Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1 AVALIAÇÃO DE ÁREAS PARA CONSTRUÇÃO DE CONJUNTOS
HABITACIONAIS – UM MODELO MATEMÁTICO DE UMA TRAGÉDIA NATURAL PARA O ENSINO
Nelson Hein Universidade Regional de Blumenau hein@furb.br Moacir Manoel Rodrigues Junior Universidade Regional de Blumenau Moacir_ro@hotmail.com Paulo Ricardo Domingues Corrente Universidade Regional de Blumenau pcorrente@hotmail.com
Resumo: Em novembro de 2008 o Vale do Itajaí (SC), especificamente o município de
Blumenau foi assolado por uma catástrofe climática que compreendeu um conjunto sequencial de enchentes, enxurradas e por fim deslizamentos de terra. As perdas humanas foram muitas e os prejuízos econômicos superam nove dígitos. Devido ao fato de muitas pessoas terem ficado sem suas casas, a municipalidade por meio de seus órgãos específicos estabeleceu pós a calamidade a realocação de pessoas para conjuntos habitacionais, que se encontravam em abrigos. O objetivo deste trabalho é determinar o ranking de possíveis áreas a serem ocupadas para a construção de novas habitações. Isto se fez por meio da Análise Hierárquica de Processos (AHP) em que foram levados os critérios de custo, risco de enchentes, risco de enxurradas e risco de deslizamento. Por meio de grupos de trabalhos com alunos de modelagem matemática, foram estabelecidos preferências e o ranking obtido não apresentou inconsistências.
Palavras-chave: Modelagem Matemática no Ensino; Análise Multicritério; Análise
Hierárquica de Processos.
1. Introdução
Segundo Hein (2007, p. 33) “a modelagem matemática não possui um estatuto definido”. Ackoff e Sasieni (1979: 74) apontam que “não é possível redigir um manual de instruções sobre a construção de modelos”. Existem regimentos internos na forma de esquemas nos quais se destacam: Bassanezi, Biembengut, Barroso, Goldbarg e Luna, entre outros igualmente destacados. Cada qual com sua visão adequada àquilo que lhe interessa, seja no ensino, na pesquisa ou na aplicação. O modelo que é desenvolvido neste artigo surge de um desastre natural, a tragédia das águas no Vale do Itajaí de novembro de 2008. Ele surge da necessidade, organizado em forma de pesquisa, transformou-se em aplicação
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 2 e hoje é usado no ensino, como exemplo de como a matemática pode ajudar a evitar novas tragédias e salvar vidas.
A cidade de Blumenau está localizada no Vale do Itajaí. Geograficamente o vale se posiciona no sentido leste-oeste, sendo cortado pelo Rio Itajaí Açu, com jusante a leste. As correntes de ar frio, vindas do sul vem em sentido ortogonal ao vale, tornando a região extremante úmida.
A todos estes fenômenos climáticos, associam-se também os efeitos do aquecimento global. Isto pode ser sentido no mês de novembro de 2008. As chuvas no Vale do Médio Vale do Itajaí (região mais baixa) iniciaram no mês de agosto daquele ano. Em volumes não constantes, porém altos, não fizeram as várias cheias no período se caracterizarem em uma enchente. Contudo, o solo já bastante saturado oferecia riscos de deslizamento à população residente em regiões de declive. A população blumenauense que habitava (e ainda habita) não é somente formada por classes econômicas menos favorecidas, mas sim também por pessoas mais ricas. A valorização deste tipo de terreno advém dos riscos que as enchentes oferecem em regiões mais baixas e planas.
