reciprocamente, todo par

ordenado de n´umeros reais (a, b) determina um ´unico ponto do plano. Temos, então, uma correspondência biun´ıvoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo ´e chamada sistema

de coordenadas no plano.

O sistema de coordenadas que deﬁnimos ´e chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de coordenadas

cartesianas em homenagem ao matem´atico e filósofo francês René Descartes (1596-1650), que assinava seu nome em latim, Cartesius, e que foi o primeiro a definir um sistema de coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo

ramo da Matem´atica chamado, hoje, Geometria Anal´ıtica. Parte do m´erito da descoberta da Geometria Anal´ıtica

deve ser creditado, tamb´em, a um outro francˆes, Pierre Fermat (1601-1665) que estabeleceu os mesmos princ´ıpios,

mais ou menos na mesma ´epoca que Descartes.

O plano munido deste sistema de coordenadas, usualmente chamado plano coordenado ou plano cartesiano, ´e denotado pelo s´ımbolo R2_{. O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas,}

usual-mente colocados na posi¸cão indicada na figura ao lado, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, que estão indi-cados pelos s´ımbolos i , ii, iii e iv, respectivamente. De acordo com a figura, o primeiro quadrante ´e o conjunto de todos os pontos (x,

y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante, o

conjunto de todos os pontos x, y do plano para os quais x < 0 e y

> 0 e assim por diante.

iv

ii i

iii

Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biun´ıvoca, em geral nos referimos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x, y), quando, na realidade queremos nos referir ao

(2)

ponto P cujas coordenadas são (1, 2) ou (x, y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, sem ambig¨uidade, que estamos nos referindo ao ponto P cujas coordenadas s˜ao dadas, de modo ´unico, pelo par ordenado (x, y) de n´umeros reais. Repare que a nota¸c˜ao usada para intervalo aberto (a, b) ´e a mesma usada para o ponto cujas coordenadas são

a e b. Dependendo do contexto onde estas nota¸c˜oes forem usadas, você deverá ser capaz de fazer a distin¸cão!

2.1.1 Distˆ

ancia entre dois pontos do plano

A distˆancia entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano, representada por d(P1P2), é definida pela fórmula

d(P1P2) =

√

(x1− x2)2+ (y1− y2)2

Esta fórmula ´e facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que d(P1P2) é a medida da hipotenusa

de um triângulo retângulo cujos catetos medem| x2− x1| e | y2− y1|, como mostra a figura abaixo.

x2 x1 y1 y2 P1 P2

• Que teorema garante a validade dessa f´ormula? • O que acontece quando x1= x2ou quando y1= y2?

Exemplo Determine a distˆancia entre os pontos (1,−2) e (6, 2).

Solu¸c˜ao d =√(1− 6)2_{+ (}−2 − 2)2₌√_{25 + 16 =}√₄₁

O comando distance do pacote student do Maple calcula esta distˆancia automaticamente, como fazemos a seguir:

> _{with(student):}

> _{distance([1,-2],[6,2]);}

√

41

2.1.2 Exerc´ıcios

1. Quais os valores de t para que o ponto P de coordenadas ( 2 t + 4, 3− 2 t) esteja: (a) No primeiro quadrante

(b) No quarto quadrante

(c) Sobre o eixo x (d) Sobre o eixo y

2. As duas retas tra¸cadas abaixo representam a mesma fun¸c˜ao y = x

4. Por que as ﬁguras tra¸cadas “parecem”

diferentes? O que se pode concluir?

–0.4 –0.2 0.2 0.4 –2 –1 1_x 2 –2 –1 0 1 2 y –2 –1 1_x 2

3. A rec´ıproca do Teorema de Pitágoras afirma que se a soma dos quadrados dos comprimentos de dois lados de um triângulo é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado, então o triângulo é retângulo. Use este teorema e a fórmula de distância entre dois pontos para mostrar que os pontos (−3, 4), (1, 0) e (5, 4) determinam um triângulo retângulo.

(3)

4. Um sistema de coordenadas n˜ao ortogonal

Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um ˆangulo, n˜ao nulo, α̸= 90o. (a) Como podemos deﬁnir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?

(b) Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2), qual a distˆancia P1P2 nesse novo sistema?

5. Um sistema de coordenadas tridimensional

Se tomarmos uma reta perpendicular aos eixos x e y na interseçcão de ambos, poderemos definir um sistema de coordenadas no espa¸co. Nesse sistema, temos uma correspondência biun´ıvoca entre os pontos do espa¸co e triplas ordenadas de números reais. A proje¸cão ortogonal de um ponto em um eixo é a coordenada deste ponto naquele eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado por suas trˆes coordenadas e escrevemos P (x, y, z).

(a) Seja P um ponto do plano xy. Sua proje¸c˜ao no eixo x ´e 2 e no eixo y ´e 3. Quais s˜ao as suas coordenadas? (b) Se P1 ´e um ponto qualquer no plano yz, escreva suas coordenadas como uma tripla ordenada de n´umeros

reais.

(c) Sobre que eixo est´a cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(−2, 0, 0) e C(0, 0, 5). (d) Sobre que plano est´a cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3,−2, 0) e T (0, 1, 5).

