ANÁLISE ESTRUTURAL AXISSIMÉTRICA DE CABOS UMBILICAIS E LINHAS FLEXÍVEIS

ANÁLISE ESTRUTURAL AXISSIMÉTRICA DE

CABOS UMBILICAIS E LINHAS FLEXÍVEIS

Jefferson Lacerda Silva

PROJETO DE FIM DE CURSO SUBMETIDO À BANCA EXAMINADORA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE BACHAREL EM ENGENHARIA NAVAL.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D

________________________________________________

Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.

________________________________________________

Dr. Anderson Barata Custódio, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

ABRIL DE 2006.

Agradecimentos

Aos meus pais, Roberto e Silvia, e irmãos, Jônathas e Priscilla, por estarem presentes ao meu lado em todos os momentos de minha vida.

Ao meu professor orientador, Murilo Augusto Vaz, pelos ensinamentos e incentivos concebidos durante o desenvolvimento da pesquisa.

Ao Doutor Anderson Barata Custódio pelo apoio no desenvolvimento do projeto.

Aos amigos e colegas de trabalho do Núcleo de Estruturas Oceânicas (NEO) com os quais dividi momentos de alegria e conhecimentos.

A minha namorada, Melissa, pelos anos de compreensão e atenção concebidos.

À Agência Nacional do Petróleo (ANP) pelo incentivo financeiro à pesquisa desenvolvida por meio do Programa de Formação de Recursos Humanos da ANP para o Setor de Petróleo e Gás (PRH-ANP).

RESUMO DO PROJETO FINAL

ANÁLISE ESTRUTURAL AXISSIMÉTRICA DE

CABOS UMBILICAIS E LINHAS FLEXÍVEIS

Abril/2006

A partir do correto dimensionamento dos dutos flexíveis pode-se extrair com maior segurança o óleo e gás provenientes dos poços explorados, e dos cabos umbilicais, o controle seguro da comunicação entre a superfície e os equipamentos submersos, garantindo que o carregamento aplicado não afetará a integridade estrutural destes dois componentes.

O trabalho apresentado objetivou-se na análise do comportamento estrutural local de dutos flexíveis e cabos umbilicais, a teoria para a sua implementação e no estudo de casos. Para isto é aplicado um carregamento axissimétrico a estes componentes. Este tipo de carregamento corresponde às cargas de tração (ou compressão), torção, pressões externa e interna aplicadas a estes materiais.

Uma planilha desenvolvida no software Mathcad retorna os valores de tensões e deformações sofridas por estes componentes sob o efeito de diferentes tipos e intensidades de carregamento, podendo-se assim dimensionar a estrutura. Para o desenvolvimento desta planilha foram utilizadas equações linearizadas, correspondentes a cada camada dos elementos analisados, de forma a tornar o programa simplificado. O material das camadas plásticas foi considerado linear elástico, hipótese consistente se pequenas deformações forem assumidas.

Índice

1. INTRODUÇÃO... 1

2. MODELO MATEMÁTICO PARA ANÁLISE AXISSIMÉTRICA... 5

2.1 DESCRIÇÃO DAS CAMADAS DE UM FLEXÍVEL ... 5

2.2 CAMADAS HELICOIDAIS - LINEARIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE GOVERNO ... 11

2.3 CAMADAS CILÍNDRICAS HOMOGÊNEAS - EQUAÇÕES DE GOVERNO ... 28

2.4 EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE GEOMÉTRICA... 32

2.5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO GLOBAIS DO FLEXÍVEL... 32

3. ESTUDO DE CASOS ... 34 3.1 DUTO FLEXÍVEL... 34 3.2 CABO UMBILICAL... 47 4. CONCLUSÃO... 52 5. REFERÊNCIAS ... 53 6. ANEXO ... 54

Lista de Figuras

Figura 1. Sistema Típico de Estruturas Offshore Operando em Diferentes Configurações. .. 1

Figura 2. Exemplo de Configuração de Duto Flexível... 7

Figura 3. Exemplo de Configuração de Cabo Umbilical... 7

Figura 4. Seção Típica da Carcaça Intertravada de Aço... 8

Figura 5. Corte Longitudinal Ilustrando a Configuração Típica ... 8

Figura 6. Seções Típicas da Camada Zeta... 10

Figura 7. Fita de Arame Enrolada Helicoidalmente sob seu Eixo Axial... 12

Figura 8. Vetor Tangente em um Ponto de uma Curva qualquer no Espaço. ... 13

Figura 9. Fita de Arame Helicoidal. ... 16

Figura 10. Relações Geométricas para o Arame na Condição Inicial e Deformada. ... 21

Figura 11. Força e Momento Distribuídos no Arame... 23

Figura 12. Pressões e Carga Axial Atuante no Arame. ... 27

Figura 13. Distribuição de Tensões em um Infinitesimal da Parede Cilíndrica. ... 28

Figura 14. Tensão de Escoamento x Profundidade de Lançamento... 38

Figura 15. Carga Axial x Deformação Longitudinal Global. ... 40

Figura 16. Carga Axial x Deformação Torcional Global. ... 42

Figura 17. Carga Axial x Ângulo Final das Armaduras. ... 43

Figura 18. Carga Axial x Deformação Longitudinal do Arame. ... 44

Figura 19. Carga Axial x Variação Pressão entre as Camadas... 46

Figura 20. Carga Axial x Pressão de Contato... 47

Lista de Tabelas

Tabela 1. Propriedades do Duto Flexível Analisado. ... 35

Tabela 2. Propriedades do Cabo Umbilical. ... 48

Tabela 3. Incógnitas Existentes nas Camadas do Flexível. ... 49

Tabela 4. Equações Utilizadas para Solução do Problema... 49

Tabela 5. Resultados e Comparações. ... 50

Tabela 6. Força e Tensão Axial à Camada. ... 50

Nomenclatura e Símbolos

Alfabeto Latino

a Tensão na armadura por unidade de força.

A Área da fita de arame. b Vetor binormal. b′ Largura do arame.

B Resultante dos momentos fletores na direção normal.

B′ Resultante dos momentos fletores na direção binormal.

C Ponto qualquer na curva formada pela hélice enrolada em seu estado inicial da forma helicoidal sob o seu eixo axial.

1

C Ponto qualquer na curva formada pela hélice enrolada em seu estado deformado da forma helicoidal sob o seu eixo axial.

w

d Diâmetro dos arames.

ext

D Diâmetro externo. int

D Diâmetro interno.

E Módulo de elasticidade do material.

C

EA Rigidez axial à compressão. T

EA Rigidez axial à Tração.

b

EI Rigidez à flexão binormal na fita.

n

EI Rigidez à flexão normal na fita.

c

F Força axial na camada cilíndrica.

g

F Força axial global do flexível.

h

F Força axial na camada helicoidal. G Módulo de elasticidade transversal. GJ Rigidez torcional na fita.

h Profundidade de lançamento da linha.

H Resultante dos momentos fletores na direção axial.

I Inércia da seção. J Inércia polar da seção. l Passo da hélice. L Comprimento do duto. m Número de camadas. s m Número de arames. c

M Momento torsor na camada cilíndrica.

g

M Momento torsor global.

h

M Momento torsor na camada helicoidal. n Vetor normal.

N Resultante dos esforços cortantes na direção normal. N ′ Resultante dos esforços cortantes na direção binormal.

ext

q Pressão externa. int

q Pressão interna.

ij

q Pressão de contato entre duas camadas adjacentes.