Tabela 1 – Picos de enchentes registrados em Blumenau/SC
ANO DATA COTA (m)
ANO DATA COTA (m)
ANO DATA COTA (m) 1852 29.10 16.30 1933 04.10 11.65 1971 09.06 10.10 1855 20.11 13.30 1935 24.09 11.40 1972 02.08 10.80 1862 11 9.00 1936 06.08 10.15 1972 29.08 11.07 1864 17.09 10.00 1939 27.11 11.20 1973 25.06 11.05 1868 27.11 13.30 1943 03.08 10.25 1973 28.07 9.10 1870 11.10 10.00 1946 02.02 9.20 1973 29.08 12.24 1880 23.09 17.10 1948 17.05 11.60 1975 04.10 12.40 1888 --- 12.80 1950 17.10 9.20 1977 18.08 9.00 1891 18.06 13.80 1953 01.11 9.40 1978 26.12 11.15 1898 01.05 12.80 1954 08.05 9.30 1979 10.05 9.75 1900 06 12.80 1954 22.11 12.28 1979 09.10 10.20 1911 29.10 9.86 1955 20.05 10.36 1980 22.12 13.02 1911 02.10 16.90 1957 22.07 9.10 1983 04.03 10.35 1923 20.06 9.00 1957 02.08 10.10 1983 20.05 12.46 1925 14.05 10.30 1957 18.08 12.86 1983 09.07 15.34 1926 14.01 9.50 1957 16.09 9.24 1983 24.09 11.50 1927 09.10 12.30 1961 12.09 10.10 1984 07.08 15.46 1928 18.06 11.76 1961 30.09 9.40 1990 21.07 8.82 1928 15.08 10.82 1961 01.11 12.18 1992 29.05 12.80 1931 02.05 10.70 1962 21.09 9.04 1992 01.07 10.62 1931 14.09 10.90 1963 29.09 9.42 1997 01.02 9.44 1931 18.09 11.28 1966 13.02 9.82 2001 01.10 11,02 1932 25.05 9.85 1969 06.04 9.89 2008 24.11 11,52 FONTE: Banco de Dados do CEOPS, 2001
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 3 O golpe final da tragédia ocorreu nos dias 22 e 23 de novembro quando foram registrados índices pluviométricos fora dos normalmente esperados para a época. Contudo, somente no dia 22 choveu 243,5mm, no dia 23 os incríveis 250,9mm e no mês 1001,7mm. Naturalmente que se trata de dados fora de série (outliers). A enchente, a enxurrada e os deslizamentos causaram um número de mortes superior a uma centena e as perdas econômicas superaram três bilhões de dólares.
O número de desabrigados foi muito alto e fez com que órgãos públicos fossem obrigados a remanejar grande quantidade de pessoas, sobretudo as mais pobres. Contudo, não é fácil localizar uma área razoável em Blumenau para criar conjuntos habitacionais.
No total, o setor de obras da Prefeitura de Blumenau (PMB), recebeu 12 ofertas, das quais apenas três atendiam exigências técnicas solicitadas pelo corpo técnico responsável pela aquisição de uma área que comportasse o projeto de implantação do conjunto habitacional composto por 624 unidades, no formato de prédios de três andares (sem elevador) com quatro apartamentos cada, sendo o térreo destinado para estacionamento.
As três áreas mesmo aprovadas tecnicamente possuíam características distintas quanto aos riscos de enchente, enxurradas e deslizamento. Obviamente o custo de aquisição também deferia. Surgiu assim a pergunta de pesquisa: das três áreas concorrentes, qual a que melhor atende a minimização de riscos e custos?
Partiu-se da premissa de que sendo a situação um problema de decisão multicritério, poder-se-ia utilizar o método da Análise Hierárquica de Processos (AHP) como ferramenta de apoio a decisão. Assim se revela o objetivo da pesquisa: determinar o ranking entre as áreas proponentes que melhor satisfaçam as prioridades técnicas envolvidas.
Em resumo se pretende adquirir uma área barata, livre de enchentes, livre de enxurradas e deslizamentos.
