Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
OPF ROBUSTO
Pedro Gonçalo Oliveira Campos Ferreira da Silva
Dissertação realizada no âmbito do
Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Major Energia
Orientador:
Professor Doutor Manuel António Cerqueira da Costa Matos
iii
Resumo
Nesta dissertação são apresentadas um conjunto de metodologias para abordar o OPF DC (DC Optimal Power Flow) quando as cargas do sistema apresentam incerteza, caracterizada por números difusos.
É estabelecido o conceito de OPF robusto no sentido em que se procura definir uma estratégia de funcionamento do sistema para a qual, qualquer variação prevista nas potências de carga permita a realização de um cenário admissível de produção, em que a possibilidade de ocorrência de sobrecarga nos ramos pode ser controlada pelo agente de decisão.
A identificação da melhor estratégia de produção é feita integrando trânsitos de potência difusos em modelos de redespacho de potência convencionais e num modelo de otimização de enxame de partículas evolucionário (EPSO).
Como principais resultados são obtidas distribuições de possibilidade para os trânsitos de potência, potências geradas e custos de produção.
Palavras – chave: trânsito de potências ótimo DC, incertezas na carga, trânsito de potências
v
Abstract
In this master thesis, a set of methodologies are proposed to include load uncertainties modelled by fuzzy numbers in DC OPF studies.
The concept of robust OPF is stablished in the sense that it seeks to identify a generation strategy for which any expected variation in load powers allows the realization of an acceptable dispatch, in which the possibility of branches overload can be controlled by the decision agent. An EPSO algorithm and optimal rescheduling of real power generation are used, together with a fuzzy power flow tool, as optimization platforms to define the optimal allocations of loads among the generators.
Among the results, membership functions for power generations, branch power flows and generation costs are built.
Keywords: DC Optimal Power Flow, load uncertainties, DC fuzzy power flow, congestion
vii
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço ao Professor Doutor Manuel Matos todo o acompanhamento e importantes conselhos ao longo da realização desta dissertação.
Quero também expressar o meu agradecimento ao Doutor Leonel Carvalho pela contribuição dada ao nível da implementação computacional.
Agradeço igualmente a todos os meus amigos que me acompanharam ao longo desta vida académica, em particular ao Miguel pela companhia diária e pela disponibilidade em ajudar.
Finalmente, quero expressar a minha gratidão para com a minha família por toda a amizade e apoio manifestados.
ix
Índice
Resumo ... iii
Abstract ... v
Agradecimentos ... vii
Índice ... ix
Lista de figuras ... xi
Lista de Tabelas ... xiii
Abreviaturas ... xv
Capítulo 1 ... 1
Introdução ... 1
1.1. Enquadramento ... 1
1.2. Objetivos ... 1
1.3. Estrutura da dissertação ... 2
Capítulo 2 ... 3
OPF e a incerteza na carga ... 3
2.1. OPF determinístico ... 3
2.2. Modelos Difusos ... 8
2.3. Trânsitos de potência difusos ... 13
2.4. OPF difuso ... 17
2.5. Gestão de congestionamentos ... 17
2.6. EPSO - Enxame de Partículas Evolucionário ... 21
Capítulo 3 ... 25
Redespacho Ótimo de Produção ... 25
3.1. Descrição do Método ... 26
3.2. Minimização da Potência Redespachada ... 27
3.3. Minimização dos Custos de Redespacho ... 29
Capítulo 4 ... 31
OPF Robusto baseado num EPSO ... 31
4.1. Aplicação do EPSO na otimização direta do despacho central ... 32
4.2. Aplicação do EPSO na otimização do despacho difuso ... 34
5.1. Dados da rede ... 40
5.2. Solução OPF para os valores centrais das potências de carga ... 43
5.3. Deteção de violações das restrições técnicas ... 44
5.4. Aplicação dos modelos de redespacho ótimos ... 46
5.5. Resultados obtidos para a aplicação do EPSO ao problema ... 54
Capítulo 6 ... 63
Conclusões e Trabalho Futuro ... 63
6.1. Conclusões ... 63
6.2. Trabalho Futuro ... 64
xi
Lista de figuras
Figura 2.1 – Função custo de funcionamento de um gerador [4] ... 4
Figura 2.2 – Função custo de produção linearizada [2]. ... 5
Figura 2.3 - Representação de números difusos: triangular A = (1;3;4) ou (1;3;3;4), trapezoidal B = (5;7;8;9) e retangular C = (10;12) ou (10;10;12;12) [16]. ... 11
Figura 2.4 - Representação de um número difuso triangular [17] ... 11
Figura 2.5 –Representação de uma carga difusa em termos de potência ativa P e reativa Q, com as respetivas funções de pertença [16] ... 12
Figura 2.6 - Representação difusa de uma potência de carga ativa por um número triangular. Adaptado de [17]. ... 13
Figura 2.7 - Fluxograma genérico do cálculo do trânsito de potências difuso ... 14
Figura 2.8 - Identificação da possibilidade de congestionamento num ramo ... 19
Figura 2.9 – Identificação de uma situação onde é certa a ocorrência de congestionamento. 20
Figura 2.10 - Ilustração da reprodução de uma partícula no EPSO: uma partícula Xi(k) gera uma nova partícula Xi(k+1) numa localização definida pela regra do movimento [31]. ... 22
Figura 3.1 - Fluxograma representativo da implementação das metodologias de redespacho ótimo de produção ... 27
Figura 5.1 Rede de teste IEEE 24 barramentos, 38 ramos [37] ... 40
Figura 5.2 - Trânsito de potências difuso (P14-16) e respetivo limite do ramo 23 (P´14-16) ... 45
Figura 5.3 - Nova distribuição de possibilidade para o trânsito de potências difuso no ramo 23 ... 48
Figura 5.4 - Potência injetada reprimida no barramento 13 ... 50
Figura 5.5 - Custo das soluções redespachadas para diferentes índices de robustez entre 0.5 e 1.0 ... 53
Figura 5.6 –Potência total redespachada para diferentes índices de robustez entre 0.5 e 1.0 54
xiii
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 - Parâmetros ajustáveis utilizados no EPSO ... 37
Tabela 5.1 – Dados dos ramos ... 41
Tabela 5.2 - Limites fixados para o trânsito de potências nos ramos ... 41
Tabela 5.3 - Coeficientes das funções custo de funcionamento dos geradores e limites técnicos de produção dos geradores ... 42
Tabela 5.4 - Potências de carga difusas em cada barramento ... 43
Tabela 5.5 - Solução do OPF para os valores centrais das potências de carga difusas ... 43
Tabela 5.6 - Custo de produção de cada gerador no cenário de OPF determinístico ... 44
Tabela 5.7 - Identificação de eventuais situações de congestionamento nos ramos ... 44
Tabela 5.8 - Custos associados à variação de potência nos geradores. Os espaços em branco indicam a impossibilidade dos geradores aumentarem ou diminuírem carga por se encontrarem a produzir no limite. ... 46
Tabela 5.9 - Solução de despacho obtida após a aplicação do MR1 para 𝛼𝑚á𝑥 = 0 ... 47
Tabela 5.10 - Custos de produção do novo OPF-DC robusto para os valores centrais das potências das cargas ... 47
Tabela 5.11 - Trânsitos de potência difusos, após a aplicação do redespacho, nos ramos que inicialmente apresentavam possibilidade de sobrecarga ... 48
Tabela 5.12 - Solução de despacho obtida após a aplicação do MR1 para 𝛼𝑚á𝑥 = 0.5 ... 49
Tabela 5.13 –Trânsitos de potência difusos, após a aplicação do MR1, nos ramos que apresentavam risco de possibilidade de sobrecarga entre 0 e 0.5 ... 49
Tabela 5.14 - Solução de despacho obtida após a aplicação do MR2 para 𝛼𝑚á𝑥 = 0 ... 50
Tabela 5.15 - Custos de produção para os valores centrais das potências de carga ... 51
Tabela 5.16 – Solução de despacho obtida após a aplicação do MR2 para 𝛼𝑚á𝑥 = 0.5. A sombreado apresentam-se os novos cenários de produção relativamente ao OPF inicial (não robusto). ... 52
Tabela 5.17 –Trânsitos de potência difusos nos ramos que apresentam possibilidade de sobrecarga após a aplicação do MR2 ... 52
Tabela 5.19 – Análise da robustez do algoritmo implementado ... 54
Tabela 5.20 - Cenário de despacho para os valores centrais das cargas obtido com recurso ao EPSO ... 55