R Raio médio da camada. s Arco de comprimento.

t Vetor tangencial.

e

t Espessura da camada cilíndrica.

T Força na direção axial no arame.

W Peso do arame por unidade de “comprimento seco”.

w

W Peso do arame por unidade de “comprimento molhado”.

X ′ Força lateral distribuída no arame.

Y ′ Força distribuída na direção binormal no arame.

Alfabeto Grego

α Ângulo de assentamento inicial da hélice medido a partir de um eixo horizontal. 1

α Ângulo de assentamento deformado da hélice medido a partir de um eixo horizontal.

γ Deformação torcional.

R

∆ Variação do raio médio da camada. t

∆ Variação de espessura da camada.

a

ε Deformação axial do arame.

r

ε Deformação radial global.

x

ε Deformação axial global.

θ

ε Deformação circunferêncial global.

θ Ângulo medido a partir do eixo X de um ponto qualquer C da hélice projetado para o eixo XY.

θ Ângulo medido a partir do eixo X de um ponto qualquer da hélice projetado para o eixo XY.

1

C

x

Θ Momento fletor lateral distribuído.

y

Θ Momento fletor na direção binormal distribuído.

z

Θ Momento fletor na direção axial distribuído. 0

κ Curvatura de flexão na direção normal. 0

t

κ Torção na direção axial da fita. 0

κ′ Curvatura de flexão na direção binormal. 1

κ Curvatura de flexão na direção normal. 1

t

κ Torção na direção axial da fita. 1

κ′ Curvatura de flexão na direção binormal. π Pi.

a

σ Tensão axial aplicada à fita de arame.

e

t

σ Tensão normal atuante na fita de arame.

x σ Tensão axial. θ σ Tensão circunferêncial. τ Tensão cisalhante. υ Coeficiente de Poisson.

φ Ângulo de torção do duto por unidade de comprimento.

Base de Vetores

x

er Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em X.

y

er Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em Y.

x

er Vetor orientado de acordo com o eixo cartesiano do duto em Z.

iv Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa configuração qualquer.

j v

Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa configuração qualquer.

kv Vetor orientado de acordo com a seção transversal de uma fita de arame numa configuração qualquer.

X Eixo cartesiano do riser na direção X.

Y Eixo cartesiano do riser na direção Y.

1. INTRODUÇÃO

O aumento da utilização de sistemas submarinos de produção tem implicado em um maior emprego de dutos flexíveis e cabos umbilicais na indústria offshore. A crescente

demanda destes risers capazes de operar em lâminas d’águas cada vez mais profundas tem

incentivado a realização de pesquisas, principalmente em relação à redução do peso e conseqüentemente das cargas axiais. Outro campo estudado corresponde às falhas estruturais sofridas por estes componentes devido aos diferentes tipos de carregamentos implementados. As falhas destes componentes podem causar descontrole, vazamento de fluidos, imobilização de sistemas de operação, dano ao meio ambiente, gastos com recuperações do meio ambiente e da produção. Algumas recentes falhas estruturais, causadas pelo carregamento axissimétrico (vide figura 1), deixam claro que um melhor conhecimento da resposta estrutural destes importantes elementos é necessário.

Área de grande solicitação em tração, torção provocada pelo deslocamento da linha e atuação de pressão interna (fluido escoado) e pressão externa (hidrostática).

Os estudos realizados visam melhorar a estrutura no que diz respeito ao aspecto econômico e ambiental. Em função desta necessidade, o trabalho a seguir foi fundamentado, tornando cada vez mais confiável a análise das tensões e deformações sofridas por estes materiais.

Para a resolução do problema foi criada uma planilha no programa Mathcad via análise matricial. Do ponto de vista de engenharia, as linhas flexíveis são estruturas compósitas (seções transversais compostas de várias camadas concêntricas, camadas plásticas e camadas metálicas), de diferentes materiais e propriedades, e esbeltas devido às dimensões da seção transversal ser muito menor que seu comprimento. Adiante será estudada cada uma destas camadas isoladamente apontando suas principais finalidades. As camadas plásticas são modeladas como cilíndricas homogêneas, esbeltas e compostas por materiais elásticos lineares, uma vez que consideram-se pequenas deformações. Isto é, as equações de Lamé são utilizadas para as camadas elásticas cilíndricas. As camadas metálicas com

assentamento helicoidal são modeladas usando-se a teoria de Clebsch-Kirchhoff para hastes

esbeltas (que representam as camadas helicoidais).

As camadas metálicas possuem forma helicoidal, assegurando grande resistência à tração, porém pequena rigidez flexional ao conjunto. São geralmente duas e enroladas em sentidos contrários para garantir um balanceamento quanto à torção. No caso de umbilicais há o acréscimo de um núcleo eletro-hidráulico à estrutura.

O problema foi formulado em função das equações de equilíbrio e de compatibilidade geométrica. As equações algébricas de governo acrescidas das relações constitutivas de tensão e deformação das camadas deste problema foram expandidas e linearizadas. Cada uma das equações de governo apresenta um determinado número de incógnitas, diretamente proporcional ao número de camadas plásticas e metálicas existentes na estrutura analisada. Para resolução do problema este conjunto de equações é expresso matematicamente como uma matriz quadrada e suas incógnitas são representadas na forma de vetor. O produto entre a matriz quadrada das equações e o seu respectivo vetor de incógnitas resulta em um vetor representativo dos valores de força, momento, pressão

interna e pressão externa de cada camada. Portanto, uma vez conhecido o carregamento aplicado à linha flexível e definida todas as equações que regem o problema é possível determinar os valores correspondentes de cada uma das incógnitas existentes para cada camada. Os dados de entrada da planilha correspondem aos valores do carregamento aplicados à geometria e às propriedades dos materiais de cada camada.

Alguns trabalhos foram essenciais para a realização do programa desenvolvido:

Féret e Bournazel (1987) analisaram o comportamento de dutos flexíveis sob alta

pressão, os quais podem ser usados como risers em estruturas offshore. Uma metodologia e

um algoritmo para se obter a resposta linear de dutos flexíveis foram desenvolvidos. Para isso, tratam as camadas separadamente, consideraram as armaduras representadas por expressões simples e que as camadas plásticas apenas transmitiam pressão para as camadas adjacentes. Em seu trabalho Féret e Bournazel supõem que as camadas plásticas não

contribuem para resistirem aos esforços axissimétricos.

Witz e Tan (1992) apresentam um modelo linear analítico simplificado do

comportamento estrutural de dutos flexíveis, cabos umbilicais e cabos marinhos sob a ação de forças axiais e torcionais. As camadas plásticas são modeladas como sendo esbeltas e as armaduras são analisadas a partir da teoria de hastes curvas de Clebsch-Kirchhoff. O

modelo é baseado na interação entre as camadas que compõem um duto flexível formado por camadas cilíndricas e helicoidais. Os autores descrevem que a separação entre as camadas influencia a resposta da estrutura. Os resultados são apresentados para cabo marinho, umbilical e duto flexível.

Em tese de Doutorado, Ramos Jr. (2001) estudou os modelos analíticos para a previsão do comportamento estrutural de dutos flexíveis e cabos umbilicais. Ramos propôs, inicialmente, modelos para análise local dos dutos flexíveis e cabos umbilicais sob a ação de carregamentos de tração, torção, pressão interna, externa e flexão, agindo isoladamente ou combinados. Foram propostos modelos analíticos para cada camada, resultando num

sistema de equações algébricas que, ao ser resolvido, fornece os valores de rigidez equivalente axial, flexional e torcional destas estruturas.

