CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
PEDRO MATOS DA SILVA
Medidas Fractais Aplicadas à Classificação de
Texturas
Campinas
2019
Medidas Fractais Aplicadas à Classificação de Texturas
Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Matemática Aplicada.
Orientador: João Batista Florindo
Este exemplar corresponde à versão
final da Tese defendida pelo aluno
Pe-dro Matos da Silva e orientada pelo
Prof. Dr. João Batista Florindo.
Campinas
2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Silva, Pedro Matos da,
Si38m SilMedidas fractais aplicadas à classificação de texturas / Pedro Matos da Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SilOrientador: João Batista Florindo.
SilTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sil1. Fractais. 2. Análise de textura. 3. Dimensão fractal. 4. Multifractais. I. Florindo, João Batista, 1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Fractal measures applied to texture classification Palavras-chave em inglês:
Fractals
Texture analysis Fractal dimension Multifractals
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:
João Batista Florindo [Orientador]
Marcos Eduardo Ribeiro do Valle Mesquita José Régis Azevedo Varão Filho
Odemir Martinez Bruno André Ricardo Backes
Data de defesa: 18-12-2019
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0001-6239-1316 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/8725114957090750
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). JOÃO BATISTA FLORINDO
Prof(a). Dr(a). MARCOS EDUARDO RIBEIRO DO VALLE MESQUITA
Prof(a). Dr(a). JOSÉ RÉGIS AZEVEDO VARÃO FILHO
Prof(a). Dr(a). ODEMIR MARTINEZ BRUNO
Prof(a). Dr(a). ANDRÉ RICARDO BACKES
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Em primeiro lugar, eu agradeço a Deus por Tudo.
Muitos foram os que contribuíram para que eu pudesse desenvolver este trabalho, alguns com contribuições acadêmicas, outros me apoiaram como amigos preciosos, outros de ambos os modos.
Sou extremamente grato ao meu orientador, o Prof. Dr. João Batista Florindo, por tamanha dedicação me orientando, fornecendo a direção necessária para o desenvolvi-mento desta tese, mas também pelos conselhos e todo tempo que dedicou para me ouvir, principalmente quando me sentia aflito pela insegurança muitas vezes comum a um pupilo. A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada do IMECC, que trabalham para fornecer um tão reconhecido programa, entre os quais registro o agradecimento especial ao Prof. Dr. Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira, me aconselhando durante minha participação como aluno do programa, mas também antes do meu ingresso.
Como é grande a lista dos amigos com quem convivi durante o curso, prefiro não listar para que ninguém fique de fora, mas me sentiria sendo injusto se aqui não mencionasse o José Vanterler da Costa Sousa, pelas inúmeras noites e madrugadas compartilhando laboratório na pesquisa, e Fidelis Zanetti de Castro, pelo convívio durante o doutorado, mas também pelo convívio há mais de 20 anos.
A toda minha família, por ser minha família. A minha filha Ester e minha Esposa Karolline.
A análise de imagens de texturas é uma tarefa de destaque na visão computacional, sendo aplicada em diversos campos da ciência. Neste trabalho, foram desenvolvidos e analisados novos descritores de imagens de textura baseados em conceitos da geometria fractal e multifractal, com foco principalmente na tarefa de classificação de imagens de texturas em escala de cinza. Uma das medidas fractais mais conhecidas e usadas é a dimensão fractal e, entre as diferentes definições desta medida, uma das mais disseminadas é a dimensão fractal box-counting (contagem de caixas). Um primeiro tipo de descritor de imagens aqui proposto é baseado em uma generalização do modelo matemático desenvolvido para o cálculo da dimensão fractal box-counting, fornecendo assim não somente a dimensão fractal, mas também um conjunto de medidas que representam as imagens de texturas de forma muito mais detalhada, por meio de uma análise multiescala da fractalidade da imagem original. Para estes descritores, foram analisadas a distribuição dos pontos dentro das caixas usadas para o cálculo da dimensão box-counting, a qual por meio de medidas estatísticas fornece uma ferramenta robusta e otimizada de descrição da imagem. Similarmente, foi investigada também a distribuição espacial das caixas através de uma modelagem matemática e estatística das imagens digitais com base em campos aleatórios de Markov. Outra metodologia proposta e investigada nesta tese é baseada na análise multifractal, em que as imagens de texturas são particionadas em subconjuntos de pixels, resultando assim em um conjunto de imagens binárias, das quais são extraídas as medidas fractais usadas na composição dos descritores. Os descritores aqui desenvolvidos foram aplicados à classificação de imagens de texturas de bases de benchmark, para as quais os resultados de outros métodos de análise de texturas, tanto clássicos quanto do estado-da-arte, são amplamente conhecidos na literatura. Os descritores propostos foram também aplicados a um problema prático, qual seja o da identificação de espécies de plantas brasileiras a partir da imagem escaneada das folhas. Comparados com estes métodos da literatura, os descritores desenvolvidos neste trabalho não só se mostraram competitivos, como também apresentaram resultados com maior acurácia e robustez em diversas situações, demonstrando assim ser uma abordagem promissora para fins práticos e merecendo uma investigação ainda mais detalhada no futuro.
