Uma abordagem histórica da equação do 2 º grau

Texto

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E S PE C I A L I Z A Ç Ã O E M E N S IN O D E M A T E M Á T I C A PA R A O E N S IN O M É D I O

VICENTE DE FREITAS FILHO

U M A AB O R D A G E M H I S T Ó R IC A D A E Q U A Ç Ã O D O 2 º G R A U

M A R T IN S 2 0 1 6

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U M A AB O R D A G E M H I S T Ó R IC A D A E Q U A Ç Ã O D O 2 º G R A U

Monografia apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Especialista na Pós-Graduação em E ns ino d e M a t e má t ic a p a r a o E ns ino M é d io . Polo de Martins, Modalidade de Ensino a Distância, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, orientado pela professora Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente.

Aprovado em ______/______/_________

Banca Examinadora

________________________________________________________ Prof. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente

_________________________________________________________ Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz

_________________________________________________________ Prof. Me. Odilon Júlio dos Santos

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Meus Pais Vicente Pedro de Freitas (in-memorian) e Francisca Neuza de Freitas.

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Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus, pelo dom da vida e porque a ele tudo pertence e se estou aqui neste momento é porque ele permitiu;

Aos meus pais, Vicente Pedro de Freitas (in-memorian) e Francisca Neuza de Freitas pela educação, apoio moral e pelo carinho que sempre me dedicou;

A minha esposa Ivonete Lopes Barra e meu filho João Víctor Lopes de Freitas, pela compreensão e pelo carinho nas horas mais difíceis, principalmente neste momento de elaboração do meu trabalho da especialização;

A minha orientadora, Prof.ª.Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente, pelo apoio, estímulo, colaboração e por sua grande compreensão para comigo;

Aos colegas do curso de especialização, pelas trocas de experiências, pelos incentivos nos momentos de dificuldades, por todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias.

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A r a z ã o é c o mo u ma e q u a ç ã o . D e ma t e má t ic a . . . t ir a a p r á t ic a . D e se r mo s. . . u m p o u co ma is d e nó s! ( Fe r na nd o A n it e l l i)

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Desenvolveu-se neste trabalho um estudo a respeito das equações do 2º grau, a partir de reflexões e discursões sobre os elementos evolutivos presentes na história da equação. Destacamos, a história da matemática e sua importância para o processo de ensino da matemática. Apresentamos algumas considerações acerca da equação do 2º grau, ressaltando alguns estudiosos e as orientações dos PCN (BRASIL, 1997; 1998). Desenvolvemos nossos estudos direcionados por uma linha cronológica e evolutiva de como surgiu os primeiros registros históricos e os métodos de resolução. O marco inicial para o surgimento ou registro, consta da civilização egípcia que em seus papiros representavam os resultados de seus estudos. Surgiram ainda os Babilônios (Mesopotâmicos) que apresentavam suas soluções como “receitas” para aquele problema. Já os gregos apresentaram resultados mais de cunho algébrico e geométrico, indo além das outras civilizações, construindo uma teoria para fundamentar seus estudos. Os árabes também desenvolveram um tratado sobre os seis tipos de equações, produzido uma fórmula para cada tipo de equação. Ao se analisar a abordagem realizada pela civilização Hindu, vemos que esta produziu resultados muito importantes, o método de completar quadrados e também a fórmula de Bhaskara, que apresentou um método para a obtenção de solução que é utilizado até hoje. Já os chineses, desenvolveram um método próprio para determinar a solução. Os europeus por sua vez, apresentaram resultados mais significativos, mostrando maneiras diferentes de se obter o conjunto solução das raízes da equação. No contexto atual vemos que a fórmula de Bhaskara é a que se utiliza no ensino de matemática no Brasil.

Palavras chave:

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We developed in this work a study about the 2nd degree equations, from reflections and discussions on the evolutionary elements present in the history of the equation. We point out, the history of mathematics and its importance to the mathematics teaching process. Here are some considerations about the 2nd degree equation, highlighting some scholars and the guidelines of the CPN (BRAZIL, 1997; 1998). We develop our studies directed by a chronological and evolutionary line how did the first historical records and the method of resolution. The starting point for the emergence or record, consists of Egyptian civilization in its papyri represented the results of their studies. still emerged the Babylonians (Mesopotamians) presenting their solutions as "recipes" for that problem. Already the Greeks showed results over algebraic and geometric nature, going beyond the other civilizations, constructing a theory to support their studies. The Arabs also developed a treatise on the six types of equations produced a formula for each type of equation. When analyzing the approach carried out by Hindu civilization, we see that it is produced very important results, the method of completing squares and also the quadratic formula, which presented a method for obtaining solution that is used today. Already the Chinese have developed a method to determine the solution. European turn showed significant results, showing different way to obtain the solution set of roots of the equation. In the present context we see that the formula is Bhaskara that is used in mathematics teaching in Brazil. Keywords:

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Figura 1: O Papiro de Moscou...30

Figura 2: Parte do papiro de Rhind (ou de Ahmes) ...30

Figura 3. Fotografia da Plimpton...35

Figura 4: Sistema de numeração mesopotâmico (Babilônico / Sumério) ...35

Figura 5: Livro Os elementos de Euclides de Alexandria ...41

Figura 6: Representação geométrica da expressão (a+b )2= a2 + 2ab + b2 ...41

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1 INTRODUÇÃO ... 10

2 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO ... 12

2.1 Utilização da história da matemática como recurso para ensino ... 12

3 CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ... 19

3.1 Breve reflexões acerca do ensino da matemática ... 19

3.2 A resolução de problemas e suas contribuições para a aprendizagem da matemática... 22

3.3 Polya e suas reflexões sobre a resolução de problema ... 25

4 ANÁLISE HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ... 29

4.1 Os egípcios e a equação do 2º grau ... 29

4.2 Os babilônios e a equação do 2º grau ... 34

4.3 Os gregos e a equação do 2º grau ... 39

4.4 Os hindus e a equação do 2º grau ... 44

4.5 Os árabes e a equação do 2º grau ... 49

4.6 Os chineses e a equação do 2º grau ... 54

4.7 Os europeus e a equação do 2º grau ... 55

4.8 A equação do 2º grau na atualidade ... 59

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 61

REFERÊNCIAS...64

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1 INTRODUÇÃO

O conhecimento de mundo, traz consigo a relevância sobre tudo aquilo que a sustenta. Para compreendermos os costumes, valores e marcos da humanidade, é preciso antes de mais nada, meditar o tempo presente, recorrendo ao passado como modo de enxergar as mudanças frente ao tempo.

A história da humanidade está ligada uma imensidão de fatos que a história tem o papel importante de olharmos sobre o que se passou. Inserido neste senário evolutivo, vemos a matemática e um imenso grupo de estudiosos que desde os primórdios até o presente momento marcaram suas épocas.

A matemática, é de certeza um dos pilares ou se não a base que sustentar o mundo atualmente. Isso, é destacável por esta ciência está intimamente ligada de maneira prática a maneiras de organização, financeira e principalmente tecnológica.

Com isso, se percebe o quanto é importante e em consonância a isso, é necessário entender como a matemática vem evoluindo com os tempos, ou mais especificamente como os modelos, com por exemplo a equações de 2º grau vem colaborando para que o homem compreenda os problemas do dia a dia, e obtenha suas soluções aplicando o modelo mais conveniente.

Nesta perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2001, p.42), afirma que a História da Matemática, expõe que estase construiu como uma resposta as perguntas e inquietações oriundas dos mais diversos contextos, determinadas por problemas que em suma maioria eram de natureza prática, ou por situações problema ligadas a outras ciências, bem como através de problemas vinculados a investigações acerca da própria Matemática.

