RESUMO5A-BM-2014

(1)

Parte 5 (Fun¸c˜

oes)

BC 0003

Edson Alex Arr´azola Iriarte

Universidade Federal do ABC

August 20, 2014

“ As fun¸cões são as melhores ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos ”

Defini¸cão Uma fun¸cão f de um conjunto D para um conjunto Y é uma regra que associa a cada elemento x em D um único elemento f (x ) ∈ Y , em s´ımbolos

f : D → Y x 7→ f (x)

I O conjunto D ´e chamado dom´ınio de f , e as vezes ´e denotado por Dom(f ).

I O conjunto de todos os f (x ) ´e chamado imagem de f e ´e denotado por Im(f ).

Fun¸c˜

ao reais

I A fun¸c˜_{ao f : D → R, onde D ⊂ R, ´e chamada fun¸c˜}ao real de uma vari´avel real.

I O Gráfico de uma fun¸cão f é o conjunto G (f ) = { (x , f (x )) : x ∈ D }

I _{G (f ) ⊂ R × R}

I Teste da reta vertical: _{Uma curva no plano R}2 é o gráfico de uma fun¸cão se, se somente se, nenhuma reta vertical corta a curva mais de uma vez.

Exemplos

1. Fun¸c˜ao constante f (x ) = b Dom(f ) = R Im(f ) = {b} 2. Fun¸c˜ao identidade f (x ) = x Dom(f ) = R Im(f ) = R

3. Fun¸c˜ao linear f (x ) = a x , com a 6= 0 Dom(f ) = R

Im(f ) = R

4. Fun¸c˜ao afim f (x ) = ax + b, com a 6= 0 Dom(f ) = R

(2)

A fun¸c˜

ao potˆ

encia

f (x ) = xn, com n inteiro n˜ao negativo

I Caso particular 1: f (x ) = x2 Dom(f ) = R Im(f ) = [0, +∞) I Caso particular 2: f (x ) = x3 Dom(f ) = R Im(f ) = R

A fun¸c˜

ao potˆ

encia de expoente

_n1

f (x ) = x1/n, com n ≥ 1 inteiro

I Caso particular 1: f (x ) = x1/2

Ra´ızes pares s´o fazem sentido se x ≥ 0, logo: Dom(f ) = [0, +∞)

Im(f ) = [0, +∞)

I Caso particular 2: f (x ) = x1/3

Ra´ızes ´ımpares fazem sentido para qualquer n´umero real, logo: Dom(f ) = R

Im(f ) = R

I Nota¸c˜ao x1/n =√n_x

Fun¸c˜

oes polinomiais

p(x ) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0, an 6= 0

I _{Dom(p) = R}

I Se n = 0, então p(x ) = a0 (fun¸cão constante) I Se n = 1, então p(x ) = a1x + a0 (fun¸cão afim) I Se n = 2, então p(x ) = a2x2+ a1x + a0 (fun¸cão

quadr´atica)

I Observa¸c˜ao Se a0= a1 = · · · = an−1= 0 e an = 1, ent˜ao

p(x ) = xn (fun¸c˜ao potˆencia)

Fun¸c˜

oes racionais

f (x ) = p(x )

q(x ), onde p(x ) e q(x ) são polinômios Seja Σ = { x ∈ R : q(x) = 0 } o conjunto das ra´ızes de q, então

(3)

Exemplos

1. f (x ) = x − 1 x + 2 Dom(f ) = {x ∈ R, : x 6= −2} 2. f (x ) = x + 3 x2_{+ 4} Dom(f ) = R

Uma fun¸c˜

ao muito importante

f (x ) = 1

xn, com n inteiro n˜ao negativo

Dom(f ) = R − {0} I Caso particular 1: f (x ) = 1 x Dom(f ) = R − {0} I Caso particular 2: f (x ) = 1 x2 Dom(f ) = R − {0}

Fun¸c˜

ao Par e Fun¸c˜

ao ´Impar: Sim´

etrias

Defini¸cão 1 Uma fun¸cão f é dita par se f (−x ) = f (x ) para x ∈ Dom(f )

Observa¸cão: O gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo y

Exemplo f (x ) = x2 ´e par

Para esbo¸car o gráfico de uma fun¸cão par, primeiro esbo¸camos o gráfico de f para x ≥ 0 e depois refletimos em torno do eixo y

Defini¸cão 2 Uma fun¸cão f é dita ´ımpar se f (−x ) = −f (x ) para x ∈ Dom(f )

Observa¸cão: O gráfico é simétrico em rela¸cão à origem.