Tabela 5.21 - Custos de produção para os valores centrais de potência das cargas obtido pelo EPSO ... 55
Tabela 5.22 - Trânsitos de potência difusos resultantes da otimização feita pelo EPSO para o OPF-DC robusto ... 56
Tabela 5.23 - Custos difusos de operação referentes à aplicação da otimização do despacho central com o EPSO ... 57
Tabela 5.24 – Análise de robustez do algoritmo implementado ... 58
Tabela 5.25 - Solução de despacho difuso obtida para o índice de robustez máximo da rede 59
Tabela 5.26 - Custos difusos de produção resultantes da aplicação do modelo de otimização do despacho difuso para 𝛼𝑚á𝑥 = 0 ... 59
Tabela 5.27 - Trânsito de potências difuso resultante da aplicação do modelo de otimização do despacho difuso 𝛼𝑚á𝑥 = 0 ... 60
Tabela 5.28 –Resumo de resultados obtidos para os custos difusos de produção aplicando o modelo de otimização do despacho difuso para índices de robustez da rede entre 0.5 e 1.0 ... 60
Tabela 5.29 – Despacho difuso robusto resultante da aplicação do modelo de otimização do despacho difuso para o caso de estudo 2 ... 61
Tabela 5.30 - Resultados obtidos para o FPF resultante da aplicação do modelo de otimização do despacho difuso a uma rede com restrições de compensação no barramento de referência ... 62
xv
Abreviaturas
EPSO Evolutionary Particle Swarm Optimization FOPF Fuzzy Optimal Power Flow
FPF Fuzzy Power Flow GS Gestor Global do Sistema
MR1 Modelo de Redespacho 1 (Minimização da Potência Redespachada) MR2 Modelo de Redespacho 2 (Minimização do Custo de Redespacho) OPF Optimal Power Flow
ORT Operador da Rede de Transporte PSO Particle Swarm Optimization SEE Sistema Elétrico de Energia SFPF Symmetric Fuzzy Power Flow TP Trânsito de Potências
Capítulo 1
Introdução
1.1. Enquadramento
Numa perspetiva de planeamento, onde não é possível estimar com precisão as potências de carga de forma a obter estimações acerca do estado do sistema sob várias condições, diversos cálculos de trânsitos de potência ótimos teriam de ser feitos para todas as combinações possíveis de gerações e cargas. Como consequência, o exercício computacional associado à resolução deste problema seria não só muito exigente como de difícil averiguação de todas as situações extremas possíveis de ocorrer em função das numerosas combinações de pontos de operação. Desta forma, nesta dissertação são propostas estratégias para abordar o trânsito de potências ótimo quando as potências de carga apresentam incerteza. O objetivo passa então por encontrar como resultado do OPF, uma solução robusta no sentido em que se pretende que para qualquer cenário de carga previsto, seja encontrada uma solução de despacho que garanta a segurança do sistema da forma mais económica possível.
O desenvolvimento das metodologias apresentadas nesta dissertação foi feito com recurso ao software MATLAB.
1.2. Objetivos
O trabalho desenvolvido nesta dissertação pretende desenvolver uma metodologia para abordar o OPF quando as cargas do sistema apresentam incertezas, caracterizadas por números difusos. Para esse efeito foi desenvolvido um conjunto de metodologias que envolvem a integração de trânsitos de potência difusos na otimização do OPF com incerteza nas cargas.
A primeira abordagem ao problema envolve a aplicação de dois modelos de redespacho relativamente ao OPF para os valores centrais de carga, com o objetivo de definir novas soluções de despacho central que garantam a viabilidade técnica de exploração da rede para qualquer cenário da potência de carga prevista pelos intervalos difusos especificados. Esta abordagem envolve a consideração de que a incerteza associada à carga é compensada pelos geradores ligados ao barramento de compensação e referência do sistema.
Numa segunda abordagem ao problema, faz-se uso de uma meta-heurística evolucionária do tipo EPSO com objetivo de se obter uma solução inicial robusta de despacho que tenha em consideração a minimização do custo da solução. Esta abordagem, à semelhança da primeira, considera que a incerteza especificada nas potências de carga é compensada na sua totalidade pelos grupos geradores ligados ao barramento de referência.
Numa terceira abordagem ao problema, considera-se que a especificação de incerteza nas cargas no problema do OPF, implica necessariamente a existência de incerteza relativamente à produção. Desta forma, nesta abordagem, faz-se uso do EPSO como algoritmo de otimização do despacho difuso de produção que garanta a robustez da operação do sistema da forma mais económica possível. Nesta abordagem, pressupõe-se que a incerteza nos cenários de carga pode ser compensada de forma adequada por todos os geradores em serviço no sistema.
Nesta dissertação considerar-se-á o modelo linearizado do OPF e do trânsito de potências.
1.3. Estrutura da dissertação
O Capítulo 2 apresenta o estado da arte no que se refere à caracterização do problema do OPF quando as cargas do sistema apresentam incertezas.
Começa por ser apresentado o problema do OPF, seguindo–se um enquadramento relativo à aplicação de estratégias difusas na representação da incerteza nas potências de carga. Neste contexto, são apresentados modelos de cálculo do trânsito de potências quando as potências injetadas nos barramentos são descritas por distribuições de possibilidade. Neste capítulo é também apresentada uma estratégia de gestão de congestionamentos em contexto de OPF.
Por fim, é feita uma exposição detalhada do algoritmo de otimização EPSO, utilizado como ferramenta de resolução do OPF com cargas difusas.
No Capítulo 3 são apresentadas estratégias de resolução do OPF robusto, com base na aplicação de modelos de redespacho de potência. Os modelos de redespacho apresentados pretendem gerir eventuais violações de restrições técnicas do sistema devido à consideração de incerteza nas cargas.
No Capítulo 4 apresentam-se duas estratégias de otimização do despacho, aplicadas com recurso ao EPSO, que envolvem a integração de trânsitos de potência difusos no problema do OPF.
No Capítulo 5, as metodologias propostas são testadas num sistema teste de 24 barramentos, 38 ramos. Perante os resultados obtidos as metodologias propostas são avaliadas no contexto de permitirem a obtenção de soluções económicas para um determinado índice de robustez de rede especificado. São ainda comparados entre si os resultados obtidos através da aplicação das diferentes abordagens de resolução do OPF robusto.
Por último, no Capítulo 6, são apresentadas as principais conclusões sobre o trabalho realizado e são apresentadas propostas para desenvolvimento de trabalhos futuros.
Capítulo 2
OPF e a incerteza na carga
O trânsito de potências ótimo (OPF) apresenta-se como uma ferramenta importante no planeamento e operação do sistema elétrico.
Neste capítulo é apresentado o estado da arte no que se refere à formulação do problema do OPF e à identificação das ferramentas utilizadas para integrar a incerteza da carga neste problema.
2.1. OPF determinístico
Uma dada potência de carga pode ser satisfeita por um número infinito de configurações de potências produzidas pelo sistema electroprodutor e perfis de tensão. É, portanto, importante definir uma estratégia ótima de operação do Sistema Elétrico de Energia (SEE) de forma a garantir a maneira mais eficiente do ponto de vista económico de veicular a energia elétrica da produção até ao consumidor final obedecendo às restrições do sistema.
O trânsito de potências ótimo, conhecido na terminologia de língua inglesa por Optimal Power Flow e respetiva sigla OPF, designa o problema de otimização da operação do sistema de transporte incluindo as restrições de segurança da rede elétrica. Como referência clássica nesta área pode ser referenciado o trabalho de Carpentier [1] que apresenta o OPF como uma ferramenta matemática utilizada para garantir em cada instante a operação segura e económica do sistema.