Este trabalho se dará por uma pesquisa bibliográfica acerca da temática e está

estruturado em 3 capítulos. Partindo de uma abordagem didática sobre a o ensino da matemática, e além do mais um estudo sobre o contexto histórico das equações segundo uma ordem temporal dos fatos que fundamentaram cada período e suas contribuições.

O 2º capítulo deste trabalho é terá uma abordagem acerca do ensino da matemática, abordando uma perspectiva histórica acerca da relação entre o conhecimento abordado em sala de aula e o conhecimento acerca de como a história está inserida neste contexto. Ainda,

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será feito algumas reflexões sobre a importância e as contribuições, as quais são destacadas por alguns estudiosos e documentos acerca do ensino da matemática.

Iremos no 3º realizar algumas considerações sobre as equações do 2º grau, tendo como ponto de partida o processo de ensino e aprendizagem das mesmas pelos alunos e suas implicações. Será enfatizado aspectos didáticos sobre o ensino das equações, fundamentada pela visão de alguns estudiosos.

Os fatos abordados nos dois capítulos anteriores, fundamentam a necessidade de se realizar uma análise histórica com destaque aos principais fatos sobre, como se dava o processo e o entendimento dos modelos que envolviam as técnicas de resolução das equações.

Finalmente no 4º capítulo fazemos referência a algumas das principais civilizações, tendo como marco inicial os manuscritos e os matemáticos ou seus estudiosos que deram as primeiras contribuições no período dos Egípcios onde os problemas surgiam em suma maioria por situações práticas vividas.

Outra civilização objeto de estudo são os Babilônios, que apresentavam em seus escritos uma resolução de caráter mais algébrica, com modelos que se assemelham ao que hoje utilizamos. Faremos estudos sobre os gregos e seus principais estudiosos com destaque para Euclides, um dos maiores matemáticos da época.

Passeando neste estudo histórico, enfatizaremos a civilização Indiana, destacando os autores deste período. Na civilização Árabe, situaremos algumas das muitas contribuições de seus principais percussores, como Al Khowarizmi, Abu Kamil, Al Khayyam e Al Qalasadi. Também faremos referências aos estudos realizados pelos chineses e também pelos europeus, mostrando como a equação com o passar dos tempos foi importante dentro de cada período e de cada civilização.

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2 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ENSINO

Neste capítulo abordaremos algumas reflexões iniciais e necessária sobre o ensino da matemática, tendo como instrumento para discursão algumas concepções pedagógicas e propostos educacionais existentes em documentos oficiais e também estudos realizados por alguns teóricos que contribuem de maneira muita significativa para a compreensão do que o ensinar matemática, bem como a relevância do elo existente entre os modelos ensinados e a história a qual se está vinculado.

2.1 Utilização da história da matemática como recurso para ensino

A construção e a evolução da sociedade e dos conhecimentos por ela produzidos está profundamente vinculada aos seus valores e principalmente a sua difusão cultural. Neste contexto, a história nos possibilita o resgate do passado como uma forma de entender como os modos de sociedades evoluíram.

Para Boyer (1974),

É costume dividir o passado da humanidade em eras períodos, com particular referência a níveis e características culturais. [...] A Idade da Pedra, um longo período que precede o uso de metais, não teve um fim abrupto. Na verdade, o tipo de cultura que representou terminou muito mais tarde na Europa do que em certas partes da Ásia e da África. O surgimento de civilizações caracterizadas pelo uso de metais teve lugar primeiro em vales de rios, como o do Egito, Mesopotâmia, Índia e China. (BOYER, 1974. p. 23)

Dessa forma, a história das civilizações traz consigo também a história do conhecimento matemático difundido e lapidado por ela ao longo dos tempos, isto pois, da mesma maneira as mudanças no contexto da humanidade não se produziram sozinhas, a matemática necessitou deste processo para se aprimorar. Ressalta Santos (2009, p. 19) ao destacar que “é importante olhar para o passado para estudar matemática, pois perceber as evoluções das ideias matemáticas observando somente o estado atual dessa ciência não nos dá toda a dimensão das mudanças”.

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Ao passo disso, temos ainda que esta relação histórica entre matemática e sociedade, é extremamente contributiva, visto que a matemática é presente em todas as esferas do processo pelo qual passou a humanidade, seja no aspecto social ou econômico.

Nesta perspectiva colabora D’Ambrósio (1999), citando que,

“As ideias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência. Em todos os momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de saber.” (p. 97).

Ao pararmos para pensar um pouco, sobre a forma como as coisas que cercam a nossa realidade, estão ligadas a matemática, da ação mais simples como o acordar, onde qualquer atitude vital, batimento do coração, andar e respirar, entre outra é uma representação da aplicação da matemática. Com isso vemos que não precisamos ir longe ou tentar encontrar alguma ocasião ou momento que represente uma circunstância de sua aplicação. Em suma, é possível encontrar a matemática presente em quase tudo, ou tudo, e que este conhecimento é essencial no rumo dos passos ao qual à humanidade caminha.

A este respeito, ressalta Santos, et al (2011, p.1), onde,

A matemática está presente em quase todas as ações do dia-a-dia, ela faz parte do cotidiano e da história. Esta disciplina está na vida do homem desde os tempos antigos, por isso, é necessário que se utilize a História da Matemática, no processo de aprendizagem matemático, para que esta ferramenta instigue e possibilite um melhor entendimento do estudo matemático. Há um crescente movimento em busca de novas metodologias de ensino, e a História da Matemática é umas dessas tendências, pois ela auxilia na construção do conhecimento e na evolução dos conceitos matemáticos.

Já os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (1997) colaboram que,

A Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza. (BRASIL, 1997, p. 23).

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Atualmente percebemos que o ensino e a aprendizagem da Matemática vêm passando por algumas dificuldades, isso pois, hoje de uma maneira muito mais complexa de se compreender, os alunos apresentam uma certa “rejeição” a este conhecimento, que como já foi destacado, é um pilar que possibilitou e possibilita ao homem, a compreensão e as mais variadas transformações do seu meio, tendo a matemática como instrumento norteador.

Devido as dificuldades constatadas, muitos estudiosos buscam dentro de tantos problemas, entender quais são as causas por traz disso. Norteados pela ânsia de diagnosticar com uma precisão estes pontos, os estudiosos da educação matemática, destacam algumas práticas metodológicas, para que inseridas no ensino possa facilitar e estimular a aprendizagem dos discentes.

Dentre as metodologias de ensino destacamos, a modelagem matemática, a Etnomatemática e a História da Matemática, que se o professor conseguir desenvolver uma boa relação entre o conteúdo e qual das metodologias sugeridas se aplicará melhor, isso poderá gerar um melhor entendimento dos problemas, bem como das ferramentas utilizadas para a construção das estratégias de resolução.

Biembengut e Hein (2005, p. 7) ao discutirem sobre modelagem matemática, os mesmos destacam que:

A modelagem matemática, arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações-problemas de nosso meio, tem estado presente desde os tempos mais primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos.

Já no campo da Etnomatemática, um dos seus principais estudiosos Ubiratan D’Ambrósio, ressalta que,

Etnomatemática é a matemática praticada por grupos culturais, tais como comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes profissionais, crianças de uma certa faixa etária, sociedades indígenas, e tantos outros grupos que se identificam por objetivos e tradições comuns aos grupos. (D’AMBRÓSIO, 2005, p. 9)

Logo mais, ao falarmos sobre a prática envolvendo a História da Matemática, salientamos que aqui os seus conhecimentos são desenvolvidos, tendo como ponto de partida o seu contexto histórico, cujo um dos seus objetivos é possibilitar aos alunos a compreensão

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da mesma, passando assim, a enxergar a matemática não como um saber sem sentido, mas sim, uma construção da humanidade.