(e) Se P′ ´e a proje¸c˜ao do ponto P (2, 3, 4) no plano xy, quais s˜ao as coordenadas de P′? (f) Qual a distˆancia do ponto (3, 2,−2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz?

(g) Responda o item anterior para o ponto (x, y, z), onde x, y e z s˜ao n´umeros reais quaisquer. (h) Qual a distˆancia do ponto P1(x1, y1, z1) ao ponto P2(x2, y2, z2)?

(i) Quais as coordenadas do ponto m´edio do segmento que liga os pontos P1e P2?

2.2 Gr´

aficos de equa¸

c˜

oes

A idéia básica da Geometria Anal´ıtica é explorar a correspondência entre pontos e suas coordenadas para estudar problemas geométricos, especialmente as propriedades de curvas, com os instrumentos da Álgebra. Dessa maneira,

podemos usar o ferramental computacional da ´Algebra em problemas geom´etricos, e este foi o grande avan¸co na

Geometria desde os tempos dos gregos. A seguir, damos alguns exemplos de como isto pode ser feito.

A equa¸c˜ao y = 2 x−1 descreve uma rela¸cão entre as variáveis x e y. Uma solu¸cão desta equa¸cão é um par ordenado de números reais que, quando substitu´ıdo na equa¸cão dada, produz uma senten¸ca verdadeira. Assim, os pares (0,−1), (1, 1) e (1₂, 0) s˜ao todos solu¸cões da equa¸cão em questão. O gráfico desta equa¸cão é o conjunto de todos os pontos no plano coordenado que são solu¸cões da mesma. Mais geralmente, uma equa¸c˜ao da forma F(x, y) = 0 determina uma curva no plano, cujo gráfico é o conjunto de todos os pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equa¸cão dada. Reciprocamente, uma curva definida por alguma condi¸cão geométrica pode, usualmente, ser descrita por uma equa¸cão da forma F(x, y) = 0.

Exemplo 1 Vamos esbo¸car o gr´afico de y = 2 x− 1. Come¸camos determinando pontos com coordenadas (x, y) que satisfazem a equa¸cão dada. É conveniente fazer uma tabela com estes pares e marcar estes pontos no plano coordenado. x y −2 −5 −1 −3 0 −1 1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

Como existem infinitas solu¸cões para a equa¸cão dada, não é poss´ıvel completar a tabela e, conseqüentemente, o gráfico da equa¸cão listando todas as solu¸cões. Em geral, os poucos pontos que calculamos não seriam suficientes para identificar o gráfico da equa¸cão, entretanto, neste exemplo elementar, pelos pontos obtidos, podemos conjecturar que o gráfico da equa¸c˜ao y = 2 x− 1 é a reta que tra¸camos abaixo.

(4)

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x

Na próxima se¸cão provaremos que o nosso palpite está correto e que o gráfico de uma equa¸c˜ao do tipo A x+B y+C = 0 define uma reta no plano.

A técnica de esbo¸car gráficos marcando um número suficiente de pontos até que se obtenha um padrão e de tra¸car o gráfico de acordo com este padrão carece de rigor e é muito imprecisa, podendo levar a conclusões completamente errôneas. O próximo exemplo ilustra os problemas que podem surgir.

Exemplo 2 Vamos esbo¸car o gr´aﬁco da equa¸c˜ao q = 10

p2₊₁.

Como a rela¸c˜ao dada n˜ao expressa y em termos de x, o que necessariamente n˜ao precisa acontecer, devemos decidir se o primeiro n´umero do par ordenado, a abscissa do ponto, representar´a q ou p. Qualquer escolha estar´a correta,

no entanto, como a equa¸c˜ao expressa q em termos de p, usualmente marcamos p no eixo horizontal. Construindo a

tabela ter´ıamos:

p -3 -2 -1 0 1 2 3

q 1 2 5 10 5 2 1

Marcando os pontos no plano coordenado e interligando-os com uma curva suave ter´ıamos v´arias possibilidades, como as mostradas abaixo:

2 4 6 8 10 –3 –2 –1 0 1 2 3 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 p –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 1 2_p 3 4 2 4 6 8 10 q –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p

Para decidir quais dos gráficos acima é o correto, precisaremos marcar muitos outros pontos! (É dessa maneira que os computadores tra¸cam gr´aficos. Veja o projeto Programando o Computador para Tra¸car Gráficos de Fun¸cões).

Durante este curso aprenderemos técnicas que permitirão tra¸car gráficos com precisão sem necessidade de marcar muitos pontos. Por ora, nas próximas se¸cões, vamos estudar algumas curvas especiais e seus gráficos.

Exemplo 3 Abaixo tra¸camos o gr´afico de y = x2. Esta curva é uma par´abola. O ponto mais baixo (0, 0) ´e chamado vértice da parábola. Neste exemplo, dizemos que a parábola tem a concavidade voltada para cima (veja abaixo à esquerda). Se o gráfico é invertido, como no caso da par´abola y =−x2 _{(veja abaixo `}_{a direita), dizemos que}

(5)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 –4 –3 –2 –1 1 2_x 3 4 –16 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 0 x

A figura seguinte mostra o gráfico de algumas par´abolas da forma y = ax2, para vários valores do parˆametro a. Em todos os casos o vértice é a origem.

a=–3 a=–1 a=1/2 a=1 a=3 –100 –80 –60 –40 –20 0 20 40 60 80 100 y –10 –8 –6 –4 –2 2 4x6 8 10

Execute também, na versão eletrônica, a anima¸cão que mostra o efeito da varia¸c˜ao do valor de a no gr´afico da curva y = a x2_.

