Uma outra civilização de destaque em seus estudos com a matemática, foram os Indianos, também chamada de civilização Hindu. Da mesma maneira como as outras, os hindus, também passaram a desenvolver modelos matemáticos com o objetivo de simplificar e resolver as situações que recaiam em problemas matemáticos.
Muitos matemáticos surgiram e deixaram boas contribuições, mas talvez o de maior destaque no estudo da matemática e de um modelo mais simplificado para resolver equações do 1º grau e 2º grau, foi o ilustre matemáticos hindu da época Bhaskara, que além de desenvolver este método para as equações, também apresentou resultados importantes para solucionar problemas financeiros e também comerciais.
Outro respeitável matemático hindu, foi Brahmagupta que construiu importantes resultados e contribuição para a Álgebra. Brahmagupta foi um dos primeiros a usar números negativos e o zero em operações aritméticas, desenvolvendo ainda um método para a resolução de equações de 2º grau, considerando as suas raízes pertencentes ao conjunto dos números inteiros.
A matemática hindu produziu até o renascimento grandes personagens, dentre os quais destacam-se Aryabhata (séc. VI d.C.), Brahamagupta (séc. VII d.C.), Sridhara (séc. XI d.C.) e Bhaskara (1114-1185), que muito contribuíram para a resolução da equação do 2º grau ao resolver problemas. Segundo o próprio Bhaskara a regra que usava e que originou a fórmula atual era devido a Sridhara e que curiosamente é chamada, somente no Brasil, de Fórmula de Bhaskara. Pedroso (2000, p. 6).
Assim como as demais civilizações, a hindu também construiu um sistema de numeração próprio e além mais, no campo de estudos da matemática ciou algumas notações para representar as operações. Além do mais, Motta (2000, p.6) descreve que “Os hindus foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à Álgebra. Muitos dos problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução preferido era o de inversão no qual se trabalha pra trás, a partir dos dados”.
Para um melhor entendimento dos métodos hindus, Pedrozo (2010), destaca algumas notações importantes.
ya (abreviação de yavattavat) era a primeira incógnita; ka ( kalaka ou “negro”) era a segunda incógnita; v (varga) significava “quadrado”;
. Um ponto sobre o número indicava que ele era negativo;
bha (bhavita) significava “produto”;
k(a) representava karana (“irracional” ou “raiz”); ru representava rupa (número “puro” ou “comum”). Pedrozo, (2010, p. 6).
Destacaremos dois exemplos elaborados por Brahmagupta, e apresentado por Pedroso (2010, p. 6 -7), demonstrando a maneira como ele escreviam e como seria em linguagem atual.
Notação Hindu Notação Atual
9 10 1 ru ya v ya x210x9 10 3 8 12 ) ( 7 ya v ya ru a k bha ka ya 7xy 1283x210x
Percebemos que incialmente o problema se apresentou um pouco complexo, mas ao realizarmos a mudança de notação, verificasse que recaímos em uma representação difundidas hoje em dia, acerca das equações de segundo grau.
Sobre a matemática dos hindus Boyer (2003), afirma que:
A matemática indiana era, como dissemos, uma mistura de bom e ruim. Mas parte do bom era magnificamente bom, e aqui Brahmagupta merece grande louvor. A álgebra hindu é especialmente notável em seu desenvolvimento da análise indeterminada, à qual Brahmagupta fez várias contribuições. Por exemplo em sua obra achamos uma regra para a
formação de tríadas pitagóricas expressas na forma m, 1 2( 𝑚2 𝑛−𝑛), 1 2( 𝑚2 𝑛+𝑛); mas isso é apenas uma forma modificada da antiga regra babilônica, que ele pode ter conhecido. A fórmula de Brahmagupta para a área do quadrilátero, mencionada acima, foi usada por ele em conjunção com as
fórmulas √(ab+cd)(ac+bd) ad+bc e√
(ac+bd)(ad+bc)
ab+cd para as diagonais, para achar quadrados cujos lados, diagonais, e áreas sejam todos racionais, entre esses estava o quadrilátero de lados a = 52, b = 25, c = 39, d = 60, e diagonais 63 e 56. Brahmagupta deu a área “bruta” como sendo 1933 ¾, apesar de sua fórmula fornecer a área exata, 1764, nesse caso. (BOYER, 2003, p.125).
Além de Brahmagupta, é indispensável destacar o matemático Bhaskara, que na concepção dele a Álgebra é arte dos raciocínios perfeitos. Dentre todos os matemáticos hindus Bhaskara se notabilizou como um dos grandes matemáticos até os dias atuais, formulando o seguinte modelo para representar a equação do segundo grau, sendo apresentada como ax2 + bx = c.
Logo, a partir da equação acima, Bhaskara construiu outro modelo para obter as raízes da equação realizando algumas manipulações algébricas.