Assim, de acordo com Groenwald (2004, p.47),

O enfoque histórico é uma proposta metodológica que permite ao aluno descobrir a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá em aula. Em outras palavras este enfoque permitirá ao aluno fazer relação das ideias matemáticas desenvolvidas em sala de aula com suas origens. O conhecimento da história da matemática proporciona uma visão dinâmica da evolução dessa disciplina, buscando as ideias originais em toda sua essência.

Podemos observar que, a matemática está diretamente ligada a história e o processo evolutivo das civilizações. Nessa linha de pensamento, percebemos que as práticas e metodologias, defendem uma relação mais próxima entre o conhecimento e o objetivo da aprendizagem, e ainda vale destacar que a história tem um papel significativo, nos mais diversos períodos e civilizações, e com isso é apontada como uma ferramenta apropriada na ação concreta da aprendizagem da matemática.

Dessa forma, ao se trabalhar o conteúdo tendo como pontapé inicial o seu contexto histórico não significa uma transmissão de datas e nomes para o aluno, mas sim ressaltar os principais percussores da matemática.

Segundo as DCE,

A abordagem histórica não se resume a retratar curiosidades ou biografias de matemáticos famosos; vincula as descobertas matemáticas aos fatos sociais e políticos, às circunstâncias históricas e às correntes filosóficas que determinaram o pensamento e influenciaram o avanço científico de cada época. (DCE de MATEMÁTICA, 2006, p. 45).

Além disso, os PCNs (1998, p.42) destacam que,

A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.

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Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural.

Em consonância com isso, os PCNs ainda nos revelam que, os conteúdos abordado estejam vinculados com seu contexto histórico, se instituem como importantes condutores das informações, seja elas de natureza cultural, social e evolutiva, assim se percebe é quanto é importante trabalhar a história da Matemática atrelada ao ensino da matemática.

A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural. Ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas, o aluno poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. (BRASIL, 1998, p.42)

Logo mais, MIGUEL e MIORIN (2004, p. 53) entendem que,

Dessa forma, podemos entender ser possível buscar na História da Matemática apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo; (1) a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais , econômicas e físicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das ideias matemáticas; (4) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião, matemática e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de ideias e teorias; (6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.

É conveniente que os docentes adotem uma postura mais reflexiva sobre a aprendizagem, que conheça, discuta e reflita, sobre as mais diversas maneiras de se construir os conteúdos e as situações envolvendo aplicação da matemática, colaborando para uma aprendizagem expressiva, onde consinta em ponderações, apreciações, verificações e generalizações, desenvolvendo um sujeito que acima de qualquer coisa, tenha ação criativa e crítica, diante do seu meio social.

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Pode parecer, a princípio, que alguns temas da matemática não têm aplicação imediata no mundo em que vivemos; isso pode gerar certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. (CASTRUCCI, GIOVANI, JUNIOR, 1998, p.3)

Norteados por estes pressupostos devemos sempre ter em mente que o homem, initerruptamente sempre procurou aperfeiçoar, tanto os seus instrumentos, conhecimentos e consequentemente seus modos de vida. Nesta busca interminável por mais uma descoberta, o seu caminho se construiu com muita energia e tempo envolvido, como muitas tentativas, tendo sempre alguns erros até surgisse algum resultado satisfatório, isso de maneira gradativa com o passar dos tempos até a obtenção das fórmulas que hoje utilizamos para resolver os problemas matemáticos, seja de natureza teórica ou prática.

Conforme Farago (2003, p.17),

A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma a nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstancia em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento.

Entendemos que é de extrema importante debater as práticas e os métodos como ocorrem o processo de ensino e aprendizagem da matemática, tendo como norte para produzir um saber sustentado na compreensão dos aspectos que envolvam os modelos, mas ao mesmo tempo aproximada da História Matemática.

Diante dos aperfeiçoamentos das metodologias e da maneira como pensamos a matemática, podendo assim, propiciar ao educando uma formação mais completa, tendo com relevância, todos os aspectos históricos e culturais, do aprimoramento da matemática. Cabe ainda neste cenário, uma abordagem sobre alguns saberes que foram e são fundamentais para a humanidade, e um desses conhecimentos é a Equação do 2º Grau.

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3 CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

No capítulo anterior, discutimos acerca da importância da história da matemática e consequentemente de suas contribuições para o processo de ensino e aprendizagem. Enveredados por este caminho, neste capítulo faremos algumas considerações sobre a equação de 2º grau, considerando alguns aspectos atuais sobre o seu ensino, com ênfase sobre o método utilizado para repassar o conteúdo, introduzindo ainda, conceitos vinculados a resolução de problemas, visto que os primeiros modelos da equação, surgiram pela necessidade encontrar respostas aos problemas do dia a dia.

3.1 Breve reflexões acerca do ensino da matemática

As mudanças na sociedade, os avanços ocorridos na tecnologia e na comunicação criou um ambiente, fundamentado pela competividade e aprimoramento do que existe. Para uma compreensão do mundo, de um modo mais crítico e estruturado, é necessário existir saberes distintos, almejando se adequar às inovações na mesma rapidez com que estas progridem.

Além do mais, pode-se constatar que a escola não consegue acompanhar o desenvolvimento ocasionado pela globalização, pois exigisse uma maior e mais rápida transformação dos conhecimentos apresentados, em ferramentas transformadoras dos objetos sociais presentes na atualidade.

O que se nota nas salas de aulas, é que o ensino em especial o de matemática, ainda sobrevive das práticas tradicionais, enraizadas em uma aprendizagem direcionada para a memorização de fórmulas e dados completamente distante das necessidades daqueles vivenciadas pelos alunos, que se encontram em um outro patamar, inseridos em uma nova era, a era das tecnologias. Se a escola ainda permanecer neste caminho, o que teremos como resultado é um distanciamento cada vez maior entre a escola e o educando.

Exprime Toledo e Toledo (1997), que uma pergunta é comum entre os alunos: “Para que eu preciso estudar Matemática? ”. Ao meditarmos sobre a matemática, percebemos que está se originou e edificou-se durante todo o percurso histórico pelo qual trilhou a humanidade, sendo uma ferramenta, que inicialmente estava vinculada a resolver os problemas de natureza prática, a partir das situações vivenciadas no dia a dia.

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Porém, é preciso destacar que existem muitas mudanças acontecendo no âmbito da sala de aula, e que o que se pode diagnosticar, é um desinteresse cada vez maior dos alunos com os estudos. Este momento nebuloso, não é exclusividade da matemática, mas de todas as áreas do conhecimento.

Mesmo assim, ainda podemos observar que o ensino de matemática, a partir de uma abordagem mecânica e sistemática, a torna muito mais desinteressante e atrativa por parte dos alunos, que muitos já trazem consigo as dificuldades, e as lacunas deixadas pelos professores da series iniciais, que as vezes não trabalham a matemática como os seus alunos como deveriam.

