Dominios positivamente invariantes de sistemas lineares com restrições nas variaveis de controle

PROGRAMA

DE

PÓS-GRADUAÇÃO

EM

ENGENHARIA

ELETRICA

DOMÍNIOS POSITIVAMENTE INVARIANTES

DE

SISTEMAS LINEARES

COM

RESTRIÇÕES

NAS

VARIÁVEIS

DE

CONTROLE

z

DISSERTAÇÃO

SUBMETIDA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE

SANTA

- V

CATARINA

PARA A

OBTENÇÃO DO

GRAU

DE

MESTRE

EM

ENGENHARIA

.

ELETRICA

' "

z

'THEREZA

CHRISTINA

TEIXEIRA

ROCHA

COM

RESTRIÇOES

NAS

VARIÁVEIS

DE

CONTROLE

THEREZA

CHRISTINA TEIXEIRA

ROCHA

ESTA

DISSERTAÇAO

FOI

JULGADA

ADEQUADA

PARA

A

OBTENÇAO DO

TÍTULO

DE

MESTRE

EM

ENGENHARIA

ELÉTRICA

ÁREA

DE

CONCENTRAÇÃO

SISTEMAS

DE CONTROLE,

E

APROVADA

EM

SUA

FORMA

FINAL

PELO

PROGRAMA

DE

BANCA

EXAMINADORA:

Pós-GRADUAÇÃO

. . ` ,I __,,_..z) '

\\

\-. í

Prof.

EUGÊN1o1;\E

BONA

CASTELAN

NETQ,

Dr.

Orientador

Prof.

ROBERTO DE

SOU SALGADO,

Ph.D.

Coordenador do Curso de Pós-Graduação

em

Engenharia Elétrica

w

\\ `_.

Prof.

EDS N

BERTO

E

PIERI, Dr.

Prof.

NELSON

zEN1JÚ¿šIoR,M.s‹z.

Ao

Prof. Dr. Eugênio de

Bona

Castelan Neto pela orientação e ao Prof. Dr.

Edson

Roberto

De

Pieri pela sua colaboração.

Ao

colega Joao

Manoel

pelas discussoes proveitosas e pela amizade.

Aos

colegas: Carla, Polyana, Denise, Suzy, Ruan, Eudes, Juninho, Mônica, José, Tetsu,

Suguieda, Arão, Luís Otávio, Aldebaro, Aberides, Bush, Jader, Cícero, Sérgio pela

amizade

e

apoio. _

E, especialmente à. Marcos pelo carinho, incentivo e companheirismo.

Resumo

Neste trabalho são apresentados resultados teóricos referentes ao problema da extensão

de domínios poliedrais, positivamente invariantes e assintoticamente estáveis para sistemas li-

neares

em

tempo

discreto,

com

restrições nas variáveis de controle,

quando

uma

lei de reali-

mentação de estados saturada é aplicada.

Sob saturaçao, a extensao do domínio positivamente invariante e assintoticamente

estável é determinada a partir da expansão de

um

domínio poliedral positivamente invariante

no qual as variáveis de controle não saturam.

Com

base neste último domínio, onde não ocorre

saturaçao, este trabalho de dissertaçao apresenta duas abordagens:

1. o domínio de

comportamento

linear do sistema

em

malha

fechada (ou

um

poliedro deter-

minado

a partir deste) é

um

poliedro positivamente invariante;

2. conhece-se

um

domínio

compacto

poliedral positivamente invariante contido no domínio

de

comportamento

linear do sistema. Este domínio é determinado a partir de funções de

Lyapunov

de tipo poliedral.

Na

primeira abordagem, é proposto

um

algoritmo para avaliar, sob saturação, o maior

domínio expandido positivamente invariante e contrativo

com

relaçao ao sistema nao-linear.

Esta

abordagem

fornece

uma

importante contribuição, pois trata, de

forma

simples, conjuntos

positivamente invariantes não necessariamente limitados.

Apesar do algoritmo apresentado na segunda

abordagem

não ser plenamente funda-

mentado

pelos resultados teóricos obtidos, as simulações realizadas

mostram

que o

mesmo

determina o maior domínio de

Lyapunov

(positivamente invariante) expandido sob saturaçao.

ln this work, theoretical results will be proposed to treat the problem of the extension

of asymptotically stable, positively invariant polyhedra domains for linear discrete-time systems

with constrained control

when

a linear state feedback saturated control is applied.

Under

saturation, the largest positively invariant

and

asymptotically stable

expanded

domain

is determined by the expansion of a positively invariant polyhedral

domain

in Which the

control variables do not saturate. Based on this last domain, where does not occur saturation,

this

work

presents two approaches:

1. the linear behaviour

domain

of the closed-loop system (or a polyhedron determined

by

it) is a positively invariant polyhedron;

2. a positively invariant polyhedral compact set belonging to the

domain

of linear behaviour of the closed-loop system is known. This set is determined

from

polyhedral

Lyapunov

functions.

ln the first approach, an algorithm to evaluate the largest positively invariant polyhe-

dral

expanded

domain, under saturation for the non-linear _system, is proposed. This approach

gives an important contribution since it treats positively invariant polyhedra not necessarily

bounded

in such simple approach.

Although the algorithm presented in the second approach is not completely based on

the theoretical results obtained, the simulations

show

that it determines the largest

Lyapunov

expanded

domain

(positively invariant) under saturation.

ÉR" : espaço 9%"

N

: conjunto dos

números

inteiros positivos

o'(A) : espectro de

A

131

-

U2

:

P1

a exclusão de

P2

À,-(A) : autovalor i de

A

ÔD

: fronteira de

D

int

P

: interior de 17 (Õ : conjunto vazio lCer(A) : núcleo de

A

posto(A) : posto de

A

AT

: matriz transposta (conjugada transposta) de

A

|A| : matriz

composta

pelo valor absoluto de todos os elementos de

A

:c

2

y : desigualdades entre vetores é considerado

componente

por

componente

Assim, por exemplo, se :n,y E ÊR” e :c

>

_y, então :1:,~> y,~, para z'

=

1, . . . ,n

Resumo

v

Abstract

vi

Simbologia

vii

1

Introdução Geral

1

2

Definições

e

Resultados

Básicos 5

lntroduçao . . . . 5

2.1 Invariância Positiva para Sistemas Dinâmicos . . . . 6

2.2 Estabilidade de Sistemas Dinâmicos - _Segundo

Método

_de

Lyapunov

i . . . . 9

2.2.1 Estabilidade de Sistemas Lineares

Autônomos

Estacionários . . . 11

2.3 lnvariância Positiva de Poliedros para Sistemas Dinâmicos . . . 13

2.3.1

A

Lei de Saturação Aplicada ã Realimentação de Estados . . . 15

2.3.2 Caracterização Algébrica da Invariância Positiva de Poliedros para Siste-

mas

Lineares

em

Tempo

Discreto . . . 19

2.4 Determinação de Poliedros Simétricos Positivamente lnvariantes . . . 24

2.4.1

Forma

Canônica Real de Jordan . . . 24

2.4.2

Uma

Extensão Bloco Triangular da

Forma

Real de Jordan . . . 26

Conclusão . . . ; . . . .À 28

3

Controle de Sistemas

Lineares

em

Tempo

Discreto

com

Restrições

30

Introduçao .. . . . _.ç . . . 30

3.1 Declaração do Problema/ Condições para Existência de Solução . . . 31

3.2 Abordagens de Projeto . . . 35

3.2.1

Abordagem

por funções de

Lyapunov

. . . 35

. 3.2.2

Abordagem

por Invariância Positivae

Programação

Não-Linear . . . . . 37

3.2.3

Abordagem

por lnvariância Positiva e

Programação

Linear . . . 38

3.2.4

Abordagem

por lnvariãncia Positiva e Posicionamento de Autoestrutura . 40 Conclusão . . . _ 43 4

Extensão

de

Domínios

Positivamente

Invariantes

para

Sistema

Lineares sob

Sat

uração

44

Introdução . . . 44

4.1 Declaração do Problema-Caso Simétrico . . . 45

4.2 Avaliação da Extensão de Domínios Positivamente Invariantes Simétricos sob Saturação . . . 48

4.2.1 Resultados Preliminares . . . 49

4.2.2

_Uma

Abordagem

parao Problema

. . . 54

4.3 Extensão ao Caso Dissimétrico . . . 63

4.4 Algoritmo . . . 65

4.5

Exemplos

numéricos . . . 67

. 4.5.1 Caso símétrico . . . 67

4.5.2 Caso dissimétrico . . . 70

4.6 Conclusão . . . _ . 72 5

Extensão

de

Domínios

de

Funções

de

Lyapunov

Poliedrais

para

Sistemas

Lineares sob Saturação

74

5.1 Introdução . . . .. 74

5.3 Avaliação da Extensão de Domínios Contrativos sob Saturação

5.3.1 Análise de AW(:rk) para mk E ÕS(G', ozpM,c×pm) . _ . .

5.3.2 Análise de AW(:1:k) para :ck E int S(G, apM,ozpm) . . .

5.4 Algoritmo . . . . .

5.5

Exemplos

Numéricos . . . . .