• O que acontece quando a ´e positivo e se aproxima de zero? • E quando a ´e negativo e se aproxima de zero?

Para responder a estas perguntas execute, na versão eletrônica, as anima¸cões correspondentes.

Dos exemplos acima podemos concluir que, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima, e se a < 0, para baixo. Repare ainda que se o ponto (x, y) pertence ao gr´afico da parábola, o ponto (−x, y) também pertence. Neste caso, dizemos que o gráfico da parábola é simétrico em rela¸c˜ao ao eixo y ou que o eixo y ´e o eixo de simetria da parábola.

O gráfico da equa¸c˜ao x = a y2 (veja abaixo) também representa uma parábola que pode ser obtida a partir da par´abola y = a x2 por meio de uma reflexão em rela¸cão à diagonal principal, isto é, em rela¸cão `a reta y = x. (Trocar

x por y numa equa¸c˜ao qualquer resulta em refletir o seu gráfico em rela¸cão `a reta y = x.)

–2 –1 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x a>0 –2 –1 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x a<0

Nestes exemplos, os gráficos são simétricos em rela¸c˜ao ao eixo x porque se (x, y) pertence ao gráfico de x = a y2

ent˜ao o ponto (x,−y) tamb´em pertence.

Exemplo 4 Esboce a regi˜ao limitada pela par´abola x = y2 _{e pela reta y = x}_{− 2.}

Para esbo¸car a região pedida, primeiro vamos achar os pontos de interseçcão das curvas resolvendo o sistema {

x = y2

x = y + 2

Resolver este sistema ´e equivalente a resolver a equa¸c˜ao y + 2 = y2 _{ou y}2_{− y − 2 = 0. Como y}2_{− y − 2 = 0 ´e}

equiva-lente a (y− 2) (y + 1) = 0, temos que y = 2 ou y = −1. Assim, os pontos de interseçcão das curvas são (4, 2) e (1, −1). Este sistema pode ser resolvido com a ajuda do Maple usando-se o comando solve, como é feito a seguir:

> _solve({x=y^2,x=y+2},{x,y});

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Tra¸camos, então, a reta que passa pelos pontos de in-terseçcão (lembre-se de que dois pontos determinam uma única reta!) e esbo¸camos a parábola com vértice na origem, passando por estes mesmos pontos. A regi˜ao limitada por x = y2 _{e y = x}_{− 2 significa a}

região finita cujas fronteiras são estas curvas. Veja ao lado. –4 –2 2 4 –2 –1 1 2 3 4 5 6 x

2.3 Retas

Na se¸cão anterior conjecturamos que a equa¸c˜ao y = 2 x− 1 representava uma reta no plano coordenado. Vamos agora provar esta conjectura resolvendo o problema inverso, isto é, mostrando que a equa¸cão de uma determinada reta é da forma A x + B y + C = 0. Esta equa¸c˜ao deve ser satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta e por nenhum outro ponto. Para achar esta equa¸cão vamos usar o fato de que toda reta é determinada por dois pontos e que a ela está associado um número que mede a sua inclina¸cão. Este número é chamado declividade ou coeficiente angular da reta.

Defini¸c˜ao

A declividade de uma reta n˜ao vertical que passa pelos pontos P0(x0, y0) e P1(x1, y1) ´e

m = y1− y0 x1− x0

. A declividade de uma reta vertical n˜ao est´a definida.

Geometricamente, podemos interpretar a declividade de uma reta como uma medida (tangente) do ˆangulo que a

mesma faz com a dire¸c˜ao horizontal.

ω x x1 xo y y1 y0

Usando semelhan¸ca de triângulos, é fácil ver que a declividade de uma reta independe dos pontos escolhidos, isto ´

e, quaisquer que sejam os pontos escolhidos sobre a reta, a rela¸c˜ao

m = y− y1 x− x1 = y− y0 x− x0 = y1− y0 x1− x0 ´ e constante.

A declividade pode também ser interpretada como a taxa de varia¸cão da vari´avel dependente y em rela¸c˜ao à variável independente x. Isto quer dizer que, se uma reta tem declividade m, a cada unidade de varia¸c˜ao de x, corresponde m unidades de varia¸c˜ao de y. Pela observa¸c˜ao acima conclu´ımos que, em uma reta, a taxa de varia¸cão y1−yo

x1−xo =

∆ y ∆ x ´e

constante e, além disso, qualquer curva cuja taxa de varia¸cão seja constante é uma reta.

A ﬁgura ao lado mostra v´arias retas com declividades difer-entes. Note que as retas com declividades positivas ascen-dem para a direita. Se, por outro lado, m < 0, a reta de-scende para a direita. Se m = 0, a reta ´e paralela ao eixo

x. Note tamb´em que as retas mais inclinadas s˜ao aquelas para as quais o valor absoluto da declividade ´e maior.

m=–0.5 m=–2 m=3 m=2 m=1 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8x 1

Estamos prontos, agora, para achar a equa¸c˜ao da reta, n˜ao vertical, que passa por um determinado ponto P1(x1, y1)

(7)

raz˜ao y−y1

x−x1 ´e igual a m, isto ´e, m = y_−y1

x−x1. Temos, portanto, a equa¸c˜ao

y− y1= m (x− x1).