A aplicação dos aprendizados em contextos diferentes daqueles em que foram adquiridos exige muito mais que a simples decoração ou a solução mecânica de exercícios: domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, capacidade de análise e abstração. Essas capacidades são necessárias em todas as áreas de estudo, mas a falta delas, em Matemática, chama a atenção. (MICOTTI, 1999, p. 10)

Direcionados por nossas reflexões, é destacável que os problemas estão relacionados direto ou indiretamente, e que nesta ótica, a cada ano que o aluno vai passando pela sala de aula, os problemas da aprendizagem, vem se tornando uma “bola de neve” de tamanho incalculável. Não é possível apontar de certeza qual o centro dos problemas educacionais, mas podemos destacar, fatos como a organização curricular até a falta de conhecimento dos documentes que direcionam e orientam a educação.

Existe uma distância entre o que está proposto nesses documentos e a prática escolar, cuja superação tem se mostrado difícil. As dificuldades vão desde problemas com a formação inicial e continuada a pouca disponibilidade de material didático-pedagógico; desde a estrutura verticalizada dos sistemas de ensino à incompreensão dos fundamentos da lei, das diretrizes e parâmetros. (RICARDO, 2003, p.8).

Dessa forma percebemos que ensinar matemática, é mais do que ensinar os modelos, mais do que isso, é fundamentar uma aprendizagem significativa, relacionando o conteúdo com as situações que os educandos podem vir a vivenciar. Colabora Biaggi (2000), ao afirmar que “não é possível preparar alunos capazes de solucionar problemas ensinando

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conceitos matemáticos desvinculados da realidade, ou que se mostrem sem significado para eles, esperando que saibam como utilizá-los no futuro”.

No entendimento de D’AMBROSIO (2012),

A típica aula de matemática em nível de primeiro, segundo ou terceiro graus ainda é uma aula expositiva, em que o professor passa para o quadro negro aquilo que ele julga importante. O aluno, por sua vez, copia da lousa para o seu caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que nada mais são do que uma repetição na aplicação de um modelo de solução apresentado pelo professor.

Além do mais, este modelo de pensamento e ação no ato de ensinar, destacado por D’Ambrósio, apenas alimenta ainda mais a visão da matemática, como sendo desmotivadora, sem utilidade para na vida do educando, criando no mesmo uma falsa possibilidade de aprendizagem, onde este se dar pela quantidades de exercícios, e não estimulando ao aluno, em que o ato de aprender vai além do método, e que o método surge como instrumento para ser utilizados na buscas pelas respostas, ou solução das situações vivenciadas.

Ressalta os PCNs, (2001, p. 62-63), que;

É importante que estimule os alunos a buscar explicações e finalidades para as coisas, discutindo questões relativas à utilidade da Matemática, como ela foi construída, como pode construir para a solução tanto de problemas do cotidiano como de problemas ligados à investigação científica. Desse modo, o aluno pode identificar os conhecimentos matemáticos como meios que o auxiliam a compreender e atuar no mundo.

Diante do cenário de transformação que se passa e busca, por mais que ainda exista alguns livros didáticos, que apresente uma ênfase maior sobre às fórmulas, podemos notar algumas poucas mudanças, mas muitas vezes, saberes iniciais como história da matemática

ou um exemplo de uma situação prática onde aquele conhecimento é utilizado. Diante dessa atitude tomada pelo professor, o aluno está sendo estimulado mais a

decorar o que se ensina e repetir vários exercícios do assunto, sem possibilitar o entendimento e aquisição dos saberes fundamentais para aplicar o conteúdo em situações problema, ou sem mesmo gerar, estímulo e curiosidade.

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3.2 A resolução de problemas e suas contribuições para a aprendizagem da matemática

Quando se discute atualmente acerca de novas formas de construir matemática, nos remetemos de imediato ao que hoje se aponta por muitos como uma porta para descobrir saberes. Assim, a associação entre os conceitos e sua aplicabilidade a partir de problemas práticos, possibilitam ao homem, na sua incessante busca de uma relação cada vez mais dominante com a natureza e, posteriormente, com os meios de produção.

Sobre a resolução de problemas, os PCN (1998), o mesmo descreve que esta metodologia de aprendizagem, se norteia pelos seguintes princípios:

 A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;  O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de

forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

 Aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na História da Matemática;

 Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um problema particular;

 A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN, 1998, p. 40 – 41).

É ressaltado por Polya, (1994, p. 5), que "uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema".

Com isso, nesta busca de se produzir uma metodologia de ensino que possibilite ao aluno o entendimento e a relevância do que é estudado, enxergamos dentre as metodologias

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da aprendizagem, a utilização da resolução de problemas como um meio de ao ensinarmos as equações de 2º grau, trabalhar conjuntamente, os modelos e fórmulas, em uma ótica da necessidade por parte dos alunos sobre o conteúdo estudado, e não o que o professor julga ser importante na sua concepção.

Concorda Toledo e Toledo (1997), destacando que os problemas de matemática muitas vezes são trabalhados de forma desmotivadora, apenas como um conjunto de exercícios acadêmicos. Visto desta forma, os problemas matemáticos e as equações, passa a não ter muito sentido para o aluno, já que não apresentam situações que possam ser vivenciadas pelo educando, e que este possa utiliza-la como ferramenta.

Para Van de Walle (2009, p. 139) “as situações do mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos tópicos de álgebra’. Nesta mesma concepção, os PCNs (1998, p.116), asseguram que ser mais favorável apresentar situações que estimulem e direcionem os alunos na construção de noções acerca da álgebra, tomando a observação como parte da aprendizagem. Além do mais, “É importante que os alunos percebam que as equações facilitam muito as resoluções de problemas difíceis”. PCNs (1998, p.121).

Um exemplo bem claro presente nas aulas matemáticas como um todo, é destacado, pois, por mais que alguns livros trazem algumas orientações para iniciar os assuntos, alguns educadores, veem que aplicar exercícios e repeti-los, é um caminho para realmente aprender a matemática.

No entendimento de Oliveira (2001), sobre o ensino da matemática, o autor faz considerações relevantes sobre o processo, afirmando que,

O ensino da matemática privilegia o raciocínio dedutivo, e não o raciocínio indutivo. Deduzir significa inferir, ou seja, derivar uma inferência de um princípio geral. O estudo e o ensino da Matemática significa resolver problemas. Para outros, significa estabelecer provas através de deduções. Em ambos os casos, a Matemática utiliza muitos conceitos definidos – e o domínio desses conceitos é um pré-requisito para poder aprender as regras que permitem deduzir provas ou resolver problema. (OLIVEIRA, 2001, p. 175).

Ao analisarmos os PCNs, os estudos das equações do 2º grau, estão situados no grupo dos Números e Operações. Além do mais, o documento ainda faz colaborações ao professor, orientando que o mesmo procure, ao ensinar o conteúdo a utilização de problemas matemáticos, como meio de gerar interesse, motivação e compreensão do objeto de estudo.

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A respeito do professor que saem do contexto tradicionalista, Gonçalves e Brito (2001, p.225), cooperam, ao assegurar que;

[...] professores com atitudes positivas em relação à matemática encoraja os seus estudantes à independência, possibilitando o desenvolvimento do raciocínio e das habilidades básicas para resolução de problemas.

Ainda, segundo os PCN (1998, p.84), podemos destacar como sendo essencial “[...] a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da ‘sintaxe’ (regras para resolução) de uma equação”. Neste sentido, quando conseguimos adentrar nas situações-problema, inserindo as incógnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras, teremos um resultado mais satisfatório e significativo, pois as fórmulas passarão a ter sentido nas situações.