5.6 Conclusão . . . ..

Conclusão

Geral

Programaçao

Linear:

definiçoes

e resultados

Termos

matemáticos

gerais

. . ‹ › z z . . . z 77 80 80 87 89 93

95

103

107

Introdução Geral

Grande

parte dos sistemas de controle funcionam

em

regiões do espaço de estados

determinadas por restrições aplicadas às variáveis de controle e _/ ou de estados.

Em

geral, estas

restrições correspondem a limites inferiores e / ou superiores nas variáveis de interesse do sistema

que descrevem limites tecnológicos ou de segurança impostas ao sistema e definem poliedros

convexos no seu espaço de controle e _/ ou de estados.

No

caso de sistemas sujeitos às restrições nas variáveis de controle, a estabilidade global

do sistema controlado não é

em

geral garantida. Assim,

uma

abordagem

que permite tratar

o problema da estabilização local destes sistemas consiste

na

aplicação de técnicas de controle

ótimo [56] [57] [50] [24] [25]. Porém, esta

abordagem

exige, na maior parte dos casos, a aplicação

de leis de controle não-lineares e difíceis de serem implementadas.

Uma

alternativa à utilização das técnicas acima citadas, consiste no

emprego

do con-

ceito de invariância positiva de domínios definidos no espaço de estados do sistema a controlar

[44].

Toda

trajetória de

um

sistema dinâmico que,

em

t

=

_to,

emana

de

um

domínio posi-

tivamente invariante, nele

permanece

para todo t

>

to. Esta propriedade pode ser aplicada

para sistemas dinâmicos não-lineares ou lineares,

em

tempo

contínuo ou discreto. Assim, o

conceito de invariância positiva, que está intimamente ligado ao de domínios de estabilidade de

Lyapunov, é

uma

ferramenta que pode ser usada para garantir a estabilidade e a satisfação das

restriçoes

em

esquemas de controle.

Como

citado, as restrições que se aplicam às variáveis de controle _e/ou de estados do

modelo

considerado

definem

poliedros convexos contendo o ponto de funcionamento do

sistema. Assim, para resolver o problema de controle sob restrições de sistemas dinâmicos,

pode-se procurar garantir que as variáveis de controle não saturem, a partir da restrição dos

estados iniciais admissíveis

em

malha

fechada, a

um

conjunto positivamente invariante contido

no domínio de linearidade do sistema.

A

escolha clássica de funçoes de

Lyapunov

quadrátricas nao é a mais

adequada

para o

problema de controle de sistemas dinâmicos

com

restrições. Ela não

maximiza

o

tamanho

do

domínio de estados iniciais para o qual

um

controlador

com

restrições

pode

ser

computado.

No

entanto, esta limitação pode ser sobreposta pela utilização de conjuntos poliedrais positivamente

invariantes ₍ por exemplo: domínios de estabilidade obtidos a partir de funções de

Lyapunov

não-quadráticas [41]).

No

caso de sistemas lineares, a propriedade de invariância positiva de

um

poliedro

convexo é equivalente à existência da solução de duas equações algébricas

chamadas

relações

de invariância positiva [08][10] [61] [12] [33][04]. Estas relaçoes

traduzem

o nao crescimento, ao

longo das trajetórias do sistema linear considerado, de

uma

função escalar associada ao poliedro

positivamente invariante. Neste trabalho é tratado apenas o problema de controle sob restriçoes

de sistemas lineares

em

tempo

discreto.

No

caso particular dos sistemas lineares controlados por realimentaçao de estados, as

restriçoes aplicadas às variáveis de controle

tornam

necessária a utilizaçao de leis de controle

de tipo saturação sempre que o estado corrente implicar na utilização dos limites impostos.

Neste caso, o

comportamento

global do sistema realimentado é não-linear e, muito

embora

a lei

de controle de realimentaçao de estados garanta a estabilidade do sistema

em

malha

fechada

num

domínio local de

comportamento

linear, a convergência para a origem das trajetórias do

sistema sob saturação não é,

em

geral, garantida .

Deste

modo,

muitas vezes é importante avaliar a extensão do domínio de estados que

podem

ser levados à origem

quando

a lei de saturaçao é aplicada. Esta avaliaçao

pode

ser feita

determinando-se a extensão do domínio positivamente invariante para o sistema não-linear.

Porém, poucos estudos

têm

sido desenvolvidos neste sentido e, na sua maioria, tratando o

caso de domínios positivamente invariantes compactos (domínios de

uma

funçao de

Lyapunov)

[23][15].

Além

disso, os algoritmos existentes exigem

um

esforço computacional significativo

para se determinar, sob saturaçao, o domínio de invariãncia positiva, ou entao, as condiçoes,

no qual o algoritmo está baseado, são apenas suficientes.

Neste trabalho, determina-se, sob saturação, a extensão do domínio positivamente

invariante a partir da expansao de

um

domínio poliedral positivamente invariante

no

qual

as variáveis de controle u

=

F

a: satisfazem as restrições.

Com

base neste último domínio,

onde o controle nao satura, e dentro do contexto acima descrito, este trabalho de dissertaçao

tem

o seguinte objetivo: Estudar o problema da extensão de domínios poliedrais positivamente

invariantes para sistemas lineares

em

tempo

discreto

com

saturação, considerando-se dois casos:

deter-minado

a partir deste) é

um

poliedro positivamente invariante;

2. conhece-se

um

conjunto

compacto

poliedral positivamente invariante contido no domínio

de

comportamento

linear do sistema. Este conjunto é determinado a partir de funções de

Lyapunov

de tipo poliedral.

Desta forma, para qualquer condição inicial pertencente a este domínio determinado, a tra-

jetória correspondente do sistema sob saturaçao tende para a origem

sem

deixar de pertencer

a este poliedro. '

O

segundo capítulo apresenta aspectos gerais de estabilidade e resultados sobre in-

variância positiva.

Além

disso, estabelece relações entre invariãncia positiva e estabilidade, e

apresenta as relaçoes algébricas que caracterizam

um

poliedro positivamente invariante para

sistemas lineares

em

tempo

discreto.

No

terceiro capítulo, são apresentadas algumas abordagens de projeto encontradas

na

literatura que tratam o problema de satisfação das restrições por realimentação de estados

através do uso de: programação não-linear, programação linear e posicionamente de autoestru-

tura.

O

quarto capítulo trata do problema da extensão, sob saturação, de domínios positiva-

mente

invariantes e assintoticamente estáveis determinados a partir do domínio de comporta-

mento

linear do sistema. Para tanto, é proposto

um

algoritmo que testa

em

um

número

finito

de pontos determinados, o decréscimo de

uma

função poliedral definida positiva associada ao

domínio analisado. Estes pontos são determinado a partir dos resultados de

programação

linear

apresentados no apêndice A. Assim, se a função for decrescente para estes pontos, a contra-

tividade (e por consequência, invariância positiva) e estabilidade assintótica para o domínio

analisado são garantidas.

Com

este algoritmo pode-se determinar a maior extensão, sob satu-

raçao, de

um

dado domínio poliedral positivamente invariante, contrativo e assintoticamente

estável.