A função objetivo do OPF pode apresentar várias formulações sendo algumas das mais comuns: a minimização dos custos de produção, minimização das perdas elétricas na rede de transporte, minimização do número de manobras de controlo relativamente a um ponto ótimo de funcionamento do sistema [2].
Independentemente da função objetivo especificada, um OPF deve apresentar uma solução na qual todas as restrições de potência estão presentes e encontram-se satisfeitas.
O problema do OPF pode incluir igualmente restrições que digam respeito à manutenção da estabilidade do sistema elétrico de energia após ocorrência de contingências, estas restrições denominadas por “restrições de segurança” referem-se ao Security Constrained Optimal Power Flow e estão fora do âmbito do presente trabalho.
Nesta dissertação o OPF foi expresso como a minimização dos custos de produção de potência ativa sujeito às restrições do trânsito de potências. Esta formulação básica do OPF corresponde à inclusão das equações do trânsito de potências no conhecido problema do despacho económico, no qual se pretende minimizar os custos de produção sujeito às restrições de equilíbrio entre produção e carga, e aos limites de produção dos geradores.
Ambas as versões AC e DC do OPF apresentam a seguinte formulação matemática de um problema de otimização não linear com restrições de igualdade e desigualdade [3]:
minimizar f(x) (2.1)
sujeito a:
g x = 0 (2.2)
h x ≤ 0 (2.3)
x>?@≤ x ≤ x>AB , (2.4)
onde a função objetivo f(x) é soma das funções custo de produção polinomiais, as restrições de igualdade g(x) dizem respeito às equações do trânsito de potências, as restrições de desigualdade h(x) correspondem aos limites de operação e os limites x>?@ e x>AB restringem as
variáveis de controlo, estado e parâmetros do sistema.
Admitindo que o sistema em análise é exclusivamente composto por máquinas térmicas e que as funções custo de produção polinomiais estão limitadas ao grau 2, o custo Fi associado ao
consumo de combustível para produção de energia de uma dada máquina i pode ser tipicamente representado matematicamente por uma expressão do tipo [4]:
F? P? = a?+ b?. P?+ c?. P?H . (2.5)
Onde Pi representa a potência ativa produzida pelo gerador i em MW e a?, b? e c? são
parâmetros da função custo expressos em $/h, $/MWh e $/(MW2.h), respetivamente.
A figura seguinte ilustra a função custo de produção de um gerador cuja potência ativa pode variar entre Pmin e Pmax. O ponto assinalado na origem do gráfico, referente ao custo de arranque do gerador, não é considerado no contexto do problema do OPF.
OPF determinístico 5
Desta forma, o critério para a distribuição da potência de carga por duas quaisquer unidades produtoras é baseado na avaliação de, se o aumento de potência num gerador e a diminuição do mesmo valor de potência numa outra máquina irá resultar num aumento ou numa diminuição do custo total de operação [5].
No âmbito deste trabalho, os custos de produção foram obtidos através da linearização das funções custo quadráticas em dois segmentos. Sendo as funções custo de produção limitadas pelos valores extremos de potência que cada máquina pode tomar, os dois segmentos considerados na linearização compreendem respetivamente o intervalo de valores de potência entre o limite mínimo de produção e o valor de potência médio do intervalo e entre este último e o valor máximo de potência. Considerando que cada um dos segmentos linearizados das funções quadráticas compreende um intervalo de produção α, ∀ PL∈ [P
>?@L, P>ABL] (em MW), o
custo de produção (em $/h) dentro do intervalo pode ser explicitado da seguinte forma:
FP ?L P?L = F P>?@L + Q R S QTUVR QTWXR S QTUVR ⋅ F P>AB L − F P >?@L , (2.6)
onde F P>ABL e F P>?@L resultam da aplicação de (2.5). Desta forma, é possível definir para
cada gerador novas funções custo de produção linearizadas F’i do tipo:
FP
? P? = a′?+ b′?L\. P?L\+ b′?LH. P?LH , (2.7)
que correspondem à união das expressões representativas de cada segmento (2.6) numa única expressão matemática. Em (2.7) o símbolo α1 denota a expressão do custo de produção do primeiro segmento da curva quadrática, enquanto que α2 representa o segundo segmento da curva. O valor a′? representa o mínimo custo de produção de cada intervalo, b′? representa o
custo incremental de produção de cada segmento. P?L\ e P?LH representam os incrementos de
produção relativamente aos respetivos limites mínimos de produção de cada intervalo. A figura seguinte ilustra a linearização de uma função custo não linear em três segmentos.
Figura 2.2 – Função custo de produção linearizada [2].
O OPF na sua versão completa, incluindo otimização da potência reativa, é um problema matemático complexo e de difícil resolução para o qual várias estratégias de resolução foram
testadas ao longo dos anos. No que concerne às estratégias de resolução do problema do OPF, destacam-se os seguintes métodos e principais atributos [2]:
• Método de gradiente – lento na convergência e difícil de resolver na presença de restrições de desigualdade correspondentes aos limites técnicos a não violar; • Programação linear – lida bem com restrições de desigualdade e permite a
linearização das funções objetivo e restrições de carácter não linear;
• Método de ponto interior – bastante utilizado na resolução do problema do OPF, nesse aspeto é a ferramenta de cálculo utilizada pelo programa MATPOWER do software MATLAB para resolver este problema. São métodos que lidam bem com as restrições de desigualdade;
• Meta–heurísticas e algoritmos genéticos – permitem ultrapassar com sucesso algumas dificuldades patentes nos métodos de resolução numérica, como é o caso do controlo de variáveis discretas e de otimização de funções objetivo não convexas.
Nas subsecções seguintes é apresentada a formulação DC determinística do OPF adotada neste trabalho.
2.1.1. Modelo DC do OPF determinístico
Nesta dissertação foi considerado como ferramenta de trabalho principal, a versão linearizada do OPF que inclui a linearização das funções custo de produção e a consideração do modelo DC para o trânsito de potências.
A linearização do modelo matemático que define o comportamento de um SEE em regime estacionário é obtida com base nas seguintes simplificações [6]:
• o trânsito de energia reativa não é considerado;
• os módulos das tensões são constantes e iguais a 1 p.u. em todos os barramentos; • as resistências dos componentes do SEE são desprezadas;
• são ignorados os elementos shunt que possam existir em esquemas equivalentes de qualquer componente do SEE;
• os esfasamentos das tensões entre 2 barramentos i e k contíguos do SEE são desprezados (cos( θ?− θ`) = 1 e sin θ?− θ` = θ?`).
Quando se consideram as simplificações anteriores, a função objetivo do problema do OPF DC apresenta-se em (2.8), como a minimização do somatório dos custos totais de produção de potência ativa, sujeito à restrição de equilíbrio entre a produção e a carga, às restrições relativas aos limites máximos permitidos para os trânsitos de potência ativa nas linhas ou transformadores do sistema e às restrições dos limites de geração.
minimizar FP ? Pa` @a `b\ (2.8) sujeito a: Pa`= Pc ? @d ?b\ @a `b\ (2.9) P?` ≤ P?`>AB , ∀ ramo i − k (2.10) Pa`>?@≤ Pa`≤ Pa`>AB , ∀ gerador k . (2.11)
OPF determinístico 7
Onde ng corresponde ao número de geradores, nb representa o número de barramentos, Pa` representa a potência ativa gerada pela máquina k, P?` representa o trânsito de potências
no ramo que interliga as barras i e k, P?`>AB representa o limite máximo especificado para o TP
no ramo i-k, Pc ? corresponde à potência de carga no barramento i. A função objetivo do
problema, correspondente ao somatório dos custos de produção de energia ativa dos geradores, considera a linearização das funções custo quadráticas em 2 segmentos expressa em (2.7).
Tendo por base os pressupostos para o modelo DC, as equações básicas do trânsito de potências DC determinístico numa rede são dadas matricialmente por
P?@g = B′ ∙ θ , (2.12)
para as potências nodais injetadas P?@g e por
P?S` = θ?− θ`
x?S` (2.13)
para o trânsito de potências no ramo que interliga os barramentos i e k.