Acerca da resolução de problemas no ensino da matemática, ONUCHIC e ALLEVATO, destacam a importância, afirmando que:

 Resolução de problema coloca o foco da atenção dos alunos sobre ideias e sobre o “dar sentido”. Ao resolver problemas, os alunos necessitam refletir sobre as ideias que estão inerentes e/ou ligadas ao problema;

 Resolução de problemas desenvolve o “poder matemático”. Os estudantes, ao resolverem problemas em sala de aula, se engajam em todos os cinco padrões de procedimentos citados nos Standards 2000:  Resolução de problemas, raciocínio e prova; comunicação; conexões e representações; que são os processos de fazer matemática, além de permitir ir bem além à compreensão do conteúdo que está sendo construído em sala de aula;

 Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são capazes de fazer Matemática e de que Matemática faz sentido. Cada vez que o professor propõe uma tarefa com problemas e espera pela solução, ele diz aos estudantes: “Eu acredito que vocês podem fazer isso!”. Cada vez que a classe resolve um problema, a compreensão, a confiança e a auto avaliação dos estudantes são desenvolvidas;  Resolução de problemas provê dados de avaliação contínua que

podem ser usados para tomar decisões instrucionais, ajudar os alunos a ter sucesso (...);

 A formalização de toda teoria matemática pertinente a cada tópico construído, dentro de um programa assumido, feito pelo professor ao

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final da atividade, faz mais sentido para os alunos (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004, p. 213-214).

Além disso, no que se refere ao estudo das equações do 2º grau, os PCNs apresentam uma importante metodologia a ser utilizada, considerando que a,

Resolução de situações-problema que podem ser desenvolvidas por uma equação de segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta. (BRASIL, 1998, p.88).

Estas metodologias apresentadas pelos PCNs, traz um melhor entendimento dos probleminhas matemáticos, como um elemento colaborativo para auxiliar nos enfoques inicias das equações do 2° grau. Isso desde, que ocorram este elo entre os resultados descobertos e o problema a qual é fonte de estudo, tornando de extrema importância o estimulo do pensamento, da reflexão acerca de tudo que está envolvido fazendo como o incentivo seja sobre a descoberta e a construção da solução do problema, sem atribuir os resultados as formulas utilizadas, mas sim, a observação, elaboração e execução do processo de solução, de modo que o aluno compreenda as etapas e não se sinta perdido.

Dessa forma, ao aluno conseguir visualizar o real objetivo das equações, que mais do que uma fórmula é uma estratégia, construído por passos, ao qual direciona o educando a descobrir o resultado desejado. É importante salientar, que este estimulo inicial propiciado pelo professor, é um fundamental para mudar, alguns pensamentos errôneos de que matemática se resume a fórmulas e cálculos, alimentando no aluno a vontade por estudar a matemática, tendo a dimensão de sua importância.

3.3 Polya e suas reflexões sobre a resolução de problema

Enveredados por nossas reflexões sobre ensino de matemática, bem como as contribuições que a utilização das resoluções de problemas, será fruto de discursão algumas etapas propostas pelo renomado e pesquisador em Educação Matemática George Polya, que em seu célebre e admirável livro “A arte de resolver problemas”, possibilitou uma nova dinâmica para o ensino da matemática.

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Livro este, que abriu um leque de questionamentos sobre, uma reflexão mais profunda na hora de resolver um problema, não tendo em primeiro momento a única visão das fórmulas, mas um entendimento sobre o que é objeto de estudo.

Em seu livro, Polya expõe a heurística que é à técnica desenvolvida por ele para resolver as situações problemas. Gomero (2012, p. 4), descreve que, “A heurística é o estudo das estratégias e táticas utilizadas para resolver problemas em qualquer esfera”.

Além do mais, Gomero (2012, p.4), ainda ressalta que,

[...] geralmente um problema pode ser abordado e resolvido de muitas maneiras diferentes, e isto se aplica em particular a problemas de Matemática. [...] prestando mais atenção à identificação das estratégias e táticas utilizadas do que às ferramentas, isto é, à própria Matemática. O objetivo principal é resolver cada problema de tantas maneiras diferentes quanto seja possível.

Dessa forma, destacamos as etapas propostas por Polya (1995), a serem adotadas na resolução dez problemas:

1ª. Compreensão do problema; 2ª. Elaboração de um plano; 3ª. Execução do plano;

4ª. Verificação da solução encontrada.

Verificando as etapas sugeridas por Polya, percebemos que a maneira como cada uma está definida, representa um a sequência bem objetiva a ser utilizada na resolução de um problema. Além do mais, tais etapas se apresentam como um pré-requisito para o próximo passo, de maneira que qualquer erro cometido, impossibilitará a obtenção do resultado.

Logo, pela primeira etapa sugerida, percebemos que o antes que qualquer outra ação se faz necessário a compreensão do problema, e para que isso ocorra, é preciso instigar no educando a reflexão sobre o que é o problema, e consiga realizar uma interpretação acerca do que se pede.

Já a segunda etapa se baseia no fato de que o aluno precisará construir uma maneira ou estratégia para poder obter a solução. Além disso, é necessário que aluno estabeleça um elo entre os dados que são fornecidos e o que se pede no problema, valendo salientar que

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nesta fase o aluno deverá pensar em outros problemas que sejam semelhantes, isso pois irá ajudar de maneira significativa para a construção do plano de resolução.

Na terceira etapa proposta, o aluno deverá colocar em prática a estratégia ou os caminhos que escolheu para a resolução. Neste momento ele irá pôr em ação o plano que ele delimitou na segunda etapa, se atentando a cada passo que será realizado, isso de maneira criteriosa, afim de evitar algum desvio na execução ou passos desnecessários.

Por fim, na quarta e última etapa sugerida por Polya, será o momento para analisar e verificar a solução encontrada. Dessa forma, o aluno deve verificar os métodos usados, para assim tentar determinar outras maneiras de se resolver o problema de uma maneira mais simples.

Neste momento, é importante frisar a importância destas etapas, pois vinculadas uma com outra, produzirá no aluno, uma maior reflexão sobre a maneira de se portar diante de uma situação problemas, pois municiados desses simples passos, o aluno mais do que determinar uma solução, ele constrói uma ou mais soluções para uma mesma situação, e dessa maneira que acontece uma aprendizagem expressiva.

Logo mais, percebemos que o método ou etapas para resolver problemas é muito importante para fortalecer a aprendizagem da matemática. Além do mais, inseridos neste contexto, situando as equações do 2º grau, se percebe que está também se encontra em muitos probleminhas de aplicação da matemática no dia a dia.

Além do mais, consta nos PCN (BRASIL, 1998, p.84) que ao se proporem situações problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da Álgebra.

Segundo Dante (1991),

[...] é possível, por meio da resolução de problemas, desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia a dia, na escola ou fora dela.

Para isso é fundamental a compreensão e a reflexão do professor sobre como ensinar este conteúdo da equação 2º grau, presente no 9º ano do ensino fundamental, é que eu seu estudo é importantíssimo para o aluno que vai ingressar no ensino médio. Neste cenário uma aproximação é importante ressaltar a relação entre o contexto histórico, os problemas matemáticos, não se restringindo apenas aos conceitos mais algébricos.

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Ao se trabalhar com resolução de problema, devemos acreditar, motivar e possibilitar aos alunos, que a matemática não é difícil e que ele será capaz de resolver qualquer problema que se apresenta. Assim, colabora Centurión (2003), afirmando que alunos motivados são capazes de raciocínios maravilhosos e surpreendentes.

Nenhum conhecimento é desnecessário neste caminho que o aluno traça deste as series iniciais até chegar ao ensino médio, mas é muito importante destacar as construções e a relevâncias de alguns saberes que surgiram para atender as necessidades do homem primitivo, e com o passar dos tempos este se moldaram e resultaram nas fórmulas que hoje utilizamos.