O

quinto capítulo aborda o problema da extensão, sob saturação, de domínios de

funções de

Lyapunov

poliedrais considerando a expansão de

um

domínio

da

função de Lyapu-

nov

no

qual o controle

u

=

Fx

satisfaz as restrições. Apesar do algoritmo apresentado não

ser plenamente

fundamentado

pelos resultados teóricos obtidos, as simulações realizadas

mos-

tram

que o

mesmo

determina o maior domínio positivamente invariante sob saturaçao. Nesta

da-do domínio. Assim, é testado nestes pontos o decréscimo da funçao de

Lyapunov

associada a

este domínio para averiguar se a

mesma

é

uma

função de

Lyapunov

do sistema sob saturação.

trabalho

É

Definiçoes

e

Resultados

Básicos

Introduçao

Invariância positiva é

um

conceito básico encontrado

em

teoria de estabilidade de siste-

mas

dinâmicos [44], [37]; por exemplo:

em

todo domínio

D(V)

=

{:r E §R"; V(:1:)

Ê

oz, oz

>

_0},

contido no domínio de estabilidade de

um

sistema dinâmico e determinado a partir de

uma

função de

Lyapunov

V(:z;) deste sistema, as trajetórias capturadas por

D(V),

nele

permane-

cem. Assim, nos últimos anos, a propriedade de invariância positiva de conjuntos poliedrais

pertencentes ao espaço de estados

vem

sendo

também

utilizada para o tratamento de alguns

problemas de controle de sistemas lineares

com

restrições nas variáveis de controle e/ou de

estados (veja por

exemplo

[04],[l0]).

Í

E

neste contexto que este capitulo apresenta aspectos gerais de estabilidade de sistemas

dinâmicos

em

tempo

discreto,

em

particular de sistemas lineares, define e apresenta certos

resultados sobre invariância positiva relacionados

com

estabilidade.

E

de interesse particular neste trabalho, sistemas lineares

em

tempo

discreto

com

restrições nas variáveis de controle

quando

uma

lei de controle do tipo saturação é utilizada.

Assim, para estes sistemas, é apresentada

uma

função semi-definida positiva e outra definida

positiva associadas a domínios poliedrais não-limitados e limitados respectivamente.

O

de-

créscimo destas funções, ao longo das trajetórias do sistema, garante a contratividade e por

consequencia, a invariancia positiva destes dominios.

Em

particular, para

um

dominio poliedral

onde o vetor de controle

u

=

F

a: satisfaz as restrições, são apresentadas, de

forma

equivalen-

te, relaçoes algébricas que caracterizam este domínio poliedral positivamente invariante para o

sistema considerado.

Por

fim,

para sistemas lineares

sem

restrições é apresentada

uma

metodologia para

construção de poliedros simétricos positivamente invariantes. Esta metodologia

também

mite definir funções poliedrais adequadas a serem utilizadas no caso de sistemas lineares

com

restrições nas variáveis de controle.

OA

2.1

Invariancia Positiva

para

Sistemas

Dinâmicos

Seja o sistema dinâmico estacionário

em

tempo

discreto descrito pela equação abaixo:

í13k+1

=

f(íI3k,'U,k) , lí; E ./V (2.1)

onde: _f : ÉR"

X

§R'"

-›

ÊR", ar G

X,u

E U. Caso

X

E

ÊR"

eU

E

§R'" o sistema é dito

sem

restrições. Considere o vetor de controle uk definido por

wz

=

9(w›«)

Na

ausência de perturbação, o sistema (2.1) pode, então, ser representado pelo sistema

”autônomo”

:

$k+1

=

f($k›9(xk))

=

h($k) ,V _k E _{./V (2-2)}

Se

X

C

ÉR” é definido por

um

conjunto de restrições aplicado ao vetor de estados,

2: E

X,

e/ou

U

E §R'" é definido por

um

conjunto de restrições aplicados ao vetor de controle

u E U, então o sistema (2.1) é

um

sistema

com

restrições.

Serao relembradas a seguir, três definiçoes sobre domínios particulares (invariante,

positivamente invariante, negativamente invariante) relativos ao sistema (2.2):

Definição

2.1 : _[44] Relativamente a

uma

função h : ÊR"

-›

ÊR”,

um

domínio

D

C

ÉR" e':

invariante se

_h(D)

=

D,

(ii) positivamente invariante se h(D)

C

D,

negativamente invariante se

D

C

_h(D).

Um

conjunto positivamente invariante

pode

ser:

um

subespaço vetorial,

um

cone

ou

um

conjunto poliedral. Neste último caso, a propriedade de invariância positiva de

um

conjunto

poliedral é esquematizado na figura fig.2.l.

O

conceito de invariância positiva está intimamente ligado aos conceitos de contrativi-

dade e atratividade definidos a seguir:

Definição

2.2 (Conjunto contrativo) [59]

O

conjunto não nulo e fechado

D

é

um

conjunto contrativo do sistema ₍ se \7':1:¡,

E

I

E

claro que se

um

conjunto e contrativo relativamente a

um

sistema. dinamico, entao

ele

também

é positivamente invariante.

A

recíproca

nem

sempre é verdadeira.

A

X2

D

›

X

I !

Fig.2.1 Poliedro positivamente invariante

Verifica-se que

um

conjunto positivamente invariante não limitado e contrativo

com

respeito a

um

sistema dinâmico é assintoticamente estável se e somente se suas direções ilimi-

tadas são assintoticamente estáveis. Claro que todo conjunto positivamente invariante limitado

e contrativo é assintoticamente estável.

Definição

2.3 (Conjunto atrativo) _[29]

Um

conjunto invariante fechado

QG

e'

um

conjunto _atrativo do sistema

( se existe

uma

vizinhança

U

de

Q,

tal que toda trajetória :ck+1

=

:z:(k;a:0)

_›

Q,

quando k

_›

oo,

Vmo E U.

`

Assim, 0 conjunto de todas as trajetórias que são capturadas

em

tempo

finito por

um

conjunto atrativo constitui

um

domínio ou região de atração [29]. Se a região de atração de

um

conjunto atrativo corresponde a todo o espaço ÉR", então o sistema _{(2.2) é} dito globalmente

atrativo.

Em

particular, os conceitos de contratividade e atratividade de poliedros

com

relação

.A

A

x 2 X2

D

_D

xo » .___ ____..._,__1

_{___}

_{__¬}

= '-'-"~'~-1 *. ..._._. __ _--,¡ r'- '-¬ L» -› _-_ ×

V

n,_-_1 ¡,,--¡¡ L_-j§d-w L- ._._..._... × X” i . _ _. ..-_ -» -_. -_ .à _- _. _. ' ¡.. L- a) ' b)

Fig.2.2 a) Contratividade b) Atratividade

De

fato, as noções de conjuntos positivamente invariantes e estabilidade assintótica são

essenciais para tratar 0 problema de estabilidade local para os sistemas lineares

com

restrições

e realimentados por

uma

lei de controle saturada. Este é, portanto, o objetivo deste trabalho.

Assim, considere a seguir os sistemas de interesse:

1.

em

malha

aberta por:

:1:k+1

=

Arrk

+

Buk,

uk

E

Q'

C

52'" 2.

em

malha

fechada por:

A

:z:¡,.¡.1

=

Azck

+

Bsat(F:1:¡¢) ,

V

ask 6 ÉR"

(2 3)

'

=

f(“=›‹) “

'

onde: sat(F(:z:k)) é a função de saturação aplicada à. realimentação de estados uk

=

Fxk,

a ser definida posteriormente. _I

Em

particular, na região do espaço de estados onde o controle

u

=

F

rz: não satura, o

sistema (2.3) se comporta

como

o sistema linear abaixo:

íI3¡,+1

= +

BF)$¡, (2.4)

Dentro do contexto de problemas de regulação, é de interesse particular o estudo da

estabilidade assintótica do sistema (2.3) a partir de funções de

Lyapunov

ou de funções semi-

definidas positivas, cujos domínios

contenham

a origem; as trajetórias :z:(k;:1:0) inicializadas

nestes 'domínios

permanecem

dentro dos

mesmos

(invariâncía positiva) e

tendem

para a origem

quando

lc -› oo (estabilidade assintótica).

