UMA NOVA TÉCNICA PARA OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE GRANDE PORTE. José Miguel Aroztegui Massera

UMA NOVA TÉCNICA PARA OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE GRANDE PORTE

José Miguel Aroztegui Massera

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________ Prof. José Herskovits Norman, D.Ing.

________________________________________________ Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Antonio André Novotny, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Alfredo Rocha de Faria, Ph. D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 2006

MASSERA, JOSÉ MIGUEL AROZTEGUI Uma Nova Técnica para Otimização de Es- truturas de Grande Porte [Rio de Janeiro] 2006

XI, 80 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Mecânica, 2006)

Dissertação - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Otimização estrutural 2. Análise de sensibilidade

3. Interface com programas comerciais I. COPPE/UFRJ II. Título (série)

Agradecimentos

Ao professor Herskovits, pelo apoio e pelas orientações, fundamentais para a realização deste trabalho.

Aos colegas do Laboratório Optimize, pelo apoio e sugestões.

Á minha família, um pouco dispersa, que sempre me apóia em todos os desafios. Ema, Carmen, Francisco, Julián e Arianna.

À minhas amigas Carmen Nilda, Paula e Jussara, pelo apoio em momentos difíceis.

Ao colega Alexandre, por suportar-me (prometo não quebrar mais nada).

Aos amigos Evandro e Ana Paula, por receber-me em seu apartamento, sua compreensão e alegrias. Ao Jonatás (não se insibe! Jonatás), por sua amizade e Silvério (my son), pelos chopes no sindicato.

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

UMA NOVA TÉCNICA PARA OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE GRANDE PORTE

José Miguel Aroztegui Massera

Junho/2006

Orientador: José Herskovits Norman

Programa: Engenharia Mecânica

Nesta tese se propõe uma nova técnica de otimização estrutural de grande porte baseado no algoritmo FAIPA (“Feasible Arc Interior Point Algorithm”). A presente metodologia exige poucos recursos computacionais dado que utiliza a técnica de Memória Limitada e não necessita do cálculo e armazenamento explícitos da matriz de sensibilidades, utilizando-se apenas do cálculo de uma derivada direcional das restrições e da derivada de uma função auxiliar definida como uma combinação linear das restrições. Em certas hipóteses, a técnica de otimização proposta apresenta-se eficiente em relação ao número de análises estruturais realizadas.

Propõe-se um programa de computador que implementa esta nova técnica e aplica-se ao problema de mínimo volume com restrições locais de tensão. Tal programa inclui uma interface que permite a utilização de códigos (comerciais) de análise estrutural. Por último, apresentam-se resultados numéricos de aplicação da técnica desenvolvida.

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M. Sc.)

A NEW TECHNIQUE FOR LARGE-SCALE STRUCTURAL OPTIMIZATION

José Miguel Aroztegui Massera

June/2006

Advisor: José Herskovits Norman

Department: Mechanical Engineering

This work proposes a new technique of large structural optimization based on FAIPA (“Feasible Arc Interior Point Algorithm”). The present method requires modest computational resources because it uses the Limited Memory Technique and requires neither calculating nor storing explicitly the sensitivity matrix. It merely requires the computation of a directional derivative of the constraints and of an auxiliary function defined as a linear combination of the constraints. Under certain assumptions, the optimization technique proposed is very efficient with regard to the number of structural analyses performed.

This new technique is coded and applied to solve the problem of minimum volume subjected to stress constraints. This program includes an interface that allows the use of commercial finite element codes. Finally, numerical results are presented using the technique proposed.

ÍNDICE

1 – Introdução 1

1.1 – Motivação 1

1.2 – Objetivos 4

1.3 – Organização do trabalho 4

2 – Formulação do problema de otimização 6

2.1 – Introdução 6 2.2 – Modelo estrutural 7 2.2.1 – Estrutura plana 7 2.2.2 – Elementos Finitos 8 2.2.3 – Apoios e carregamento 9 2.2.4 – Vetor de deslocamentos 10 2.2.5 – Matriz constitutiva 11 2.2.6 – Matriz de rigidez 11 2.2.7 – Equação de equilíbrio 12

2.2.8 – Cálculo da tensão de Von Mises 12

2.3 – Estrutura viável 14

2.4 – Problema de otimização 15

2.4.1 – Variáveis de projeto 15

2.4.2 – Função objetivo 15

2.4.3 – Funções de restrição de tensão 15 2.4.4 – Funções de restrição de caixa 16

2.4.5 – Função de restrições 16

2.4.6 – Formulação do problema 17

3 – FAIPA: Algoritmo de Pontos Interiores por Arcos Viáveis 19

3.1 – Introdução 19

3.2.1 – Região viável 20 3.2.2 – Conjunto de restrições ativas 20

3.2.3 – Direção viável 20

3.2.4 – Direção de descida 21

3.2.5 – Mínimo local, mínimo local estrito 21 3.2.6 – Função lagrangeana, hessiana 21 3.2.7 – Ponto regular, espaço tangente 22

3.3 – Condições de otimalidade 23

3.4 – FAIPA 25

3.5 – Descrição do FAIPA 31

3.6 – Sistemas lineares do FAIPA 32

4 – Análise de Sensibilidade 33

4.1 – Introdução 33

4.2 – Gradientes 34

4.3 – Derivada de uma restrição de tensão 35

4.3.1 – Notas iniciais 35

4.3.2 – Método da diferenciação direta 37

4.3.3 – Método da variável adjunta 37

4.3.4 – Aspectos computacionais 38

4.4 – Produto do gradiente das restrições por vetor 39

4.4.1 – Notas iniciais 39

4.4.2 – Cálculo do produto

( )

∇g Tz 40

4.4.3 – Cálculo do produto

( )

∇g v 42

5 – Técnicas de otimização de grande porte 46

5.1 –Introdução 46

5.2 – Primeira técnica 47

5.3 – Técnica de otimização de grande porte 48

5.3.1 – Método de Memória Limitada 48

5.3.1.2 – Representação de memória limitada para a inversa da Hessiana (B−1) 51 5.3.2 – Método do Gradiente Conjugado pré-condicionado 52

5.4 – Metodologia proposta 53

5.4.1 – Sistemas lineares do FDIPA 53

5.4.2 – Método do Gradiente Conjugado pré-condicionado pela matriz quase-Newton de memória limitada

54

5.4.3 – Produtos da matriz de sensibilidades ∇g

( )

x e

[

∇g

( )

x

]

T por vetor 54 5.5 – Discussão sobre a complexidade de cálculo 55

6 – Implementação Computacional 56

6.1 – Introdução 56

6.2 – Arquitetura do sistema 57

6.2.1 – Introdução 57

6.2.2 – Componentes 57

6.2.2.2 – Implementação do módulo dif 58 6.2.2.3 – Implementação do módulo interface 59 6.2.2.4 – Programas de análise estrutural utilizados 59

6.2.3 – Ferramentas 61

6.2.4 – Programas 62

6.3 – Implementação com ABAQUS 62

6.3.1 – Introdução 62

6.3.2 – Sub-rotinas do módulo int_abq 62

6.3.3 – “Scripts” Python 64

6.4 – Implementação com DLEARN 64

6.4.1 – Introdução 64

6.4.2 – Sub-rotinas do módulo int_dln 65

6.4.3 – Rotina MA27 (HSL) 66

7 – Resultados Numéricos 67

7.1 – Introdução 67

7.2 – Exemplo 1 69

8 – Conclusões e Propostas 76

8.1 – Conclusões 75

8.2 – Propostas de investigação 77

Referências Bibliográficas 79

Lista de símbolos

a Área de um elemento finito, pág. 7.