Custódio e Vaz (2002) desenvolveram uma formulação e solução para uma resposta dos dutos flexíveis e cabos umbilicais sujeitos a um carregamento de tração, torque, pressão interna e externa. As camadas homogêneas são descritas pelas formulações de Lamé e as

helicoidais são descritas pelas formulações de Clebsch-Kirchhoff, onde estas formam

equações algébricas não-lineares as quais são resolvidas por um algoritmo iterativo. O modelo desenvolvido leva em consideração algumas características não-lineares tais como a formação de gap e o contato lateral entre as camadas de arame e isto pode ser aplicado no

projeto e verificação da seção transversal do duto flexível e cabo umbilical.

Inicialmente o capítulo 2 descreverá todas as camadas fundamentais à composição e elaboração dos flexíveis, sejam estes dutos ou cabos umbilicais. Ainda no capítulo 2, serão apresentadas as equações de equilíbrio, seus métodos de obtenção e a metodologia utilizada para a transformação de equações não lineares para a forma algébrica linear, tanto para as camadas plásticas, como para as camadas helicoidais.

O capítulo 3 estará relacionado à interpretação e elaboração dos resultados extraídos de uma ferramenta computacional não linear elaborada por Custódio em sua tese de mestrado (1999), onde serão realizadas saídas gráficas que expressarão o comportamento do duto para cargas de tração e compressão. Ainda no capítulo 3 será mostrado um estudo de caso feito para o modelo linear desenvolvido em uma planilha MathCad, onde serão

apresentados os valores de tensões e deformações sofridas pelo riser quando solicitado por

2. MODELO MATEMÁTICO PARA ANÁLISE

AXISSIMÉTRICA

Antes de iniciar a apresentação das equações globais de equilíbrio, para uma maior compreensão do problema serão apresentadas todas as camadas que constituem um duto flexível e um cabo umbilical.

2.1 Descrição das Camadas de um Flexível

Dutos flexíveis são estruturas multicamadas responsáveis pelo escoamento dos fluidos retirados (hidrocarbonetos: petróleo e derivados, gases) e injetados nos poços (água de injeção, produtos químicos, cimento e lama) entre terminais de sistemas de produção submarinos. Quanto à aplicação, os dutos podem ser denominados de:

1. Riser: quando a extensão do duto apresenta-se elevada sobre o leito

marinho, correspondendo ao trecho que une a unidade de produção a extremidades que se encontra conectada a terminação submersa; apresenta uma grande parcela dinâmica de carregamento.

2. Flowline: quando fazem a ligação entre o poço e o manifold, quando

apresenta a maior parte do comprimento em contato com o leito marinho; apresenta-se isento ou com pouca parcela de carga dinâmica.

Umbilicais submarinos são estruturas multicamadas que possuem uma extensa variação de funções. São responsáveis pela transmissão eletro-hidráulica, controle de equipamentos e da produção, injeção química, manutenção do poço, acionamento de equipamentos de estanqueidade, ou seja, a comunicação entre os equipamentos submersos e a superfície onde estão localizadas as unidades de produção e armazenamento. O número

de mangueiras hidráulicas, cabos elétricos e de outras funções desempenhadas pelos umbilicais submarinos está relacionado à operação a que o umbilical está designado e às funções requeridas na produção. Porém existe um impasse que corresponde ao peso e ao diâmetro necessário para o conjunto selecionado, pois quanto maior o diâmetro e o peso das linhas maior é a carga axial. Portanto, um estudo mais apurado do arranjo dos umbilicais deve fazer parte da definição do seu dimensionamento.

As duas estruturas mencionadas são largamente utilizadas na indústria petrolífera

offshore. A estrutura destes componentes é composta por várias camadas concêntricas,

sendo estas plásticas e metálicas. As camadas plásticas homogêneas são formadas basicamente por polímeros termoplásticos, extrudadas, esbeltas e compostas por materiais considerados elásticos lineares para pequenas deformações. Já as camadas metálicas são usualmente formadas por aço, helicoidais e enroladas em sentidos contrários para garantir um balanceamento quanto à torção. Além disso, as camadas metálicas asseguram pequena rigidez flexional ao conjunto. No caso de umbilicais há o acréscimo de um núcleo eletro-hidráulico à estrutura em substituição às camadas metálicas e plásticas mais internas do duto flexível (carcaça, camada plástica interna e zeta, mais à frente descritas). As Figuras 2 (duto flexível) e 3 (cabo umbilical) representam exemplos destas estruturas.

Figura 2. Exemplo de Configuração de Duto Flexível.

Figura 3. Exemplo de Configuração de Cabo Umbilical.

Cada uma das camadas dos risers desempenha uma função importante e específica

i. Carcaça Intertravada de Aço

Consiste em elementos perfilados em forma de “S” de aço inoxidável (vide figura 4), enrolada na forma de uma hélice com pequeno passo com intertravamento não estanque. É a camada mais interna do duto e têm como principal objetivo resistir aos esforços de compressão diametral provocados durante o lançamento da linha, à pressão externa, prevenindo também, o colapso do duto provocado pelas camadas helicoidais quando submetidos a uma carga de tração ou quando há uma queda de pressão interna, ou seja, sustentar as cargas radiais. O intertravamento da fita de aço é fundamental para garantir a resistência ao colapso por pressão externa, porém restringe as deformações axiais e a curvatura do duto flexível em função do pequeno deslocamento permitido pelas folgas entre as fitas da camada. O duto flexível ilustrado na figura 5 demonstra a configuração típica da carcaça intertravada de aço.

Figura 4. Seção Típica da Carcaça Intertravada de Aço.

Figura 5. Corte Longitudinal Ilustrando a Configuração Típica

ii. Camada Plástica Interna ou Camada de Pressão

É uma camada de polímero, homogênea, extrudada, esbelta e composta por materiais elásticos e se localiza sobre a carcaça intertravada. Tem como objetivo principal garantir a estanqueidade (sem perdas) dos fluidos transportados pelo duto flexível e permitir uma distribuição de pressão uniforme sobre a carcaça intertravada e camada zeta. Reduz o atrito entre a carcaça intertravada e a camada zeta, também é responsável pela resistência à corrosão e aos ataques químicos dos fluidos conduzidos, para isso precisam ser quimicamente e termicamente compatíveis à natureza do fluido transportado.

iii. Camada Zeta

Esta camada é projetada para auxiliar a camada plástica interna a manter a sua integridade estrutural sustentando a pressão interna, ou seja, resistir à expansão radial da camada plástica. Também auxilia nos efeitos de esmagamento provocados pelas armaduras de tração quando submetidas ao carregamento axial. São constituídas por reforçadores na forma de uma hélice com pequeno passo de assentamento. Nos locais onde as condições de pressão interna do duto são baixas, esta camada torna-se não muito necessária, pois sua atividade funcional pode ser substituída pelas armaduras de tração. Porém a camada zeta torna-se de fundamental importância em regiões onde a pressão interna do duto é muito alta para garantir que o vão livre da camada plástica interna seja o menor possível.