Onde B′ corresponde à matriz das admitâncias do modelo DC sem a linha e a coluna correspondentes ao barramento de referência, θ é o vetor com os esfasamentos das tensões nodais sem a linha correspondente à fixação da referência (θjkl= 0), x?S` é reatância entre os
nós i e k.
Os elementos da diagonal principal da matriz das admitâncias do modelo DC são determinados pela seguinte expressão:
B′??= `n?1/x?`, (2.14)
enquanto que os restantes elementos da matriz são obtidos por
B′?`= −1/x?` (2.15)
para os barramentos i e k do sistema.
Partindo da expressão (2.12) é possível calcular os esfasamentos das tensões (em radianos) nos barramentos através de:
θ = B′S\∙ P?@g . (2.16)
Para além da possibilidade de calcular as fases das tensões e o trânsito de potências ativo nos ramos do sistema, o modelo DC permite relacionar diretamente as potências injetadas nos barramentos com os trânsitos de potências nos ramos da seguinte forma [7]:
P′o = A ∙ P?@g , (2.17)
onde A é interpretada como a matriz dos coeficientes de sensibilidade ao trânsito de potências sem a linha e a coluna referentes à referência das tensões. Cada elemento A?` da matriz das
sensibilidades representa a mudança do trânsito de potências ativo no ramo i, relativo ao aumento de uma unidade de potência injetada no barramento k.
Cada linha da equação (2.17), corresponde a um trânsito de potências entre dois barramentos i-k dado por
P′?S`= ((qUrst)S(qurst))∙QUVr,r rvwxy BUu = A?S`,g @dz{ gnjkl ∙ P?@g,g . (2.18)
As soluções obtidas através de cálculos determinísticos para o cenário ótimo de funcionamento do sistema não são mais do que representações do sistema para um dado instante. Dado que o sistema evolui ao longo do tempo, faz sentido incluir em atividades de planeamento, modelos de trânsitos de potência que considerem a incerteza associada a determinadas variáveis dos SEE como são as incertezas presentes nas potências de carga e de produção. Neste contexto dois modelos surgiram para lidar com esta incerteza, os modelos probabilísticos e os possibilísticos de trânsitos de potência.
Na secção seguinte são apresentadas ambas as teorias para lidar com a questão da introdução da incerteza no cálculo dos trânsitos de potência, seguindo-se uma análise detalhada à representação da incerteza através de números difusos.
2.2. Modelos Difusos
No que diz respeito à incerteza em estudos de sistemas de energia, as variáveis sujeitas a incerteza podem-se genericamente classificar como pertencentes a dois tipos de categorias, a categoria dos parâmetros técnicos e a categoria dos parâmetros económicos [8].
Na categoria dos parâmetros técnicos inserem-se as variáveis de decisão referentes às potências de carga e de geração, assim como parâmetros topológicos da rede que incluem os conceitos de fiabilidade da rede associados às probabilidades de ocorrência de contingências. Por outro lado, na categoria da incerteza associada a parâmetros económicos, inclui-se a incerteza associada aos custos de produção, aos custos dos combustíveis, assim como a incerteza relacionada com o crescimento económico e o respetivo impacto que a regularização e desregularização dos mercados de eletricidade pode ter no sentido de garantir uma correta operação e liquidez num sistema onde existem vários agentes envolvidos.
No que diz respeito ao tratamento da incerteza associada às potências especificadas surgiu, em primeiro lugar, o desenvolvimento de metodologias baseadas em modelos probabilísticos para lidar com a incerteza nos cálculos dos trânsitos de potência. Em [9] é apresentado um algoritmo de cálculo do problema do trânsito de potências DC integrando distribuições de probabilidade discretas e contínuas para as potências especificadas. Como resultados, são obtidas funções densidade de probabilidade para os trânsitos de potência.
Estas metodologias baseadas em processos de amostragem apresentam algumas limitações. Nomeadamente, no contexto de problemas de planeamento, pode ser discutível atribuir distribuições de probabilidade para a carga nos nós, já que o conjunto de amostras de cenários de carga pode não ser suficiente para lidar com a incerteza na previsão [10].
Como nem sempre a incerteza apresenta um caráter probabilístico associado à frequência de eventos, surgiu a necessidade de representar dados cuja informação é imprecisa ou está associada tantas vezes a proposições da nossa linguagem natural [11]. Uma forma adequada de
Modelos Difusos 9
representar esse tipo de incerteza, consiste na utilização de conjuntos difusos para avaliar a possibilidade de eventos.
A aplicação da teoria possibilista em sistemas elétricos, baseada na aritmética difusa desenvolvida por Lofti Zadeh [12], permite considerar aspetos qualitativos e imprecisos no tratamento da informação.
Dado que no âmbito desta dissertação foram desenvolvidas estratégias de resolução do OPF considerando cargas difusas, nesta seção é dada especial relevância aos modelos dos trânsitos de potência difusos.
2.2.1. Teoria dos Conjuntos difusos
A noção de fuzzy sets ou conjuntos difusos surge da seguinte observação feita por Zadeh [12] - “more often than not, the classes of objects encountered in the real physical world do not have precisely defined criteria of membership” – isto é, nem sempre é possível caracterizar de forma completa e objetiva os estados/classes em que um sistema/objeto pode residir/pertencer [13]. Esta observação aumenta ainda mais a distância entre as representações mentais da realidade e as representações matemáticas da mesma, que são usualmente baseadas em lógica binária, refletida na teoria dos conjuntos rígidos (lógica de Boole) [13]. As classes de objetos referidas por Zadeh, existem apenas em representações mentais, através de expressões que utilizamos, como “elevada temperatura”, “homem pequeno”, “homem velho”, “tamanho grande”, etc. Realmente por exemplo, a classe dos “números reais muito maiores que 1” não permite constituir um conjunto no sentido convencional matemático do termo [13]. A lógica clássica é demasiado rígida na atribuição de categorias a objetos, quando o grau de pertença do objeto está associado a uma noção gradual de pertença ao invés de uma forma do “tudo ou nada” [13]. Neste aspeto, o conceito de grau de pertença a um conjunto está mais subjacente à ideia de maior ou menor semelhança entre objetos/elementos do que à ideia de incerteza [13].
Entende-se de forma intuitiva que um conjunto agrupa elementos relativamente próximos uns dos outros, enquanto existe uma separação entre aquilo que são os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto. Com conjuntos difusos é fundamental definir partições difusas. A definição mais usualmente utilizada para uma partição difusa diz que a soma dos graus de pertença de um dado elemento relativamente a várias classes/conjuntos é 1 [13].
A característica principal dos conjuntos difusos está associada ao facto de admitir a existência de um intervalo contínuo de graus de pertença de um elemento a um conjunto, variando entre situações extremas de pertença e não pertença totais [14].
Desta forma um conjunto difuso pode ser visto como uma generalização de um conjunto rígido, no sentido em que o primeiro permite estabelecer um grau de pertença para cada elemento do conjunto dentro do intervalo [0,1]. A função de pertença de um conjunto difuso faz então o mapeamento entre um dado elemento e um conjunto [10].
As funções de pertença de um conjunto difuso são chamadas de distribuições de possibilidade, estas representam a informação que temos à disposição acerca dos valores que serão mais ou menos possíveis de ocorrer para a variável em questão e quais os valores que se sabem ser impossíveis de ocorrer [13].
Seja X o universo de pontos (objetos), onde um elemento genérico de X é representado por x tal que X = x . Se A é um conjunto rígido contido em X (X ⊃ A), é possível definir uma função de pertença µ• x : X → {0,1}, tal que: µ• x = 1, x ∈ A 0, x ∉ A [11].
A relaxação da restrição que condiciona µ• a assumir o valor de 0 ou de 1, permite definir
um conjunto difuso B pertencente a X (X ⊃ B) caracterizado por uma função de pertença µq x que associa a cada ponto em X um número real no intervalo [0,1], onde o valor de µq x em x representa o grau de pertença de x em B.