2. Fundamentação Teórica
A tomada de decisão em um cenário complexo como é o período pós-catástrofe não é de fácil análise. Os objetivos não são únicos muito menos claros. Exigir do decisor (ou decisores) e do analista (pessoa, conjunto de pessoas ou equipe de trabalho) que estes tenham claros o conjuntos de alternativas, atributos e critérios tornam-se tarefa hercúlea.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 4 Até porque ao se estabelecer prioridades e/ou preferências as relações de reflexibidade, irreflexibilidade simetria, assimetria e transitividade (GOMES, 2004, p.12) ficam enormemente prejudicadas. Neste cenário é que se buscou utiliza o método AHP. Este método foi desenvolvido por Thomas Saaty. Sendo este um dos primeiros métodos desenvolvidos no ambiente das decisões multicriterais discretas (GOMES, 2004, p.41). Sendo, segundo Gomes: “talvez o método mais usado no mundo” (2004, 41). A divisão do problema em níveis hierárquicos facilita a sua compreensão e avaliação. Gomes acrescenta: “[...] pós a divisão do problema em níveis hierárquicos, determina, [...] uma medida global para cada uma das alternativas, priorizando-as ou classificando-as ao finalizar o método” (2004, p.42). Basicamente, o método cria um ranking segundo preferências, que seguem uma escala. Saaty em sua escala fundamental partiu de uma matriz de preferências e da definição dos recíprocos. As preferências seguem uma escala, que vai de um até nove, ou seja, uma escala que segue o denominado “limite psicológico”, segundo o ser humano pode julgar no máximo 7±2. Basicamente, usou-se uma escala como a que se apresenta no quadro a seguir:
Quadro 01: Escala de preferências de Saaty
Valor Importância Descrição
1 Igual importância As duas alternativas contribuem igualmente para o objetivo
3 Importância pequena de uma sobre a outra
A experiência ou o juízo favorecem uma alternativa em relação à outra
5 Importância grande ou essencial A experiência ou o juízo favorecem fortemente uma alternativa em relação à outra
7 Importância muito grande ou demonstrada
Uma alternativa é muito fortemente favorecida em relação à outra. Pode ser demonstrada na prática.
9 Importância absoluta A evidência favorece uma alternativa em relação à outra, com alto grau de segurança. 2, 4, 6, 8 Valores intermediários Usadas quando se busca uma condição de
compromisso entre duas definições Fonte: Adaptado de Gomes (2004, p. 49)
Definida a estrutura hierárquica, realiza-se a comparação par-a-par de cada alternativa dentro de cada critério do nível imediatamente superior, isto é, para cada critério são relacionadas as alternativas devidamente aplicadas na escala verbal apresentada anteriormente. Assim, o juízo verbal da equipe de decisão transforma-se em uma escala de valores. Consideremos a matriz de preferências denotada por A:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 3 23 13 2 23 12 1 13 12 n n n n n n a a a a a a a a a a a a A
Utilizando a matriz de decisão A, o método AHP calcula segundo Gomes (2004, p.49) “resultados parciais do conjunto A dentro de cada critério vi(Aj), j=1,...,n,
denominado valor de impacto da alternativa j em relação a alternativa i”. Esses resultados representam valores numéricos das atribuições verbais dadas pelo decisor a cada comparação de alternativas. Tais resultados são normalizados pela expressão:
n i j i A v 1 1 ) (
Onde o número n corresponde ao número de alternativas ou elementos comparados. Cada parte desse somatório consiste em:
n i ij ij i i a a A v 1 ) (
Isso faz com que o vetor de prioridades da alternativa i em relação ao critério Ck
seja: n A v A v n i j i j k 1 ) ( ) (
Depois de obtido o vetor de prioridades ou de impacto das alternativas sob cada critério Ck, continua-se com o nível dos critérios. Nesse caso, adota-se novamente a escala
verbal para a classificação par a par dos critérios, que são normalizados pela fórmula:
m j C C C w m i ij ij j i( ) , 1,..., 1
Onde m corresponde ao número de critérios de um mesmo nível. Determina-se assim o vetor de prioridades:
m i m C w C w m l i j i i , 1,..., ) ( ) (
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 6 Usando um processo de agregação, são gerados os valores finais das alternativas, ordenando-as por meio da seguinte função aditiva:
m i j i i j wC v A j n A f 1 , ... , 1 ), ( ) ( ) (
Dessa maneira, obtém-se a ordenação global por meio de uma função global de valor.