Tudo

isto será especificado

em

maiores detalhes

posteriormente neste capítulo e nos capítulos seguintes.

Assim, para os sistemas (2.3), (2.4), considere asdefinições abaixo relacionadas:

Definição

2.4 : [58] Seja

um

dominio

D

C

ÊR",

D

75 (Ô e {a:e}

C

D.

D

é

um

dominio de

estabilidade relativo ao estado de equilíbrio rca: -

para 0 sistema se Vick E D, E D.

para 0 _{sistema (24),} se Vazk _{E D, (A}

+

BF):1:k E D.

Definição

2.5 : [58] Seja

um

domínio

D

C

ÉR",

D

7É (Ô e {a:e}

C

D.

D

e'

um

domínio

positivamente invariante e assintoticamente estável se: s

para 0 sistema Vatk G D, E

D

e a:(k;a;0) -› :cz quando k -+ oo.

para 0 _{sistema (24),} \¬/:ck G D,

(A

+

BF):Bk E

D

e _z(k,:1;0) -› :ce quando k -› oo.

2.2

Estabilidade

de

Sistemas

Dinâmicos

-

Segundo

Mé-

todo de

Lyapunov

~

Como

citado anteriormente, o conceito de invariância positiva está intimamente ligado

ao conceito de estabilidade. Assim, serão relembrados a seguir alguns conceitos de estabilidade,

sempre procurando mostrar a sua relaçao

com

o conceito de invariância positiva.

O

método

clássico utilizado para estudar aspectos de estabilidade de sistemas dinâmicos

é 0 segundo

método

de Lyapunov. Ele

tem

como

objetivo estudar o

comportamento

das tra-

jetórias de

um

sistema dinâmico nas vizinhanças de

um

estado de equilíbrio através

da

utilização

de funções definidas positivas denominadas funções de Lyapunov. Assim, a estabilidade do es-

tado de equilíbrio me relativo ao sistema (2.2) é garantida pelo teorema a seguir [47], [29],

[39]. i

Teorema

2.1 : Seja :ne

um

estado de equilíbrio do sistema Seja

V

:

U

-+ ÉR

uma

função

Í/(me)

=

0 e _V(:n)

>

0 , Vac 76 me,

=

l/(íI2k+1)~

É

O , Víflk É

U

_

{íE¿}

então, o estado de equilíbrio me é estável.

Se além disto:

AV(:1:k)

=

V(xk+1)

-

Í/(mk)

<

0,V:1:k E

U

-

_{xe}

então, o estado de equilíbrio é assintoticamente estável.

Uma

função escalar que satisfaz e (ii) ou e (iii) do teorema 2.1 é

chamada

função de Lyapunov.

Quando

estas condições são satisfeitas,

U

C

ÊR" _é

chamado

_{domínio de}

estabilidade (assintótica) local do sistema (22). Se

U E

ÊR", então _me é

um

estado de equilíbrio

globalmente (assintoticamente) estável de (22).

V

A

condição indica que a função V(x) é definida positiva. Caso Í/(rca)

=

O e V(:r:)

2

0, Vac 75 ace, a função V(:n) é dita semi-definida positiva.

Considere agora o conjunto de estados

_D(V)

C

U, associado à. função de

Lyapunov

V(.), definido por:

D(v)â{zéêre"; v(z)5‹z, ‹z>o}

Propriedade

2.1 (Invariância positiva

de

_D(V))

Seja

uma

função de

Lyapunov

de

Então, para todo valor oz

>

O dado, tal que

_D(V)

C

U, o conjunto compacto:

_D(V)

=

{:1:

G

§R"; V(a:)

É

oé} é

um

conjunto positivamente invariante de

h(D(v))

C

ou/)

, vxz ê

N

A

condição AV(:nk)

É

O implica que toda trajetória de (2.2),

com

:D0

G

U, que cruza

a curva de nível V`1(oz), se dirigirá na direção do interior do conjunto

_D(V)

[38] [39].

Em

/_í_..__ \ '/ i/

lí,

\

/

/if

_V1

_\ V ,.zz / V-1(a)

§\

*Jim ₄ ._n_“-

7~

*

`_\`p`___í//f7/

l

Fig.2.3 Invariância Positiva de _D(V)

2.2.1

Estabilidade

de

Sistemas Lineares

Autônomos

Estacionários

Seja o sistema linear

autônomo

estacionário dado por: '

£IJk+1

=

Ágílšk ,

A0

É §RnXn (2.5)

Os

pontos de equilibrio deste sistema são determinados a partir do sistema Aging

=

me cuja

solução trivial é :ne

=

O.

No

decorrer deste trabalho serão estudados aspectos de estabilidade

apenas do estado de equilibrio :ne

=

0.

I À I

E

de interesse part1cular, quando este

modelo

representa

um

sistema linear

em

malha

fechada controlado por

uma

realimentação de estados, ou seja:

A0=A-l-BF

Inicialmente, considere a seguinte definição relativa à multiplicidade dos autovalores de Agi

Definição

2.6 :

A

multiplicidade algébrica de

um

autovalor À,~(./lo) corresponde a multiplici-

deste

mesmo

autovalor corresponde ao

numero

de autovetores de

A0

linearmente independentes

associados a À,-(A0).

As

propriedades de estabilidade do ponto de equilíbrio :ne

=

0 do sistema _(2.5) são

bem

conhecidas [20] Elas

podem

ser facilmente caracterizadas pelo espectro da matriz A0,

como

mostra a propriedade a seguir:

Propriedade

2.2 .'

As

propriedades de estabilidade do ponto de equilíbrio me

=

O do sistema

(25) são caracterizadas pelos quatro casos a seguir:

1. se |À,-(A0)|

<

1,

V

i

=

1,. . . ,n, tem-se estabilidade assinto'tica,' .

2. se existe ao

menos

um

autovalor de A0, À,-(A0) tal que |À,-(A0)|

>

1 tem-se instabi-

lidade;

A

3. se a multiplicidade geométrica de cada autovalor À,-(A0) tal que |À,~(A0)|

=

1 for igual

à multiplicidade algébrica, o estado de equilibrio :re

=

O 6 criticamente estável;

4. se não, se a multiplicidade geométrica for

maior

que a algébrica, então, me

=

O é

criticamente instável. `

No

contexto dos problemas de controle tratados neste trabalho, a condição (i), garan-

tindo portanto estabilidade assintótica, é de especial interesse. Neste caso, apresenta-se a seguir

o teorema clássico de

Lyapunov

[20] que permite associar à

um

sistema (2.5) assintoticamente

estável, funçoes de

Lyapunov

quadráticas.

Teorema

2.2 :

Para

o sistema (25), o estado de equilibrio me

=

0 é assintoticamente estável,

i. e., lÀ,-(A0)|

<

1, se e somente se, para qualquer matriz

Q

dada, simétrica e definida posi-

tiva, erciste

uma

matriz

P

sirnétrica definida positiva, solução única da equação de

Lyapunov

seguinte:

AÊÇPAQ

-

P

=

-Q

-

(2.6)

Assim,

uma

função de

Lyapunov

quando IÀ,-(A0)|

<

1, para i

=

1,. . . ,n e' dada por

V(a:¡,)

=

:v£P:1:¡, _(2.7)

onde

P

é solução de e

=

-€BfQ£Bk

Os

domínios de invariância positiva _D(V(xk)) associados à função de

Lyapunov

(2.7)

têm

a

forma

de

um

hiperelipsoide e são descritos por:

O

resultado a seguir,

menos

clássico

em

teoria de sistemas lineares, permite associar

funções de

Lyapunov

de natureza poliedral ao sistema linear assintoticamente estável.

E

im-

portante salientar que este resultado está diretamente relacionado à propriedade de invariância

positiva de domínios poliedrais compactos.