Exemplo f (x ) = x3 ´e ´ımpar

Para esbo¸car o gráfico de uma fun¸cão ´ımpar, primeiro esbo¸camos o gráfico de f para x ≥ 0 e depois giramos 180o em torno da origem

Fun¸c˜

oes crescentes e decrescentes

Defini¸cão Seja I um intervalo. Uma fun¸cão f é dita

I crescente em I , se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2 em

I

I decrescente em I , se f (x₁) > f (x₂) sempre que x₁< x₂ em I Exemplo 1 f (x ) = −x decrescente em R Exemplo 2 f (x ) = x3 crescente em R Exemplo 3 f (x ) = x2 decrescente no intervalo (−∞, 0] crescente no intervalo [0, +∞)

(4)

Fun¸c˜

oes definidas por partes

Exemplo 1 Seja a fun¸c˜ao definida por

f (x ) = (

1 − x se x ≤ 1 x2 se x > 1

Calcule f (−1), f (0),f (1)e f (2). Qual o gr´afico de f ?

I O gr´afico de f `a esquerda da reta x = 1 coincide com a reta y = 1 − x

I O gráfico de f à direita da reta x = 1 coincide com a parábola y = x2

Fun¸c˜

oes definidas por partes

Exemplo 2 Fun¸c˜ao valor absoluto f (x ) = |x | Como

f (x ) = (

x se x ≥ 0 −x se x < 0

I O gr´afico de f `a direita do eixo y coincide com a reta y = x

I O gr´afico de f `a esquerda do eixo y coincide com a reta y = −x

Fun¸c˜

ao seno

f (x ) = sen x

Propriedades

I |sen x| ≤ 1 ou −1 ≤ sen x ≤ 1, _{para todo x ∈ R}

I sen x = 0 ⇔ x = ±π, ±2π · · ·

I _{sen(x + π) = sen x , para todo x ∈ R}

Dom(f ) = R e Im(f ) = [−1, 1]

Fun¸c˜

ao cosseno

f (x ) = cos x

Propriedades

I |cos x| ≤ 1 ou −1 ≤ cos x ≤ 1, para todo x ∈ R

I cos x = 0 ⇔ x = ±π₂, ±3π₂ · · ·

I _{cos(x + π) = cos x , para todo x ∈ R}

(5)

Opera¸c˜

oes com fun¸c˜

oes

Sejam f e g duas fun¸c˜oes.

Para cada x ∈ Dom(f ) ∩ Dom(g ) podemos definir novas fun¸c˜oes:

Soma (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) Diferen¸ca (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) Produto (f · g )(x ) = f (x ) · g (x ) Quociente f g (x ) = f (x ) g (x ), se g (x ) 6= 0

Exemplo

f (x ) =√x e g (x ) =√1 − x 1. (f + g )(x ) =? 2. (f − g )(x ) =? 3. (f · g )(x ) =? 4. f g (x ) =?

Fun¸c˜

ao tangente

f (x ) = tg x tg x = sen x cos x Propriedades I tg x n˜ao est´a definida em x = ±π₂, ±3π₂, · · · I tg (x + π) = tg x , para todo x ∈ R Dom(f ) = R −±π₂, ±3π₂, · · ·

Fun¸c˜

ao exponencial

f (x ) = ex, onde e ≈ 2, 718281828 · · · (homenagem a Leonard Euler)

Propriedades I f (0) = 1

I _{f (x ) > 0, para todo x ∈ R} I A fun¸c˜ao exponencial ´e crescente.

Dom(f ) = R e Im(f ) = (0, +∞)

(6)

Composi¸c˜

ao de Fun¸c˜

oes

Defini¸cão Dadas duas fun¸cões f e g , a fun¸cão composta f ◦ g ou composi¸cão de f e g é definida por

(f ◦ g )(x ) = f (g (x ))

Dom´ınio de f ◦ g

´

E o conjunto de todos os x ∈ Dom(g ) tal que g (x ) ∈ Dom(f ).