Saaty ainda definiu um índice de consistência (IC) gerado pela matriz de preferências dos avaliadores. O teste é feito usando a relação:
1
max n
n IC
Onde λmax é maior autovalor da matriz de preferência e n é a ordem da matriz. Saaty
(1980) enunciou um teorema sobre o caso: “A é consistente se, se somente se, λmax≥n”.
Saaty destacou ainda que devido á subjetividade por que passa o processo, o valor de IC deverá ter valor menos que 0,1 para poder ser considerando consistente.
3. Materiais e Métodos
O modelo que se apresenta, foi utilizado como sugestão à aquisição de uma área para a construção de 624 habitações. Foram apresentadas três propostas. Todas possuíam as dimensões mínimas requeridas para o projeto. As áreas possíveis propostas localizavam-se em regiões afastadas do centro, contudo não totalmente livres de enchentes, enxurradas e deslizamentos.
As características das áreas em questão encontram-se no quadro a seguir, que levam em consideração os critérios analisados.
Quadro 02: Dados técnicos de cada terreno proposto
Critérios Regiões Custo (R$) Enchente* (m) Enxurrada**(No) Deslizamento***(θ)
A 2.100.000,00 8,9 3 5º
B 1.900.000,00 14,2 0 8º
C 1.550.000,00 11,7 5 23º
Fonte: Secretaria de Obras PMB *
Cota livre de enchente
** Número de ribeirões próximos *** Inclinação máxima do terreno
Os dados foram analisados pelo setor de obras da Prefeitura Municipal de Blumenau e pela Defesa Civil do município. Os grupos foram formados por engenheiros, geólogos, meteorologistas e técnicos responsáveis pela área financeira da municipalidade.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 7 O problema na escolha da área a ser adquirida configura-se dentro do ambiente das decisões multicritério discretas, ou seja, tem-se o conflito entre objetivos, pois se deseja minimizar o custo de aquisição, maximizar a cota de alcance da enchente, minimizar o número de ribeirões próximos e minimizar a declividade da área.
4. Análise dos Resultados
Inicialmente enfrentou-se o problema de compatibilidade de objetivos específicos do problema. Caso os critérios: custo, riscos de enchente, enxurrada e deslizamento estivessem em uma mesma escala e diretamente proporcionais, poder-se-ia estabelecer pesos e valorar cada uma das propostas por meio de uma média ponderada, sendo o maior resultado uma sugestão de que área a ser adquirida. Contudo, a situação não apresenta estas características.
Optou-se então em criar preferências. Com efeito, o estabelecimento de preferências divide o problema em níveis hierárquicos. Preferir algo, somente faz sentido quando existe a possibilidade de comparação. É isso que ocorre na situação que apresenta, ou seja, o problema pode ser dividido critério-a-critério e preferências, individuais e coletivas, podem ser apresentadas.
O uso da escala de Saaty foi aplicado aos envolvidos pela definição da área a ser adquirida. Contudo, o uso deste modelo não foi á única ferramenta de decisão que foi utilizada no processo de compra.
Ao se avaliar as preferências quanto aos custos, os envolvidos chegaram á seguinte matriz de preferência:
Quadro 03: Matriz de preferências quanto ao custo
Custos A B C
A 1 1/3 1/4
B 3 1 1/2
C 4 2 1
Fonte: Dados da pesquisa
O custo de cada terreno comparado a ele mesmo recebe a preferência 1, denotando mesmo grau de importância. Percebe-se que os envolvidos consideram o valor de R$ 1.550.000,00 da área C, quatro vezes mais atraente aos R$ 2.100.000,00 da área A e três vezes mais importante aos R$ 1.900.000,00 da área B. Logo, comparando inversamente as preferências verifica-se que a área A é a menos preferida, pois é valorada em um terço (1/3) em relação a área B e um quarto (1/4) em referência ao terreno C. Por último, a área
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 8 C foi avaliada como sendo duas vezes preferível a área B, logo o terreno é valorado preferencialmente em um meio (1/2) em relação a C.