Teorema

2.3 : [48]

O

ponto de equilíbrio do sistema é assintoticamente estável se _e

somente se existe

um

índice

m

2

n,

uma

matriz

L

E §R"×'" e

uma

matriz F E

fimx"

_{tais que:}

'(1)

A¿L-

LF*

z

o

Hl`H,×,

<

1 ou, de

forma

equivalente, |'y¿,~|

<

1

Ji

A

funçao de

Lyapunov

poliedral associada é:

V(a:).=

max

Il,-:cl (2.8)

líiím

onde l¿

=

i-ésima coluna de l

Os

domínios de invariância positiva _D(V(a:k)) associados à função de

Lyapunov

(2.8)

têm

a

forma

de

um

poliedro compacto e são descritos por:

D(V(:n))

=

{m G Êltn; _|L:1:|§ cz, oz

>

_0}

A

construção de funções de

Lyapunov

do tipo (2.8) é de especial interesse e, portanto,

será abordada posteriormente.

2.3

Invariância Positiva

de

Poliedros

para Sistemas

Di-

nâmicos

Esta subseção

tem

por objetivo mostrar alguns aspectos de problemas de controle sob

restrições e apresentar resultados teóricos de invariância. positiva e conceitos afins que

podem

ser utilizados para resolver estes problemas.

Geralmente,

em

problemas reais de sistemas de controle, as restrições nos estados e/ ou

dos controles

definem

conjuntos poliedrais convexos. Deste

modo,

são dadas a. seguir algumas

definições de base sobre poliedros convexos.

Todo poliedro convezo não nulo do ÊR" _{pode ser caracterizado por}

uma

_matriz

Q

_{E ÉRW”}

e pelo vetor 17 E ÉRQ,

com

q

E

N

-

{0},

n G

./V

-

Este poliedro é defimfido por:

Rim

Ê

{z e

wzoz

₅

«z} <2.9›

Definição

2.8 (Poliedro dissimétrico)

Um

poliedro dissimétrico _{S'(G, pM,p,,,) é} definido por:

d

S(G›pM›pm)

Ê

{m G §Rn;

_pm

É Gm É

pM}

onde:

G

E

ÊRW", _pM,p,,.

_E

ífšg

com

_pM,p,,,

>

0.

Em

particular, se

pM

=

pm

define-se poliedro símétrico. Poliedros dissimétricos e simétrícos

podem

ser esquematizados pela figura abaixo:

_ A A X2 u X2 S‹\G,p) S(G, _{,OM ,gn} )

/

/

V

_›

xl xl 3) b)

Fig.2.4 a) poliedro simétrico b) poliedro dissimétrico

Note que a definição 2.8 corresponde a

um

caso particular de poliedro convexo. Desta. for-

ma,

escrevendo S'(G,p) e 5(G',pM,pm) na forma R[Q,r]], tem-se:

o caso simétrico:

Q:

[

__g} er¡=

. . , .

_

_

G

_

pM

2.3.1

A

Lei

de Saturação Aplicada

à

Realimentação

de Estados

Seja o sistema linear

em

tempo

discreto representado no espaço de estados pela seguinte equação

invariante no tempo: _

a:k+1.

:

Amk

+

Buk

onde: :uk E §R",uk G 1/1

C

ÊR"',A E §R"×" e

B

E §Ê"×'",

com

posto(B)

=

m.

O

par

(A,B)

é

suposto estabilizável.

As

variáveis de controle são restritas ao conjunto

compacto

M

C

§R'":

V

U

=

{'Uz É §Rm; -'wm

É

uk

É

wM}

onde: w,,,,wM E 97€” _{e w,,,,wM}

>

_O.

Uma

lei de controle linear por realimentaçao de estados:

_ Uh

=

Ffllk

é aplicada a (2.l0) tal que o

modelo

linear

em

malha

fechada

$¡,,+1

=

+

(212)

seja assintoticamente estável. Assim, no espaço de estados ÉR", as restriçoes no controle definem

o seguinte conjunto poliedralz ~

S'(F,wM,wm)

=

{:I: G §R";

-wm

Ê

Fxk

Ê

wM}

(213)

chamado

domínio de linearidade do sistema. E, suponha que fora de S'

_(F

,

wm, wM),

uma

lei de controle saturada é aplicada: p

sat((Fa;k))¡ uk ='sat(F:nk)

=

Í sat((1Tmk))2 J . (2.14) âaâ((Fzz,.)),,,

onde as variáveis de controle

assumam

os seguintes valores para 2'

=

1,. . .

,m

[15][31j: ¿, SC (F:13k)¿

>

( )¿ (Ll.k)¿

=

(S(1.É(F33¡¢)).¿

=

¿, Se (F£Bk)¿

<

( ¿ (2.l.5) (F2=¡z)z', Se (wm)z'

É

(FfB¡z)z' wM)z'

paraz`=1,...,m

""š

ás

se /\ã_/3

O

sistema dinâmico correspondente

em

malha

fechada pode ser representado por:

A

lei de controle (2.15) é

chamada

regulador saturado.

O

sistema (2.16) é dito

um

sistema

localmente linear, pois a dinâmica do sistema

em

malha

fechada segue o

modelo

linear ₍₂₁₂₎

apenas para estados pertencentes a S(F,wM,w,,,). Externamente a .5'(F,wM,w,,,), o

compor-

tamento

dinâmico do sistema (2.16) é não linear devido a ação de controle saturada (2.l5).

Pode-se esquematizar estas duas regioes pela figura abaixo: l

A

_WM

9

wm

) x,

/

é

L/

Oo «›]%°'? %`,f‹›z¢.,7 O6 fo '91- 0%] *bo 0,; (76 Ot /bf. /l¡¡0al`0¡0 '

›

C: Oo "30o\ Q' 0'9o`¡¡.'?'‹7¿z0 /29 fo a,. _><

Fig.2.5 Domínio de linearidade

Substituindo (2.14) no sistema (2.16) tem-se:

sat((F:nk))1

¡IJ¡¢+1

=

Áãlšk

+

B

Sat((}¡7wk))z

(2.17)

sat((Fa:k))

O

sistema (2.l7), equivalente a (2.16), apresenta

um

comportamento

peculiar para

determinadas regiões que

compõem

o espaço de estados ÉR". Estas regiões,

chamadas

regiões

intervalos, I1, 12 e I3, de variaçao de

(F

wk),~, mostrados a seguir: fz

=

i-(wa,

‹wM›.i ou p

(F:z:k),- 6

Iz=

(-oo,-(wm),-) ou Vazkê R”,

parai=1,...,m; z=1,...,3m

(2.18) I3

=

_((wM)¿, oo).

Assim, para

um

dado ask cada variável (Fa:k),- é definida somente para

um

intervalo Ij,

=

1,2

ou 3, e o

número

de regiões de linearidade, z, corresponde às combinações possíveis de

m

intervalos do tipo I1,I2 ou I3. Logo, o

comportamento

peculiar do sistema (2.17)

pode

ser

descrito

como

segue: '

Proposição

2.1 :

Os

hipe"/'planos que

geram

o poliedro

S'(F,wM,wm)

dividem o espaço ÊÊ" de estados

em

3"' regiões fechadas R” onde xk+1 dado

em

(217) e'

uma

_{função linear de mk:}

:r:¡,+1= f”(a:k) , Vazk E Rz; paraz-:1,...,3'"

onde fz é

uma

funçao linear de :ck associada à regiao R2.

_ Evidentemente, para

um

dado z

=

zz, a região R1

=

Rz* _{corresponde ao poliedro}

S(F,

wM,

wm). E, apesar do sistema (217) ter

um

comportamento

não linear para estados

não

pertencentes ao domínio de linearidade, S' _(F,

_wM,wm),

_tal

_{comportamento}

_{é linear dentro de}

uma

região

R”

G ÊR", z 7É zz.