Figura 6. Seções Típicas da Camada Zeta.

iv. Armaduras de Tração

A principal função é proporcionar resistência axial e torcional ao duto garantindo a sua integridade estrutural. As armaduras de tração são usualmente formadas por aço embora outros materiais como fibras de alto desempenho também possam ser utilizados enrolados helicoidalmente em sentidos contrários para garantir um balanceamento quanto à torção. Essa disposição dos arames permite que o giro da estrutura devido ao carregamento de tração se mantenha o menor possível. Geralmente, nos umbilicais apresentam uma seção transversal circular e nos dutos flexíveis uma seção transversal retangular. Em contrapartida, as camadas metálicas asseguram pequena rigidez flexional ao conjunto. Esta camada também possui como função auxiliar a camada plástica interna contra a pressão de explosão.

v. Camadas Anti-fricção

São em geral localizadas entre duas camadas helicoidais adjacentes. A função destas camadas é reduzir o atrito entre duas camadas metálicas adjacentes evitando o desgaste

destas camadas. Além de manter os tendões das armaduras de tração em suas corretas posições helicoidais evitando que os mesmos não se desloquem e imobilizem o funcionamento do riser.

vi. Camada Plástica Externa

É uma das camadas de polímero, homogênea, extrudada, esbelta e composta por materiais elásticos considerados lineares para pequenos deslocamentos. Têm como objetivo principal proteger as camadas internas contra danos, abrasão e corrosão, bem como

promover o isolamento térmico.

2.2 Camadas Helicoidais - Linearização das Equações de Governo

As equações desenvolvidas no texto a seguir são empregadas para as camadas metálicas (armaduras de tração, carcaça e camada zeta) dos flexíveis. Estas camadas desempenham um importante papel de resistência mecânica à tração e à compressão dos dutos.

Para demonstrar o comportamento das camadas helicoidais, no que diz respeito a sua torção e tortuosidade, no seu estado inicial (totalmente descarregada e com seu eixo central totalmente reto) e deformado sob a ação de um carregamento axissimétrico, será considerada uma fita de arame enrolada de forma helicoidal sob o seu eixo axial como é observado na figura 7.

Figura 7. Fita de Arame Enrolada Helicoidalmente sob seu Eixo Axial.

Para esta configuração e condições de carregamento apresentadas é aceitável a associação entre as equações paramétricas do eixo central de uma fita de arame qualquer, às equações paramétricas de uma hélice cilíndrica de passo constante. Vale ressaltar que o comprimento do duto representado na figura 7 neste caso é igual ao passo da hélice. As equações parametrizadas da hélice de passo constante são dadas por:

L θ cos R x = , y=Rsenθ e

(

0

)

(

₀

)

tan 2π α θ θ θ θ − = − = L R z (1)

O vetor posição de um ponto qualquer na curva formada pela hélice e o comprimento de arco ds de um elemento infinitesimal estão definidos a seguir.

(

C O

)

xex yey zez rr = − = r + r + r (2) α θ θ θ θ θ cos 2 2 2 d R d d dz d dy d dx ds _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = (3)

A Figura 8 ilustra o vetor tangente em um ponto de uma curva qualquer formada no espaço. A partir dela obtêm-se a expressão correspondente ao vetor tangente a uma curva genérica no espaço.

Figura 8. Vetor Tangente em um Ponto de uma Curva qualquer no Espaço.

z y x e sen e e sen ds d d r d ds r d t r r r r r r θ _{θ α θ α α} θ =− + + =

No cálculo de vetor, as fórmulas de Frenet-Serret descrevem as propriedades dinâmicas de uma partícula que se mova ao longo de uma curva contínua no espaço tridimensional. Mais especificamente, as fórmulas de Frenet-Serret (5) são definidas pela derivação do triedro tv, nv e bv, dois a dois ortogonais, medindo a variação de cada um destes vetores ao longo da curva sem depender do sistema particular de coordenadas OXYZ que se considere.

s t b ds n d t r r r 0 0 κ κ − ′ = , n ds b d t r r 0 κ − = e n ds t dr _v 0 κ′ = (5)

Toda curva existente pode ser definida através da sua curvatura e da sua tortuosidade. O conjunto das equações (5) apresenta a definição completa da curva formada no espaço. No caso da hélice a curvatura apresenta-se constante não nula no sentido positivo ou negativo, dependendo do enrolamento, o que permite que a trajetória mantenha-se circular por toda sua extensão; e uma tortuosidade constante não nula que promove o movimento ascendente. Da terceira das equações (5) apresentadas têm-se:

(

cos , ,0

)

cos2 0 θ θ α θ θ κ sen R ds d d t d n = = − − ′r r (6)

A partir das equações (5) e (6) pode-se encontrar o vetor normal e a curvatura inicial da hélice que correspondem à:

Vetor normal ⇒ nr =−

(

cosθ,senθ,0

)

(7)

Curvatura inicial ⇒ R ds t d α κ₀′ = r = cos2 (8)

A equação do vetor binormal e da tortuosidade também podem ser encontrados através das equações de Frenet-Serret, onde tr e nr são representados respectivamente pelas equações (4) e (7).

Vetor binormal ⇒ br =tr×nr =

(

senαsenθ,−cosθ senα,cosα

)

(9)

(

cos , ,0

)

cos 0 θ θ α α θ θ κ sen R sen ds d d b d ds b d n t =− =− = − r r r Tortuosidade ⇒ R sen ds b d t α α κ 0 = = cos r ₍₁₀₎ Então: 0 0 = κ R α κ0 2 cos = ′ R sen t α α κ 0 = cos (11)

O valor de κ₀ é zero, supondo-se que as direções principais formada pela base de vetores

(

iv,vj,kv

)

da seção transversal do arame sejam coincidentes e constantes ao longo de todo o comprimento com as direções principais de curvatura

(

nr,br,tr

)

formada pelo eixo central do tendão. Esta suposição é razoável quando se trata de arames que possuam a seção transversal retangular (freqüentemente utilizados em dutos flexíveis), uma vez que estes vetores são praticamente coincidentes.

A Figura 9 ilustra uma fita de arame com sua base de vetores na seção transversal e as direções principais de curvatura (normal, binormal e tangencial).

Figura 9. Fita de Arame Helicoidal.

Aplicando o carregamento axissimétrico o arame se deforma e assume um comportamento com variação de raio e ângulo de inclinação, mas mantêm, por hipótese, uma configuração helicoidal. O novo raio pode ser representado como , o novo ângulo como R R R1 = −∆ α α

α1 = +∆ e o novo comprimento como L1 =L+∆L. As equações parametrizadas da hélice de passo variável são:

1 1 1 R cosθ x = , y1 = R1senθ1 e

(

)

₍

₎

0 1 1 1 0 1 1 1 tan 2π α θ θ θ θ − = − = L R z (12)

O vetor posição do ponto na curva deformada formada pelo hélice em função de uma carga aplicada e o comprimento de arco ds de um elemento infinitesimal é definido abaixo.

(

C O

)

x ex y ey z ez

1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 cosα θ θ θ θ θ d R d d dz d dy d dx ds = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (14)

A partir destas equações é possível encontrar-se as equações correspondentes à curvatura e à tortuosidade para a hélice deformada. O vetor tangente correspondente à curva deformada corresponde à:

z y x e sen e e sen ds d d r d ds r d t r v v r r r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 θ cosα cosθ cosα α

θ

θ =− + +

=

= (15)

De posse das fórmulas de Frenet-Serret:

t b ds n d t r r r 1 1 1 1 =κ −κ′ , _{1 1} 1 1 n ds b d t r r κ − = e _{1 1} 1 1 n ds t dr _κ′r = (16)

Da terceira das equações (16) apresentadas têm-se:

(

cos , ,0

)

cos 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 θ θ α θ θ κ sen R ds d d t d n = = − − ′r r (17)

A partir da equação (17) encontra-se o vetor normal e a curvatura da hélice deformada equivalente à:

Vetor normal ⇒ n1 =−

(

cosθ1,senθ1,0

)

r ₍₁₈₎ Curvatura ⇒ 1 1 2 1 1 1 cos R ds t d α κ′ = r = (19)

A equação do vetor binormal e da tortuosidade também são encontrados através das equações de Frenet-Serret, onde tr₁ e nr₁ são representados respectivamente pelas equações (15) e (18).