( )

r

c Número de estado de carregamento associado a restrição r, pág.17. d

d d

d, ₀, ₁,~ Direções, d,d₀,d₁,d~∈ℜn, pág. 20, 26 e 27. e Vetor coluna de componentes unitárias, pág.16.

( )

r

e Número de elemento associado a restrição r, pág.17.

f Função objetivo, f :ℜn →ℜ, pág.15. g _{Vetor de restrições,}

( )

[

( )

( )

]

T m x g x g x g = _{1 L} , pág.16. r g Função de restrição r, g :_r ℜn →ℜ, pág.17. 2 1+

i Soma de iterações do Método do Gradiente Conjugado do primeiro e do segundo sistema linear do FDIPA, pág. 55.

k Matriz de rigidez do elemento, pág. 11.

l Função de Lagrange,

( )

( )

∑

( )

= + = m i i ig x x f x l 1 ,λ λ , pág. 21. m Número de restrições, pág.16.

n Número de variáveis de projeto, pág. 7.

p _{Vetor de carregamento,} Ngl

p∈ℜ , pág.12. A

q Número de pares da técnica de memória limitada para representar a inversa da matriz dual do FAIPA, pág. 50.

B

q Número de pares da técnica de memória limitada para representar a inversa de B , pág. 51.

t Passo da busca linear, t>0, pág. 28. u Vetor de deslocamentos globais, ngl

u∈ℜ , pág 10. ℜ ∈

[ ]l

u Vetor de deslocamentos global associado ao carregamento l, pág 15. x Variáveis de projeto, x=

[

x₁ x_{2 L} x_{i L} x_n

]

T, pág. 7.

∗

x Mínimo local, _x∗∈ℜn_{, pág. 21.} i

x Espessura do elemento i, pág. 7.

A Matriz dual simétrica do FAIPA, pág. 49. B Matriz quase-Newton da Hessiana, pág. 26.

D Matriz constitutiva do material elástico linear, pág. 11.

E Módulo de Young, pág. 11.

G Graus de liberdade da estrutura, G=G₀∪G_a, pág. 8.

0

G Graus de liberdade de nós fixos (Apoios), pág. 9. a

G Graus de liberdade de nós livres, pág. 9.

( )

x

G Matriz diagonal,

(

G

( )

x

)

_ii = g_i

( )

x ,

(

G

( )

x

)

_ij = 0sei≠ j, pág. 26. A

H

Representação de A pela técnica de memória limitada através dos −1 pares

{

_i, _i

}

_{i=r−q ,...,r−1} A y s , pág. 51. B H

Representação de B−1 pela técnica de memória limitada através do pares

{

_i, _i

}

_{i=r−q ,...,r−1} B y s , pág. 51. I Matriz identidade, pág. 50.

( )

x

I Conjunto de índices de restrições ativas,

_{( )}

{

_{

_{} ( )}

}

0 , , 2 , 1 = ∈ = r m g x x I _{K r} , pág. 20. K Matriz de rigidez, pág. 11. i

K Matriz de rigidez global do elemento i, pág. 11.

L Matriz Hessiana,

( )

( )

∑

( )

= ∇ + ∇ = m i i i g x x f x L 1 2 2 ,λ λ , pág. 22. i M Matriz do elemento i, T T _i i i Q T VTQ M ≡ , pág.14. e

N Número de nós por elemento, pág 8. p

N Número de nós da estrutura, pág 8.

NGL Número de graus de liberdade ativos, NGL=card

( )

G_a , pág 9. NEC Número de estados de carga, pág.15.

i

Q Matriz de transformação de coordenadas do elemento i, pág. 10.

( )

x

R_C Conjunto de restrições críticas, pág. 38. S Matriz de deformação-deslocamento, pág.13. 1 0, ,λ λ λ Multiplicadores de Lagrange, λ,λ₀,λ₁∈ℜm, pág.21, 26 e 27. σ

v Coeficiente de Poisson, pág. 11. Σ Região plana, Σ⊂R2, pág. 6.

Ω Região viável, Ω=

{

x∈ℜn g

( )

x ≤0

}

_{, pág. 20.}

Λ Matriz diagonal,

( )

Λ _ii =λ_i,

( )

Λ _ij =0sei≠ j, pág. 26. χ _{Curva viável e de descida,} χ_:ℜ→ℜn

, pág. 27.

( )

C

card Número de elementos do conjunto C .

( )

v

diag Matriz diagonal,

(

diag

( )

v

)

_ii = , v_i

(

diag

( )

v

)

_ij = 0 sei≠ j, pág. 26.

( )

A

lower A∈ℜn×n, A_ij =

(

lower

( )

A

)

_ij sei≤ j, e

(

lower

( )

A

)

_ij = 0se i> j. T

• Transposta de uma matriz ou vetor.

( )

x

ℑ Espaço tangente, pág. 22.

( )

x g

∇ Matriz de sensibilidade, pág. 22.

CAPÍTULO 1

Introdução

1.1 – Motivação

A fase de projeto constitui uma etapa fundamental para a concepção de um produto de engenharia. O processo tradicional de projeto tem se amparado na experiência, habilidade e intuição de engenheiros. Esta atividade caracteriza-se como um processo de tentativa e erro, onde a melhoria e viabilidade do produto são obtidas a um alto custo.

No projeto de sistemas complexos se requer de grande volume de cálculo, processamento de dados e intercomunicação entre várias disciplinas. Constitui um desafio projetar sistemas eficientes e econômicos sem que isto comprometa a integridade do produto final. O objetivo da otimização em engenharia é obter projetos mais eficientes e ao mesmo tempo seguros.

Na indústria automotiva, por exemplo [1], a principal atividade de desenvolvimento está concentrada no aperfeiçoamento de estruturas existentes, tornando-as mais leves, mais duráveis, mais seguras, menos ruidosas, etc.

Hoje em dia, sistemas computacionais oferecem uma grande capacidade de cálculo e transferência de dados fazendo possível a construção de sistemas complexos através de simulações. Isto permite uma redução do custo de desenvolvimento e manufatura do produto. O engenheiro pode utilizar programas de projeto assistido por computador (CAD: “Computer Aided Design”) para a modelagem geométrica e de engenharia assistido por computador (CAE: “Computer Aided Engineering”) para realizar análises e simulações. Contudo, a integração destas ferramentas em um

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é implementado eficientemente em programas comerciais de análise estrutural. As equações diferenciais que modelam o problema estrutural são traduzidas em equações variacionais e logo resolvidas pelo MEF. O domínio estrutural é discretizado em um conjunto de elementos aos quais se impõe uma condição de equilíbrio. Mediante um procedimento de montagem, se constrói um sistema linear de equações que representa a configuração de equilíbrio no domínio discretizado cujas respostas estruturais (deformação, tensão, etc.) são obtidas a partir da resolução destes sistemas. A precisão do método dos elementos finitos pode ser melhorada com a diminuição do tamanho do elemento ou a utilização de um elemento de maior ordem de aproximação [2].