Resolver ou entender equações do 2º grau foi extremamente necessário principalmente nas civilizações que datam em manuscritos de sua utilização, como os egípcios, os babilônios, os gregos, os hindus e as demais civilizações que vieram posteriormente, até os dias atuais.

O que pode enxergar de um modo geral, é a presença de situações vivenciadas que faziam com que o homem buscasse meios para determinar uma solução, mesmo não tendo o conhecimento da álgebra, eles conseguiam montar estratégias para tal finalidade. Então, esta reflexão, nos colocar em destacar dois pontos muito importantes, a história da matemática, e sua relação com as situações problemas.

Relacionar tanto a história como os problemas, é uma importante ferramenta que o professor possui, não se apegando exclusivamente as fórmulas, mas apresentando um leque de possibilidade, para assim produzir em suas aulas, a motivação e a aprendizagem dos seus alunos, fatos estes tão almejados atualmente em nosso cenário educacional.

No próximo capítulo, iremos expor a história da equação do 2º grau ressaltando as diferentes técnicas de resolução de problemas utilizados pelas civilizações, construindo um percurso histórico a partir dos primeiros povos, e depois deles como seu deu este processo de aprimoramento, no estudo, trabalho e aplicação da equação, desde os métodos antigos até os contemporâneos.

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4 ANÁLISE HISTÓRICA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Neste capítulo, realizaremos reflexões sobre as civilizações antigas, e como datam de documentos que a aproximadamente a mais de 4.000 anos, as civilizações começaram a desenvolver procedimentos que eram capazes de determinar uma solução para equações do 2º grau, adotando fórmulas de maneira intuitiva. Tendo em vista, todo o contexto histórico atrelado a equação do segundo grau, enfatizaremos alguns problemas retirados do famosos Papiros, e outros tipos de manuscrito, afim de com isso, conseguir traçar uma linha histórica de como a equação se moldou a partir de cada civilização, até os dias atuais, onde estes modelos são resolvidos através de uma fórmula presente nos livros de matemática no Brasil, como a fórmula de Bhaskara.

4.1 Os egípcios e a equação do 2º grau

A história descreve que a civilização Egípcia, como um dos povos mais antigos, e ao mesmo tempos, destaca algumas particularidades associadas a estes povos. Além do mais não podemos deixar de mencionar, o rio Nilo, onde as suas terras férteis eram responsáveis pela produção de tudo o que era consumido.

Porém com todas as condições existentes, naquele tempo os egípcios, não tinham nenhum conhecimento que lhe propiciasse superar algumas situações do dia a dia. Um exemplo destas situações, podemos destacar, as atividades comerciais, sem nenhum conhecimento numérico, e talvez o que se apresenta nos livros de matemáticas, foi o surgimento das primeiras noções básicas da matemática egípcia, vinculado a medição de terra.

Quando o rio enchia as demarcações que existiam, eram arrancadas pela água, e quando o rio baixava, era preciso saber onde cada propriedade estava localizada antes da cheia e quais eram as suas dimensões. Outro fator que contribuiu, foi as atividades agrícolas de irrigação que eles realizavam. Assim, a matemática egípcia está associada a atender as necessidades pelas quais eles passavam, também como resolver problemas, e determinar maneiras eficientes para realizar a construção de estruturas hidráulicas, reservatórios para armazenar a água e canais para a irrigação e a drenagem das terras que ficavam alagadas durante as cheias.

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Diante disso, eles começaram a documentar a maneira como resolviam os problemas que existiam, bem como de atividades de contagem, conhecimento medicinais. Durante algumas escavações que foram realizadas no Egito no século XVIII, muitos foram os documentos contendo anotações, documentos estes que, devido ao material que utilizavam na sua confecção eram chamados de papiros. Nesta perspectiva, para Katz (2010), o conhecimento matemático do antigo Egito, está presente nestes papiros que traziam escritos problemas matemáticos bem como suas soluções. Dentre estes os papiros encontrados, destacamos o papiro de Kahun, de Berlim, de Moscou e o Papiro Rhind (ou de Ahmes).

Dentre estes, destacamos o papiro de Moscou, que hoje se encontra em Moscou na Rússia. Este papiro tem em suas dimensões 5,5m de comprimento e 8 cm de largura, e em comparações o papiro de Rhind, ele possui apenas 25 problemas, e segundo dados históricos ele foi escrito pela décima segunda dinastia, que data de aproximadamente 1890 a.C.

Figura 1: O Papiro de Moscou Fonte: BOYER, (2001, p.13)

Além do papiro de Moscou, apresentamos abaixo, uma parte do papiro de Rhind, também chamado de papiro de Ahmes, que segundo dados históricos, foi escrito por aproximadamente 1.650 a.C.

Figura 2: Parte do papiro de Rhind (ou de Ahmes).

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A respeito do papiro de Rhind, Eves (2002) colabora afirmando que,

O papiro matemático de Rhind é uma cópia de um trabalho ainda mais antigo. Foi copiado por um escriba (escriturário egípcio) chamado Ahmes em escrita hierática, em 1650 a.C, e por esse motivo também é referenciado por papiro de Ahmes. O papiro foi adquirido por Alexander Henry Rhind em Luxor, Egito, em 1858. O Museu britânico incorporou-o ao seu patrimônio em 1865, permanecendo em seu acervo até os dias atuais. (EVES, 2002)

Além do mais para o autor,apesar do papiro se apenas um sinal elementar, em relação no que se refere à matemática antiga na visão dos egípcios, Eves (2004) ressalta o quanto o papiro de Rhind é importante, devido ao fato de mostrar os métodos por traz dos conhecimentos adquiridos pelos povos egípcios.

[...] o papiro de Rhind é uma fonte rica sobre a matemática egípcia, pois descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam das frações unitárias, seu emprego da regra de falsa posição, solução para problemas de determinação de área de um círculo e muitas aplicações da matemática em problemas práticos. (EVES, 2004, p. 70).

O papiro era escrito em hierático, onde, o hierático era uma das três maneiras com as quais os egípcios escreviam, e especificamente neste papiro foi escrito por eles 85 problemas matemáticos, que em sua grande maioria estão associados as situações praticas vivenciadas no dia a dia pelos egípcios.

Vale destacar que existem no papiro, problemas de natureza algébrica e também geométrica. Os problemas algébricos representavam situações envolvendo, à divisão de cerveja, pães dentre outros, bem como as operações aritméticas, e a determinação da quantidade de alimentos, que estavam associadas as equações de grau um, operações com frações e problemas de medidas. Já em relação à geometria, os problemas retratam situações relativas ao cálculo da medida dos volumes, compartimentos e áreas de figuras planas.

Dessa forma, em relação ao conhecimento matemático presentes nos papiros, destaca Boyer (2001, p.9) que,

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Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares, e nossas ideias sobre a contribuição egípcia seriam muito imprecisas se dependêssemos somente de material de origem cerimonial e astronômica. A matemática é muito mais do que contar e medir, os aspectos que são tratados em inscrições hieroglíficas.

Então, para resolver os problemas matemáticos, os egípcios desenvolveram alguns métodos para obter uma solução. Algumas situações se modelavam na forma de equações do 1º grau, e para poder encontrar umas respostas correta, utilizavam-se de um método chamado de “método de falsa posição”, que se encontram descritos nos papiros, dentre eles o de Moscou e o de Rhind.

Entretanto, não existem nos papiros registros de como eles as equações do 2º grau, porém mesmo sem comprovação, dize que eles elaboraram um método semelhante ao utilizado para as equações do 1º grau, que ficou conhecido como “dupla falsa posição”, para encontrar as soluções de equações do tipo x2 + y2 = k e y= ax, onde o número k e a, devem ser positivos.