Vetor binormal ⇒ br₁ =tr₁×nr₁ =

(

senα₁senθ₁,−cosθ₁senα₁,cosα₁

)

(20)

(

cos , ,0

)

cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ α α θ θ κ sen R sen ds d d b d ds b d n t =− =− = − r r r Tortuosidade ⇒ 1 1 1 1 1 1 cos R sen ds b d t α α κ = = r ₍₂₁₎ Então: 0 1 = κ 1 1 2 1 cos R α κ′ = 1 1 1 1 cos R sen t α α κ = (22)

Lembrando-se da hipótese assumida para κ₀, o valor de κ₁ é também é definido zero, supondo-se que as direções principais formada pela base de vetores

(

iv,vj,kv

)

da seção transversal do arame sejam coincidentes e constantes ao longo de todo o comprimento com as direções principais de curvatura

(

nr,br,tr

)

formada pelo eixo central do tendão.

Fazendo-se as devidas substituições de variação de raio e ângulo de assentamento da hélice nas equações de curvatura e tortuosidade da hélice deformada, e expandindo estas

equações com as corretas simplificações obtêm-se as equações linearizadas. Assumindo-se α

∆ e R∆ com variações pequenas, sen∆α ≅ tan∆α ≅∆α e cos∆α ≅1. Curvatura de flexão na direção binormal:

R R sen R R R α α α α α κ 2₂ 2 1 1 2 1 cos 2 cos cos + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∆ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≅ = ′ (23)

Torção na direção axial da fita:

R sen R R sen R R sen t 2 2 2 cos 2 2 cos 2 1 1 1 1 α α α α α α κ ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≅ = (24)

Os momentos locais aplicados são proporcionais às mudanças na curvatura de flexão e torção, respectivamente, no limite de deformação elástica.

) (κ₁−κ₀ = EIn B ) (κ₁′−κ₀′ = ′ EI_b B ) ( _{t1 t0} GJ H = κ −κ (25)

Na primeira das equações (25):

0 =

B , pois κ1−κ0 =0 (26)

Na segunda das equações (25):

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∆ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≅ ′ R sen EI R EI R B bcos α α b 2α 2 2 ₍₂₇₎

Na terceira das equações (25): ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ≅ R GJ R GJsen R H α α cos2α 2 2 2 (28)

Os valores de rigidez dependem da forma da seção transversal da fita (circular ou retangular), já que os valores são obtidos a partir de integrações de elementos infinitesimais da seção transversal da fita. É valido ressaltar que no caso estudado, após a deformação da hélice na direção axial da fita a configuração deformada permanece como uma helicóide perfeita. A correspondente deformação axial é dada por:

E A T _ε σ = = ⇒ A E T a = ε (29)

Através do estado não deformado e deformado da fita de arame pode-se tirar relações geométricas entre deformação longitudinal e ângulo de torção. Estas relações auxiliam no cálculo de deformação da tira de arame em relação à deformação global do ângulo de assentamento e são ilustradas na Figura 10.

Figura 10. Relações Geométricas para o Arame na Condição Inicial e Deformada.

Analisando a figura 10, pode-se relacionar os senos do ângulo α para as situações inicial e deformada da fita de arame.

1 ) 1 ( 1 + − = a x sen sen _ε α α ε α α ε εa ≅ x−∆ cotg (30)

Ainda analisando a figura 10, pode-se relacionar também as tangentes do ângulo α para as situações inicial e deformada da fita de arame. Através das relações de seno e tangente obtêm-se a formulação aproximada para a deformação longitudinal do arame (ε_a) e a deformação global do flexível (ε_x).

π φ ε α α 2 1 1 1 L R R tg tg x + ∆ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∆ ≅ α α π φ ε 2 2 2 1 sen L R R x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ∆ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∆ ≅ α α α π φ ε g sen L R R a cot 2 2 2 1 (31)

A formulação de Love descreve as equações diferenciais de equilíbrio de forças e

momentos para uma fita de arame. 0 1 1+ ′+ ′= ′ − ∂ ∂ X T N S N t i κ κ 0 1 1+ + ′= − ∂ ′ ∂ Y N T S N t i κ κ 0 1 1′+ ′ + ′= − ∂ ∂ Z N N S T i κ κ (32) e 0 1 1+ ′− ′+Θ = ′ − ∂ ∂ x t i N H B S B _{κ κ} 0 1 1+ + +Θ = − ∂ ′ ∂ y t i N B H S B _{κ κ} 0 1 1′+ ′ +Θ = − ∂ ∂ z i B B S H _{κ κ} (33)

O equilíbrio da fita pode ser simplificado se todas as variações dos esforços solicitantes de forças e momentos (vide figura 11) são assumidos constantes ao longo do comprimento da fita.

Figura 11. Força e Momento Distribuídos no Arame.

Aplicando-se a hipótese acima mencionada, juntamente com as equações (11), (22) e a (26), as equações (32) e (33) são simplificadas a:

0 1 1+ ′+ ′= ′ −Nκt Tκ X 0 1+ Y′= Nκ_t 0 1+ ′= −Nκ Z (34) e

0 1 1+ ′ − ′+Θ = ′ −Bκ Hκ_t N _x 0 = Θ + _y N 0 = Θ_z (35)

A terceira das equações (35) define que nestas condições, a componente de momento distribuído na direção axial é zero, ou seja, não existe nestas condições um torque aplicado à estrutura. Considerando-se que na fabricação das camadas helicoidais os arames de uma determinada camada sejam instalados de modo a não existir contato nem atrito entre eles, isso faz com que Y ′ e Z′ sejam nulos. Assim, a resultante dos esforços cortantes

na direção normal é zero, com isso, o momento fletor na direção binormal distribuído na segunda das equações (35) também vale zero.

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = Θ = = ′ − ′ + ′ − = ′ = ′ = ′ + ′ + ′ − 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 B N H B Z Y X T N t t κ κ κ κ (36)

Isolando-se N na terceira das equações acima, e substituindo este valor na primeira equação acima, o valor de

′

X ′ é encontrado. Com isso encontra-se a força

distribuída na fita de arame.

1 1 κ κ + ′ ′ − = ′ B H N t 1 1 1 1 ) (− ′κ + κ′ κ − κ′ = ′ B H T X _{t t}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + − ∆ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − ∆ = ′ 3 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 cos 2 cos 4 2 cos cot 2 cos 2 2 cos cos ) ( 4 cos 2 R sen GJ R sen EI R g EA Rsen EA R EAL R EA GJ EI R sen R X b b α α α α α α α α α π α φ α α α (37)

i. Diferença de Pressão entre as Camadas

A pressão distribuída na fita de arame pode ser aproximada por X′ b′, e pode ser considerada como sendo a diferença entre as pressões de contato das camadas interna e externa a fita. b X q q_ext ′ ′ = − _int (38)

A partir da equação (37), encontra-se a equação linear referente à diferença de pressão entre as camadas adjacentes à fita.