A aplicação do método dos elementos finitos em problemas estruturais simples é facilmente programável, no entanto existem grandes benefícios na utilização de programas comerciais:

1. Os sistemas lineares são resolvidos por métodos eficientes e gerais. 2. Dispõem de uma biblioteca (grande variedade) de elementos finitos.

3. Possuem programas geradores de malha (discretização da estrutura em elementos finitos).

4. Possuem programas de visualização e pós–processamento dos resultados. Contudo, é necessário que o usuário destes programas saiba modelar sua realidade e interpretar os resultados adequadamente.

As ferramentas de análise, em geral não proporcionam melhores projetos, mas podem ser usadas para a realização de análises de sensibilidade que proporcionam informações sobre quais modificações propiciam uma melhor solução.

Os projetos de engenharia, em geral, podem ser formulados como problemas de otimização [3]. Para a definição de tais problemas é necessário estabelecer explicitamente um conjunto de variáveis de projeto, uma função custo a ser minimizada e um conjunto de restrições que definem quando um projeto é viável ou útil. As variáveis de projeto definem os parâmetros que servirão para modificar e definir um projeto particular. A função custo (também chamada de função objetivo) é uma função escalar que permite estabelecer um critério de comparação entre projetos. Dentre todos os projetos, procura-se aquele de menor custo, porém todo sistema deve ser projetado e fabricado para uma quantidade de recursos limitada ou para certas condições que

restrições. Tanto as restrições como a função custo, em geral dependem das variáveis de projeto.

Este trabalho aborda um problema de otimização dimensional [4] (“size optimization”). Consideram-se estruturas lineares elásticas e planas, discretizadas por elementos finitos. As variáveis de projeto são as espessuras destes elementos. Não se admite espessuras iguais a zero (“furo”) ou maiores que um valor especificado (espessura máxima). A finalidade é obter a melhor distribuição de espessuras da estrutura plana que minimize seu volume, considerando, no estado de equilíbrio, que a tensão de Von Mises em cada elemento não supere um valor pré-estabelecido.

É importante enfatizar que o propósito deste problema não é obter “furos” (otimização topológica) nem modificar seu contorno (otimização de forma). Considerando que as técnicas de otimização dimensional fornecem informações de onde retirar material, podemos utilizá-la para definir a posição de um orifício. Tais técnicas combinadas com otimização de forma permitem definir a forma do furo. No entanto, o presente trabalho não tem esse propósito.

Para representar de forma legítima a tensão em cada ponto da estrutura, optou-se por utilizar uma grande quantidade de elementos que gera problemas de otimização com elevado número de variáveis e de restrições.

Em geral, problemas de otimização dimensional podem ser resolvidos utilizando técnicas de programação matemática. Neste trabalho optou-se pela utilização do FAIPA (“Feasible Arc Interior Point Algorithm”). Este algoritmo é uma técnica geral de otimização não linear que possui respeitáveis resultados teóricos [5] e fácil compreensão geométrica. Recentemente têm-se desenvolvido técnicas junto ao FAIPA que resolvem problemas com muitas variáveis de projeto [6] [7]. No entanto, sua aplicação em problemas de engenharia com muitas variáveis e restrições não foi devidamente explorada e aproveitada.

1.2 – Objetivos

Este trabalho tem os seguintes objetivos:

1. Propor uma técnica geral de otimização de grande porte baseado no FAIPA. 2. Realizar um programa que implementa esta nova técnica e resolva o

problema de mínimo volume sujeito a restrições locais de tensão. Este programa deve incluir uma interface que permita sua comunicação com ferramentas (comerciais) de análise estrutural.

1.3 – Organização do trabalho

O texto está organizado em capítulos da seguinte forma:

Capítulo 2 – Formulação do problema.

Apresenta-se o modelo estrutural baseado no Método dos Elementos Finitos. A estrutura é discretizada regularmente em n elementos quadrados com áreas iguais (malha regular). Esta discretização oferece grandes vantagens. Em primeiro lugar, a matriz de rigidez de cada elemento é a mesma para todos. Em conseqüência disso, a matriz de rigidez pode ser obtida eficientemente, bem como sua derivada em relação às espessuras. Em segundo lugar, o cálculo da tensão no centróide do elemento também pode realizar-se eficientemente dado que a matriz deformação-deslocamento independe do elemento. No final do capítulo descreve-se o problema de mínimo volume sujeito a restrições locais de tensão, onde estão definidas as variáveis de projetos, a função custo e as funções de restrições.

Capítulo 3 – FAIPA: Algoritmo de Pontos Interiores por Arcos Viáveis.

Inicialmente são definidos os conceitos de programação matemática e resultados teóricos necessários para a compreensão do FAIPA. Finalmente descreve-se o FAIPA expondo os sistemas lineares internos em sua forma dual e primal-dual.

Capítulo 4 – Análise de sensibilidade.

Neste capítulo deduzem-se as derivadas das funções do problema de otimização apresentado no capítulo 2. Define-se a matriz de gradientes das restrições e apresentam-se dois métodos para calcular a derivada de uma restrição de tensão: método da diferenciação direta e método da variável adjunta. Realizam-se observações sobre o custo computacional em termos do número de sistemas lineares a serem resolvidos e a utilização de filtros nas restrições. Por último é deduzido o algoritmo que realiza o produto da matriz de gradientes (e sua transposta) por um vetor. Mostra-se que este produto pode ser realizado através de análises estruturais. Estes resultados são de muita importância para a nova metodologia que será apresentada no capítulo 5.

Capítulo 5 – Técnica de otimização de grande porte

Neste capítulo apresenta-se a nova técnica de otimização de grande porte. Primeiramente, descreve-se a metodologia usada no começo da investigação deste trabalho onde não é utilizada nenhuma técnica para resolver grandes sistemas. Logo depois, descrevem-se um conjunto de métodos utilizados na nova técnica. Na seção 5.3.2 é apresentada a nova metodologia. No final do capítulo é feita uma discussão da eficiência desta nova técnica.

Capítulo 6 – Implementação computacional

Descreve-se a arquitetura dos programas desenvolvidos e utilizados. Mostra-se como se implementaram os módulos para comunicação com o programa comercial ABAQUS e com o programa educativo DLEARN [2].

Capítulo 7 – Resultados numéricos

Ilustram-se três exemplos numéricos onde se aplicam as técnicas do capítulo 5 que foram implementadas de acordo com o capítulo 6.

Capítulo 8 – Conclusões

CAPÍTULO 2

Formulação do problema de otimização

2.1 – Introdução

Neste capítulo descreve-se o modelo de otimização estrutural considerado no presente trabalho. Entende-se por estrutura plana um sólido definido por uma região

2

ℜ ⊂

Σ fixa e uma distribuição de espessuras para cada ponto de Σ . Tal estrutura considera-se submetida a um sistema de forças no plano definido pela região Σ e apoios que restringem seu movimento.