No

caso de

n

=

m

=

2, as regiões Rz, para i

=

1,.. .,3'",

podem

ser esquematizadas

na figura abaixo: i A X2 8 1

d\

_ S(F,wM,wm) 2 7

~

5

L

X₁ 3 6

d~

5 4

Para verificar a linearidade da função

_f

z(:1:k)

em

R2 considere a região‹2 da fig.2.6. Observa-se

que nesta região, o vetor

F

az satisfaz a inequação abaixo: ~

(Fwݢ)1

_>

(wm)1

(F$¡z)2

_

('wM)2

Assim, a função sat(Fm), nesta região, é constante e o sistema não linear (2.l7) apresenta

um

comportamento

linear descrito por:

~

:WB

_[ ¡¿;;¿¿¿1]

~

para o intervalo considerado. Considerando agora a região 1 da figura fig.2.6, tem-se:

~

-<w...)1

_<

(zm).

_<

[

‹wM›1

(wM)z

_

(F£Z2k)2

_

OO

Da

mesma

forma que o exemplo anterior, para o intervalo considerado, pode-se escrever que o

sistema (2.17)

tem

um

comportamento

linear descrito por:

=

A“”“

+

B

l (‹ÍÍÍ›)Ã l

Apesar do espaço de estados ÊR" ser dividido

em

regiões R” onde o sistema (2.17)

tem

um

comportamento

linear, o regulador saturado é de natureza não linear e o estudo da estabilidade

do sistema (2.16) não é trivial.

No

caso de se estudar o

comportamento

de trajetórias ao

redor do domínio de linearidade do modelo,

S

(F,

wM,

wm), deve-se considerar as características indesejáveis próprias de sistemas não lineares: pontos de equilíbrio parasitas, ciclos limites,

etc... [21j[58].

Em

geral, para

uma

matriz de realimentação de estados

F

qualquer, se

:D0 E

S(FawM›wm)

nada garante que a trajetória :1:(k, mo),

com

k

>

O,

permaneça

no interior de

S'(F,wM,wm),

ou

mesmo

que esta trajetória seja estável.

O

problema de determinação de

uma

F

e de

um

domínio de estabilidade para o sistema

(2.16) é classicamente tratado pela determinaçao de domínios elipsoidais determinados a partir

de funções de

Lyapunov

quadráticas, contidos no poliedro S'

(F, wM,w,,,). Porém, devido à

quando comparado

com

um

domínio poliedral. Neste contexto, toda a análise subsequente será

baseada principalmente

em

domínios de estabilidade de tipo poliedral.

A

construção de leis de controle saturadas que estabilizam globalmente o sistema _{( 2.16)}

é possível apenas para sistemas lineares

em

malha

aberta assintoticamente ou criticamente

estáveis [17]. Nestes casos, pela aplicação de

uma

lei de realimentação de estados adequada, o

domínio de estabilidade corresponde a todo o espaço de estados ÊR".

Para os demais casos,

uma

maneira de se tratar o problema de regulação

com

restrições

nas variáveis de controle, consiste

em

se calcular

uma

matriz de realimentação de estados

F

que estabilize o sistema (2.12) e que garanta a invariância positiva de S'(F,wM,w,,,) ou de

um

poliedro incluso

em

S

_(F, wM,'wm).

No

capítulo seguinte, será mostrado que isto é

sempre

possível. Assim, determina-se

um

domínio de estabilidade local_para o sistema (2.16).

Na

verdade, geralmente estes domínios positivamente invariantes poliedrais (de esta-

bilidade), ou domínios de

Lyapunov

poliedrais, não correspondem ao maior domínio de esta-

bilidade do sistema (2.16). necessário

também

estudar o

comportamento

das trajetórias do

sistema (2.l6) fora de S' _{(F, wM,w,,,). Assim, o problema da extensão de domínios poliedrais}

positivamente invariantes, sob saturaçao, é tratado no capítulo 4 e o da extensao de domínios

de funções de Lyapunov, sob saturação, de tipo poliedral é tratado no capítulo 5. Para tanto,

utiliza-se nos capítulos 4 e 5 a definiçao das regioes de linearidade R” do sistema abordado.

2.3.2

Caracterização

Algébrica

da

Invariância

Positiva

de

Polie-

dros

para Sistemas

Lineares

em

Tempo

Discreto

Nesta subseção, são apresentadas as relações algébricas que caracterizam a propriedade

de invariância positiva de poliedros convexos, simétricos e dissimétricos

em

relaçao ao sistema

linear

em

tempo

discreto descrito por: i

:r:¡,_¡_1

=

Aomk (2.l9)

onde: rc

G

ER” e

A0

E §R"×". Estes resultados são fundamentais no contexto dos problemas

tratados nesta dissertação.

Proposição

2.2 (Invariância positiva _{de R[Q,f¡]}

O

poliedro R[Q,17] e'

um

_{conjunto positivamente invariante do sistema}

(219)

se e so-

mente se, existe

uma

matriz não negativa 'H _E §7Êq×° ('H,-,-

2

O parai

=

_1, . ..,q,-j

=

1,.. . ,q)

tal que

Ha

S

vv (2.21)

ou, de

forma

equivalente:

R(A0z)

3

R(z),

vz

e re"

R(z)

â

_{z¿zíz,1×{mz×{%,o}}}

A

proposição seguinte dá

uma

condição geométrica necessária e suficiente para a

onde

existência de

uma

matriz 'H _{que satisfaça a relação (220).}

Proposiçao

2.3 .'

[62]

Uma

condição necessária e suficiente para a existência de

uma

matriz

7-l E Êftqxq que _satisfaça a equação

'HQ

=

QA0

6 que 0 /Cer

Q

seja

um

subespaço

A0

invariante:

A0lCer

Q

C

/CerQ

É

de interesse particular

quando

o sistema (2.l9) representa

um

sistema controlado

por realimentação de estados. Neste caso, a condição de A0-invariância é equivalente a (A,

B

)-

invariância.

Quando

o sistema linear (2.l9) é considerado válido

em

todo o espaço de estados, todo

homotético de

um

poliedro positivamente invariante é

também

positivamente invariante. Esta

propriedade é enunciada a seguir para o caso mais genérico do poliedro _R[Q,n].

Propriedade

2.3 _[19] (Homotetia)

Se R[Q,n] é

um

poliedro positivamente invariante _{do sistema (219), então} para todo

escalar positivo e

>

0, R[Q, en] é

também

um

poliedro positivamente invariante de (219).

Note que, caso o domínio de validade do

modelo

(2.19) seja local,

como

ocorre

no

caso

de sistemas lineares

com

restrições no vetor de controle _{(216), a propriedade} de homotetia

acima será válida apenas para certos valores de ê.

`

Como

foi mostrado anteriormente, a definição de poliedro dissimétrico e por conse-

quência de poliedro simétrico corresponde a

um

caso particular de polierdo convexo. Assim,

pode-se

também

encontrar

uma

caracterização algébrica particular para a propriedade de inva-

riância positiva dos poliedros simétricos e dissimétricos:

S(G', p) é

um

poliedro positivamente invariante do sistema (219) se e somente se,

existe

uma

matriz

H

G 929” tal que

HG

=

_GAO

(2.22)

Hp

S

/J (2.23)

ou de

forma

equivalente,

V(A0:1:)§ l/(ze), Va: E 9%" (2.24)

onde -

v(z)

â

_i=

_{_n}zz×g{@}}

(225)

,..., ›

Proposição

2.5 (Invariância positiva de S'(G,pM,pm)) [10][04]

'

S(G',pM,p,,,) é

um

poliedro positivamente invariante do sistema (219) se e somente

se, existe

uma

matriz

H

E §R9×9 _{(tal que} 2

V

2

HG

=

_GAO

₍₂₂₆₎

HJ*

H-

_PM

_,OM

lH'

_H*llP~zlSlPm

(227)

com:

H* =

sup(h,~,~,0) e

H" =

sup(-h,›,~,O) ou de

forma

equivalente .

W(A0:r)

É

W(:c), Va: E

W'

(2.28)

onde

W(z)

Ê

mâíx

(max

-%-3%)

(229)

i:

mi

Note que, a satisfação da relação (224) ( ou (228), no caso dissimétrico), garantindo a

invaríancia de .S'(G', _p), garante

também

ainvariância de todo homotético de

S

_{(G, p),} conforme

enunciado na propriedade 2.3 para o caso genérico de poliedro convexo.

As

relações (2.20) e (2.2l) (ou (2.22) e (223), ou (2.26) e (2.27)) são

chamadas

de

relações de invariância positiva.