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′ + ′ + ′ − ∆ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ + − ′ − ∆ = − 3 2 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 int 2 2 cos 2 cos 4 2 cos cot 2 cos 2 2 cos cos ) ( 4 cos 2 R b sen GJ R b sen EI R b g EA sen R b EA b R EAL R b EA GJ EI R b sen R q q b b ext α α α α α α α α α π α φ α α α (39)

ii. Força Axial na Camada Helicoidal

Somando-se todas as componentes de força axial atuante em cada uma das fitas de arame ( T ) que compõem a estrutura, o resultado corresponde à equação de força global para as camadas helicoidais. É importante ressaltar que em qualquer tipo de carregamento

aplicado ao flexível, todas as fitas de arames que compõem uma mesma camada helicoidal assumem as mesmas deformações.

) cos (T senα₁ N α₁ m F_h = _s + ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ∆ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − ∆ = π α φ α α α α α α α α α α α α 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 2 cos 2 2 3 2 2 3 3 3 3 sen EAL m R GJ m R sen EI m EA m EA m R sen GJ m R sen EI m R sen EA m R F s s b s s s s b s s h (40)

iii. Momento Torsor na Camada Helicoidal

Somando-se todas as componentes de momento torsor atuante em cada uma das fitas de arame que compõem a estrutura, o resultado é a equação de momento torsor global para as camadas helicoidais.

(

Hsenα1 B cosα1 T(R R)cosα1 N (R R)senα1

)

m Mh = s + ′ + −∆ − ′ −∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − + − ∆ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − ∆ = π α φ α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α 2 cos 2 2 n cos 2 cos cot cos cos 2 2 cos cos 2 cos 2 ) ( cos 2 2 2 2 2 3 2 2 2 LEAR m R se sen EI m R sen GJ m g EAR m sen EAR m R sen EI m R sen GJ m R EI m R sen sen GJ EI m EA m R sen sen GJ m R M s b s s s s b s s b s b s s s h (41)

iv. Pressão de Contato Média entre as Camadas

As camadas de arame quando submetidas ao carregamento axissimétrico exercem pressões sobre uma camada adjacente a elas. Estas pressões de esmagamento exercidas podem ser estimadas pelo um valor médio entre as pressões encontradas imediatamente na face superior e inferior a fita de arame (vide figura 12). Como o material destas camadas foi considerado elástico linear para pequenas deformações, isótropo e homogêneo as equações constitutivas de pressão de contato entre as camadas helicoidais resultam diretamente da aplicação da lei de Hooke.

Figura 12. Pressões e Carga Axial Atuante no Arame.

A T E _a a = ε = σ a t t t _υε ε =−∆ =− t ext t E q q _ε σ = + = 2 int

(

t a

)

t E σ υσ ε = 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ − = + t t E A T q qext υ 2 int (42)

2.3 Camadas Cilíndricas Homogêneas - Equações de Governo

Este tópico apresentara as equações gerais de equilíbrio para a modelagem das camadas cilíndricas do flexível. As camadas plásticas são modeladas como dutos de paredes esbeltas, elásticos lineares e homogêneos. Isolando-se um elemento infinitesimal constituinte da parede cilíndrica submetida a um carregamento, e somando-se as componentes dos estados de tensões normais e cisalhantes atuantes nas respectivas direções axial à camada, radial e circunferencial, tem-se:

Figura 13. Distribuição de Tensões em um Infinitesimal da Parede Cilíndrica.

Somatório de forças na direção X:

0 = ΣF_cx 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + − dx Rtd tdx d tdx x d t R x x x _θ θ τ τ τ θ σ σ θ σ 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ θ τ σ R x x

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ s x x τ σ (43)

Somatório de forças na direção Y:

0 = ΣFc_y 0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − θ τ θ τ τ θ θ σ σ σ θ θ θ dx Rt d x d t R dx t d dx t_{e e e e} 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x R τ θ σ_θ 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ x s τ σ_θ (44)

Somatório de forças na direção Z:

0 = ΣFc_z

(

_int −

)

=0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + θ θ θ θ σ σ θ θ d tdxd q qext dxRd

(

q q

)

R t= _int − _ext θ σ (45)

Para as tensões normais e cisalhantes serem soluções das equações as condições no contorno do duto devem ser satisfeitas.

Condições na fronteira do duto: e c x t R F π σ 2 = R t q q e ext − = int θ σ e c t R M 3 2π τ = (46)

As deformações no duto são assumidas uniformes e todas as camadas se deformam ualm ig ente. L L x ∆ = ε R R ∆ − = θ ε e e r t t ∆ = ε R φ γ = (47)

o radial pode ser expressa pela média das pressões internas e externas A tensã atuantes no duto.

(

ext

)

r = qint +q 2 1 σ (48)

As equações da relação tensão-deformação são dadas pela generalização da lei de Hooke.

(

x r

)

x E σ υσ υσ ε = 1 − _θ −

(

r x

)

E σ υσ υσ ε_θ = 1 _θ − −

(

σ υσ υσθ

)

εr = r − x − E 1 τ γ G 1 = (49)

Resolvendo as equações (49) para os valores de tensão e assumindo que as tensões de cisalhamento sejam tomadas como zero, tem-se:

(

)

(

)(

)

(

)(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − + − + − = _{x r} x E _{ε ε} υ υ ε υ υ υ σ _θ 1 2 1 1 1

(

)

(

+

)(

−

)

⎢_⎣⎡ +

(

−

)(

+

)

⎥_⎦⎤ − = x r E _{ε ε} υ υ ε υ υ υ σ_{θ θ} 1 2 1 1 1

(

)

(

)(

)

(

)(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − = ε ε_θ υ υ ε υ υ υ σ_r E _{r x} 1 2 1 1 1 (50)

Substituindo as equações (46), (47) e (48) nas equações (50), encontra-se a relação de força, momento e pressão globais atuantes nas paredes duto.

(

)

(

₊

)(

₋−

)

⎢_⎣⎡ +

(

₋

)

_⎝⎜⎜⎛∆ −∆ _⎠⎟⎟⎞_⎦⎤⎥ = R R t t E t R F e e x e c _υ υ ε υ υ υ π 1 2 1 1 1 2 (51)

(

)

(

)(

)

⎢_⎣⎡

(

)

⎟⎟⎥_⎦⎤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ − − ∆ − + − = − e e e ext t t L L R R R E t q q υ υ υ υ υ 1 2 1 1 1 int (52)

(

)

(

)(

)

⎢_⎣⎡

(

)

⎟⎠⎥_⎦⎤ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∆ ₋∆ − + ∆ − + − = + R R L L t t E q q e e ext _υ υ υ υ υ 1 2 1 1 1 2 int (53) φ π e c G R t M = 2 3 (54)

2.4 Equação de Compatibilidade Geométrica

Para a realização do problema deve-se considerar as equações que fazem referência a compatibilidade geométrica entre camadas adjacentes. As condições de compatibilidade determinam que os deslocamentos das extremidades de todas as camadas adjacentes nas direções radial, circunferencial e axial são iguais, ou seja, as camadas adjacentes devem possuir o mesmo deslocamento nessas direções. Como não será estuda a formação de gap entre as camadas, será admitido que elas permaneceram em contato tanto no estado inicial como no deformado (gap igual a zero). Para descrever a compatibilidade geométrica será utilizada uma relação entre espessuras e raios médios de camadas adjacentes.

i i i i R t t R −∆ =∆ +∆ ∆ + + 2 1 1 (55)

2.5 Equações de Equilíbrio Globais do Flexível

As últimas duas equações globais que completam o problema são dadas pela relação entre as forças e momentos atuantes em todas as camadas que compõem a estrutura

flexível. A equação de força global de equilíbrio para o flexível é composta por uma combinação das cargas existentes em cada uma das camadas.