O problema de otimização que se propõe resolver neste trabalho consiste em encontrar uma distribuição de espessuras tal que minimize o volume da estrutura e que a tensão de Von Mises em cada ponto não supere um valor pré-estabelecido.

O cálculo da tensão de Von Mises pode ser obtido por uma aproximação numérica através do Método dos Elementos Finitos (MEF). O domínio Σ se discretiza em elementos finitos quadrados de igual área e a tensão de Mises é calculada no centro do elemento. A precisão do MEF pode ser melhorada aumentando a densidade de elementos no domínio ou utilizando um elemento de maior ordem de aproximação [2].

Considera-se variável de projeto a espessura do elemento. A função custo está definida pelo volume da estrutura e as restrições se definem em termos das tensões de Mises calculadas pelo MEF.

O capítulo se organiza da seguinte maneira, na seção 2.2 o modelo estrutural baseado no MEF é apresentado. Na seção 2.3 se definem estruturas viáveis em termos da tensão de Von Mises em cada elemento finito. Finalmente na seção 2.4 se formula o problema de otimização considerado neste trabalho.

2.2 – Modelo estrutural

Seja um referencial cartesiano

(

O,ξ,η,ς

)

.

2.2.1 – Estrutura plana

As estruturas estarão definidas por uma região fixa Σ⊂ℜ2 no plano ξOη. Esta região será discretizada uniformemente em n elementos quadrados de igual área a. Cada elemento se identificará por um número i∈

{

1,...,n

}

. A geometria do elemento i estará definida por Σ_i ⊂Σ e uma espessura constante x . _i

A figura 2.1 mostra uma estrutura típica e um elemento individual.

Figura 2.1: Estrutura plana de n=30x10 elementos. À direita um elemento de espessura x_i e área a .

Define-se a distribuição de espessuras ao vetor x como:

[

]

T n i x x x x x= _{1 2 L L} (2.1)

2.2.2 – Elementos finitos

De acordo com a discretização adotada na seção 2.2.1, a estrutura é formada por elementos quadrados. Utilizam-se os seguintes elementos da família Serendipity [1], [2] (Veja figura 2.2):

– Bi-linear

– Quadrático de 8 nós

Figura 2.2: À esquerda um elemento bi-linear (4 nós) e à direita um elemento quadrático (8 nós).

Os elementos estão formados por nós ou pontos identificados por um número. No caso do elemento bi-linear, os vértices estão numerados de 1 a 4 e para o quadrático, de 1 a 8. Seja N o número de nós de um elemento (4 ou 8). _e

Do ponto de vista de toda a estrutura, os nós estarão identificados por números entre 1 e N , sendo _p N o número total de nós. _p

Todo nó p∈

{

1,...,N_p

}

poderá se mover no plano ξOη de acordo as forças e apoios aplicadas sobre o corpo. Define-se então, para cada nó, dois graus de liberdade: um deslocamento segundo o eixo

ξ

e outro segundo o eixo

η

.

Os graus de liberdade são identificados com os números do conjunto de graus de liberdades da estrutura G definido como:

{

Np

}

G = 1,...,2 _(2.2) 1 4 2 3 5 6 7 8 1 4 3 2

2.2.3 – Apoios e carregamento

Considera-se um apoio a um grau de liberdade com deslocamento nulo. O conjunto de apoios G é um subconjunto de G . ₀

São ditos graus de liberdades ativos aqueles que não são apoios:

0

\ G G

G_a = (2.3)

Finalmente, define-se número de graus de liberdade ativos como:

( )

Ga card

NGL= (2.4)

Um carregamento é um vetor p∈ℜNGL de forças aplicadas a nós com graus de liberdade ativos. Um carregamento é também chamado de estado de carga.

A figura 2.3 mostra um exemplo onde as 8 “setas” representam as forças aplicadas. Neste caso p é um vetor de NGL componentes onde 16 são não nulas (as 8 “setas” se descompõem em dois componentes não nulos). Na parte debaixo, à direita, os apoios são fixos, e à esquerda os apoios são deslizantes segundoξ.

2.2.4 – Vetor de deslocamento

Define-se vetor deslocamento ao vetor u cujos componentes representam graus de liberdade ativos:

[

]

T NGL

NGL u u

u= _{1 L} ∈ℜ (2.5)

Define-se vetor de deslocamento do elemento i como o vetor ui formado pelos graus de liberdade dos nós do elemento i. Por exemplo, se o elemento bi-linear

i tiver os nós p₁,p₂,p₃,p₄∈

{

1,...,N_p

}

o vetor ui estará dado por 8 componentes (veja figura 2.4):

[

]

8 8 7 6 5 4 3 2 1 ∈ℜ = T i d d d d d d d d u (2.6)

Figura 2.4: Componentes do vetor de deslocamento para um elemento bi-linear

Define-se matriz de transformação de coordenadas do elemento i ,

gl e N N i R Q ∈ × tal que: u Q ui = _i (2.7) p1 p4 p3 d4 d3 d2 d1 d5 d6 d7 d8 p2

2.2.5 – Matriz constitutiva

Trabalha-se nas hipóteses da teoria de elasticidade linear onde o tensor de tensões é proporcional ao tensor de pequenas deformações. Adicionalmente, consideram-se materiais isotrópicos e homogêneos com coeficiente de Poisson v e módulo de Young E.

Assume-se o Estado de Tensão Plano (ETP) onde se desprezam os componentes do tensor de tensões perpendiculares ao plano

ξ

O

η

e os componentes são constantes ao longo da espessura. Decorrente às hipóteses anteriores, define-se matriz constitutiva como:

(

)

₍

₎

_⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ≡ v v v v E D 1 0 0 0 1 0 1 1 2 1 2 (2.8) 2.2.6 – Matriz de rigidez

A matriz de rigidez do elemento unitária _k∈ℜ2Ne×2Ne _{é dada por:}

∫∫

Σ Σ ≡ i d DB B k T _(2.9)

Onde a matriz B é a matriz a matriz de deformação-deslocamento. Devido à discretização regular adotada e por utilizar-se um material homogêneo, esta matriz é igual para todos os elementos.

A matriz de rigidez Ngl Ngl K∈ℜ × é definida como:

( )

_∑

= = = n i i iK x x K K 1 (2.10) Onde: i T i i Q kQ K = (2.11)

Sendo Q_i matriz de transformação de coordenadas do elemento i.

Neste trabalho assume-se que os apoios G₀ sempre impedem qualquer movimento de corpo rígido e portanto a matriz de rigidez é simétrica e positiva definida [2].

2.2.7 – Equação de equilíbrio

Define-se equação de equilíbrio ao seguinte sistema linear:

p

Ku= (2.12)

Sendo K a matriz de rigidez, u o vetor de deslocamentos e p um carregamento. Do ponto de vista mecânico, a equação (2.12) representa a condição necessária e suficiente para o equilíbrio estático [1]. O deslocamento u também será dito deslocamento do equilíbrio associado ao estado de carga p.

O processo numérico de obtenção da solução de (2.12) será chamado de análise estrutural.

Dado que K depende de x , o deslocamento u (solução do sistema (2.12)) depende implicitamente de x . Nesta trabalho o vetor de carregamentos p independe de x .