As demais matrizes de preferência ficaram assim avaliadas:
Quadro 04: Matrizes de preferência quanto á enchentes, enxurradas e deslizes Enchente A B C Enxurrada A B C Deslize A B C
A 1 1/4 1/6 A 1 1/3 4 A 1 2 8
B 4 1 1/3 B 3 1 7 B 1/2 1 6
C 6 3 1 C ¼ 1/7 1 C 1/8 1/6 1 Fonte: Dados da pesquisa
Tomando a matriz de preferências das áreas em relação aos deslizamentos, vemos que o terreno foi o melhor avaliado. Mas quanto em relação aos demais? Foi estabelecida uma escala de preferências para cada critério em avaliação, contudo é imperativo que surja uma nova escala que confirma não somente a posição, mas que também avalie a posição na mesma. Em resumo, buscam-se os pesos de cada área dentro de cada critério. Para isso somam-se os valores de cada coluna. As somas podem ser acompanhadas no quadro a seguir:
Quadro 05: Soma dos valores dos vetores coluna Deslize A B C
A 1 2 8
B 1/2 1 6
C 1/8 1/6 1 Soma 13/8 19/6 15 Fonte: Dados da pesquisa
Normalizando a matriz de preferências quanto ao critério dos deslizamentos, dividem-se cada uma das células pela soma obtida na coluna. Notadamente a área A possui as melhores valorações. A média aritmética dos valores de cada linha estabeleceu o ranking quanto a este critério avaliado.
Quadro 06: Normalização e ranking do critério área Deslize A B C Média
A 8/13 12/19 8/15 0,593 B 4/13 6/19 6/15 0,341 C 1/13 1/19 1/15 0,066
Soma 1 1 1 1
Fonte: Dados da pesquisa
Os rankings finais para cada critério podem ser acompanhados pelo quadro a seguir.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 9 Quadro 07. Ranking parcial de preferências
Área Custo Enchente Enxurrada Deslize A 0,123 0,087 0,265 0,593 B 0,320 0,274 0,655 0,341 C 0,557 0,639 0,080 0,066 Fonte: Dados da pesquisa
Surge agora nova dúvida. Nos quesitos de custo e enchente o terreno A obteve a primeira colocação. No quesito enxurrada á área B e no deslize o melhor colocado foi o terreno A. Poder-se-ia imaginar que a classificação terminasse por aqui, porém ela estaria incompleta, visto que ainda não foram estabelecidas preferências entre os critérios. Em novo conjunto de reuniões chegou-se a seguinte matriz de preferências.
Quadro 08. Quadro de preferências intracritérios
Preferências Custo Enchente Enxurrada Deslizamento
Custo 1 3 2 2
Enchente 1/3 1 1/4 1/4
Enxurrada 1/2 4 1 1/2
Deslizamento 1/2 4 2 1
Fonte: Dados da pesquisa
Percebe-se que a atenção está obviamente no valor a ser pago na aquisição. Contudo, há fraco interesse quanto ao critério “enchente”. O motivo está na sua previsibilidade, coisa que não acontece com os dois demais. Realizando os cálculos de similar modo feito às áreas disponíveis, chega-se ao ranking quanto aos critérios. Assim, o custo do terreno ocupa o topo do ranking com 0,398 pontos, a enchente com 0,085 pontos, a enxurrada com 0,218 pontos e por último, porém não o menos importante, o deslizamento com 0,299 pontos.