Palavras-chave: Descritores fractais. Análise de texturas. Dimensão fractal. Multifractais. Box-counting.
The analysis of texture images is a prominent task in computer vision, being applied to several fields of science. In this work, new texture descriptors based on concepts of fractal and multifractal geometry were developed and analyzed, focusing mainly on the task of classifying grayscale texture images. One of the most well-known and commonly used fractal features is the fractal dimension. Among the different definitions of this measure, one of the most widespread is the box-counting dimension. A first type of image descriptor proposed here is based on a generalization of the mathematical model developed for calculating the box-counting dimension. In this way, we compute not only the fractal dimension but also a set of descriptors capable of representing much more details of the image by means of a multiscale analysis of the fractality of the original image. For these descriptors, we employ the distribution of points within the boxes used to calculate the box-counting dimension. Statistical measures collected from this distribution provide a robust and optimized tool for image description. Similarly, we also investigated the spatial distribution of boxes through a mathematical and statistical modeling of digital images based on Markov random fields. Another methodology proposed and investigated in this thesis is based on multifractal analysis. In this approach, texture images are partitioned into pixel subsets, resulting in this way in a collection of binary images. Fractal measurements computed on these subsets are used to compose the texture descriptors. The descriptors developed here have been applied to the classification of benchmark textures. Results of other classical and state-of-the-art texture analysis methods on these databases are widely known in the literature. The proposed descriptors were also applied to a practical problem, namely, the identification of Brazilian plant species based on the scanned image of leaves. Compared with other methods in the literature, the descriptors developed in this work were not only competitive, but also presented results with greater accuracy and robustness than their counterparts in several situations, proving in this way to be a promising solution for practical purposes and deserving more detailed investigation in the future.
Keywords: Fractal descriptors. Texture analysis. Fractal dimension. Multifractals.
Figura 2.1 – Primeiras iterações do Conjunto de Cantor . . . 23
Figura 2.2 – Primeiras iterações do Triângulo de Sierpinski . . . 25
Figura 2.3 – Autossimilaridade Aproximada (zoom 100x no retângulo vermelho) . . 25
Figura 2.4 – Fractais de Julia determinados por c. . . . 26
Figura 2.5 – Fractal de Mandelbrot. . . 26
Figura 3.1 – Divisão do quadrado em 4 e em 9 partes iguais . . . 29
Figura 3.2 – Esponja de Menger . . . 30
Figura 3.3 – Gráfico de H spF q em função de s, com ponto crítico em s “ dimHpF q. 33 Figura 3.4 – Curva ajustada para a equação log`MδpF q ˘ “ logpcq ´ s logpδq . . . . 34
Figura 3.5 – Alternativa para NδpF q para o cálculo da dimensão box-counting. . . . 36
Figura 3.6 – A: Dimensão fractal box-counting de uma imagem binária representando o triângulo de Sierpinski com caixas de lado r P t1, 2, 4, 8, 16, 32u. B: Tabelas com valores de log2prq e log2pnq e gráfico referente. . . . 40
Figura 3.7 – A: Imagem em escala de cinza; B: Seleção de parte da imagem; C: Representação dos pixels variando entre 0 e 255; D: Redimensionamento das intensidades dos pixels para facilitar a representação espacial; E: Representação em R3 da parte selecionada da imagem. . . 41
Figura 3.8 – Representação da nuvem de pontos em R3 e alguns cubos do box-counting. 42 Figura 3.9 – A: Imagem em tons de Cinza. B: Tabela com relação entre r e Nr. C: Gráfico com abscissa igual a log2r e ordenadas log2Nr em azul e reta ajustada por mínimos quadrados. . . 43
Figura 4.1 – Vizinhanças quadradas do pixel x. . . . 47
Figura 4.2 – Algumas imagens da base USPTex em tons de cinza e as respectivas imagens geradas pelas dimensões locais. . . 48