Como esta equa¸cão é satisfeita tamb´em pelo ponto (x1, y1), esta é a equa¸cão da reta que procuramos, isto é, da

reta que passa pelo ponto P1e tem declividade m.

Exemplo 1 Determine a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto (1,−7) e tem declividade −1₂.

Solu¸c˜ao Neste exemplo, m =−1

2, x1= 1 e y1=−7 e, portanto, a equa¸c˜ao ´e dada por y + 7 = −

x−1

2 ou,

equiva-lentemente, 2 y + 14 =−x + 1 ou, ainda, x + 2 y + 13 = 0 .

Suponha que uma reta n˜ao vertical tenha declividade m e intercepte o eixo y no ponto (0, b). Usando a f´ormula acima conclu´ımos que a equa¸c˜ao desta reta ´e

y− b = m (x − 0)

ou, equivalentemente,

y = m x + b.

Esta equa¸cão é chamada equa¸cão reduzida da reta. Aqui o n´umero b ´e chamado coeficiente linear da reta e é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y. Em particular, se a reta ´e horizontal, sua declividade é zero e sua equa¸cão ´e dada por y = b.

• Qual a caracter´ıstica geom´etrica da fam´ılia

de retas obtida considerando-se vários valores para b na equa¸cão y = m x + b? Para respon-der a esta pergunta, observe ao lado o gráfico de uma fam´ılia de equa¸cões deste tipo e exe-cute, também, a anima¸cão correspondente na versão eletrônica.

–20 –10 0 10 20 –10 –8 –6 –4 –2 2 4x6 8 10

Não se define declividade para retas verticais, sua equa¸cão ´e da forma x = a, onde a ´e a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Para ver que esta equa¸cão é v´alida, basta notar que a coordenada x de todos os pontos de uma reta vertical ´e a.

Exemplo 2 Ache a equa¸c˜ao da reta que passa por dois pontos dados.

Solu¸c˜ao Sejam P1(x1, y1) e P2(x2, y2) os dois pontos dados da reta e P(x, y) outro ponto qualquer desta mesma

reta. Da deﬁni¸c˜ao de declividade, sabemos que

y− y1

x− x1

= y1− y2

x1− x2

que ´e a equa¸c˜ao procurada.

Em todos os casos tratados acima, a equa¸c˜ao da reta pode ser colocada na forma A x + B y + C = 0. De um modo geral, esta equa¸cão, onde as constantes ou parˆametros A e B n˜ao são ambos nulos, representa a equa¸cão de uma reta. Esta equa¸cão é chamada equa¸cão geral da reta.

Reciprocamente, toda equa¸c˜ao da forma acima, onde A, B e C são constantes e A e B n˜ao são ambas nulas, é a equa¸c˜ao de uma reta. Assim, se B = 0, então A̸= 0 e a equa¸cão pode ser escrita como x = −C

A, que ´e a equa¸c˜ao de

uma reta vertical. Por outro lado, se B̸= 0, então y = −A x_B −C_B, e esta é a equa¸cão de uma reta com declividade

m =−A_B que passa pelo ponto ( (0,−C_B).

Exemplo 3 Esboce o gr´aﬁco da equa¸c˜ao 3 x + 5 y = 15.

Solu¸c˜ao Como a equa¸c˜ao dada é a equa¸cão de uma reta, para tra¸car o seu gráfico basta acharmos dois de seus pontos. Os mais fáceis de achar são aqueles onde a reta intercepta os eixos coordenados. Assim, substituindo y = 0 na equa¸c˜ao, obtemos 3 x = 15, e da´ı x = 5. Logo, o ponto (5, 0) pertence `a reta em questão. Da mesma forma, substituindo

x = 0 na equa¸c˜ao temos que y = 3 e o ponto (0, 3) tamb´em pertence `a

reta. Veja o gr´aﬁco desta reta esbo¸cado ao lado. _–10–8

–6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 y –10 –8 –6 –4 –2 2 4x6 8 10

(8)

2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares

• Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais.

• Duas retas com declividades m1 e m2 s˜ao perpendiculares se e somente se m1m2=−1.

A primeira afirma¸cão é óbvia. A segunda não é tão evidente, mas pode ser estabelecida muito facilmente utilizando-se semelhan¸ca de triângulos. Suponhamos que as retas sejam perpendiculares, como mostra a figura ao lado. Desenhamos um segmento de comprimento unitário à direita do ponto de interseçcão e tra¸camos, a partir de sua extremidade direita, um segmento vertical que intercepta as duas retas. Os dois triângulos retângulos formados dessa maneira são semelhantes e têm lados com

os comprimentos indicados. A semelhan¸ca implica que m1

1 =− 1

m2 , o que prova a rela¸cão que queremos. Este racioc´ınio pode ser facilmente invertido; portanto, se m1m2=−1, então as retas são perpendiculares.

1 m1 -m2 –3 –2 –1 0 1 2 3 1 2 3 4

Exemplo 4 Ache a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto (5, 2) e ´e paralela `a reta 4 x + 6 y + 5 = 0.