∑

= = m i i g F F 1 (56)

Já a equação geral de equilíbrio de momentos é dada por:

∑

= = m i i g M M 1 (57)

3. ESTUDO DE CASOS

A partir do conhecimento de toda a teoria que envolve o problema da análise axissimétrica de dutos flexíveis e cabos umbilicais, é possível então prosseguir para a parte prática do problema. Neste capítulo serão analisados os resultados obtidos da ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho para um cabo umbilical com quatro camadas. Em razão das dificuldades existentes em se projetar um duto multicamadas devido à quantidade de equações e incógnitas a combinar, foi analisado um duto flexível de oito camadas com auxílio do programa desenvolvido por Custódio em sua tese de mestrado (1999). Este desenvolveu uma ferramenta computacional capaz de dimensionar a estrutura de um riser, que permite estudar o carregamento resultante atuante em cada uma das camadas constituintes do tipo de estrutura a ser analisado.

3.1 Duto Flexível

Pelo programa de Custódio foi analisada a seção de um duto flexível publicada por Witz e Tan (1992), vide propriedades do duto na tabela 1. Os dados fornecidos desta estrutura foram simulados na ferramenta computacional e seus resultados foram analisados e comparados para situações em cargas de tração e compressão. As cargas de tração podem ser representa a condição do flexível próximo à unidade flutuante. Supõe-se que não existam cargas de pressões e considera-se apenas uma carga de tração axial. Já as cargas de compressão são representadas durante a instalação da linha devido o movimento de ondas.

Tabela 1. Propriedades do Duto Flexível Analisado.

Camadas D_ext (m) Dint (m) Espessura (m) Propriedades External Sheath 0,1115 0,1105 0,0005 E _{= 20,2 MPa}

υ _{= 0,35}

External Armour 0,1105 0,1045 0,003 E _{= 200 GPa}

υ _{= 0,29}

α = 34,9999o

s m = 44 Rilsan Tape 0,1045 0,1015 0,0015 E _{= 1,2 MPa}

υ _{= 0,42}

Internal Armour 0,1015 0,0955 0,0015 E _{= 200 GPa}

υ _{= 0,29}

α = -34,9999o

s m = 40 Riser Tape 2 0,0955 0,0925 0,0015 E _{= 1,2 MPa}

υ _{= 0,42}

Zeta Layer 0,0925 0,0801 0,0062 E _{= 200 GPa}

υ _{= 0,29}

α = -85,4998o

s m = 2

Grilamid Barrier 0,0801 0,0702 0,00495 E _{= 84,1 MPa}

υ _{= 0,42}

Stainless Carcass 0,0702 0,0552 0,0075 E _{= 200 GPa}

υ _{= 0,29}

α = -87,4998o

s m = 1

Abaixo é apresentado o arquivo de entrada do programa:

Slender Composite Structure Response Estimation Program

--- Anderson Barata Custodio, COPPE, Federal University of Rio de Janeiro Input data:

Input file for this analysis : WitzFlexiblePipe,dat File containing material database : ,/database/materials,dat File containing layer database : ,/database/layers,dat File containing joint database : ,/database/joints,dat General output file : WitzFlexiblePipe,out Joint index number : 2

Joint name : 2 1/2" FLEXIBLE PIPE FROM WITZ'S PAPER Joint type : flexible pipe

External diameter : 0,1115 Internal diameter : 0,0552 Number of layers : 8 Internal boundary condition : internal pressure Weight per unit length : 30,7635 Internal fluid pressure : 0 Internal elastic foundation stiffness : 0 Added axial stiffness (from core, etc) : 0 Added torsional stiffness (,,,) : 0

i. Cálculo de Limite de Lançamento

Pode-se calcular através da engenharia da seção transversal do riser a profundidade máxima a qual os arames suportariam serem lançados. Estes cálculos são importantes quando se pretende estudar a formação da seção transversal do duto, pois à medida que as águas mais profundas são exploradas ocorre um aumento no peso da linha, em função da

maior parcela de linha suspensa. Para suportar esse peso acrescido seria então necessário aumentar a seção transversal dos arames, o que não é uma prática aconselhável em alguns casos, pois a uma determinada profundidade pode ser que a seção transversal dimensionada seja tão grande que a estrutura não suportaria o próprio peso da linha suspensa e romperia. Ou, que o projeto desta nova estrutura não seja mais viável em função da grande quantidade de material utilizado. Nesses casos opta-se por trabalhar com materiais mais resistentes, com maiores tensões admissíveis como é o caso dos aços especiais.

Estes cálculos são apresentados a seguir para o duto flexível analisado.

GPa E =207

No duto analisado, para que ocorra uma deformação axial, da armadura de tração mais interna, equivalente à é necessário que seja aplicado uma carga de tração no flexível de (vide figura 18). Pela lei de Hooke, é possível determinar a tensão axial no arame dada por

0,0004682 kN 100 MPa 96,917 = a

σ . Conhecida a tensão axial no arame pode-se determinar a tensão atuante na armadura por unidade de força:

N MPa x

T

a=σa =96,917 10−5

Assume-se uma tensão de escoamento do material equivalente à σ_e =207MPa e das características do flexível W =307,635N m. Este peso corresponde ao “peso seco” por unidade de comprimento para o cabo flexível. Para o cálculo de lançamento da linha é necessário obter o “peso molhado”, este é facilmente obtido descontando-se a parcela de empuxo imposta à seção transversal do duto.

m N W_w =209,453

A profundidade de lançamento é então estimada por: m a W h w e 816 , 679 5 , 1 =

= σ , onde o fator 1,5 corresponde a um fator de segurança de 50% imposto em função da carga dinâmica do riser.

Para a seção apresentada, utilizando-se aço comum (material mais comumente utilizado - aço carbono galvanizado) na fabricação das suas camadas helicoidais esta estrutura só poderia ser lançada até aproximadamente de profundidade. Visando operar para com esta mesma seção transversal em profundidades superiores, como mencionado anteriormente, deve-se trabalhar com aços de maiores tensões de escoamentos na fabricação das camadas helicoidais. A figura 14 apresenta a relação entre o aumento da tensão escoamento do aço utilizado nas camadas helicoidais e a profundidade de lançamento alcançada pela linha flexível sem que ela se rompa.

m

680

Portanto, à medida que são utilizados aços de maiores resistências no projeto de uma estrutura flexível, pode-se trabalhar em águas cada vez mais profundas sem que seja necessário aumentar a seção transversal da linha para evitar o rompimento da mesma.

ii. Análise de Resultados

A partir dos dados de saída do programa foram elaborados gráficos para os tipos de casos analisados.

A figura 15 ilustra o comportamento do duto com a aplicação de uma força de tração e outra de compressão. À medida que se aplica uma força gradual à estrutura, a deformação longitudinal global também aumenta em módulo nos dois casos de carregamento. Na ilustração 15 percebe-se que a deformação axial do duto para a tração é muito menor do que a deformação axial para a compressão. Isso é natural que aconteça, pois no caso desta seção analisada somente a capa externa pode restringir a deformação radial quanto à compressão. Ou seja, a rigidez é muito maior para tração.