Figura 4.3 – Algumas imagens da base USPTex em tons de cinza e as respectivas imagens geradas pelos espectros multifractais. . . 49
Figura 5.1 – Formas com aspectos distintos e mesma dimensão fractal (DF = 1.672) . . . 50
Figura 5.2 – Texturas com aspectos distintos e mesma dimensão fractal (DF = 1.327) . . . 51
Figura 5.3 – Algumas imagens de texturas da base Outex em tons de cinza. . . 51
Figura 5.4 – Dimensões das texturas da Figura 5.3 na reta numerada. . . 52
Figura 5.5 – Curvas log ´ log das texturas da Figura 5.3. . . 53
Figura 5.6 – Matrizes de confusão da classificação da base UIUC usando apenas a dimensãop15, 7%q e usando as quantidades de cubosp57, 2%q com r “ t2, 4, 8, 16, 32u. . . . 54
B: Distinguindo número de pontos nas caixas. . . 55
Figura 5.8 – Representação da nuvem de pontos em R3; Lado esquerdo: apenas
contando os cubos; Lado direito: Distingue os cubos de acordo com o número de pontos. . . 55
Figura 5.9 – Cubos da r–malha para imagem T com dimensões M ˆ N . . . . 58
Figura 5.10–Gráfico da simulação e da Equação (5.17) da probabilidade P pkq em função do número de pontos no cubo de aresta r, com L igual ao nível de cinza máximo. . . 63
Figura 5.11–Comparação entre BCF DN (Descritor Definido pelo Número de Cubos)
e BCF Dµ (Descritor Definido Pela Média de Pontos)
A:Matriz de Confusão de BCF DN, B:Matriz de Confusão de BCF Dµ,
C:Classificação idêntica entre BCF Dµ e BCF DN . . . 65
Figura 5.12–Caixas com valores de r que não dividem as dimensões M e N da imagem T .. . . 66
Figura 5.13–Exemplo de imagens com o mesmo histograma. . . 68
Figura 5.14–Acurácia dos descritores definidos por BCF DHpT q, histpTrq e
com-binação de histpTrq com BCF DβpT q (contagem de caixas) para r “
t2, 4, ¨ ¨ ¨ , 2rmax
u. . . 69
Figura 5.15–Ilustração de um pixel com Código LBP 124. (a) Textura. (b) Tons de cinza de uma vizinhança. (c) Comparação com pixel central. (d) Potências de 2 equivalentes. (d) Resultado para soma e determinação do código LBP. . . 71
Figura 5.16–Exemplos de vizinhanças circulares para cálculo do Código LBPP,Rcom
R “ 1 e P “ 8, R “ 2 e P “ 8, R “ 2 e P “ 4. . . . 71
Figura 5.17–Exemplo de 8 padrões semelhantes no LBP8,Rri . Os círculos pretos cor-respondem aos valores 0 e os brancos a 1. . . 72
Figura 5.18–Os únicos 36 padrões binários invariantes à rotação que podem ocorrer numa vizinhança de LBP8,Rri . Os círculos pretos correspondem aos valores 0 e os brancos a 1. A primeira linha contém os nove padrões “uniformes” e os números dentro deles correspondem aos códigos LBP8,Rri . . . 73
Figura 5.19–Descritor Box-counting com Imagem Particionada pelo Código LBP4,1riu2. (a)Textura. (b)Códigos LBP. (c)Partições LBP. (d)Dimensões
Box-counting. . . . 73
Figura 5.20–Dimensão fractal por Bouligand-Minkowski. Na parte superior, a forma sendo dilatada por círculos de raios diferentes. Abaixo, à esquerda, a tabela de valores para log Aprq em função de logprq. À direita, o gráfico log Aprq ˆ log r. . . . 75
de auto-similaridade dS. . . 80
Figura 6.1 – Amostra de imagens da base Outex. . . 82
Figura 6.2 – Taxa de sucesso de acordo com a porcentagem de imagens usada para treinamento.. . . 85
Figura 6.3 – Matriz de Confusão dos métodos com maiores taxas de sucesso na base Outex. . . 87
Figura 6.4 – Matriz de Confusão dos métodos com maiores taxas de sucesso na base USPTex. . . 88
Figura 6.5 – Matriz de Confusão dos métodos com maiores taxas de sucesso na base UIUC. . . 89
Figura 6.6 – Taxas de sucesso quando o ruído Gaussiano é introduzido artificialmente na base de dados, coma variância (nível) entre 0, 01 e 0, 05. . . . 90
Figura 6.7 – Matrizes de Confusão de BCDFH e dos métodos com maiores taxa de
sucesso na base UIUC. . . 92
Figura 6.8 – Matrizes de Confusão de BCDFH e dos métodos com maiores taxa de
sucesso na base Outex. . . 93
Figura 6.9 – Matrizes de Confusão de BCDFH e dos métodos com maiores taxa de
sucesso na base USPTex. . . 94
Figura 6.10–Matrizes de Confusão do Descritor Baseado na Análise Multifractal
para Classificação das Imagens da Base KTHTIPS-2b. . . 98
Figura 6.11–Matrizes de Confusão do Descritor Baseado na Análise Multifractal
para Classificação das Imagens da Base UIUC. . . 98
Figura 6.12–Matrizes de Confusão do Descritor Baseado na Análise Multifractal