Solu¸c˜ao A equa¸c˜ao da reta dada pode ser escrita como y =−2 x₃ −5₆. Logo, m =−2₃. Como retas paralelas tˆem a mesma declividade, a equa¸c˜ao da reta procurada ´e y− 2 = −2 (x₃−5) ou 2 x + 3 y = 16.

Exemplo 5 Mostre que as retas 2 x + 3 y = 1 e 6 x− 4 y − 1 = 0 s˜ao perpendiculares. Solu¸c˜ao As equa¸c˜oes dadas podem ser escritas como y =−2 x

3 + 1 3 e y = 3 x 2 − 1

4. Assim, seus coeﬁcientes

angu-lares s˜ao m1=−23 e m2= 32, respectivamente. Como m1m2=−1, as retas s˜ao perpendiculares.

2.4 Circunferˆ

encias e elipses

2.4.1 Circunferˆ

encias

A fórmula da distância entre dois pontos é muitas vezes usada para achar a equa¸cão de uma curva cuja defini¸cão geométrica depende de uma ou mais distâncias. Uma das curvas mais simples desta espécie é a circunferência que

pode ser definida como o conjunto de todos os pontos que eq¨uidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo ´e chamado

centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência. Se o centro ´

e o ponto (c1, c2) e o raio é o n´umero positivo r e se (x, y) ´e um ponto qualquer da circunferência, então a defini¸cão

acima se traduz pela equa¸c˜ao _√

(x− c1)2+ (y− c2)2= r ou, equivalentemente, (x− c1)2+ (y− c2)2= r2. Em particular, a equa¸c˜ao x2+ y2= r2 ´

e a equa¸c˜ao de uma circunferˆencia de centro em (0, 0) e raio r.

Usamos abaixo o comando implicitplot do pacote plots e o comando distance do pacote student do Maple para tra¸car o gráfico da circunferˆencia de centro em (0, 0) e raio 1 e calcular a sua equa¸cão.

> _with(plots): > _{with(student):} > implicitplot((distance([0,0],[x,y])=1),x=-2..2,y=-2..2); –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y –1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x > distance([0,0],[x,y])=1;

(9)

√

x2_{+ y}2_{= 1}

> _{lhs(%)^2=rhs(%);}

x2_{+ y}2_{= 1}

Exemplo Mostre que a equa¸c˜ao x2+ y2+ 2 x− 6 y + 7 = 0 representa uma circunferência no plano e esboce o seu gráfico.

Solu¸c˜ao Para achar o centro e o raio desta circunferˆencia, primeiro agrupamos os termos em x e em y e a seguir completamos os quadrados como segue:

x2+ 2 x + 1 + y2− 6 y + 9 = −7 + 1 + 9 (x + 1)2+ (y− 3)2= 3

Logo, esta equa¸cão representa uma circunferência de centro em (−1, 3) e raio√3 cujo gráfico esbo¸camos abaixo.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 x

2.4.2 Elipses

A curva com equa¸c˜ao

x2

a2 +

y2

b2 = 1,

onde a e b s˜ao n´umeros positivos, ´e chamada de elipse.

Observe que se o ponto (x, y) pertence ao gráfico da elipse, o ponto (x,−y) também pertence, o mesmo acontecendo com os pontos (−x, −y) e (−x, y). Assim, a elipse é simétrica com respeito a ambos os eixos coordenados. Para esbo¸car o seu gráfico vamos encontrar as interseçcões da elipse com os eixos. Para encontrar o ponto onde o gráfico de uma curva corta o eixo x, basta fazer y = 0 na sua equa¸cão e para encontrar o ponto onde o gráfico de uma curva corta o eixo y, basta fazer x = 0. Desta maneira conclu´ımos que os pontos (−a, 0) e (a, 0) são os pontos onde a elipse corta o eixo x. Se a > b, a distˆancia entre estes pontos ´e chamada eixo maior da elipse. Da mesma forma, os pontos (0,−b) e (0, b) s˜ao os pontos de interseçc˜ao da elipse com o eixo y. A distˆancia entre estes pontos é chamada eixo menor da elipse. Veja a seguir o gráfico da elipse x₁₆2 +y₉2 = 1.

–3 –2 –1 0 1 2 3 y –4 –2 2 4 x

2.5 Gr´

aficos de desigualdades

Vimos nos exemplos das se¸cões anteriores que todos os pontos do gráfico de uma curva satisfazem a igualdade

F(x, y) = 0 e que esta condi¸c˜ao é satisfeita somente pelos pontos do seu gráfico.

Nesta se¸cão estamos interessados em obter o gráfico de regiões descritas por conjuntos de pontos ou desigualdades. Da mesma forma que anteriormente, estas regiões são subconjuntos do plano onde a condi¸cão dada é satisfeita por todos os seus pontos e por nenhum outro ponto. Os exemplos abaixo ilustram esta idéia.

(10)

Exemplo 1 Descreva e esboce as regi˜oes deﬁnidas pelos seguintes conjuntos: (a) {(x, y) ∈ R2; x≥ 0} (b) {(x, y) ∈ R2; y = 1} (c) {(x, y) ∈ R2;| y | < 1} (d) {(x, y) ∈ R2;| x | ≤ 2 e | y | ≤ 1} Solu¸c˜ao

(a) Os pontos do plano para os quais a abscissa ´e positiva ou nula est˜ao todos sobre o eixo y ou `a sua direita. (Para esbo¸car esta regi˜ao usamos o comando inequal do pacote plots do Maple.)