Para melhor entendermos como funciona esta técnica da falsa posição utilizado pelos egípcios, vejamos o exemplo de um problema resolvido retirado do papiro de Berlim, aplicando este método, mencionado por CARVALHO (2008, apud SANTANA, 2013, p. 19-20).

Exemplo: A área de um quadrado é 100 e tal quadrado é igual à soma de dois quadrados menores, em que o lado de um é igual 4

3 do lado do outro. (Realce em itálico de nossa autoria).

Solução: Utilizando a simbologia atual!

Sejam x e y lados de dois quadrados que satisfazem x2 + y2 = 100 (1)

4x = 3y (2)

A equação (1) é satisfeita por x=3 e y= 4, assim x2 + y2 = 32 + 42 = 25. Para obter a soma 100, bastaria multiplicar ambos os membros por 4, isto é, bastaria fazer

x= 4.32; e y= 4.42, então resultaria em:

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Um outro problema bem interessante de se observar, é o problema 25 que está no Papiro de Ahmes, em que Roque (2012), descreve como seria a “receita” para a resolução do problema, como destacamos abaixo.

Problema 25 extraído do Papiro Ahmes: Uma quantidade e sua metade somadas fazem 16. Qual é a quantidade?

Solução:

i) Admitimos que a quantidade é 2 (um chute para começar) Obtemos de i) que 2 somado com sua metade é igual a 3. Mas queremos o número que somado com sua metade dê 16. Logo, devemos procurar pelo número que multiplicado por 3 deve dar 16, que é 16/3, e este será o número pelo qual 2 deve ser multiplicado para obtermos o número procurado 32/3. Adaptação de Roque (2012, p.80).

Dessa forma, podemos perceber que a maneira como os egípcios “resolviam” estes tipos de problemas não apresentava um método algébrico, mas talvez mais aritmético. Neste mesmo entendimento, ressalta Andrade (2000), ao afirmar que,

[...] num raciocínio algébrico a incógnita é tida como conhecida, é representada por uma letra, palavra ou símbolo e é envolvida em operações como se de um número se tratasse. O procedimento dos Egípcios baseava-se em fazer cálculos com números concretos até chegarem ao valor da incógnita. A incógnita era apenas o ponto de chegada dos problemas. (ANDRADE, 2000, p.12).

À vista disso, o que se pode observar que as civilizações egípcias apresentaram as primeiras contribuições, de maneira muito significa para o desenvolvimento do estudo da equação do segundo grau, isso se pode constatar pelos papiros encontrados, e também pelas enormes construções das grandes pirâmides, que para a época representava uma arquitetura muita robusta.

Talvez muito do conhecimento dos egípcios possa estar ainda perdido em meio a história, mas vale ressaltar que os primeiros passos realizados pelas civilizações egípcias foram essenciais para o aprimoramento realizado pelos gregos, na geometria, trigonometria, dentre outros conhecimentos.

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4.2 Os babilônios e a equação do 2º grau

Uma outra civilização que merece destaque no mesmo período que os povos Egípcios é a civilização Babilônica, também conhecida por civilização Mesopotâmica. Estes fatos são destacados por Andrade (2000), onde o autor destaca aspectos relacionados aos Mesopotâmicos e também a maneira que eles utilizavam para realizar seus escritos.

Há uma maior abundância de documentos relativos à matemática desta civilização, em virtude do material utilizado para a escrita ser diferente; em vez de papiros, os Mesopotâmios utilizavam tábuas de barro mole, as quais eram escritas com um estilete e cozidas ao sol ou num forno. Desta forma, eram mais resistentes ao tempo e, consequentemente, mais duradouras. Andrade (2000, p.12).

Ao se comparar as duas civilizações, egípcia e Babilônica, BOYER (1996, p.23), ressalta que cerca de 2000 anos antes de Cristo, para os Babilônios já era bem comum problemas onde se pediam para se determinar dois números, dados seu produto e ou sua soma ou sua diferença.

Dessa forma, pode-se perceber que os Babilônicos detinham alguns conhecimentos matemáticos muito além dos povos de sua época. Estudos demonstraram que eles possuíam mais facilidade e habilidade para lidar com cálculos, não se sabe o porquê, mas talvez isso se der devido ao fato em de sua linguagem e seu sistema de numeração é mais compreensível, em comparação com os egípcios.

Acerca disso colabora, Bourbaki (1994, apud ANDRADE, 2000, p.14), ressaltando que,

Os mais antigos documentos provenientes da civilização babilónica mostram-nos como já eles estavam na posse de um sistema completo de regras e cálculos para números racionais maiores do que zero, comprimentos e áreas; apesar dos textos que chegaram até nós lidarem apenas com problemas nos quais os dados eram explicitamente valores numéricos, [mas] não nos deixam dúvidas que a generalidade das regras por eles usadas denota uma facilidade técnica notável no trato das equações do 1° e 2º grau. Bourbaki (1994, apud ANDRADE, 2000, p.14).

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Além do mais, os babilônicos possuíam métodos para resolver equações do tipo quadrática e biquadrática, fórmulas para o cálculo de áreas de figuras e do volume de sólidos, todas de maneira bem rudimentar, aplicada apenas para os casos mais simples. Esses conceitos, como alguns de trigonometria, estão apresentados na tábua Plimpton 322.

Figura 3. Fotografia da Plimpton

Fonte: www.history.mcs.standrews.ac.uk/HistTopics/Babilonyan_Pythagoras.html Ainda podemos o sistema um sistema numérico de base sexagesimal, onde em comparação aos Egípcios que possuíam um sistema de base 10. O sistema de base dos babilônicos, possibilitavam muito os cálculos, onde são divisores naturais de 60.

Figura 4: Sistema de numeração mesopotâmico (Babilônico / Sumério) Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br

Para resolver os problemas existentes, consta nos escritos da civilização babilônica, suas técnicas utilizadas para resolver equações, onde estas deveriam ser equações de 2º grau completa e ter seus coeficientes todos positivos, os quais podem ser divididas em três tipos. Destacamos ainda, que os símbolos °°, °°°, representam as potências positivas de 60.

A primeira equação é do tipo, x2+ px = q, onde para uma melhor compreensão

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Eu adicionei a área e o lado do meu quadrado, deu 45'. Tu consideras 1, a unidade. Divides o 1 a meio: dá 30'. Multiplicas 30' por 30': dá 15'. Junta o15'ao 45': dá 1. É o quadrado de 1. Subtrais 30', que foi o que tu multiplicaste, a 1: obténs 30', é o lado do quadrado. (MAHAMMED, apud ANDRADE, 2000, p.16).

Onde uma possível solução para o problema acima, segundo Andrade (2000) se constrói da seguinte forma:

Representando o lado do quadrado por x, o problema se se reduz a equação correspondente x2+ x = 45' que é do tipo x2+ px = q. O algoritmo usado foi o seguinte: x= √(10 2) 2 + 45′ − 10 2= √(30′) 2+ 45′ − 30′=√(15′)2+ 45′ − 30′= √10− 30′ = 1º- 30’= 30’, que corresponde no caso geral a x= √(𝑝

𝑞) 2

+ q − 𝑝

2. (ANDRADE, 2000, p.16).

Já, o segundo tipo de equação desenvolvido, é da forma x2- px = q ou x2= px + q. Afim de entender qual a técnica utilizadas, utilizaremos o seguinte problema.