para Classificação das Imagens da Base UMD. . . 98
Figura 6.13–Matriz de confusão para o descritor proposto na classificação das imagens da base 1200tex. . . 100
Figura 6.14–Matrizes de Confusão de BCDFH e Multifractal (BC) na base Outex.. 103
Tabela 3.1 – Relação entre escala r e número de cópias Nr do conjunto de Cantor. . 29
Tabela 4.1 – Dimensão local de cada pixel x representado pela Figura 4.1 : dimlocµpxq. 47
Tabela 5.1 – Dimensão Fractal das texturas apresentadas na Figura 5.3
calculadas por box-counting com r de 1 a 32. . . . 52
Tabela 5.2 – Distâncias considerando-se apenas a dimensão fractal como
descritor das texturas apresentadas na Figura 5.3. . . 52
Tabela 5.3 – Número de caixas do método de box-counting para as texturas apresen-tadas na Figura 5.3 com r de 1 a 32. . . . 53
Tabela 5.4 – Histogramas hist`pT1qr˘ e hist`pT2qr˘ com r “ 2, 4, 8. . . . 69
Tabela 5.5 – BCF DH`T1˘ e BCF DH`T2˘, com H “ thru e r “ 2, 4, 8. . . . 69
Tabela 6.1 – Porcentagem de imagens das bases Outex, UIUC e USPTex corretamente classificadas e respectivos desvios pelos descritores BCDFβ1, BCDFβ2,
e descritores da literatura. . . 85
Tabela 6.2 – Porcentagem de imagens das bases Outex, UIUC e USPTex correta-mente classificadas e respectivos desvios pelo descritor BCDFH e pelos descritores da literatura. . . 91
Tabela 6.3 – Comparação da Acurácia dos Classificadores SVM e LDA nos descritores
multifractais aplicados nas bases KTHTIPS-2b, UIUC, UMD e 1200Tex. 95
Tabela 6.4 – Acurácia da classificação usando descritores fractais individuais BC (Box counting), BM (Bouligand-Minkowski) e L (Lacunaridade) aplicados
nas bases KTHTIPS-2b, UIUC, UMD e 1200Tex. . . 95
Tabela 6.5 – Acurácia na classificação de combinações dos descritores BC (Box counting), BM (Bouligand-Minkowski) e L (Lacunaridade) aplicados
nas bases KTHTIPS-2b, UIUC, UMD e 1200Tex. . . 96
Tabela 6.6 – Classificação das imagens da base KTHTIPS-2b. Acurácia do descritor
proposto comparado com outros descritores da literatura.. . . 96
Tabela 6.7 – Classificação das imagens da base UIUC. Acurácia do descritor proposto comparado com outros descritores da literatura. . . 96
Tabela 6.8 – Classificação das imagens da base UMD. Acurácia do descritor proposto comparado com outros descritores da literatura. . . 97
Tabela 6.9 – Comparação do descritor proposto com outros descritores na
identifica-ção de espécies de plantas através das imagens da base 1200Tex. . . 99
Tabela 6.10–Comparação da Acurácia dos Classificadores SVM e LDA nos descritores multifractais Box-counting (BC) aplicados às bases KTHTIPS-2b, UIUC,
counting), BM (Bouligand-Minkowski) e L (Lacunaridade) aplicados às
bases KTHTIPS-2b, UIUC, UMD, 1200Tex, USPTex e Outex. . . 101
Tabela 6.12–Acurácia na classificação de combinações dos descritores BC (Box counting), BM (Bouligand-Minkowski) e L (Lacunaridade) aplicados às
bases KTHTIPS-2b, UIUC, UMD, 1200Tex, USPTex e Outex. . . 101
Tabela 6.13–Acurácia da classificação usando descritores BCDFβ1, BCDFβ2, BCDFH
e o descritor baseado na analise multifractal definido por BC aplicados
1 Introdução. . . 15
1.1 Motivação e Descrição . . . 15
1.2 Trabalhos Relacionados . . . 18
1.3 Organização . . . 21
2 Fractais . . . 22
2.1 Definição e Propriedades dos Fractais . . . 22
2.2 Fractais com Autossimilaridade Exata. . . 23
2.3 Fractais com Autossimilaridade Aproximada . . . 25
3 Dimensão Fractal . . . 28
3.1 Definição. . . 28
3.2 Dimensão por Similaridade . . . 28
3.3 Dimensão de Hausdorff . . . 30
3.3.1 Medida de Hausdorff . . . 31
3.3.2 Dimensão de Hausdorff . . . 32
3.4 Dimensão Box-counting . . . 34
3.4.1 Definição da Dimensão Box-counting . . . 35
3.4.2 Estimativa da Dimensão Box-counting de Imagens . . . 39
3.4.2.1 Dimensão Box-counting de Imagens Binárias . . . 39
3.4.2.2 Dimensão Box-counting de Imagens em Tons de Cinza . . 41
4 Análise Multifractal. . . 44
4.1 Definição de Multifractal . . . 44
4.2 Análise Multifractal Grosseira . . . 45
4.3 Análise Multifractal Fina . . . 45
4.4 Teoria Multifractal e Análise de Imagens . . . 46
4.4.1 Estimativa de Dimensão Local . . . 46
4.4.2 Estimativa do Espectro Multifractal. . . 48
5 Metodologia Proposta . . . 50
5.1 Descritores Fractais . . . 50