Para a construção do modelo, primeiro multiplicamos os dois lados por (4a), o que resulta na expressão, 4a2x2 + 4abx = 4ac. Posteriormente soma-se (b2) a ambos os lados da expressão obtida, resultando em 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 + 4ac. Observando esta expressão, ver-se que se trata de um produto notável, ou seja, (2ax + b)2 = b2 + 4ac. Elevando ambos os lados ao quadrado e extraindo a raiz quadrada, chegando ao seguinte resultado: 2ax + b = √b2− 4ac. Por fim, realizando algumas manipulações algébricas, obteremos a formula x= −𝑏±√b2−4ac
2𝑎 , que é o modelo matemático utilizando atualmente nas escolas brasileiras para
Assim, a partir dos resultados alcançados por Bhaskara no século XII, muitos problemas que recaiam em equações do 2º grau passaram a serem resolvidas por um modelo matemático, mais sofisticado no que se refere aos passos utilizados para chegar até este modelo, e ao mesmo tempo simples, pois tornou os resultados mais fáceis de serem obtidos.
Podemos ainda destacar uma situação prática do dia a dia, através de um problema financeiro exposto e resolvido a seguir, presente em FRAGOSO (2000, p.21-22).
Um capital de 100 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. Após 1 ano, o capital foi retirado e o juro obtido fio aplicado durante mais 1 ano. Se o juro total foi de 75, qual foi a taxa ao ano:
Sendo essa taxa x%, tem-se que o juro no 1º ano será de x e no 2º ano será de x .x/100 = 75 ou x2 + 100x – 7500 = 0.
E a solução era enunciada também em palavras, o que seria, na linguagem atual, algo como: Eleve a metade do capital (coeficiente de x) ao quadrado, acrescente o resultado ao produto dos juros totais (termo independente) pelo capital, extraía a raiz quadrada e diminua a metade do capital, o que leva à solução procurada. (x =√502+ 75x100 − 50 = 50 ). (FRAGOSO, 2000, p.21-22).
Os estudos de Bhaskara foram esplêndidos para a matemática, destacando dentre seus trabalhos escritos, Lilavati, livro intitulado em nome a sua filha, contendo 278 versos e a outra obra é o livro, Vija-Ganita, que apresentavam vários problemas sobre equações, progressões aritméticas e geométricas, dentre outros assuntos.
Assim, Pedroso (2010), apresenta a resolução de um problema extraído do livro Lilavati, construindo um paralelo entre a ótica da matemática Hindu e ao mesmo tempo da matemática atual.
Exemplo: A raiz quadrada do número de abelhas de um enxame voou rumo a um jasmineiro, enquanto 8/9 do enxame permaneceu atrás; e uma abelha fêmea ficou voando em torno de um macho que se encontrava preso numa flor de lótus para a qual foi atraído à noite por seu doce odor. Diga- me adorável mulher, qual é o número de abelhas.
Na tabela que segue, na coluna da esquerda tem-se a solução de Bhaskara e na da direita a tradução atual.
Seja ya v 2 o número de abelhas do enxame
A raiz quadrada da metade desse número é ya 1
√2𝑥2 2 = x
Oito nonos de todo o enxame é
y a v 16 9
Oito nonos de todo o enxame é
(16 9) 𝑥
2
A soma da raiz quadrada com a fração e o casal de abelhas é igual à quantidade de abelhas do enxame, isto é, ya v 2 x + (16 9) 𝑥 2 + 2 = 2x2 Reduzindo-se ao mesmo denominador os dois membros da equação e eliminando o denominador, a equação transforma-se em ya v 18 ya 0 ru 0 ya v 16 ya 9 ru 18 9𝑥+16𝑥2+18 9 = 18𝑥2 9 18x2 = 16x2 + 9x + 18 Após a subtração a equação torna-se ya v 2 ya 9 ru 0 ya v 0 ya ru 18 18x2 − 16x2 − 9x = 16x2 + 9x + 18 − 16x2 − 9x 2x2 − 9x = 18 Portanto ya é 6 Portanto x = 6 Donde ya v 2 é 72 Donde 2x2 = 2 · 62 = 72 (PEDROSO, 2010, p. 7 - 8)
Dessa forma, podemos observar que a civilização hindu apresentou estudos muito significativos, para a matemática presente nas escolas, em especial a brasileira. Vale destacar que no Brasil, a formula para resolver as equações de 2º grau recebe o nome de Fórmula de Bhaskara, porém, existem algumas controversas históricas, que discutem acerca deste modelo, afirmando que deste os temos mais antigos, já nas civilizações babilônicas era possível observar problemas que resultassem neste tipo de equação.
Assim, mesmo com estas discursões, este modelo matemático, é muito importante para se trabalhar com equações do segundo, mesmo que este resultado possa ser atribuído a outro matemático, Bhaskara, propiciou este modelo algébrico, e a partir dele, se construiu um novo jeito de se trabalhar estas equações.