Um conjunto difuso pode ser identificado como um conjunto de pares ordenados (elemento, grau de pertença):
A = x, µ• x , ∀ x ∈ X. (2.19)
Por exemplo [15], seja x ∈ X a variável que representa o número de divisões numa habitação, tal que X = 1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9,10 . A proposição – “casa confortável para uma família de 4 pessoas” pode ser representada por um conjunto de pares ordenados A = 1,0.2 ; 2,0.5 ; 3,0.8 ; 4,1.0 ; 5,0.7 ; (6,0.3) .
Define-se como corte de nível α de um conjunto difuso A, um conjunto rígido, cujos elementos possuem grau de pertença a A igual ou superior a α [14]:
AL= x ∈ X: µ• x ≥ α . (2.20)
Um conjunto de nível com especial interesse é definido por α = 0, correspondendo ao intervalo de suporte que inclui os valores de X que possuem grau de pertença superior a zero.
É usual representar conjuntos difusos por uma letra maiúscula com o símbolo suplementar “~”, do género A.
Na subsecção seguinte são apresentados alguns conceitos e operações envolvendo números difusos.
2.2.1.1. Conceitos básicos e operações envolvendo números difusos
Um número difuso entende-se como um conjunto difuso normalizado e convexo, definido sobre a reta real tal que a sua função de pertença é contínua por intervalos [14].
Três tipos de números difusos surgem em diversas aplicações práticas: o triangular, o trapezoidal e o retangular. Estes números difusos podem ser representados na forma de um intervalo A cujos limites são funções do grau de pertença α [16]:
A = L α , R(α) , α ∈ [0,1]. (2.21)
Em (2.21), L(α) e R(α) são funções não estritamente monótonas, respetivamente crescente e decrescente, tal que dado um α ≤ α\ ⇒ L α ≤ L α\ ∧ R α ≥ R(α\). Os três números difusos
referidos podem finalmente ser definidos especificando as funções L e R como lineares tal que: L α = a + mo(α)
R α = d − mj(α), com a + mo ≤ (d − mj).
Um número triangular terá a + mo = (d − mj), que significa que para α = 1, o intervalo
Modelos Difusos 11
a + mo ≤ (d − mj), onde é possível verificar que a igualdade transforma um número
trapezoidal num triangular. Um número retangular tem mo= mj= 0 , o que corresponde a
dizer que o intervalo de valores para 𝛼 = 1 é o mesmo que o intervalo de valores para α = 0. Na figura seguinte apresentam-se 3 exemplos da representação gráfica de cada um dos números difusos referidos (triangular, trapezoidal e retangular).
Figura 2.3 - Representação de números difusos: triangular A = (1;3;4) ou (1;3;3;4), trapezoidal B = (5;7;8;9) e retangular C = (10;12) ou (10;10;12;12) [16].
Os números difusos podem ser representados de forma simbólica por uma sequência ordenada de números reais correspondentes aos pontos característicos do intervalo que constituí cada número. Por exemplo, para um número triangular qualquer A = (a\; aH; a•)
representado na Figura 2.4, a sua função de pertença µ• x é definida por:
µ• x = 0, se x ≤ a\ x − a\ aH− a\, se a\≤ x ≤ aH 1.0, se x = aH a•− x a•− aH, se aH≤ x ≤ a3 0, se x ≥ a• (2.22)
Figura 2.4 - Representação de um número difuso triangular [17]
Um corte de nível α, AL, que caracteriza o número difuso triangular para qualquer α entre
0 e 1 é dado por (2.23).
AL= a\(L), a•(L) = aH− a\ . α + a\; aH− a• . α + a• (2.23)
As operações algébricas mais usuais podem ser estendidas aos conjuntos difusos usando o Princípio da Extensão formulado por Zadeh [12].
Devido à linearidade das funções que definem um número triangular A, o resultado das operações de adição e de subtração de números triangulares pode ser obtido recorrendo apenas
aos seus pontos característicos [16]. Em seguida apresenta-se o resultado da adição e da subtração de dois números triangulares definidos por A = (a1; a2; a3) e por B = (b1; b2; b3).
Adição: a\; aH; a• + b\; bH; b• = (a\+ b\; aH+ bH; a•+ b•) (2.24)
Subtração: a\; aH; a• − b\; bH; b• = (a\− b•; aH− bH; a•− b\) (2.25)
2.2.2. Representação da incerteza na carga
A teoria dos conjuntos difusos é uma excelente ferramenta para lidar com o carácter impreciso de certas afirmações como “a carga no barramento pode variar entre 10 e 15 MW”, “o trânsito de potências na linha 2 vai ser cerca de 10 MW” ou falta de informação precisa relativamente a um determinado elemento de um problema [10].
No enquadramento de uma perspetiva de planeamento e expansão de um SEE existem várias afirmações baseadas na experiência e na opinião de especialistas que são cruciais num processo de decisão.
Neste contexto, a teoria das possibilidades pode ser integrada numa lógica de estudos de planeamento ou previsão em sistemas elétricos de energia onde o carácter impreciso de variáveis como a potência de carga não pode ser projetado no futuro com base em registos históricos [11].
A carga pode ser influenciada por diversos fatores como o estado do tempo, atividades sociais e económicas, e diferentes perfis de consumo (residencial, comercial, industrial, etc.) [10]. Existe, portanto, uma incerteza temporal e numérica associada à potência de carga nos barramentos do sistema.
A Figura 2.5 apresenta um modelo genérico de uma carga utilizando conjuntos difusos. Atendendo à figura é possível compreender que existe um conjunto central de pontos do plano PQ (região a preto), para os quais o grau de pertença é máximo, isto é, valores para os quais a expectativa de ocorrência é elevada. O grau de pertença diminui à medida que nos afastamos dos valores centrais do plano PQ, até se atingir o corte de nível zero correspondente aos limites da representação no plano do conjunto difuso.
Figura 2.5 –Representação de uma carga difusa em termos de potência ativa P e reativa Q, com as respetivas funções de pertença [16]
Quanto maior for a distância temporal para a qual se pretende estimar o ponto de funcionamento ótimo de um sistema, maior será a largura do intervalo especificado para as potências de carga, porque maior incerteza está associada à previsão da mesma.
Trânsitos de potência difusos 13
Uma forma simples de representar a incerteza na potência de carga ativa num barramento do sistema é através da sua representação por um número difuso triangular como ilustra a Figura 2.6.
Figura 2.6 - Representação difusa de uma potência de carga ativa por um número triangular. Adaptado de [17].
Uma carga difusa deste género pode estar associada às seguintes informações acerca da estimação da potência de carga num nó: “a carga pode variar entre 45 e 55 MW” ou “sabe-se que a carga no barramento 10 é de mais ou menos 50 MW”, ou ainda, “a previsão para a carga no barramento 10 é de 50 MW, sendo certo que não será inferior a 45 MW ou superior a 55 MW”.
2.3. Trânsitos de potência difusos
Se os modelos tradicionais de cálculo do trânsito de potências permitem obter com confiança o resultado fidedigno da estratégia de funcionamento do sistema, estes falham na perspetiva de que só permitem obter uma solução em função da especificação dos dados da rede para um determinado instante. Caso se pretendesse introduzir no cálculo do TP a incerteza associada a algumas variáveis do problema, seria necessário efetuar um sem número de trânsitos de potência determinísticos sem garantia, porém de que seriam avaliados todos os casos mais desfavoráveis de trânsitos de potências nos ramos.
Os trânsitos de potência difusos permitem, portanto, representar informação relativamente às cargas e às gerações que não têm um caráter determinístico ou probabilístico e obter resultados na forma de intervalos difusos para as tensões, trânsitos de potência e perdas [10]. Nas secções seguintes são apresentas duas formulações para o cálculo do trânsito de potências difuso (TPD) utilizadas no âmbito desta dissertação considerando o modelo DC da rede. Na secção 2.3.1. é apresentada a primeira formulação do fuzzy power flow DC (FPF DC) enquanto que na secção 2.3.3. é apresentada a versão revisitada do mesmo.
Em seguida apresenta-se um fluxograma do algoritmo geral de resolução do trânsito de potências difuso.