2.2.8 – Cálculo da tensão de Von Mises

Seja u=u

( )

x o deslocamento do equilíbrio associado a um estado de carga. Os componentes do tensor de tensões no ponto

(

q_ξ,q_η

)

∈Σ_i podem ser obtidos a partir da seguinte fórmula [2]:

(

ξ η

)

ε

(

ξ η

)

Onde:

(

)

[

]

T q q_{ξ η} σ_ξ σ_η σ_ξη σ , = (2.14)

(

)

[

]

T q q_{ξ η} ε_ξ ε_η ε_ξη ε , = 2 (2.15)

O vetor ε contém os componentes do tensor de deformação e obter-se da seguinte forma:

(

) (

)

i u q q S q q_{ξ η ξ η} ε , = , (2.16)

Sendo _S∈ℜ3×Ne _{a matriz de deformação–deslocamento e u o vetor de} i

deslocamentos do elemento i .

No presente trabalho, calcula-se a tensão no centróide do elemento. Seja

(

_ci _ci

)

η

ξ, as coordenadas do centróide do elemento i. Aplicando a fórmula (2.13) e (2.16), a tensão no centróide do elemento i se obtém:

(

_ci _ci

)

=_Tui η ξ σ , (2.17) Onde:

(

_ci _ci

)

DS T = _ξ, _η (2.18)

Devido à discretização considerada, S é igual para todos os elementos e está dada por (caso o elemento seja bi-linear):

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 a c S S _i (2.19)

A tensão de Von Mises no centróide do elemento i se define como:

(

)

2 1 2 2 2 ₃ η ξ ξη η ξ σ σ σ σ σ ϕi ≡ + + − (2.20)

A expressão (2.20) se baseia no Critério de Escoamento de Von Mises. Este critério afirma que o sólido poderá começar a escoar se ϕ_i alcançar o valor da tensão de escoamento em um teste de tração simples.

Outra fórmula equivalente à (2.20) para a tensão de Mises é a seguinte:

(

)

2 1 u M uT _i i = ϕ (2.21) Onde: i T T i i Q T VTQ M ≡ , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 0 0 0 1 5 . 0 0 5 . 0 1 V (2.22)

Sendo Q a matriz de transformação de coordenadas do elemento i . Observe-_i se que ϕ_i depende implicitamente de x (dado que u depende de x ).

2.3 – Estrutura viável

Do ponto de vista da engenharia interessa construir estruturas com níveis de tensão controlados. Por este motivo, para cada material se define uma cota superior da tensão de Mises chamada tensão admissível σ_adm >0. Uma estrutura com uma distribuição de espessuras x verificará a condição de viabilidade das tensões quando:

( )

adm

i x σ

ϕ ≤ para todo i∈

{

1,2,...,n

}

(2.23) Por outro lado, consideram-se limitações sobre as espessuras dos elementos. Define-se 0x_max > a espessura máxima para todos os elementos, por tanto deve verificar-se:

max

x

x_i ≤ para todo i∈

{

1,2,...,n

}

(2.24) Também define-se 0x_min > uma espessura mínima tal que:

i x

x_min ≤ para todo i∈

{

1,2,...,n

}

(2.25) Uma estrutura com distribuição de espessuras x é dita viável quando se verifica (2.23), (2.24) e (2.25).

2.4 – Problema de otimização

Esta seção define um conjunto de conceitos usado ao longo do texto.

2.4.1 – Variáveis de projeto

O vetor de variáveis de projeto x se define em (2.1).

2.4.2 – Função objetivo

Define-se função objetivo como:

R R f : n → ,

( )

∑

= ≡ n i i x a x f 1 (2.26)

Onde a é a área de um elemento. f

( )

x representa o volume da estrutura.

2.4.3 – Funções de restrições de tensão

Consideram-se problemas estruturais com NEC estados de carga

[

p1 p2 L pl L pNEC

]

, identificados por l∈

{

1,...,NEC

}

. Seja

[ ] _u[ ]

_{( )}

_x ul = l o deslocamento do equilíbrio associado ao estado de carga p . _l

Define-se tensão de Mises de um elemento i associado ao estado de carga l como: [ ] [ ]

_{( )}

_x

(

_u[ ]l

_{( )}

_x

)

i l i l i ϕ ϕ ϕ ≡ ≡ (2.27)

Define-se função de restrições de tensão ao vetor:

( )

x

[

τ

( )

x τ

( )

x τ_l

( )

x τ_NEC

( )

x

]

τ = 1 2 L L (2.28) Onde:

( )

[

[ ]

_{( )}

[ ]

_{( )}

[ ]

_{( )}

[ ]l

_{( )}

]

T n l i l l adm l x =σ ϕ x ϕ x ϕ x ϕ x −e τ 1 _{1 2 L L (2.29)}

Sendo σ_adm a tensão admissível definida na seção 2.3 deste capítulo e e∈ℜn

um vetor coluna com todos os componentes iguais a um.

2.4.4 – Funções de restrições de caixa

Define-se função de restrições de caixa como:

( )

T T x e x x = _min − min φ (2.30)

( )

T T e x x x _max max = − φ (2.31)

Onde x_min, x_max são as espessuras mínima e máxima respectivamente.

2.4.5 – Função de restrições

Define-se função de restrições g ao vetor de funções:

( )

[

( )

( )

( )

]

T x x x x g ≡ τ φ_min φ_max (2.32)

( )

m R x g ∈ , m≡NEC×n+2n (2.33)

Os primeiros nNEC× componentes (τ

( )

x ) correspondem às restrições das tensões dos elementos para NEC estados de carga. Os últimos n2 componentes correspondem às restrições de caixa (φ_min

( )

x , φ_max

( )

x ). Outra forma de visualizar (2.32) é a seguinte:

( )

[

]

T n n NEC n n NEC n n NEC n NEC n NEC g g g g g g x g = 1 L × / ×+1 L ×+ / ×++1 L ×+2 (2.34) Onde:

( )

( )( ) [ ]

_{( )}

(

)

( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + × ≤ ≤ + + × − + × ≤ ≤ + × − × ≤ ≤ − = n n NEC r n n NEC se x x n n NEC r n NEC se x x n NEC r se x x g r e r e adm r c r e adm r 2 1 1 1 1 max min σ ϕ σ (2.35) Sendo:

( )

≡_⎢⎣⎢ −1 +_⎥⎦⎥ 1 n r r c (2.36)

( )

r n

(

c

( )

r

)

r e ≡ 1− + (2.37)

Observar que g é uma função implícita da variável _i x∈ℜn. Para obter g_i

( )

x será necessário realizar NEC análises estruturais com a mesma matriz de rigidez

( )

x K .

2.4.6 – Formulação do problema

Seja uma estrutura plana com os seguintes parâmetros fixos:

– Região Σ⊂ℜ2 discretizada em n elementos quadrados de área a . – Apoios G . ₀

– Estados de carregamentos

[

p₁ p_{2 L} p_{l L} p_NEC

]

.

– Material isotrópico com coeficiente de Poisson v e módulo de Young E . – Tensão admissível σ_adm.

– Espessura mínima x_min e espessura máxima x_max.