Como

apresentado nas proposições 2.4 e 2.5, as respectivas relações de invariância positiva caracterizam o não crescimento ao longo das trajetórias do

sistema (2.19) das funções escalares R(a:), V(a:) e

Seja

G

E ÊRQX". _{Então, se g}

<

_n

e posto(G)

=

g,

uma

parte do espectro de A0, notado

Propriedade

2.4 [19]

Se _g

<

n

e _posto(G)

=

_g, então

P

O-(H)

c

zf(A0)

Se

um

poliedro dissimétrico é positivamente invariante

com

relação ao sistema (2.19),

sempre é possível construir

um

poliedro simétrico a partir deste que seja

também

positivamente

invariante,

como

enunciado pela propriedade seguinte:

Propriedade

2.5 _[19] Se S(G,pM,p,.,,),

com

G' de posto pleno, e'

um

_poliedro positivamen-

te inva/riante do sistema (219), então existe

um

polied'/“o _{simétrico positivamente invariante}

relativo ao sistema (219), dado por S'(G,pM

₊

pm).

Deste

modo,

alguns resultados de estabilidade relacionados às equações (2.23) e (2.27)

podem

ser analisados dentro do contexto de conjuntos poliedrais simétricos. Para tanto,

podem-

se utilizar certas propriedades de

M

-matrizes [51][05] ou o conceito de

norma

infinita de

uma

matriz e raio espectral.

Dada

uma

matriz

Q

E §R"×" temos que:

p

e

||Q|¡«z

=

zz1§›‹}Í{1Qz-,-|} (230)

e

2

=

mÍi1x{|À,›(Q)|}, onde 9 é o raio espectral de

_Q

[22] e À, é

um

dos autovalores

de Q.

Considerando

S

=

diag{1/p,~}, para i

=

1,...,n, a inequação |H|p

É

_p

pode

_ser

reescrita assim:

|SH's-111,,

₅

_{1,, (2.31)}

Mas, pela definição de

norma

infinita (2.30), (2.31) é equivalente az

||Hl|z×›

S

1

Então, 9

É

|1°°

É

1, ou seja, os autovalores de

H

pertencem ao círculo de raio unitário

no _P lano

com

_P lexo. Por conse Cl uência, o sistema q ue descreve a dinâmica dentro do es Pa o _§

(¶Ê"/lCe'r' _G):

e¡,+1

=

Hek,

com

ek

=

Gack

é necessariamente assintoticamente estável. lsto pode ser resumido

na

seguinte proposição:

Proposição

2.6 Seja a

matrizH

E §R9×9 e o vetorp 6 ÉRQ

>

0. _{Se_|H|p}

É

_{p então} |À,~(H)|

<

1,

Considere agora a propriedade de invariäncia positiva

quando

a lei de saturação _é

aplicada ao sistema (2.l6). Neste caso, as relações de invariância positiva não

podem

mais ser

utilizadas para caracterizar a invariância positiva. Porém,

com

relação ao sistema não-linear,

ainda pode-se utilizar de funções semi-definidas positivas para caracterizar domínios poliedrais

positivamente invariantes e contrativos,

como

será enunciado na proposiçao seguinte:

Proposição

2.7 Relativamente ao sistema (216), o poliedro

.5'(\I/,oéeM,aem)

=

{m E §R"; -ae",

í

\I1:z

É

aeM}

_(2.32)

e' _{contrativo, se e} somente _se

AVÍ/g(a:¡,)

=

_Wg(xk+1)

-

Wg(:n¡,)

<

0, Van, E S(\I',aeM,oze,,,)

-

_{{0} (233)}

33 ¿ IB ¿ onde (W ) (ql )

W”

Ê

i ‹«M›z '

'

‹‹zm›z

suficiência: Seja

um

mk G S'(\I/, _{ozeM, ozem)}

-

_{{0} e} defina o _escalar a'(:1:¡,)':

Prova

‹z'‹zzzz›

Ê

Wim)

Então, a'(a:k)

S

oz.

De

_{(2.32) e} da relação acima, conclui-se que :ck

E

_{ÕS(\I1, o/(a:k)eM, a'(:nk)e,,,).}

Se a relação ₍₂₃₃₎ é satisfeita, tem-se que :c¡,+1 E ÕS(\I1,a'(:n¡,+1)eM,a'(a:¡,_¡_1)e,,,) onde o/(a:¡,+1)

<

a'(:Bk). Isto implica que S'(\I/,

aeM,

_{oéem) é} contrativo

com

_relação ao sistema _(2.16). ~ necessidade: Por hipótese S(\I1, ozeM, ozem) é contrativo, ou seja, se .

Vmk E ÕS'(\I/, _{a'(xk)eM,oz'(a:k)em),}

com

_O

<

_0/(:z:k)

É

oz, existe a'(:z;¡,+1) tal que

fl=k+1 É Ô5(*Í1›0/(“=k+1)€M›0/($k+1)@m) » 0

<

0/(ffl1z+1)

É

0/(mk)

Consequentemente, Víck E S'(\I¡, _ozeM, aem) tem-se:

WQÍ-Th)

=

0/(mk) 6 _Wg($k+1)

=

0/($k+1) š 0/($k+1)

<

C/Íífikl

É

01 (2-34)

De

(2.34) tem-se que

Wg(a:k+1)

-

Wg(a:¡,)

<

0, Van, E S(\I1,ozeM,oze,,,)

-

_{0}

2.4

Determinação

de

Poliedros

Simétricos

Positivamen-

te

Invariantes

Um

método

clássico para determinar

um

domínio

compacto

Q C

S(F,

wM,

wm), posi-

tivamente invariante e estável relativamente ao sistema (216), consiste

em

se determinar

uma

função de

Lyapunov

V(a:) quadrática ou poliedral e

um

escalar 6

>

O tal que:

D(V(:r))

=

{:13 G Êffn; V(:1;)

É

e}

satisfaça:

q D(V(:c))

Ç

S(F,wM,w,,,)

Neste trabalho são de interesse

também

os domínios poliedrais positivamente invarian-

tes que não são necessariamente compactos. neste contexto que diferentes autores [09], [37]

consideram o problema da determinação de poliedros positivamente invariantes relativamente

ao sistema linear (2.l9), a partir da autoestrutura da matriz A0. Extensoes para o caso contínuo

foram apresentadas por [18] e [l9]. Assim, é apresentada nesta seção

uma

técnica relativa ao

sistema linear

em

tempo

discreto,

:1:k+1

=

Aozck (2.35)

para determinaçao de poliedros simétricos limitados (politopos simétricos) positivamente inva-

riantes [l9]. Estas metodologias apresentadas nos itens 2.4.1 e 2.4.2 são baseadas nas relações

de invariância (222) e (2.23) onde a matriz

H

assume formas particulares:

forma

canônica

real de Jordan e

uma

extensãobloco triangular da forma real de Jordan. Vale salientar que

0 poliedro simétrico determinado por este algoritmo, além de ser positivamente invariante, é

contrativo. '

2.4.1

Forma

Canônica

Real de

Jordan

Neste caso, utiliza-se

como

matriz

H

candidata nas relações de invariância (2.22~) e ₍₂₂₃₎ a

representação sob a forma real de Jordan da matriz

A0

dada por:

_ L1 0 . . . 0 V 0 _. _ .

L

H=V

1A0v=

P1

D1

_ .

'zo

0.

.oD,,

onde

V

e

V`1

correspondem aos autovetores à esquerda e à. direita de A0.

Os

blocos L1, . . . _, LPI

estão associados aos pl autovalores reais não necessariamente distintos de Ag. Assim, a cada

bloco L¿ corresponde

um

autovalor Ài

com

multiplicidade qi dado por:

À,- 1' O _ 0

O À¿ 1 .

L,~

=

. . .

. . '- 1

0 . _ 0 À,-

Já. os blocos D1, . . . _,

Dm,

estäo associados aos pg pares de autovalores complexos conjugados

de A0.