Exemplos

1. f (x ) = x2 e g (x ) = x − 3 I (f ◦ g )(x ) =? I (g ◦ f )(x ) =? 2. f (x ) =√x e g (x ) =√2 − x I (f ◦ g )(x ) =? I (g ◦ f )(x ) =? I _{(f ◦ f )(x ) =?} I (g ◦ g )(x ) =?

Observe que, em geral, f ◦ g 6= g ◦ f .

Fun¸c˜

ao Um a Um (Injetora)

Defini¸cão Uma fun¸cão f é chamada um a um se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é,

f (x₁) 6= f (x₂), sempre que x₁6= x₂ Geometricamente, se uma reta horizontal intercepta o gráfico da fun¸cão f em mais de um ponto, então a fun¸cão não é um a um.

Teste da Reta Horizontal Uma fun¸cão é um a um, se e somente se, toda reta horizontal intercepta seu gráfico em apenas um ponto.

Exemplo 1 A fun¸cão constante f (x ) = b não é um a um.

Exemplo 2 A fun¸cão f (x ) = x2 não é um a um.

Exemplo 3 A fun¸c˜ao f (x ) = x3 ´e um a um.

Fun¸c˜

ao Inversa

Defini¸cão Seja f uma fun¸cão um a um tal que A = Dom(f ) e B = Im(f ). A fun¸cão inversa de f , denotada por f−1é definida por

f−1(y ) = x , se f (x ) = y .

Dom´ınio e Imagem da fun¸c˜ao inversa de f :

Dom(f−1) = B e Im(f−1) = A.

Exemplo: A inversa de f (x ) = x3 ´e f−1(x ) = x1/3

Observa¸c˜ao Importante 1: Observe que f−1(x ) 6= 1 f (x )

Observa¸c˜ao Importante 2: Toda fun¸c˜ao crescente (ou

(7)

Encontrando Inversas de uma fun¸c˜

ao um a um

1. Escreva y = f (x )

2. Sempre que seja poss´ıvel, resolva a equa¸c˜ao acima para x em termos de y

3. Para escrever f−1 como fun¸cão de x , troque x por y A equa¸cão resultante é y = f−1(x )

Geometricamente , o gr´afico de f−1 pode ser obtido refletindo o gr´afico de f em torno da reta y = x .

Observa¸c˜ao Importante Lembre que o dom´ınio de f−1 ´e tal que Dom(f−1) = Im(f )

Exemplos

Exemplo 1 Se f (x ) = x3+ 2, f−1(x ) =?

Observe que _{Dom(f ) = R e Im(f ) = R, logo}

Dom(f−1_{) = R}

Exemplo 2 Se f (x ) =√x − 1, f−1(x ) =?

Observe que Dom(f ) = [1, +∞) e Im(f ) = [0, +∞), logo Dom(f−1) = [0, +∞)

Exemplo 3 Se f (x ) = ex, f−1(x ) =?

Observe que _{Dom(f ) = R e Im(f ) = [0, +∞), logo}

Dom(f−1) = [0, +∞)

Fun¸c˜

ao logaritmo natural

Defini¸cão A fun¸cão logaritmo natural f (x ) = ln x é a fun¸cão inversa da fun¸cão exponencial g (x ) = ex

Dominio de f Dom(f ) = (0, +∞)

Imagem de f _{Im(f ) = R}

Observemos que a fun¸c˜ao logaritmo est´a definida para x > 0

Propriedades

I ln x = y ⇔ ey _{= x}

I f (0) = 1, ou seja, ln e = 1, pois e0= 1 .

Deslocamento do gr´

afico de uma fun¸c˜

ao

Deslocamento horizontal y = f (x ) + k

Se k > 0 h´a um deslocamento em k unidades para cima.

Se k < 0 h´a um deslocamente em |k| unidades para baixo.

Exemplo Se f (x ) = x2, qual o gr´afico de y = x2+ 1 e de y = x2− 2 ?

Deslocamento vertical y = f (x + h)

Se h > 0 h´a um deslocamento em h unidades para a esquerda.

Se h < 0 h´a um deslocamente em |h| unidades para a direita.

Exemplo 1 Se f (x ) = x2, qual o gr´afico de y = (x + 3)2 ?