5.2 Descritores Baseados nos Números de Pontos dos Cubos da Dimensão Box-counting . . . 54
5.2.1 Motivação Estatística . . . 57
5.2.2 Relação Entre Números de Cubos e Médias de Pontos . . . 64
5.3 Descritor Baseado na Distribuição dos Cubos. . . 66
5.4 Descritor Baseado na Análise Multifractal . . . 70
5.4.1 Caracterização dos Pixels Usando Padrão Binário Local . . . 71
5.4.4 Lacunaridade . . . 74 5.4.5 Motivação . . . 76 5.4.5.1 Box-counting . . . 77 5.4.5.2 Bouligand-Minkowski . . . 78 6 Experimentos e Resultados . . . 81 6.1 Experimentos . . . 81
6.1.1 Descritores Fractais Baseados nas Caixas do Box-counting . . . 81
6.1.2 Descritor Baseado na Análise Multifractal . . . 83
6.2 Resultados dos Descritores Baseados nos Números de Ponto das Caixas . . 84
6.3 Resultados dos Descritores Baseados nas Posições das Caixas . . . 90
6.4 Resultados do Descritor Baseado na Análise Multifractal . . . 95
6.4.1 Identificação de Espécies de Plantas . . . 99
6.5 Comparação dos Descritores Propostos . . . 100
7 Conclusões . . . 105 7.1 Considerações Finais . . . 105 7.2 Publicações . . . 106 7.2.1 Publicados . . . 106 7.2.2 Submetidos . . . 106 7.3 Trabalhos Futuros . . . 106 REFERÊNCIAS . . . 108
1 Introdução
1.1
Motivação e Descrição
A análise de imagens de texturas visuais, e particularmente o seu reconhecimen-to/classificação, tem se mostrado uma das tarefas mais importantes na visão computacional. Durantes as últimas décadas, algoritmos de análise de texturas têm sido aplicados em problemas em diversas áreas, como Medicina [1, 2,3, 4], Engenharia [5], Física [6, 7, 8], Sensoriamento Remoto [9, 10], Biologia [11], Agricultura [12] e muitas outras.
Muitas definições para este tipo de imagem são apresentadas na literatura, por exemplo, em [13] há a afirmação de que uma textura pode ser definida como uma estrutura composta de um grande número de padrões semelhantes, com uma ordenação relativa, sem destaque especial para nenhum destes padrões, sobressaindo-se assim uma impressão global coesa. Embora não exista uma definição consensual para as imagens de textura, elas são muitas vezes associadas a estruturas encontradas na natureza, desde aquelas presentes em materiais como madeira ou água [14], até a cromatina do núcleo da célula animal [15].
Os primeiros algoritmos para a análise de imagens de texturas no sentido em que se conhece hoje foram apresentados há mais de meio século [16,17]. Desde então, um grande número de métodos tem sido proposto, muitos deles aplicados com sucesso especialmente em bases de imagens coletadas sob controle e em problemas específicos. Embora seja reconhecidamente grande o sucesso dos métodos apresentados, a heterogeneidade de imagens e diversidade de aplicações existentes tornam a área ainda aberta para novas pesquisas.
A maioria dos métodos desenvolvidos para a análise de imagens de texturas é baseada na extração de características locais ou em uma análise multiescala ou ainda em uma combinação destas duas abordagens. Exemplos de descritores baseados em características locais são as matrizes de coocorrência em níveis de cinza (GLCM) [18] ou os padrões binários locais (LBP) [19]. Na abordagem multiescala, as características são extraídas em diferentes níveis de escala e então combinadas. Exemplos típicos nesta segunda categoria são descritores fractais e multifractais [20] ou ainda as pirâmides espaciais [21].
O fato de imagens de texturas serem comumente associadas a estruturas encontradas na natureza e geralmente compostas por elementos complexos demais para serem medidos e descritos por conceitos deduzidos a partir da geometria Euclidiana clássica foram as motivações mais importantes para que naturalmente surgisse a possibilidade de se fazer uma análise mais precisa de tais objetos por meio de técnicas desenvolvidas na geometria fractal [20, 22]. Pela descrição de Mandelbrot em [23], um fractal é um objeto
matemático que consiste em um conjunto geométrico notadamente caracterizado por duas propriedades: auto-similaridade (repetição de padrões básicos em diferentes escalas) e estrutura fina (alto nível de detalhes em qualquer que seja a escala de observação), o que por sua vez acarreta em um alto nível de complexidade do objeto fractal.