Multiplicando-se a matriz de ranking dos terrenos por critério, pela matriz de ranking dos critérios, é possível elaborar o ranking final como auxílio ao julgamento de compra do terreno para a construção das moradias aos desabrigados da catástrofe de novembro de 2008. 314 , 0 421 , 0 265 , 0 299 , 0 218 , 0 085 , 0 398 , 0 066 , 0 080 , 0 639 , 0 557 , 0 341 , 0 655 , 0 274 , 0 320 , 0 593 , 0 265 , 0 087 , 0 123 , 0
Chega-se finalmente a classificação final dos terrenos. A área B ficou em primeira colocação, seguido pela área C. O terreno A ficou em último colocação. Contudo, deve-se observar que isto ocorreu por força do tratamento dado pelos avaliadores, ou seja, mudando a situação, equipe, valores e riscos, pode haver uma reordenação.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 10 As consistências encontradas em cada uma das matrizes de preferência utilizadas podem sem acompanhadas a seguir:
Quadro 09: Índices de consistência parciais e global
Critério Custo Enchente Enxurrada Deslizamento Global λmax 3,0183 3,0536 3,0324 3,0183 4,1833 IC 0,00915 0,0268 0,0162 0,00915 0,0611 Fonte: Dados da pesquisa
Assim, verifica-se que o consenso quanto a avaliação de preferências da equipe técnica está dentro do limite estabelecido por Saaty.
5. Conclusões e Recomendações
A escolha e avaliação pessoal (ou grupal) estão longe de serem um problema resolvido, muito menos as catástrofes no Vale do Itajaí, especificamente em Blumenau. O aumento da população, o crescimento desordenado das habitações irregulares em zonas de risco, aumenta sensivelmente os danos finais a cada quadro crítico natural. Do mesmo modo que os decisores e analistas envolvidos na construção do modelo pretendem ser racionais, pelo menos na maior parte do tempo, infelizmente fatores alheios a sua vontade e situações adversas induzem consciente e inconscientemente, a procurar soluções e tomar atitudes muitas vezes originadas na experiência, ou segundo Gomes: “no instinto” (2004, p.90). Enfim, não é intuito julgar este ou aquele pelas decisões tomadas. Mas sim ajudar quantitativamente em minimizar prejuízos econômicos e se possível, evitar, de toda maneira, perdas de vida humana.
Quanto pergunta de pesquisa, os resultados levam a atestar pela aquisição da área B. Entretanto, não há uma diferença significativa entre as avaliações que permita excluir alguma das áreas afetadas.
Quanto ao objetivo, com efeito, foi determinado o ranking inicialmente pretendido com o auxílio do método AHP. Destaque-se ainda os índices de consistência obtidos, que permitem atestar pela validade da utilização do método diante da situação problema.
O fato de que ao se finalizar a análise decisória, os agentes do processo ficaram satisfeitos com os resultados, não havendo uma só divergência a posteriori, ou seja, a aceitação do ranking, em especial o fato da área B ter alcançado o topo da lista não causou estranheza ao grupo, o que dá sustentação empírica ao método.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 11 Assim o uso do AHP na análise das áreas de realocação de desabrigados, por conta da catástrofe de novembro de 2008, teve por características a neutralidade, objetividade, validade e transparência requisitos perseguidos pelo método usado.
5. Referências
GOMES, L.F.A.M.; ARAYA, M.C.G.; CARIGNANO, C. Tomada de decisões em
cenários complexos. São Paulo: Thomson, 2004.
LOOTSMA, F.A. A Multiplicative variant of the analytic hierarchy process. Report of the
faculty of technical mathematics and informatics, n.90-45, Delf University of Technology,
1990.
HEIN, Nelson, Maria Salett Biembengut. Sobre a Modelagem Matemática do Saber e Seus Limites. In Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisa e
práticas educacionais. Org. Jonei Barbosa, Ademir Caldeira e Jussara Araújo. Recife:
SBEM, 2007.
SAATY, T. Método da análise hierárquica. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1991.
ACKOFF, Russel; SASIENI, Maurice. Pesquisa Operacional. São Paulo: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1979