Figura 2.7 - Fluxograma genérico do cálculo do trânsito de potências difuso
2.3.1. FPF DC clássico
A primeira aplicação do trânsito de potências difuso, tendo como dados cargas difusas foi proposto em [11].
A formulação apresentada é baseada nas equações do modelo linearizado do trânsito de potências determinístico, mas considerando que as potências injetadas nos nós são difusas e representadas por distribuições de possibilidade. Desta forma, se considerarmos P?@g como sendo
o vetor das potências injetadas difusas, é possível obter resultados igualmente difusos para as fases das tensões θ e para o trânsito de potências PP
o aplicando (2.26 e 2.27) de acordo com as
operações entre números difusos:
θ = BS\∗ P
?@g (2.26)
PP
o= A ∗ P?@g (2.27)
onde A é a matriz das sensibilidades do trânsito de potências às potências injetadas nos nós e B a matriz das admitâncias do modelo DC.
O cálculo do FPF permite igualmente identificar que em certos casos existe a possibilidade do trânsito de potências num ramo inverter o seu sentido, o que seria difícil prever efetuando cálculos de trânsitos de potência determinísticos para os valores extremos dos cenários de carga.
Especificando intervalos difusos para a geração e para a carga, a soma das potências injetadas é em geral maior do que a soma das potências difusas das cargas. Esta constatação
Trânsitos de potência difusos 15
reflete o facto de diferentes cenários de despacho poderem satisfazer o mesmo cenário de potências de carga para o mesmo nível de pertença dos intervalos considerados.
2.3.2. A assimetria no FPF
Na versão tradicional do FPF DC [11], apresentada na secção anterior, o barramento de referência comporta-se de forma diferente dos restantes barramentos no sentido em que tem involuntariamente uma função de compensação da incerteza relativa aos demais barramentos. Pelo facto do barramento de referência agregar a incerteza proveniente das potências difusas especificadas nos restantes barramentos, podem-se obter valores difusos de produção que ultrapassem os limites de capacidade de geração. Com a finalidade de tratar esta situação de assimetria em ambas as formulações DC e AC do FPF, outras contribuições ao FPF introduziram procedimentos de correção da incerteza excessiva acumulada no barramento de referência, como as apresentadas em [14] e [18]. Nestas formulações apesar de se limitar a produção no barramento de referência, este continua a refletir a incerteza especificada nos restantes barramentos até à situação limite, mantendo-se o problema da assimetria. Na maioria dos casos, não é atribuída nenhuma produção de potência difusa para o barramento de referência como dado do problema.
Quando se trabalham problemas relativos à avaliação da admissibilidade de uma rede de transporte partindo da aplicação de um TPD para a mesma rede, este problema do barramento de referência ainda maior importância tem, uma vez que todos os barramentos deviam de ser idênticos no sentido de definirem uma quantidade “razoável da procura” para a potência produzida ou para a potência de carga através de números difusos [19].
Na secção que se segue é apresentada uma formulação que garante a simetria no problema do trânsito de potências difuso, no sentido de todos os barramentos terem definida a sua própria distribuição de possibilidade de produção ou de carga.
2.3.3. FPF DC simétrico
Em [19] a formulação apresentada para o FPF deriva diretamente do princípio da extensão formulado por Zadeh [12]. Esta formulação envolve a resolução de problemas de otimização para determinar os valores mínimo e máximo do trânsito de potências para cada ramo, para cada corte de nível α considerado. Para o modelo DC do TP, o máximo valor do TP num ramo qualquer k do sistema é resultado do seguinte problema de otimização:
maximizar: P` α = P`>áB α = ? n{’A“`A`?∗ P? (2.28) sujeito a: P? ∈ P? α , ∀ barramento i (2.29) P?= 0 ? . (2.30)
Onde P?(α) é o intervalo de nível α das potências injetadas P? e A é a matriz das
sensibilidades do TP. A resolução de um problema similar, de minimização em vez de maximização, permite obter o valor mínimo do mesmo intervalo difuso do trânsito de potências num ramo P`>í@ α , definindo desta forma completamente o resultado. Este modelo
apresentado requer a resolução de um grande número de problemas de otimização, mas tem a vantagem de ser completamente simétrico no que diz respeito aos barramentos.
Incluindo no modelo anterior as restrições relativas aos limites nos ramos da rede, é possível utilizar o SFPF para avaliar a adequação da rede de transporte (2.31 – 2.34) [19].
maximizar: P` α = P`>áB α = ? n{’A“`A`?∗ P? (2.31) sujeito a: P? ∈ P? α , ∀ barramento i (2.32) P?= 0 ? (2.33) A. P ≤ Po•–, (2.34)
Neste modelo, A representa a matriz das sensibilidades, P representa o vetor das potências injetadas e Po•– representa o vetor dos limites máximos admissíveis aos trânsitos de potência
ativa nos ramos. Este modelo permite verificar situações onde possam ocorrer congestionamento nos ramos, configurando informação importante para o operador do sistema. Como este modelo apenas permite obter trânsitos de potência viáveis, poderão ter que ser realizados estudos para vários níveis de pertença α até que seja obtida uma solução que satisfaça as restrições fixadas para os limites dos ramos.
Para além de identificar os ramos constrangidos, o modelo do SFPF permite ainda verificar se os pedidos de transporte de eletricidade, explicitados pelas potências difusas injetadas, podem ou não ser satisfeitos.
maximizar: P? —?@A’ α (2.35) sujeito a: P? ∈ P? α , ∀ barramento i (2.36) P?= 0 ? (2.37) A. P ≤ Po•– (2.38)
Em (2.35) os valores de P?—?@A’ definem para cada barramento a verdadeira potência injetada
permitida na rede nas condições atuais. Se P?—?@A’≠ P?, onde P? corresponde à potência injetada
difusa prevista num dado barramento i, pode concluir-se que a potência de carga ou de produção é reprimida e como tal a rede de transporte não é completamente adequada às potências previstas.
As formulações apresentadas para o FPF, tornam claro através de uma espécie de análise de sensibilidades para um número infinito de cenários de carga que, o presumível “pior caso de estudo de TP” (efetuar o cálculo do trânsito de potências determinístico fixando o valor máximo de cenário de carga) falha na identificação dos trânsitos de potência máximos nos ramos [19].
OPF difuso 17
2.4. OPF difuso
Nas secções anteriores foram apresentados modelos de resolução do problema do trânsito de potências difuso. Estas formulações apresentadas permitem obter funções de pertença para diversas grandezas como os trânsitos de potência e potências injetadas, não condicionadas por fatores económicos. A consideração destes fatores, aliados às restrições técnicas do sistema (como os limites para os TP), revela-se importante na medida em que, de entre as estratégias de produção viáveis seja escolhida aquela que está associada ao custo mínimo.
Os modelos off-line dos sistemas elétricos de energia utilizados no cálculo dos trânsitos de potência ótimos são apenas aproximações dos modelos reais do estado do sistema uma vez que, a incerteza está presente nos valores dos parâmetros, e nas previsões feitas ao nível das potências injetadas expectáveis nos nós do sistema [10].
O trânsito de potências ótimo difuso, designado em inglês por Fuzzy Optimal Power Flow, (FOPF) surge da necessidade de integrar a incerteza no SEE, traduzida por números difusos, no problema do OPF determinístico.
Em [20] Miranda e Saraiva apresentam um FOPF cuja função objetivo é a minimização dos custos marginais de produção para satisfazer os requisitos de potência de carga, que se encontra definida através de números difusos. Neste trabalho os autores transmitem a ideia de que a incerteza nas cargas futuras implica incerteza nas decisões de despacho de produção. De forma a apresentar esta característica, os autores tentam otimizar a incerteza nos custos de produção, isto é, combinando a otimização de uma rede e trânsitos de potência difusos. Como resultados são obtidas potências difusas produzidas e trânsitos de potência difusos.