A relação entre os fractais e a aplicação esbarra contudo em algumas limitações, sendo a mais óbvia e importante o fato de que não há fractal, no sentido da definição matemática, na natureza. Por exemplo, no mundo real, bem como nas aplicações, não é possível se trabalhar com escalas infinitas, como ocorre com os fractais definidos na matemática. Deste modo, é importante que se tenha em mente desde já que a representação através da geometria fractal é uma aproximação, uma modelagem de um sistema real. Por outro lado, sabe-se que uma maneira prática de se analisar um objeto do mundo real é inspecionando-se sua representação através de imagens digitais. Assim sendo, a execução prática da modelagem fractal por meio de algoritmos de análise de imagens digitais foi um processo natural, tendo início já nos primeiros anos de sucesso da geometria fractal, por exemplo, em [24], em que se estabelece uma relação entre a “fractalidade” de uma superfície e sua respectiva imagem fotografada.
Aplicações bem-sucedidas empregando a geometria fractal e imagens digitais têm sido amplamente encontradas na literatura, especialmente na identificação de imagens biológicas e naturais [2, 25, 26]. Em grande parte destas abordagens, a estimativa da dimensão fractal é feita por meio de métodos numéricos complexos, enquanto que uma definição de dimensão fractal que deu origem a um dos métodos mais populares e compu-tacionalmente simples para a estimativa desta dimensão, isto é, a dimensão box-counting [27], ainda não foi suficientemente explorada para este fim. A limitação de apenas contar o número de caixas (hipercubos) cobrindo o objeto analisado, sem por exemplo que se analisem as posições das caixas no espaço, ou que se quantifique a proporção do objeto coberto por cada caixa, isto é, a distribuição de pontos dentro de cada caixa da cobertura, é uma razão potencial para esta subutilização da dimensão box-counting.
Neste trabalho, são propostos métodos baseados nestas duas análises, isto é, a distribuição espacial das caixas usadas no cálculo da dimensão box-counting e aplicações de funções definidas sobre os números de pontos das caixas, resultando em conjuntos ricos e robustos de descritores das imagens de texturas. Para as aplicações destes métodos, as imagens em escala de cinza são representadas no espaço tridimensional, onde cada pixel é mapeado em um ponto cujas coordenadas são determinadas pela posição do pixel na imagem original e por sua intensidade (tom de cinza). O espaço é particionado por uma malha de cubos com arestas de mesmo tamanho. Essa partição é refeita com valores diferentes para as medidas das arestas dos cubos, correspondendo a resoluções diferentes na decomposição multiescala.
cada escala feita uma análise estatística, mais especificamente, com o uso da média, desvio padrão, energia e entropia. Essas medidas são calculadas para cada escala e agregadas para compor o vetor de características. O segundo descritor proposto é baseado nas posições dos cubos no espaço. Sua análise concentra-se basicamente na posição determinada pelas intensidades dos pixels. Na prática, o descritor assim obtido é composto pelo histograma gerado através da redução das intensidades dos pixels da imagem original, mas também levando em consideração a distribuição destes pixels, que influencia diretamente a contagem dos cubos. Neste descritor também são empregadas as medidas em diferentes escalas, representadas pelas arestas dos cubos.
Estes descritores foram testados na classificação de três bases de dados de imagens de texturas: Outex [28], UIUC [29] e USPTex [30]. O desempenho dos descritores propostos na classificação de texturas é comparado com outros métodos clássicos e de destaque na literatura, a saber: Padrões Binários Locais (LBP) [19], LBP + VAR [19], Tex-tons VZ-MR8 [31], Textons VZ-Joint [32], Bouligand-Minkowski (BM) [33], Multifractais [20] e Local Phase Quantization (LPQ) [34]. A maior acurácia dos descritores propostos quando comparados aos métodos da literatura confirma a possibilidade da aplicação para fins práticos em problemas onde o reconhecimento de texturas é uma tarefa importante.
Em relação aos descritores baseados nas caixas usadas para o cálculo da dimensão box-counting aqui proposta, outra contribuição apresentada neste trabalho é a análise do modelo matemático da distribuição de pontos que representam os pixels de uma imagem com dimensões M por N em tons de cinza, com intensidade variando entre 0 e L ´ 1. Foi desenvolvida e demonstrada a expressão
ppkq “ 1 ´ ˜ 1 ´ `L r˘! ¨ pr 2 q! `L r ˘r2 imax ÿ i“1 p´1qi`1¨`Lr ´ i˘r 2´ik i! ¨`Lr ´ i˘! ¨ pk!qi¨ pr2´ ikq! ¸M Nr2 ,
que representa, a partir de um modelo de distribuição uniforme, a probabilidade da exis-tência de cubos de aresta r contendo exatamente k pontos. A análise de tal probabilidade, além de contribuir para um melhor entendimento da distribuição dos pontos, mostra potencial em relação à tomada de decisão referente ao dimensionamento dos descritores.
Embora os descritores propostos, baseados na análise dos cubos do cálculo da dimensão box-counting, tenham se mostrado competitivos na classificação de imagens de texturas, nestes descritores as imagens foram analisadas como um todo, diferentemente das aplicações usando a teoria multifractal, em que a imagem é particionada através da dimensão local que forma o espectro multifractal. A teoria multifractal alcançou resultados promissores em problemas de classificação [20, 22], embora não tenham sido reportados muitos destes resultados em bases de dados de texturas mais modernas e desafiadoras.