A parte cinza do gr´aﬁco ao lado representa a regi˜ao do plano xy que satisfaz a condi¸c˜ao x≥ 0.

´

E claro que, na impossibilidade de representar no papel ou na tela uma região infinita, essa região aparece “desenhada” dentro de um quadrado, no caso [−3, 3] × [−3, 3], que para nós passará a representar o plano inteiro. Se assim não fosse, toda a tinta fabricada na Terra não seria suficiente para pintar essa região!

–3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3

(b)] O conjunto de todos os pontos para os quais a ordenada ´e 1 ´e uma reta horizontal uma unidade acima do eixo x.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 –3 –2 –1 1 x 2 3

(c) Se | y | < 1, ent˜ao −1 < y < 1. Esta regi˜ao consiste em todos os

pontos do plano cuja ordenada está entre−1 e 1, isto é, todos os pontos que est˜ao entre as retas horizontais y = 1 e y =−1. Na figura, estas retas são indicadas por linhas pontilhadas para indicar que os seus pontos não pertencem ao conjunto em questão.

–3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 (d) As desigualdades s˜ao equivalentes a −2 ≤ x ≤ 2 e −1 ≤ y ≤ 1. Logo o gráfico deste conjunto consiste em todos os pontos (internos e da fronteira) da região retangular mostrada na figura ao lado.

–3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3

Exemplo 2 Esboce o gr´aﬁco da desigualdade x + 2 y > 5.

Solu¸c˜ao Estamos interessados no gr´aﬁco do conjunto

{(x, y) ∈ R2_{; x + 2 y > 5}_}

Resolvendo a inequa¸c˜ao para y, obtemos:

x + 2 y > 5⇒ 2 y > 5 − x ⇒ y > 5

2 −

x

2.

Compare esta desigualdade com a equa¸c˜ao y = 5₂−x₂, que representa uma reta com declividade−1₂ e interse¸c˜ao com o eixo y no ponto (0,5₂). O gráfico da desigualdade é o conjunto de todos os pontos cuja coordenada

y ´e maior que a dos pontos que est˜ao sobre a reta y =−x₂+5₂. Assim, o gráfico procurado é a região que está acima da reta, como mostra a figura ao lado. –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –20 –10 10 20

(11)

2.6 Exerc´ıcios

1. (a) Mostre que o triângulo com v´ertices A(0, 2), B(−3, −1) e C(−4, 3) é isósceles. (b) Mostre que os pontos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) e (−5, 3) são vértices de um quadrado.

(c) Prove que os pontos A(−1, 3), B(3, 11) e C(5, 15) s˜ao colineares mostrando que AB + BC = AC . 2. (a) Sabe-se que y = 2 x− b ´e positivo para x > 4 e negativo para x < 4. Quanto vale b?

(b) Se um conjunto de retas ´e descrito pelas equa¸c˜oes y = mx + 1, y = mx + 2, y = mx + 3, etc... O que se pode dizer a respeito dessas retas?

(c) Se duas retas s˜ao descritas pelas equa¸c˜oes y = x + 3 e y =√3 x + 2, qual o ˆangulo que cada uma delas faz com o eixo x ?

3. Determine os valores da constante k para os quais a reta

(k− 3) x − (4 − k2) y + k2− 7 k + 6 = 0 (a) ´e paralela ao eixo x.

(b) ´e paralela ao eixo y. (c) passa pela origem. 4. Ache a equa¸c˜ao da reta que:

(a) passa por (−2, 3) e tem declividade −4. (b) passa por (−4, 2) e (3, −1).

(c) tem declividade 2₃ e coeﬁciente linear −4. (d) passa por (2,−4) e ´e paralela ao eixo x.

(e) passa por (1, 6) e é paralela ao eixo y. (f) passa por (4,−2) e é paralela a x + 3 y = 7 (g) passa por (5, 3) e é perpendicular a y + 7 = 2 x.

(h) passa por (−4, 3) e paralela `a reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).

5. (a) Mostre que as retas 2 x− y = 4 e 6 x − 2 y = 10 não são paralelas e ache o seu ponto de interseçcão. (b) Se A, B, C e C′ s˜ao constantes e A e B n˜ao são ambas nulas, mostre que as retas:

i. A x + B y + C = 0 e A x + B y + C′ = 0 coincidem ou s˜ao paralelas. ii. A x + B y + C = 0 e B x− A y + C′ = 0 s˜ao perpendiculares.

6. (a) Mostre que o ponto m´edio do segmento de reta de extremidades P1(x1, y1) e P2(x2, y2) ´e (x1+x₂ 2, y1+y₂ 2).

(b) Ache o ponto m´edio do segmento de reta que une os pontos i. (1,3) e (7,15)

ii. (−1, 6) e (8, −12).

7. (a) Mostre que as equa¸c˜oes abaixo representam uma circunferˆencia. Ache o seu centro e o seu raio. i. x2+ y2− 4 x + 10 y + 13 = 0

ii. x2+ y2+ 6 y + 2 = 0 iii. x2_{+ y}2_{+ x = 0}

iv. 2 x2_{+ 2 y}2_{− x + y = 1}

(b) Sob que condi¸c˜oes sobre os coeﬁcientes a, b e c a equa¸c˜ao

x2+ y2+ a x + b y + c = 0 representa uma circunferˆencia? Neste caso, ache o seu centro e o seu raio.