Contribuições para a formulação inicial [20] do FOFP surgem em [21] onde é apresentado um novo modelo formulado com recurso a programação multiparamétrica. Esta metodologia apresentada [21] adota o modelo DC da rede integrando a equação de equilíbrio entre produção e consumo e as restrições relativas aos limites de geração e de trânsitos de potências nos ramos. Partindo de potências de carga difusas, são obtidas distribuições de possibilidade para as potências geradas, trânsitos de potência e potência não fornecida. Este algoritmo apresentado, parte de um OPF determinístico para os valores centrais das potências de carga difusas especificadas após o qual, são integradas as incertezas inerentes à carga através de estudos paramétricos. Geradores de corte de carga são incluídos de forma a ultrapassar não admissibilidades.
Mais recentemente contribuições às formulações do FOPF adotando técnicas de otimização multiparamétrica de forma a refletir nos resultados as incertezas associadas às potências de carga, aos custos de produção e a ambos em simultâneo, podem ser encontradas em trabalhos como [22] e [23].
Na secção seguinte apresentam-se estratégias que foram utilizadas no desenvolvimento das metodologias de resolução do OPF com cargas difusas.
2.5. Gestão de congestionamentos
Num ambiente de mercado, a adequação do sistema de transporte de energia pode ser definida como a capacidade do sistema para atender a pedidos razoáveis de transporte de eletricidade [19].
No enquadramento da verificação da garantia do abastecimento e segurança de operação no curto e médio prazos, o operador da rede de transporte (ORT) deve realizar um conjunto de
previsões de consumo nos diversos horizontes temporais, relativo ao SEE [24]. Nesse sentido, os modelos de trânsitos de potência difusos podem ser utilizados como uma ferramenta para integrar a incerteza numa situação de planeamento, sem a necessidade de efetuar muitos pressupostos ao nível da incerteza das cargas e da produção.
Sendo a atividade de transporte um monopólio natural, a existência de congestionamentos na rede de transporte pode condicionar os agentes de produção e de consumo, restringindo um mercado elétrico que se pretende competitivo [17]. Nesse sentido, os ORT planeiam a operação da rede de forma a minimizar a possibilidade de ocorrência de indisponibilidades como as correspondentes às restrições técnicas para os trânsitos de potência nos ramos.
A resolução de uma situação de congestionamento pode ser feita através da aplicação de modelos de redespacho de geração.
Como a resolução do congestionamento implica um desvio relativamente à situação economicamente ótima definida pelo mercado, importa ao gestor do sistema dispor de estratégias que permitam resolver as restrições técnicas de forma económica e com uma margem de segurança adequada.
Num ambiente de mercado desregulado o OPF pode ser formulado como um problema de minimização da totalidade das modificações de despacho em relação a um ponto ótimo de funcionamento do sistema [3].
As estratégias de resolução de congestionamentos baseadas em OPF dividem-se normalmente em duas partes [25]: a primeira correspondente ao cálculo do ponto ótimo de funcionamento e a segunda relativa ao redespacho de produção de forma a corrigir situações não admissíveis de trânsitos de potência.
Uma formulação matemática possível para a minimização do redespacho considerando o modelo linearizado da rede pode obter-se de forma adaptada de [26]:
minimizar: Cš= (C`›∗ ∆Pg`›+ C`S∗ ∆Pg`S) @a•@ `b\ (2.39) Sujeito a: 0 ≤ ∆Pg`›≤ Pg ` >áB− Pg ` , ∀ k gerador (2.40) 0 ≤ ∆Pg`S≤ (Pg `− Pg`>í@) , ∀ k gerador (2.41) P?`≤ P?`>áB , ∀ ramo (i − k) (2.42) P?@g= @dz{?b\ (∆Pg?›− ∆Pg?S)= 0 @dz{ ?b\ . (2.43)
O principal objetivo desta formulação é a minimização dos custos do congestionamento (em $/h), satisfazendo as restrições relativas aos limites de geração (2.40 e 2.41), ao trânsito de potências (2.42) e à equação de balanço entre a produção e o consumo (2.43). Onde Cš (em
$/h) representa o custo total resultante da variação da geração de potência ativa pelos geradores, C`› ($/MWh) representa os custos incrementais submetidos pelas empresas
produtoras para mobilizarem energia, C`S ($/MWh) os custos decrementais submetidos pelas
empresas produtoras para desmobilizarem energia, ∆Pg`› e ∆Pg `
S correspondem respetivamente
ao incremento e à redução de potência ativa associada a uma dada instalação produtora k (em MW). No que concerne às restrições do problema: ∆Pg?› e ∆Pg
?
S representam a variação de
potência ativa gerada num barramento i do sistema, P?` representa o trânsito de potências num
ramo que interligue dois nós i e k, Pg` representa a potência ativa gerada por uma instalação
produtora previamente à aplicação de redespacho, P?@g corresponde à potência injetada num
Gestão de congestionamentos 19
No âmbito desta dissertação serão apresentadas ferramentas que permitam ao gestor do sistema, num contexto de previsão de operação, adequar a estratégia ótima de funcionamento do sistema de forma a que perante uma determinada possibilidade de sobrecarga nos ramos resultante da especificação de incerteza para a potência das cargas, o sistema composto (geração e transporte) seja capaz de solucionar congestionamentos que possam vir a ocorrer através da aplicação de redespachos de produção em contexto de OPF.
Na subsecção seguinte explora-se o conceito de possibilidade de sobrecarga num ramo do sistema atendendo à aplicação de trânsitos de potência difusos, considerando incerteza nas potências de carga.
2.5.1. Possibilidade de Sobrecarga nos ramos
O congestionamento de um ramo é resultado das limitações físicas e operacionais da rede. Desta forma pode-se dizer que ocorre congestionamento num ramo sempre que o limite máximo fixado para o trânsito de potências num ramo seja ultrapassado.
A avaliação da adequação do sistema de transporte pode ser feita recorrendo aos trânsitos de potência de difusos uma vez que estes permitem capturar a incerteza nas potências injetadas nos nós e propaga-la aos ramos, favorecendo a identificação de possíveis situações de congestionamento [27].
Considerando que o número difuso triangular P?`= (P?` A
, P?`d, P?`“) representa o trânsito de potências difuso entre dois quaisquer barramentos i e k, onde P?`
A
e P?` “
são os valores extremos do TPD no ramo (com grau de pertença α = 0) e P?`
d
o valor correspondente ao trânsito de potências com grau de pertença 1 (associado ao TP determinístico para os valores centrais das potências de carga). Se definirmos como restrição técnica do ramo i-k o valor máximo permitido para o TP: P?`>áB> 0, podemos obter distribuições de possibilidade de sobrecarga no ramo i-k
sempre que o número difuso P?` contenha no seu intervalo os respetivos valores dos limites
permitidos ao TP em ambos os sentidos do ramo. Assim, como ilustra a Figura 2.8, sempre que para um dado grau de pertença α do FPF o corte de nível intercetar um limite do ramo, obtém-se um valor de possibilidade de sobrecarga para o ramo referente a esobtém-se nível α.
O cálculo do valor referente à possibilidade de sobrecarga num ramo, aplicado para distribuições triangulares de trânsitos de potência requer a utilização de duas variáveis auxiliares. Estas variáveis µ?`› e µ?`S visam a identificação de possibilidades de sobrecarga no
caso dos limites impostos para o trânsito de potências apresentarem possibilidade de serem ultrapassados no sentido considerado como positivo (µ?`›) para o TP, no sentido oposto (µ?`S)
ou em ambos os sentidos. Em seguida apresentam-se as expressões que permitem calcular as possibilidades de sobrecarga nos ramos em função destas variáveis auxiliares.
µ?`›= P?` “ − P?`>áB P?`“− P?`d (2.44) µ?`S= −P?`>áB− P ?` A P?` d − P?` A (2.45)
As variáveis auxiliares obtidas através da aplicação das expressões (2.44 e 2.45), têm de obedecer ao seguinte conjunto de regras de controlo dos seus valores admissíveis (2.46).
µ?`= 1, se µ0, se µ?`< 0
?` > 1 (2.46)
Após o controlo dos valores extremos permitidos para as variáveis auxiliares, a possibilidade de sobrecarga de um ramo i-k, designada por α?`, é dada pelo maior valor das variáveis µ?`› e
µ?`S: α?`= max(µ?`S, µ?`›).