Motivados pela teoria multifractal, são propostos aqui ainda descritores obtidos pela partição das imagens de texturas em imagens binárias, obtidas através de codificações
locais para cada pixel. Para a codificação dos pixels, propõe-se o uso do padrão binário local, e então aplica-se uma combinação de técnicas numéricas para estimar a dimensão fractal de imagens binárias. Na composição dos descritores, são usados algoritmos para o cálculo da dimensão fractal box-counting e da dimensão de Bouligand-Minkowski, bem como a medida de lacunaridade. Os descritores propostos são comparados com outros descritores de textura baseados em análise multifractal, a saber, invariant multifractals [20], wavelet multifractals [22] e pattern lacunarity spectrum [35]. Outros descritores de textura também são comparados, como VZ-MR8 [31], padrões binários locais [19] e outros. Três conjuntos de imagens de texturas de referência bem conhecidos, KTHTIPS-2b [14], UIUC [36] e UMD [20] foram usados para a realização de testes comparativos. Estes descritores também foram empregados na identificação de espécies de plantas brasileiras (base de dados 1200Tex [30]). O método proposto superou as abordagens comparadas em termos de acurácia na classificação e os resultados confirmaram o potencial da estratégia proposta para fornecer descritores robustos e significativos. Os resultados obtidos mostram que a estratégia proposta tem grande potencial, fornecendo descritores significativamente eficientes, uma vez que a acurácia na classificação supera os métodos comparados.
1.2
Trabalhos Relacionados
A análise de imagens de textura, especialmente quando se fala de classificação e segmentação destas imagens, tem sido reconhecidamente uma das tarefas mais desafiadoras e importantes em visão computacional. Os métodos desenvolvidos com foco nesses proble-mas são tipicamente divididos em 4 categorias: estruturais, baseados em transformações, estatísticos e baseados em modelos [37]. Os métodos baseados em modelos e estatísticos foram de grande importância para o desenvolvimento de métodos de destaque na literatura e são o foco deste estudo.
As inter-relações entre os pixels da imagem são analisadas através a modelagem em métodos estatísticos. Especialmente para texturas, esses métodos se concentram nas relações entre pixels de uma vizinhança local (estatísticas de segunda ordem). Um dos trabalhos pioneiros nessa abordagem foi escrito por Haralick nos anos setenta [18] e foi a inspiração para um grande número de descritores de textura e, até recentemente, para abordagens de ponta, como por exemplo padrão binário local e variantes [19], bag-of-visual-words [31,32], Scale-Invariant Feature Transform (SIFT) [38] e Local Phase Quantization (LPQ) [34].
Paralelamente às abordagens estatísticas, os métodos baseados em modelo também foram bem-sucedidos em várias aplicações. Os modelos derivados da geometria fractal são exemplos representativos dessa abordagem corresponde. O processo iterativo seguido na natureza e nos fractais matemáticos tende a justificar o interesse e os excelentes
resultados obtidos especialmente em imagens biológicas [39]. Exemplos de descritores de textura nesta linha são os invariant multifractals [20], a dimensão fractal multiescala [40], os descritores fractais [41], wavelet multifractals [22], pattern lacunarity spectrum [35], entre outros. Outra família de métodos que também se encaixa nesta categoria são aqueles baseados em campos aleatórios de Markov [42, 43, 44], os quais tiveram sucesso sobretudo em segmentação e síntese de imagens de texturas.
Trabalhos propondo o reconhecimento de texturas com base em redes convolu-cionais profundas também têm sido apresentados mais recentemente na literatura [45, 46]. Essas abordagens se baseiam na ideia de um processo automático de aprendizado, em vez de algoritmos específicos para cada tarefa, como os clássicos descritores de textura, não sendo então adequadamente classificadas em uma das categorias anteriores. Em muitas tarefas específicas que envolvam análise de texturas, o sucesso alcançado por redes profundas na classificação de bases de imagens generalistas como a ImageNet [47] não é necessariamente repetido, e a estratégia de descritores clássicos costuma ainda ser uma alternativa válida. Isto se mostra particularmente verdadeiro quando não existe uma grande quantidade de dados disponíveis para o processo de treinamento da rede neural. Os descritores tradicionais também costumam exigir menos recursos computacionais para executar as mesmas tarefas que as redes neurais. Também é interessante observar que a classificação de texturas geralmente é considerada como um problema distinto da classificação de objetos [48, 49], cenário no qual as redes profundas costumam se sobressair, mesmo com alguns métodos podendo ser aplicados em ambos os casos [50].