(12)

8. Nos ´ıtens abaixo, você deve determinar a condi¸cão representada por cada um dos gráficos. Você pode testar a sua resposta usando a versão eletrônica deste texto!

(a) Qual a condi¸cão representada pela parte escura do gráfico (1)? (b) Qual a condi¸cão representada pela reta do gráfico (2)?

(c) Qual a condi¸cão representada pela parte escura do gráfico (3)?

–3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 (1) –2 –1 0 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (2) –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 (3)

2.7 Problemas

1. Esboce o gr´aﬁco dos conjuntos: (a) W ={(x, y) ∈ R2_{; x = 4}_} (b) W ={(x, y) ∈ R2; y =−3} (c) W ={(x, y) ∈ R2; x y = 0} (d) W ={(x, y) ∈ R2_;_{| x | < 2, | y | > 1}} (e) W ={(x, y) ∈ R2; x y < 0} (f) W ={(x, y) ∈ R2;| x | > 1 e | y | ≤ 2} (g) O conjunto dos pontos eq¨uidistastes de (0, 1) e (1, 0).

(h) Escreva a condi¸c˜ao do item (g) na forma mais simples poss´ıvel.

2. Esboce o gráfico das condi¸cões dadas abaixo hachurando, quando for o caso, a região definida pela condi¸cão: (a) x2_{+ y}2_{= 1} (b) y = 2 x2_{− 1} (c) 3 y + x2_{= 0} (d) y = 3 x + 1 (e) x = 2 e 0≤ y ≤ 2 (f) x =−3 (g) y = 2 (h) x2_{+ y}2_{< 1} (i) x2+ y2> 1 (j) x2+ y2≤ 1 3. Esboce a região limitada pelas curvas

(a) y = 3 x e y = x2 (b) y = 4− x2 e x− 2 y = 2.

4. (a) Esboce o gráfico da equa¸c˜ao y =|x|. (b) Esboce o gráfico da equa¸cão| x | + | y | = 1.

5. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x + y = 1, acima do eixo x, e ´e refletido ao tocar esse eixo. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, escreva a equa¸cão da nova trajetória.

6. Mostre que uma reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) pode ser escrita na forma

x a+

y b = 1.

Esta é a chamada forma segmentária da equa¸cão da reta. Escreva nesta forma a equa¸c˜ao 4 x + 2 y = 6. 7. (a) Determine a equa¸cão da reta tangente à circunferˆencia x2_{+ y}2_{= 25 no ponto (3, 4).}

(b) Você é capaz de determinar, por métodos geométricos, a equa¸cão da reta tangente à par´abola y = x2 _no

ponto (1, 1)? (Veja Atividades de Laborat´orio: Retas Tangentes - Atividade 2.)

8. Um carro parte do Rio de Janeiro às 14 horas e viaja a uma velocidade constante pela Rio-São Paulo. Ele passa por Itatiaia (a 150 km do Rio) às 15:50hs.

(13)

(b) Esboce o gráfico da equa¸cão obtida em (a). (c) Qual a declividade desta curva?

(d) O que representa esta declividade?

9. (a) Um sistema linear do tipo

{

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

pode ter uma, nenhuma ou uma infinidade de solu¸cões. Interprete geometricamente, cada um desses casos e deduza a condi¸cão algébrica que garante a existência de uma, nenhuma ou de infinitas solu¸cões para esse sistema.

(b) Uma equa¸c˜ao da forma A x + B y + C z + D = 0, onde A, B e C n˜ao são simultaneamente nulos, representa um plano no espa¸co tridimensional. Interprete geometricamente todas as poss´ıveis solu¸cões para sistemas lineares com duas equa¸cões e três variáveis, em termos das posi¸cões relativas entre dois planos. (Veja as Atividades de Laboratório - Atividade 3.)

10. A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distˆancias a uma reta fixa r e a um ponto fixo F são iguais. O ponto F chama-se foco da parábola e a reta r a sua diretriz.

(a) Deduza a equa¸cão da parábola no caso particular em que o foco ´e o ponto (0, 1) e a diretriz é a reta y =−1 e trace o seu gráfico.

(b) Deduza a equa¸cão da par´abola com foco em F = (α, 0), com o eixo x perpendicular à diretriz e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento F F′, onde F′é a proje¸c˜ao ortogonal de F sobre a diretriz. Trace o seu gráfico e responda às seguintes perguntas:

i. Em que semi-plano est´a contida esta par´abola? ii. Qual o seu eixo de simetria?

iii. Qual o seu v´ertice?

iv. Qual a equa¸c˜ao da reta diretriz?

(Em todos os ´ıtens, estude os casos α > 0 e α < 0.

(c) Suponha agora que o foco da par´abola seja o ponto F (0, α). Deduza a equa¸c˜ao da parábola no caso em que o eixo y ´e perpendicular `a diretriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento F F′. Trace o seu gráfico e responda às mesmas perguntas do item anterior.

2.8 Atividades de laborat´

orio

Fa¸ca as atividades propostas no arquivo labrev2.mws da vers˜ao eletrˆonica.