Busca-se x∈ℜn, uma distribuição de espessuras viável com o menor volume possível. Esta última frase pode ser escrita da seguinte forma:

( )

( )

{

}

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≤ ℜ ∈ m r x g sujeito a x x f minimize r n x ,..., 2 , 1 ; 0 , (2.38)

Onde f foi definido em (2.26) e g em (2.32). Observe-se que g_r

( )

x ≤0 para

{

m

}

r∈1,2,..., equivale a dizer que a estrutura com uma distribuição de espessuras x é viável.

CAPÍTULO 3

FAIPA: Algoritmo de Pontos Interiores por

Arcos Viáveis

3.1 – Introdução

Neste capítulo se apresenta o FAIPA (“Feasible Arc Interior Point Algorithm”), algoritmo de otimização no qual se baseia este trabalho. Este algoritmo, proposto por Herskovits [5], é uma técnica geral de otimização não linear com restrições de igualdade e desigualdade. No presente estudo consideram-se somente restrições de desigualdade.

O propósito deste capítulo é explicar os fundamentos e características do FAIPA. Por enquanto não se está preocupado com o tamanho do problema (dado pelo número de variáveis). De todas as formas, este capítulo é muito importante para o entendimento das técnicas aplicadas a problemas grandes já incorporados no FAIPA.

O capítulo se organiza da seguinte maneira: na seção 3.2 apresentam-se algumas definições relacionadas a um problema de otimização contínuo, na seção 3.3 estão as condições necessárias e suficientes para um mínimo local deste problema. Na seção 3.4 descrevem-se os passos do FAIPA e em 3.5 uma descrição do mesmo. Finalmente, em 3.6 se apresentam os sistemas lineares primal-dual e dual.

3.2 – Definições

Considere o problema de programação não linear com restrições de desigualdade:

( )

( )

{

}

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≤ ℜ ∈ m i x g sujeito a x x f minimize i n x ,..., 2 , 1 ; 0 , (3.1)

Onde f e gi são funções suaves de ℜ , ao menos uma delas é não linear. A n função f é chamada de função objetivo e gi, função de restrição. O vetor

[

]

T

n x x

x= _{1 L} é chamado de vetor de variáveis de projeto.

Definição 3.2.1: Região viável.

Define-se conjunto de pontos viáveis ao conjunto definido por:

( )

{

∈ℜ ≤0

}

= Ω x n g x (3.2) Onde

( )

[

( )

( )

]

T m x g x g x

g = _{1 L} . A desigualdade g

( )

x ≤0 equivale a dizer

( )

x ≤0

g_i para todo i∈

{

_{1 K},2, ,m

}

.

Definição 3.2.2: Conjunto de restrições ativas.

Define-se conjunto de restrições ativas no ponto x como:

( )

x =

{

r∈

{

1,2, ,m

} ( )

g x =0

}

I _{K i} (3.3)

Definição 3.2.3: Direção viável.

Observações:

1) Se x pertence ao interior de Ω , então toda direção _d∈ℜn _{é viável.}

2) Se r∈I

( )

x e dT∇g_r

( )

x <0_{, então d é uma direção viável em x (veja a} figura 3.1).

Definição 3.2.4: Direção de descida.

Um vetor _d∈ℜn _{é uma direção de descida para f em x∈ℜ}n _{se existe δ >0} tal que f

(

x+td

)

< f

( )

x para todo t∈

( )

0,δ .

Observação:

Se dT∇f

( )

× <0_{, então d é uma direção de descida para f em x (veja a figura} 3.1).

Definição 3.2.5: Mínimo local, mínimo local estrito.

O ponto x∗ é um mínimo local do problema (3.1) se _x∗∈Ω _{e existe uma} vizinhança V de _x∗ _{tal que f}

( )

_{x ≥ f}

( )

_x∗ _{para todo x∈V∩Ω. Quando f}

( )

_{x > f}

( )

_x∗ _,

∗

x é dito mínimo local estrito.

Definição 3.2.6: Função lagrangeana, hessiana.

Define-se função de Lagrange (ou Lagrangeno) associado ao problema (3.1) a função _{l :}ℜn×ℜm →ℜ _{definida por:}

( )

( )

( )

( )

_∑

( )

= + = + = m i i i T _{x f x g x} g x f x l 1 ,λ λ λ (3.4)

( )

( )

( )

( )

_∑

( )

= ∇ + ∇ = ∇ + ∇ = ∇ m i i i xl x f x g x f x g x 1 ,λ λ λ (3.5)

Onde ∇g

( )

x é uma matriz de _ℜn×m _{chamada matriz de derivadas, matriz dos} gradientes das restrições ou matriz de sensibilidades. A coluna i de ∇g

( )

x contém o vetor coluna ∇g_r

( )

x . Isto é ∇g

( )

x =

[

∇g₁

( )

x _L ∇g_m

( )

x

]

.

Define-se Hessiana à matriz definida por:

( )

( )

( )

_∑

( )

= ∇ + ∇ = ∇ = m i i i xxl x f x g x x L 1 2 2 , ,λ λ λ (3.6)

Definição 3.2.7: Ponto regular, espaço tangente.

Um ponto x é dito ponto regular das restrições do problema (3.1) se o conjunto

( )

( )

{

∇g_i x i∈I x

}

é linearmente independente. Para estes pontos o espaço tangente ℑ

( )

x se expressa como:

( )

x

{

d gT

( )

x d i I

( )

x

}

i = ∈ ∇ = ℑ 0, (3.7)

Figura 3.1: Direção de descida e viável d no ponto x . Espaço tangenteℑ

( )

x . ∇f(x) ∇g2(x)

Ω

x

( )

x ℑ g2=0 curvas de nível de f d

3.3 – Condições de otimalidade

A seguir estão descritas as condições necessárias e suficientes que caracterizam um mínimo local do problema (3.1).

Teorema 3.3.1: Condições Necessárias

Se _x∗_∈ℜn _{é um mínimo local e ponto regular das restrições do problema (3.1),} então existe um único vetor _λ∗_∈ℜm _{tal que:}

(

,

)

=∇

( )

+∇

( )

=0 ∇ _{l x}∗ _λ∗ _{f x}∗ _{g x}∗ _λ∗ x (3.8)

( )

_x∗ _λ∗ =0 G (3.9)

( )

_x∗ ≤0 g (3.10) 0 ≥ ∗ λ (3.11)

(

,

)

≥0 ∇ _{l x}∗ ∗ _d dT _{xx λ para todo d∈ xℑ}

( )

∗ (3.12) Onde G

( )

x∗ =diag

(

g

( )

x∗

)

.