A

cada _{bloco Dm,_ corresponde}

um

par de complexos conjugados /.im :fz jam,

com

multiplicidade sm: i ~ ,um

-am

1 O O

om

/im 0 1 _ O 0

_am

-am

. . .

am nm

. ` - . 1 0 . ' ' - 0 1 . . O

pm.-am

_0

. O

am

,am_

Dm:

A

matriz

G

candidata é

dada

por:

G

z

v-1

_(2.sô)

A

partir _{destas considerações,} mostra-se o seguinte resultado:

Proposição

2.8 [18]

Uma

condição necessária e _suficiente para _{a invariância positiva} do _{politopo simétrico}

definido por:

5(G,f›)

=

{w 6 ?R";-P

S Gw

S

/›}

onde:

G

=

V`1

é

uma

matriz dos autovetores reais generalizados à direita de _A0 e _p

E

ÊR" é

um

vetor estritamente positivo apropriado; e' _{que todos os autovalores de}

A0

(reais e _complexos),

notados p.,~ :E ja,-, satisfaçam:

'

|/»¿z'|+|Uz'lÉ1› Pf"`<H'=1›---›P1+P2

A

condição espectral

acima

é esquematizada pela figura fig.2.7.

Para este caso particular onde

G

é dado por (236), o posto(G)

=

n

e a

norma

poliedral

Os

sistemas instáveis

podem

admitir conjuntos positivamente invariantes.

Em

par-

ticular, se o sistema (2.19) é instável e

A0

possui certos autovalores estáveis que satisfazem

Ip]

+

|a|

<

1, então o sistema admite poliedros positivamente invariantes construidos a partir

dos autovetores à direita associados ao autovalores estáveis.

Os

poliedros positivamente inva-

riantes sao necessariamente nao limitados nas direçoes dos autovetores _{(à direita)} associados

aos autovalores instáveis. '

A

0

1

_|zU|+|0|<1

P

lo 1.

M

-

1.

Fig.'2.7 _{Região de invariância positiva}

~

2.4.2

Uma

Extensao Bloco

Triangular

da

Forma

Real

de

Jordan

Utiliza-se

como

matriz

H

candidata,

uma

extensão sob forma bloco triangular

da

repre-

sentação real de Jordan de

A0

para se determinar politopos simétricos positivamente invariantes.

Os

politopos positivamente invariantes determinados se caracterizam por possuírem

somente

um

subconjunto de suas faces determinado a partir dos autovetores reais à. esquerda de

A0.

A

importância da construção destes poliedros se verifica para certos problemas particulares

de controle sob restrições

quando

não é possível obter invariância positiva de todo o poliedro

de restrições [34].

Considera-se inicialmente que os autovalores de

A0

satisfaçam a seguinte condição:

e a representação de

A0

sob a forma canônica real de Jordan possa ser

decomposta

assim:

A‹›h/1vê1={v11ê1[Q1

_Éh]

~

com

A1 E §Rs×*,A2 _{G ¶("`”)×("`s), V1 G} §R"×$, _{V5 G} 9Ê"×("`5) _{de forma que o(A1) F1 o({\2)}

z

_{Q)_}

Assim, seja G'

=

I;

gl

¶

com

G1 E §R'×",

_G2

_G §R("`”)×" _{tais que}

2

G1

_{_}

Í, O

In__s:|

A

partir destas considerações iniciais, pode-se escrever o seguinte resultado:

Proposição

2.9 [19]

Sejam

pl e _pz tais que

i"?f'›Â1«HílHíli

então, a toda matriz não nula

M

E §R'°×(”"3) _{que satisfaz}

_ P P

uA11.|Mu

[ P; ]

s

[P1

] (227)

pode-se fazer corresponder

uma

matriz

_Q1

E ÉRSX",

_Q1

_{76 G1, tal que 0 n-politopo:}

S<[ã;}›[2;})={M=~[í:]42;]fiííiâfi

seja positivamente invariante.

A

matriz

_Q1

E §R”×" e' determinada

como

_segue:

Q1

=

G'1+

DG'z, onde a matriz não nula

D

=

[dl dz d,,_,],

com

dj E ÉRS

paraj

=

1,. . .,(n

-

s) e' determinada para os seguintes casos:

0 Se 02,-

=

O então dj

=

(/,/,z¿I,

-

A1)"1m,-,

com

dj

=

0, se e somente se

mj

=

0,;

e z1~

WI,-A1

-O-,Is

T

Í

m~

}

[a

}

S

, O t J

:

J .7 J , J _{:_} o e _02, 95 en ao [ dJ_+1 } { 02115

Mais

_A1

m]_+1

com

dJ_+1 TR i Os i se e somêntg se j

=

Os i - On-s mj+1 0s+1

Pela inequação (2.37) deduz-se que existe diferentes matrizes

M

candidatas.

A

proposi- ção 2.9

também

pode ser aplicada para se determinar poliedros não limitados positivamente

invariantes [19].

Para se utilizar os resultados dos itens 2.4.1 e 2.4.2, para

um

sistema linear

com

res-

trições nas variáveis de controle, tem-se que satisfazer

também

a seguinte condição:

S(G',p)

Q

S'(F,wM,wm)

(238)

Assim, _p deve ser escolhido de forma que a relação (238)

também

seja satisfeita.

Conclusão

_

Dentro de muitos roblemas ráticos de controle sob restri Çoes de sistemas dinâmicos ›

as restrições aplicadas sobre as variáveis de estado e _/ ou de controle,

definem

poliedros convexos

dentro do espaço de estados. Neste contexto, a propriedade de invariância positiva de domínios

poliedrais, definidos no espaço de estados,

tem

fundamental importância no cálculo de leis

de controle. Pois, se o domínio de condições iniciais de

um

sistema controlado

com

restrições

pertence a

um

conjunto positivamente invariante, incluso no domínio definido pelas restrições, as

trajetórias do sistema

permanecem

dentro deste domínio positivamente invariante e a satisfação

das restrições é garantida.

Se

um

sistema linear controlado por realimentaçao de estados é assintoticamente -

estável, pode-se facilmente determinar conjuntos compactos positivamente invariantes a partir

de funções de

Lyapunov

poliedrais ou quadráticas.

Como

o domínio de funções de

Lyapunov

U)

t1:I~

o~ Q.

clássicas quadrática e forma hiperelipsoidal, ele não se adapta

bem

aos problemas de con-

trole sob restrições. necessário, portanto, caracterizar a invariância positiva para domínios

poliedrais.

A

contratividade de poliedros convexos e

em

particular de poliedros simétricos e dis-

simétricos contendo a origem no espaço de estados é equivalente à. existência de certas funções

escalares semi-definidas não-negativas decrescentes ao longo das trajetórias do sistema linear

:z;k+1

=

Aomk

ou :ck+1 ==

Amk

+

Bsat(Fa:k).

Em

particular, no caso de poliedros positivamente

invariantes nos quais o vetor de controle u

= Fm

satisfaz as restrições, pode-se

também

definir,

de

forma

equivalente, relaçoes de invariância positiva que garantem a invariância positiva deste

poliedro.

Todos os sistema lineares

com

pólos dentro do círculo de raio unitário do plano

complexo

para À,-(A0)

=

pi

+

U,-j, se |/.¿|,~

+

|a|¿

<

1,

1'

=

1, . . . ,n, pode-se sempre determinar poliedros

positivamente invariantes a partir da representação sob a forma real de Jordan de A0. Assim,

foram apresentadas neste capítulo, duas metodologias de construção de politopos (poliedros li-

mitados) simétricos positivamente ínvariantes e contrativos utilizando-se de formas particulares

da matriz

H

:

0 sob a forma canônica real de Jordan e

o

uma

extensão bloco triangular da forma real de jordan.

Ôs

resultados deste capítulo

com

relação ao sistema :nk+1

=

/1012;, são utilizados nos

capítulos seguintes para o caso de sistemas lineares

em

tempo

discreto controlados por reali-

rnentação de estados sob restrição no vetor de controle. Neste contexto, todo resultado aplicado

ao sistema linear a:k+1

=

Aomk poderá ser aplicado

também

ao sistema linear

em

malha

fechada

:nk+1

=

(A

+

BF)a:k. “