Desta forma, sempre que um trânsito de potências determinístico num ramo i-k (P?`d)
apresente um valor igual ou superior ao limite máximo admissível do ramo, a possibilidade de sobrecarga associada a esse evento é 1. Um exemplo de uma situação onde é certa a ocorrência de congestionamento surge representado na Figura 2.9.
EPSO - Enxame de Partículas Evolucionário 21
2.6. EPSO - Enxame de Partículas Evolucionário
Esta secção pretende apresentar o EPSO - Evolutionary Particle Swarm Optimization, (em português Enxame de Partículas Evolucionário), como uma meta-heurística evolucionária que implementa um esquema auto-adaptativo de recombinação, aplicando uma equação do movimento inspirada na PSO - Particle Swarm Optimization [28]. Proposto originalmente em [29], o EPSO engloba desta forma os conceitos de Estratégias de Evolução (ES) e de Otimização por Enxame de Partículas (PSO).
A PSO [30] é uma meta-heurística que trabalha com um conjunto de soluções de um problema a otimizar, que designa como partículas, que evoluem no espaço de pesquisa. Segundo este algoritmo, uma dada população (conhecida como enxame de partículas) contribui, em cada iteração do processo, para gerar uma nova população numa nova posição. A chave no sucesso deste algoritmo está na chamada “regra do movimento” e é motivada por três fatores: inércia, memória e cooperação. O primeiro fator, inércia, impele a partícula a seguir numa direção idêntica à que tinha no movimento anterior. O segundo fator, memória, influência a partícula a voltar para a melhor posição encontrada durante a sua vida passada. O terceiro fator, cooperação, atrai a partícula na direção da melhor posição encontrada pelo enxame até ao momento.
No EPSO, também temos um enxame de partículas que evolui no espaço de pesquisa, no entanto, estas partículas, sob um paradigma de evolução, estão sujeitas a um procedimento de seleção que deve promover um progresso na direção ao ótimo [29]. Em seguida será descrito o algoritmo do EPSO como uma Estratégia de Evolução. Convém antes distinguir, para cada partícula, entre parâmetros objeto e parâmetros estratégicos. Enquanto que os primeiros se referem à descrição da solução (variáveis do problema), os segundos dizem respeito aos parâmetros que condicionam o processo de evolução de uma dada solução (os pesos que definem a estratégia reprodutiva de cada partícula).
O esquema geral do EPSO, para cada iteração, é o seguinte [31], [32]: • Replicação – cada partícula é clonada r vezes;
• Mutação – todas as r partículas clonadas têm os seus parâmetros estratégicos W mutados;
• Reprodução – cada uma das r+1 partículas (original e clones) dá origem a uma nova partícula (origina descendência) de acordo com a regra do movimento das partículas;
• Avaliação – cada descendente tem a sua adaptação (fitness) avaliada;
• Seleção – por torneio estocástico ou outro mecanismo de seleção, a melhor partícula de cada grupo de r descendentes de cada partícula da geração anterior sobrevive para formar uma nova geração.
A regra do movimento no EPSO, ilustrada na Figura 2.10, permite a uma dada partícula 𝑿𝒊𝒌,
numa geração k, gerar uma nova partícula 𝑿𝒊𝒌›𝟏 de acordo com a aplicação das equações (2.47)
e (2.48) [31].
𝐗?(`›\)= 𝐗?(`)+ 𝐕?(`›\) (2.47)
𝐕?(`›\)= w
Onde:
𝐛? – é o melhor ponto encontrado pela partícula i na sua vida passada até à presente
geração;
𝐛a – é o melhor ponto global encontrado até ao momento por todas as partículas do
enxame, nas suas vidas passadas até à presente geração (partícula com a melhor fitness até à presente geração);
𝐗?(`) – corresponde à localização da partícula i na geração k;
𝐕?(`)= 𝐗?(`)− 𝐗?(`S\) – é a velocidade da partícula i na geração k;
w?\ – representa o peso condicionante do termo inércia (partícula tende a mover na mesma
direção do anterior movimento);
w?H- representa o peso condicionante do termo memória (partícula é atraída pela sua
melhor posição anterior);
w?•- representa o peso condicionante do termo cooperação (partícula é atraída pelo melhor
global encontrado até ao momento pelo enxame);
P – representa o fator de comunicação, afetando todas as dimensões de uma partícula ou
indivíduo, contendo variáveis binárias de valor 1 com probabilidade p e de valor 0 com probabilidade (1-p). O valor de p é fixado externamente e controla a passagem de informação dentro do enxame.
O símbolo * indica que estes parâmetros vão evoluir de acordo com um processo de mutação que se explana em seguida.
Tipicamente, a mutação de um determinado peso W (parâmetro estratégico), segue uma regra multiplicativa (2.49) ou aditiva (2.50).
W?`∗= W
?`∗ [1 + τ ∗ N(0,1) ] (2.49)
W?`∗= W?`+ τ ∗ N(0,1) (2.50)
Nos esquemas de mutação apresentados em (2.49 e 2.50), N(0,1) é um número amostrado da distribuição Gaussiana standard e 𝜏 representa o parâmetro de aprendizagem que é fixado externamente de forma a controlar a amplitude das mutações.
Figura 2.10 - Ilustração da reprodução de uma partícula no EPSO: uma partícula Xi(k) gera uma nova partícula Xi(k+1) numa localização definida pela regra do movimento [31].
EPSO - Enxame de Partículas Evolucionário 23
Finalmente, o parâmetro relativo à posição do melhor global corrente bg também é perturbado de forma a explorar o espaço de soluções à sua volta (admitindo que ainda não foi encontrada a melhor solução):
ba∗= ba+ W?®∗∗ N 0,1 , (2.51)
onde W?® é o quarto parâmetro estratégico associado a uma partícula i.
No capítulo 4, referente à apresentação das metodologias de resolução envolvendo a aplicação da meta-heurística EPSO, é feita uma análise mais detalhada acerca da implementação do algoritmo apresentado.
Capítulo 3
Redespacho Ótimo de Produção
Num contexto de planeamento de operação, é importante que o agente responsável pela operação tenha conhecimento prévio das possíveis situações de congestionamento que possam ocorrer na rede de forma a garantir a satisfação dos contratos de fornecimento.
A possibilidade de ocorrência de situações de congestionamento pode estar associada à incerteza relativa aos cenários de carga futuros. Se a incerteza nas potências de carga for representada por números difusos, é possível avaliar a possibilidade de sobrecarga num ramo da rede recorrendo à aplicação de trânsitos de potência difusos.
A existência de possibilidade de sobrecarga num ramo, está naturalmente associada a um risco de repressão de carga, isto é, à impossibilidade de certos pedidos de carga serem satisfeitos [17]. De forma a anular ou minimizar o risco de repressão de carga é necessário que o gestor do sistema (GS) efetue alterações relativamente a um cenário ótimo de funcionamento programado. Como essas alterações estão associadas a um aumento dos custos de operação, cabe ao operador do sistema avaliar o risco máximo de não satisfação da carga.
Nesta dissertação aborda-se um novo conceito aplicado ao OPF que diz respeito ao gestor global do sistema admitir a possibilidade de ocorrência de sobrecargas nos ramos do sistema com um certo grau de pertença relacionado com as distribuições de possibilidade das potências de carga difusas. Ou seja, admite-se a hipótese do gestor do sistema ao ter elevada confiança nas previsões efetuadas para o consumo e para a produção numa determinada hora, poder desprezar um conjunto de cenários de carga para os quais se sabe existir pouca possibilidade de pertencerem aos intervalos difusos de carga especificados.
Neste capítulo são apresentadas metodologias de redespacho de potência ativa que permitam ao GS, numa perspetiva de planeamento, adequar a estratégia ótima de operação da rede de forma a que seja possível garantir a segurança do abastecimento para qualquer cenário de potência de carga que possa surgir de entre as várias combinações possíveis de carga contempladas na previsão.