As condições (3.8)-(3.11) são ditas condições necessárias de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Ao ponto

(

_x∗_,λ∗

)

_{que verificar estas condições será}

chamado de ponto de KKT. A figura (3.2) mostra uma interpretação geométrica destas condições. g3=0 g2=0 g1=0 ∇f(x*₎ -∇f(x *₎ λ1*∇g1(x *) λ2*∇g2(x *) curvas de nível de f x*

Ω

Teorema 3.3.2: Condições Suficientes Se _x∗_∈ℜn _{e λ}∗_∈ℜm _verificam:

(

,

)

=∇

( )

+∇

( )

=0 ∇ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ×l x λ f x g x λ (3.13)

( )

_x∗ ≤0 g (3.14) 0 ≥ ∗

λ

(3.15)

(

,

)

>0 ∇ _{l x}∗ ∗ _d dT _{xx λ para todo d∈ xℑ}

( )

∗ _(3.16)

Então _{x é um mínimo local estrito do problema (3.1).} ∗

3.4 – FAIPA

O FAIPA (“Feasible Arc Interior Point Algorithm”) é um método de pontos interiores por arcos viáveis para resolver problemas de otimização não-linear com restrições de desigualdade e igualdade. Esta técnica se aplica naturalmente ao problema (3.1) onde tem-se somente restrições de desigualdade. O algoritmo faz iterações do tipo Newton nas variáveis de projeto (_x∈ℜn_{, variáveis primais) e nos multiplicadores de} Lagrange (

_λ

_∈ℜm_{, variáveis duais) para resolver as condições de otimalidade de KKT.}

Inicialmente o algoritmo requer um ponto _x0_∈ℜn _{na região Ω e λ}0_∈ℜm_, 0

0 _>

λ . A partir de

(

_x0_,λ0

)

_{gera uma seqüência de pares}

{

(

_x1_,λ1

) (

_{,..., x}k_,λk

)

_,...

}

_onde k

x está no interior de Ω , 0_λk > _{e tal que f}

( ) ( )

_xk _{< f x}k−1 _{. Se prova em [9] que sob}

certas hipóteses esta seqüência converge para um ponto de KKT

(

_x∗_,λ∗

)

_{sendo x um} ∗

mínimo local do problema (3.1).

Dado um ponto _{x da seqüência, o algoritmo define um arco com pontos} k viáveis (chamado arco viável) onde se encontrará o próximo ponto _xk+1_{. Na figura 3.3}

mostram-se algumas iterações do FAIPA para um problema com três restrições.

Figura 3.3: Iterações do FAIPA

A seguir serão descritos os quatro passos de uma iteração do FAIPA. Seja Ω ∈ = _xk x e _λ=_λk >0 _{obtidos da iteração k .} g3=0 g2=0 g1=0

Ω

x0 x1 x2 x3 x *

Passo 1: Cálculo de uma direção d viável e de descida para a função objetivo.

O cálculo da direção d é feito em duas etapas. Na primeira etapa se calcula uma direção d de descida da função objetivo mas não necessariamente viável. Esta direção ₀ se obtém de uma iteração de Newton:

( )

( )

( )

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡∇ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ Λ ∇ 0 0 0 f x d x G x g x g B T _λ (3.17)

Onde B é uma matriz quase-Newton simétrica positiva definida (garantindo a não singularidade do sistema e que a direção d seja de descida) e ₀

( )

_diag

( )

k

diag λ = λ =

Λ . A matriz B é uma aproximação da matriz Hessiana obtida por algum método Quase-Newton [10]. Estes métodos não requerem a segunda derivada de

f ou de g para construir B .

Na segunda etapa se calcula a direção d (que aponta para dentro da região 1

viável) resolvendo o seguinte sistema:

( )

( )

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ Λ ∇ λ λ 0 1 1 d x G x g x g B T (3.18)

Onde G

( )

x =diag

(

g

( )

x

)

. Finalmente:

1 0 d

d

d = +ρ (3.19)

Onde ρ é um número real positivo adequado para garantir que d seja de descida e viável.

Figura 3.4: Direção viável d =d₀ +ρd₁ e arco viável _χ

( )

t ₌x₊td₊t2d~

Passo 2: Cálculo de uma direção de correção d~.

Com o intuito de melhorar a velocidade de convergência, se calcula uma direção de correção d~ e um arco com pontos viáveis. Esta direção é uma deflexão para dentro da região viável proporcional às curvaturas das restrições ativas. Uma medida desta curvatura está dada pelo seguinte vetor:

(

x d

) ( )

g x

[

g

( )

x

]

d g _{+ − − ∇} T

=

ω

~ (3.20)

Logo d~ se obtém do seguinte sistema linear:

( )

( )

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Λ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ Λ ∇ ω λ ~ 0 ~ ~ d x G x g x g B T (3.21)

A Figura 3.4 ilustra as direções d , d~e o arco viável χ quando o ponto x está na fronteira de Ω.

d

~

χ

d

x

Ω

d

0

d

1

ρd

1

g

r

=0

Passo 3: Busca linear no arco _χ

( )

t ₌x₊td₊t2d~_.

A próxima etapa do algoritmo (busca linear) consiste em resolver o seguinte problema de otimização de uma variável (esta variável é chamada de passo):

( )

( )

( )

( )

{

}

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ≤ > m i t g sujeito a t t f minimize i t ,..., 2 , 1 ; 0 0 , χ χ (3.22)

O método que obtém algum mínimo local _t∗ _{de (3.22) é chamado de busca}

linear por minimização exata. Na prática, se realiza uma busca linear inexata devido ao elevado custo para obter um mínimo exato. Os métodos de busca linear inexata encontram um passo t~ sub-ótimo quando verificam determinado critério. A seguir descreve-se os critérios de Armijo e Wolfe (veja figura 3.5).

Critério de Armijo: Defina o passo t~ como o primeiro número da seqüência

{

1,_υ,_υ2,_υ3,...

}

_{que satisfaça:}

( )

(

t

)

f

( )

x t

(

f

( )

x

)

d f _{≤ + ∇} T 1 ~ ~ _η χ (3.23)

( )

(

~ <t

)

0 g χ (3.24) Onde υ,η1∈

( )

0,1 .

Critério de Wolfe: Defina o passo t~ que verifique (3.23), (3.24) e tal que alguma das seguintes condições se verifiquem:

( )

(

)

[

_∇f t

]

Td _≥

(

_∇f

( )

x

)

Td 2 ~ _η χ (3.25)

( )

(

t

)

g

( )

x r

{

m

}

g_r χ ~ ≥γ _r , ∈ 1,2,..., (3.26) Onde

( )

1₂ 1∈ 0, η , η2∈

( )

η1,1 e γ∈

( )

0,1 .

As inequações (3.23) define uma cota superior do passo para ambos critérios e para o critério Wolfe, (3.25) define uma cota inferior (veja figura 3.5).

Figura 3.5: Busca linear de Wolfe: O passo será aceito quando ~_{t ∈}

(

_tinf_,tsup

)

_.

A inequação (3.24) define uma cota superior dada pelas restrições. No entanto a inequação (3.26) estabelece uma cota inferior no valor do passo.

Passo 4: Atualização.

Neste passo, realizam-se operações que preparam os dados para uma nova iteração. Estes são:

1) Atualização do ponto: xk+1 _=χ

( )

~t ₌x₊~td ₊~t 2d~_.

2) Atualização da matriz quase-Newton B com uma nova matriz simétrica positiva definida.