Eu subtraí à área da superfície, o lado do meu quadrado: deu 14°° 30°. Consideras 1, a unidade. Divides o 1 a meio: dá 30'. Multiplicas 30' por 30': dá 15'. Juntas o 15'ao 14°° 30°. dá 14°° 30°15'. É o quadrado de 29° 30'. Junta 30', que foi o que tu multiplicaste, a 29° 30': obténs 30°, é o lado do quadrado. (MAHAMMED, apud ANDRADE, 2000, p.17).

Logo, uma possível solução para o problema anterior, descrito por Andrade (2000) seria da seguinte forma:

Neste caso, o problema reduz-se a resolver a equação x2 - x = 14°°30°, que é do tipo x2 - px = q. Uma vez que os Babilónios não aceitavam coeficientes negativos, este problema foi interpretado como sendo do tipo x2 = px + q (onde novamente p e q são positivos). Este tipo de equação já tem um algoritmo de resolução diferente do anterior:

x= √(10 2)

2

+14°°30° + 120 = √(30′)2+14°°30°+ 30′ = √15′ +14°°30°+ 30′ = √14°°30°15′+ 30′ = 29° 30'+ 30’= 30’, que corresponde no caso geral a x= √(𝑝

𝑞) 2

+ q + 𝑝

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Logo, um exemplo para o terceiro de tipo de solução construído pelos babilônios, é representado no seguinte enunciado.

Eu adicionei o comprimento e a largura do meu retângulo: deu 60 30'; a sua área é 7° 30'. Tu divides 60 30' a meio: dá 30 15'. Multiplicas 30 15' por 30 15': dá 10° 33'4-5". [A seguir] subtrais 7º 30' de 10°33'45": dá 3º3'45". É o quadrado de 1º45'. Junta 3º15'; que foi o que tu multiplicaste, a 1º45': dá 5º, é o comprimento do retângulo. Retira de 3º15'que foi o que tu multiplicaste, 1º45': dá 1º30', é a largura. (MAHAMMED, apud ANDRADE, 2000, p.18).

Para o problema acima, destacamos a solução apresentada por (MAHAMMED, apud ANDRADE, 2000, p.18).

Neste caso, o problema reduz-se a resolver o sistema {𝑥 + 𝑦 = 6 030′ 𝑥𝑦 = 7030′ , que é equivalente a resolver a equação x2+ 7030′ = 6030′x. Os cálculos apresentados correspondem, em simbologia atual.

º 5 ' 15 º 3 ' 45 º 1 ' 15 º 3 ' ' 45 ' 3 º 3 ' 15 º 3 ' 30 º 7 ' ' 45 ' 33 º 10 ' 15 º 3 ' 30 º 7 ) ' 15 º 3 ( 2 ' 30 º 6 ' 30 º 7 2 ' 30 º 6 2 2                     x e ' 30 º 1 ' 45 º 1 ' 15 º 3 ' ' 45 ' 3 º 3 ' 15 º 3 ' 30 º 7 ' ' 45 ' 33 º 10 ' 15 º 3 ' 30 º 7 ) ' 15 º 3 ( ' 15 º 3 ' 30 º 7 2 ' 30 º 6 2 ' 30 º 6 2 2                     y

daí que, designamos a soma das raízes por S e o seu produto por P, obtemos

que S S P y e S P S x                   2 2 2 2 2 2 .

Dessa forma, pode-se destacar que em relação aos egípcios, os babilônios, apresentaram modelos e técnicas que por mais que ainda tivesse a mesma ênfase, porem as

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ditas “receitas” que era como eles descreviam a solução, foi um primeiro encaminhamento e produziu um leque maior, para ser estudado, mesmo que eles só possuíam conhecimentos para lidar com expressões positivas.

Descreve Boyer (1974), que,

Até os tempos modernos não havia ideia de resolver uma equação quadrática da forma x2+ px + q = 0, onde p e q são positivos, pois a equação não tem raiz positiva. Por isso as equações quadráticas na antiguidade e na Idade Média, e mesmo no começo do período moderno, forma classificadas em três tipos 1) x2+ px = q, 2) x2 = px + q e 3) x2+ q = px. Todos esses tipos são encontrados em textos do período Babilônio antigo, de uns 4000 anos atrás. (BOYER, 1974. p. 23).

Os exemplos expostos e discutidos anteriormente, apresentam um certo gral de dificuldade de compreensão. Para compreendermos um pouco melhor o método de resolução construído pelos babilônios, analisaremos um exemplo e solução apresentado por Fragoso (2000, p.20 - 21), onde o autor destaca que os babilônios escreviam o enunciado das equações e sua solução utilizando as palavras, como o exemplo abaixo.

Exemplo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870? (o que hoje se escreve: x2 - x= 870). (realce nosso)

Solução:

Tome a metade de 1 (coeficiente de x): 1

2 = 0,5 Multiplique por ela mesma:

(0,5x0,5 = 0,25) Some o resultado a 870 (termo independente) 0,25+ 870= 870,25 Obtém-se um quadrado:

870,25 = 29,52

Cujo lado somado à metade de 1 vai dar (30) o lado do quadrado procurado, ou seja, 29,5 + 0,5 = 30.

Sendo assim, em observância as reflexões apresentadas até aqui, se ressalta o fato de que as técnicas utilizadas pelos Babilônios não se constroem a partir de problemas do dia a dia, diferentemente dos egípcios. Além do mais, as técnicas associadas aos três tipos de

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resolução apresentados, demonstraram a capacidade destes povos na manipulação algébrica no processo de resolução de uma equação quadrática.

Sobre isso, Boyer (1974, p. 25) nos chama a atenção para a questão dos problemas pertinente aos Babilônios, uma vez que não se tem conhecimento de problemas originados de situações do seu quotidiano que fizessem com que eles desenvolvessem uma maneira mais clara e objetiva para se resolver as equações do 2º grau. Assim, a maneira como eles começaram a construir as suas soluções foi o alicerce, para que as outras civilizações aprimorassem, até chegar ao modelo utilizado atualmente.

4.3 Os gregos e a equação do 2º grau

Norteados pelo tempo, destacamos agora a civilização Grega, e o processo evolutivo que a matemática sofreu na maneira, como estes povos a lapidaram. O que podemos perceber das civilizações Egípcias e Babilônicos, perpetuavam seus conhecimentos a partir da indagação do “como”, em contrapartida, os problemas vivenciados a luz dos filósofos gregos passaram a ser interpretados para o “por quê”.

Neste contexto Struik (1978 apud Andrade 2000, p. 20) enfatiza que “o objetivo inicial da civilização Grega era compreender o lugar do Homem no universo, e a matemática ajudava no sentido de ordenar as ideias de uma forma racional”.

A matemática construída até este momento, sem apresentava como uma representação da vivencia prática dos povos, e com os gregos passaram a se desenvolver alicerçada em conceitos, teoremas e axiomas elaborados por eles, para dar uma melhor fundamentação da matemática.

Acerca disso Castelo (2013) destaca que,

Dois fatores estimularam e facilitaram o grande desenvolvimento da ciência e da matemática pelos filósofos gregos: a substituição da escrita grosseira do antigo oriente por um alfabeto fácil de aprender e a introdução da moeda cunhada, o que estimulou ainda mais o comércio. A matemática moderna teve origem no racionalismo jônico, e teve como principal estimulador Tales de Mileto. Este racionalismo objetivou o estudo de quatro pontos fundamentais: compreensão do lugar do homem no universo conforme um esquema racional, encontrar a ordem no caos, ordenar as ideias em sequências lógicas e obtenção de princípios fundamentais. Castelo (2013, p. 27)

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