Figura 15. Carga Axial x Deformação Longitudinal Global.

Os valores de rigidez axial abaixo são relativos a uma carga axial de 40 . No caso de tração a deformação radial é limitada pela carcaça intertravada.

kN kN F EA x g T = _ε =129,41 e kN F EA x g C = _ε =1,26

A figura 16 representa o comportamento do duto quanto ao ângulo de torção ao ser aplicada uma carga de tração e outra de compressão. À medida que se aplica uma força

gradual à estrutura, a deformação torcional global também aumenta em módulo nos dois casos de carregamento.

Na figura 16, pode-se perceber que ao ser aplicado um carregamento de tração o

riser apresenta um giro global no sentido negativo, diferentemente do giro global resultante da estrutura quando se aplica uma carga compressiva, onde o giro resultante é positivo. Apesar de não existir nenhum momento aplicado à estrutura é de fácil compreensão que ela apresenta esse deslocamento torcional devido à diferença no número de arames e nos raios médios das camadas helicoidais. A força transferida para cada camada faz com que à medida que os arames se deformem na direção axial cada um destes elementos sofra um deslocamento torcional no sentido do enrolamento do mesmo. Portanto, a deformação global torcional da estrutura tenderá a se propagar no sentido da deformação resultante de todas as camadas helicoidais do duto. A deformação torcional do duto para a tração é muito menor do que a deformação torcional para a compressão, ou seja, a rigidez torcional do duto apresenta uma melhor resposta para as cargas de tração. Isto também ocorre pois no caso desta seção analisada somente a capa externa restringi a deformação radial quanto à compressão.

Figura 16. Carga Axial x Deformação Torcional Global.

Diferentemente da referência utilizada para este projeto, Custódio apresenta como ângulo de assentamento o ângulo do vetor tangente à fita de arame durante seu enrolamento e a geratriz do duto.

Na figura 17 as cargas de tração provocam a redução do ângulo da assentamento das armaduras e conseqüente aumento do passo. Já as cargas compressivas provocam um aumento do ângulo de assentamento e conseqüente diminuição do passo. As variações percentuais das armaduras interna e externa são muito próximas em escala, assim como as variações percentuais das camadas zeta e da carcaça intertravada de aço, aparecendo no gráfico estes pares de camadas com suas curvas de variação de pressão muito próximas. Isso ocorre em função dos seus valores aproximados de ângulos de assentamento e raio médio das camadas serem muito parecidos.

Com a aplicação de uma força compressiva, as camadas helicoidais tenderiam se fechar como uma mola compacta apresentando um ângulo de assentamento próximo dos e um passo muito pequeno. Isso justifica as maiores deformações apresentadas no gráfico durante a compressão para as armaduras, enquanto a camada zeta e a carcaça pouco se alteram, pois seus ângulos são próximos do limite.

o 90

Na carga de tração a variação do ângulo de assentamento é menor entre as camadas, onde os ângulos diminuem e ocorre um aumento do passo. Em função da menor deformação axial na tração a variação dos ângulos das camadas helicoidais apresenta-se muito menor quando comparada à compressão, torna as curva na tração praticamente sobrepostas.

A figura 18 ilustra o comportamento das camadas helicoidais, cuja principal função é proporcionar resistência axial e torcional ao duto garantindo a sua integridade estrutural, à medida que é aplicada uma carga de tração crescente. A maior deformação para uma mesma carga de tração aplicada se encontra na camada de armadura de tração mais interna. Isto acontece em função:

1. Menor número de arames presente na camada - Com menos arames a seção apresenta menor área seccional e conseqüentemente maior deformação.

2. O menor raio da camada - Como a seção apresenta um menor raio e a deformação longitudinal global do duto é assumida constante para todas as camadas, as camadas helicoidais mais internas apresentam uma maior deformação axial para conseguir o mesmo nível de deformação global da estrutura.

A figura 19 apresenta a variação de pressão entre as camadas do duto flexível. Na estrutura dos flexíveis, as camadas helicoidais são as principais responsáveis pela absorção do carregamento aplicado. Já as camadas homogêneas pouco absorvem o carregamento aplicado, ou seja, transmitem praticamente toda a carga recebida para as camadas adjacentes a estas, sendo sua carga absorvida praticamente nula.

Quando o riser está sujeito a uma carga de tração as armaduras tentam esmagar as camadas internas do duto, sendo assim, as camadas que mais absorvem esse carregamento são justamente a zeta e a carcaça que tentam evitar o colapso da estrutura como pode ser visto na figura. A variação de pressão das armaduras de tração aparece negativa na figura, devido a sua função de esmagamento, onde transmitem para as camadas inferiores uma carga superior aquela à que estão sendo submetidas pelas camadas superiores.

Submetendo-se a estrutura a uma carga compressiva as camadas que apresentam as maiores variações de pressão externa e interna correspondem à camada zeta e a carcaça intertravada. Essas camadas sofrem grandes variações de pressão, pois transmitem uma carga elevada, ao tentarem se deslocar radialmente para fora do duto. Na compressão o duto tende a aumentar seu raio e diminuir seu comprimento, portanto para que a linha mantenha-se estável sob esmantenha-se carregamento deve haver uma camada que restrinja esmantenha-se deslocamento radial. No caso do duto analisado trata-se da capa externa, que sofre uma pequena variação de pressão já que sendo feita de polímero transmite quase toda a carga recebida, tornando a absorção praticamente nula e neste caso negativa.

As armaduras de tração também absorvem pouca carga, pois não são projetadas para restringir o aumento radial da linha. Um modo de falha frequentemente ocorrido nesta estruturas acontece quando a carga de compressão é excedida do limite de estabilidade da linha provocando danos às armaduras.

Figura 19. Carga Axial x Variação Pressão entre as Camadas.

Na figura 20 estão representadas as pressões de contato entre as camadas do duto flexível. Quando o riser está sujeito a uma carga de tração as armaduras de tração tentam esmagar as camadas internas do duto e isso faz com que as pressões de contato entre as camadas adjacentes às armaduras sejam maiores do que as pressões de contato entre as camadas mais internas do duto. No caso da capa externa as pressões de contato aparecem praticamente nulas, pois ela não é projetada para exercer um esmagamento sobre a armadura externa. Já a na carcaça esse valor é zero, pois não existe nenhuma pressão interna ao duto.

Aplicando-se a estrutura uma carga compressiva as maiores pressões de contato encontram-se nas camadas adjacentes à carcaça (zeta e barreira plástica), uma vez que suportam o carregamento imposto pela carcaça intertravada quando tenta aumentar seu

diâmetro. Como as armaduras de tração não apresentam mais a função de esmagamento da estrutura elas tentam aumentar o seu diâmetro, sendo restringidas apenas pelas camadas plásticas imediatamente superiores, tornando as pressões nas camadas plásticas maiores que nas armaduras.

Figura 20. Carga Axial x Pressão de Contato.

3.2 Cabo Umbilical

A estrutura analisada pela planilha desenvolvida neste projeto corresponde a um cabo umbilical. As equações explicitadas nos itens 2.2 e 2.3 foram equacionadas de forma a encontrar e analisar a solução para um problema de cargas axissimétricas impostas a um cabo umbilical. As propriedades do flexível analisado são apresentadas na tabela 2, com exceção do núcleo eletro-hidráulico localizado sob a camada plástica interna.