2.9 Para vocˆ

e meditar: O gr´

afico da equa¸

c˜

ao y =mx ´

e sempre uma linha

reta?

Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identiﬁcar qualquer ponto do plano com um par de n´umeros da seguinte maneira: dadas duas retas perpendiculares ﬁxas e orientadas, ditas eixo x e eixo y, a coordenada

x ou abscissa de um ponto P ´e a distˆancia desse ponto ao eixo y, e a coordenada y ou ordenada de P ´e a distˆancia desse ponto ao eixo x. Isto ´e, se P tem coordenadas x e y esses n´umeros representam as distˆancias de P em rela¸c˜ao aos eixos y e x, respectivamente.

Sabemos, também, que o gráfico de uma equa¸c˜ao y = f(x) ´e o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta rela¸cão, isto é, os pontos que pertencem ao gráfico dessa equa¸cão s˜ao os pontos do plano da forma (x, f(x)).

Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da equa¸c˜ao y = x ´e uma reta que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos eixos. Do mesmo modo, o gráfico da equa¸c˜ao y = 2 x ´e a reta definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distˆancia y ao eixo x ´e duas vezes a sua distˆancia ao eixo y. Repare que, nesse sistema, as distâncias são medidas a partir de retas paralelas aos eixos coordenados.

(14)

Veja a figura ao lado onde tra¸camos, em conjunto, os gráficos das fun¸c˜oes y = x, y = 2 x e a malha retangular us-ada nesse sistema de coordenus-adas para medir as distâncias.

–4 –2 2 4 –2 –1 1 2 x

Vamos agora mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas retas perpendiculares vamos considerar um ponto

e uma reta fixa. O ponto fixo será chamado foco e a reta fixa diretriz e o sistema de coordenadas será chamado

foco-diretriz.

• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual será o gráfico

da equa¸c˜ao y = x, isto ´e, qual o lugar geométrico dos pon-tos cuja distância ao foco é igual a sua distância à dire-triz? (Lembre-se que enquanto no sistema de coordenadas cartesianas as distâncias eram medidas por retas parale-las aos eixos coordenados, nesse sistema as distâncias serão medidas por retas paralelas à diretriz e às circunferências

concˆentricas ao foco.) –4

–2 2 4

–4 –2 2x 4

• Nesse mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual a k

vezes a sua distˆancia `a diretriz. Estude os casos para k = 1, k < 1 e k > 1.

Um outro sistema de coordenadas pode ser definido a partir de uma reta fixa (eixo) e de um ponto fixo (pólo) sobre essa reta. A coordenada x de um ponto nesse sistema seria o ˆangulo que o raio que une o ponto ao pólo faz com o eixo, e a coordenada y a distˆancia do ponto ao pólo. Esse sistema coordenado é dito Sistema de Coordenadas Polares.

• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema?

• Qual o gráfico da equa¸cão y = x nesse sistema, isto é, qual o lugar geométrico dos pontos cujo ângulo que a

dire¸cão ponto-pólo faz com o eixo é igual à distância do ponto ao pólo?

• Como vocˆe deﬁniria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada nesse sistema? Como

você poderia interpretar geometricamente a rela¸c˜ao y = x? Qual seria o gr´afico desse lugar geométrico?

2.10 Projetos

2.10.1 Melhor qualidade de grava¸

c˜

ao

Os aparelhos comuns de video cassete têm três velocidades de grava¸cão: SP (standard play), LP (long play) e EP (extra long play). Usando uma fita comum de v´ıdeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2h de dura¸cão. Esse tempo aumenta para 4h e 6h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante a melhor qualidade de grava¸cão. Quando os outros modos são usados, as informa¸cões são gravadas de modo mais condensado na fita, com a conseqüente perda de qualidade.

Suponha que se deseja gravar, em uma única fita, um filme de 3h de dura¸cão, com a melhor qualidade poss´ıvel. Isto quer dizer que, em algum momento, é necessário mudar a velocidade SP (maior qualidade) para a velocidade LP (maior tempo de grava¸cão). Se esse momento for corretamente calculado, a fita deve estar completamente preenchida quando o filme terminar.

• A partir do in´ıcio da grava¸c˜ao, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?

• Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP ´e desprez´ıvel a olho nu, resolva o mesmo problema

se mudarmos do modo SP para o modo EP.

2.10.2 Custo m´ınimo x aproveitamento m´

aximo

Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua planta¸cão e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro contém 3g de fósforo, 1g de nitrogênio e 8g de potássio e custa R$ 10,00 por quilo. O segundo tipo contém 2g de fósforo, 3g de nitrogênio e 2g de potássio e custa R$ 8,00 por quilo. Sabe-se que 1 kg de adubo é suficiente para 10 m2_{de terra e}

(15)

que o solo onde estão suas planta¸cões necessita de pelo menos 3g de fósforo, 1,5g de nitrogênio e 4g de potássio para cada 10 m2.

• Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10 m2 _{de terreno, de modo a obter um custo}

m´ınimo?

• Há muitas situa¸cões em que essa mesma espécie de análise é necessária. Se você ainda não o fez, formule um

modelo matemático formal que descreva situa¸cões desse tipo e dê exemplos de outros problemas onde esta análise seja necessária.

(16)