3) Atualização de

_λ

k+1_>0_. Notas:

1) Omitindo-se o passo 2 e fazendo d~ =0, obtém-se o algoritmo chamado FDIPA (“Feasible Direction Interior Point Algorithm”) onde a busca linear se realiza ao longo de uma reta.

t* tinf tsup Gráf ( f( χ(t) ) ) Gráf ( f(x) + tη1(∇f(x))Td ) f(x) 0 t η2(∇f(x))Td f( χ(t) ) t~

2) Diferentes algoritmos podem ser obtidos de acordo a atualização de B e λ. Se _xk _{é um ponto regular, os sistemas lineares (3.17), (3.18) e (3.21) têm solução única.} Também se pode provar que

(

_xk k

)

0

,λ converge para pontos de KKT

(

x∗,λ∗

)

quando se verificam as seguintes hipóteses:

H 1: ∃σ1,σ2 >0 tais que os valores próprios σ de B verificam σ1≤σ ≤σ2.

H 2: ∃λI,λS,β >0 _{tais que 0≤λ≤λ}S _{e se}

( )

_{× ≥−β} r

g então I

r λ

λ ≥ .

A configuração clássica do FAIPA usa uma atualização de B chamada BFGS (desenvolvida por Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno) [11]. Enquanto que para a atualização de λ utiliza-se a seguinte regra:

Para i=1,2,...,m fazer:

{

2

}

2 0 0 , max i d i λ ε λ = . Se (gi

( )

x <−β) e ( I i λ λ < ) então: I i λ λ = . Fim_Para

Onde _ε,_β,_λI >0_{. Quando estes parâmetros são suficientemente pequenos} i

i λ0

λ = para uma restrição ativa i . E para as inativas λj →0 quando

∗

→ x

x por

tanto, para esta regra de atualização,

λ

→

λ

∗.

3) Os passos 1, 2, 3 e 4 se repetem até que alguma condição de parada se verifique. Observe-se que o algoritmo converge a um ponto KKT quando d₀=0, e, portanto, da equação (3.17) se deduz que ∇l

(

x,

λ

₀

)

=∇f

( )

x +∇g

( )

x

λ

₀ =0.

3.5 – Descrição do FAIPA

Parâmetros: α∈

( )

0,1 ,

ϕ

>0 e constantes usadas na busca linear.

Dados: _B∈ℜn×n _{simétrica positiva definida, λ∈ℜ}m_{, λ >0 e um ponto viável x∈Ω.} Procedimento:

Repetir os seguintes passos:

Passo 1: Cálculo da direção viável de descida d .

1. Resolver o sistema linear (3.17), obtendo-se d e ₀ λ₀. Se d₀ =0, fim.

Resolver o sistema linear (3.18), obtendo-se d e 1 λ1.

2. Se d1 ∇ xf

( )

>0 T , computar

(

)

( )

( )

_⎪⎭⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∇ ∇ − = x f d x f d d _T T 1 0 2 2 0 , 1 min ϕ α ρ . Se não, computar

ρ

=

ϕ

d0 2₂. 3. Computar d =d₀+ρd₁

Passo 2: Cálculo da correção d~.

1. Computar ω~= g

(

x+d

) ( )

−g x −

[

∇g

( )

x

]

Td

2. Resolver o sistema linear (3.21), obtendo-se d~ e λ~.

Passo 3: Busca linear ao longo do arco χ

( )

t =x+td+t2d~.

Encontrar algum “bom” valor de ~ >t 0 tal que:

( )

(

t

)

f

( )

x

f χ ~ < e χ

( )

t~ ∈Ω

Passo 4: Atualização.

1. Definir nova matriz _B∈ℜn×n _{simétrica e positiva definida.} 2. Definir novos valores para _λ∈ℜm_{, λ >0.}

3.6 – Sistemas lineares do FAIPA

Dada sua importância, apresenta-se a seguir um resumo dos sistemas lineares do FAIPA. Os sistemas lineares (3.17), (3.18), (3.21) são chamados primal-dual (por ter incógnitas no espaço primal e no dual), os quais podem resumir-se da seguinte forma:

( )

( )

( )

⎢_⎣⎡

( )

Λ ⎥_⎦⎤ ∇ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ Λ ∇ ω λ λ λ λ 0 ~ 0 0 ~ ~ 1 0 1 0 d d f x d x G x g x g B T (3.27)

A matriz do sistema (3.27), chamada de matriz prima-dual, tem tamanho

(

n+m

)

e contém as seguintes sub-matrizes:

– _B∈ℜn×n _{é uma matriz simétrica positiva definida,} – _∇g

( )

_{x ∈ℜ}n×m _{é a matriz de derivadas,} – _Λ=diag

( )

_{λ ∈ℜ}m×m_,

_λ

_∈ℜm_{, λ >0 e} – _G

( )

_{x =diag}

(

_g

( )

_x

)

_∈ℜm×m_,

( )

[

( )

( )

]

T m m x g x g x g = _{1 L} ∈ℜ .

O tamanho dos problemas a serem resolvidos está limitado pela memória requerida para alocar a matriz do sistema, pois esta aumenta com o quadrado de

(

n+m

)

. Devem-se usar técnicas que permitam representar as matrizes _B∈ℜn×n _{e ∇g}

( )

_{x ∈ℜ}n×m com menos memória.

Eliminando d , 0 d1 e d

~

em (3.17), (3.18), (3.21) respectivamente obtém-se os sistemas duais (por terem incógnitas no espaço dual exclusivamente):

( )

( ) ( )

[

]

[

λ λ λ~

]

[

( )

1

( )

λ ω~

]

1 0 1_{∇ − = −Λ∇ ∇ Λ} ∇ Λ _gT _{x B}− _{g x G x g}T _{x B}− _{f x (3.28)}

Multiplicando (3.28) por _{Λ obtemos uma matriz de coeficientes simétrica e} −1

positiva definida:

( )

( ) ( )

[

]

[

λ λ λ~

]

[

( )

1

( )

λ ω~

]

1 0 1_{∇ − = −Λ∇ ∇ Λ} ∇ Λ _gT _{x B}− _{g x G x g}T _{x B}− _{f x (3.29)}

Onde e é um vetor coluna com m componentes unitários. A matriz do sistema (3.29) tem tamanho m e é chamada dual simétrica.

CAPÍTULO 4

Análise de sensibilidade

4.1 – Introdução

A análise de sensibilidade de um sistema mecânico proporciona informação sobre a mudança de respostas físicas frente a perturbações das variáveis de projeto. A sensibilidade é usada pelo projetista por que lhe fornece informação sobre o que sucederia com a estrutura frente a mudanças no projeto. Em termos matemáticos, a sensibilidade pode ser vista como a derivada de certa função com relação às variáveis de projeto.

A pesquisa sobre a análise de sensibilidade estrutural tem sido muito extensa. Autores dedicam livros completos [1] ao tema abordando uma vasta gama de aplicações em engenharia. Os avanços em métodos numéricos para a análise de sensibilidade foram integrados a ferramentas de projeto assistido por computador e análise de elementos finitos.

A sensibilidade também é usada em processos automáticos como algoritmos de otimização estrutural. Neste trabalho aplica-se o algoritmo FAIPA o qual exige o cálculo do gradiente da função objetivo e do gradiente das funções de restrição.

A precisão numérica das derivadas é de grande importância para o FAIPA pois as estruturas obtidas em cada iteração do algoritmo são calculadas com base nos gradientes. Na prática, erros numéricos no cálculo das sensibilidades fazem com que o algoritmo requeira mais iterações para encontrar o ótimo dentro de uma precisão especificada.