Trazendo a discussão mais especificamente para aplicações da geometria fractal e multifractal na análise de imagens, foco desta tese, o estudo teórico em [51] faz uma análise interessante da relação entre a geometria fractal e multifractal com processos estocásticos como caminhadas aleatórias, os quais são conhecidos como modelos eficientes de representação de imagens do mundo real (especialmente de texturas), sendo usados por exemplo em processos de síntese deste tipo de imagem. Já com foco em um algoritmo que possa ter aplicação prática, apresenta-se em [52] uma abordagem baseada na teoria de wavelets, que permite que a dimensão fractal seja estimada por uma metodologia numérica invariante a rotação. Em [53], descreve-se o conceito de dimensão fractal multiescala, em uma aplicação à identificação de espécies de plantas (Passiflora) com base no contorno da folha. Neste método, generaliza-se o uso da dimensão fractal de Bouligand-Minkowski para um conjunto de medidas obtidas da curva de medida de fractalidade versus escala. Em [54] a dimensão fractal multiescala é combinada com uma modelagem de redes complexas, com aplicação em classificação de formas. Em [55] e [33], a ideia de fractal multiescala é generalizada ainda mais para o conceito de descritor fractal, em que toda a curva de fractalidade é explorada para caracterizar a imagem. Uma extensão desta abordagem para imagens coloridas é apresentada em [56]. Outra adaptação de métodos de estimativa da dimensão fractal para imagens coloridas é apresentada em [57], em que
um algoritmo probabilístico é desenvolvido tanto para estimar a dimensão quanto para sintetizar imagens artificiais de uma dada dimensão. O trabalho em [20] apresenta uma formulação multifractal focada em um algoritmo computacional simples, em que a soma local dos níveis de cinza da imagem suavizada por Gaussianas é tomada para o cálculo de uma medida local de regularidade (expoente de Hölder) e a dimensão de box-counting é usada para sumarizar a medida local. Uma extensão desta ideia com o auxílio da teoria de wavelets é desenvolvida em [22]. Em [58], apresenta-se uma extensão da dimensão fractal e do espectro multifractal para imagens volumétricas. O estudo em [59], por sua vez, combina a dimensão fractal com o conceito de lacunaridade (uma medida sob certo sentido complementar à dimensão) para o reconhecimento de texturas. Em [60], os descritores fractais são combinados com descritores de Gabor-Wavelets para um melhor desempenho em classificação de imagens de texturas. Descritores fractais derivados de uma definição de dimensão calculada a partir da transformada de Fourier são apresentados em [61]. O estudo em [62] apresenta uma comparação entre diversas abordagens estatísticas para redução de dimensionalidade dos descritores fractais de Bouligand-Minkowski. Em [35], desenvolve-se o conceito de espectro de lacunaridade, em que a ideia de regularidade local da teoria multifractal é substituída por padrões locais binários e a lacunaridade é usada como medida de sumarização dos descritores locais. Os autores em [63] apresentam uma aplicação da análise fractal na identificação de texturas dinâmicas, um problema igualmente relevante em visão computacional, e também intimamente relacionado com as imagens de texturas. Em [64], descreve-se uma extensão dos descritores fractais de Bouligand-Minkowski por meio de uma representação geométrica adequada ao espaço de cores. O estudo em [65] separa o processo de dilatação associado à dimensão de Bouligand-Minkowski em duas partes, superior e inferior, que dependem da concavidade ou convexidade da superfície, e usa esta estratégia para obter descritores de texturas mais poderosos. Em [66], descritores de texturas são obtidos a partir da dimensão fractal de padrões locais binários da imagem. Outra combinação de dimensão fractal com outras abordagens clássicas em análise de imagens é apresentada em [67], em que a dimensão é estimada a partir da aplicação do método bag-of-visual-words e os descritores assim obtidos são empregados em reconhecimento de cenas. Mais recentemente, iniciativas combinando fractais/multifractais com redes neurais também têm sido apresentadas, como em [68]. Por fim, um resumo recente sobre métodos de dimensão fractal e multifractais em imagens, com foco sobretudo na medida de rugosidade de superfícies, pode ser encontrado em [69]. Focando em um domínio ainda mais específico, qual seja o dos métodos de análise de imagens baseados em box-counting, pode-se mencionar [70], em que os autores calculam a dimensão de box-counting de imagens da íris (do olho humano), dividindo esta imagem em blocos e usando os valores médios dos blocos inferiores e superiores para a classificação destas imagens. Em [71], uma variação do método de box-counting diferencial é empregada para o cálculo da lacunaridade de uma imagem de sensoriamento remoto.
Uma versão paralelizada do algoritmo clássico de box-counting é apresentada em [72], com aplicação na classificação de imagens hiperespectrais. Em [73], os autores desenvolvem uma variante multiescala e multidirecional da dimensão de box-counting, com aplicação ao reconhecimento de imagens da palma da mão. Os autores em [74] descrevem uma melhoria sobre o método de box-counting clássico para descrição de texturas, adotando-se uma abordagem diferente para a contagem de caixas na direção do nível de cinza, tornando assim o método invariante a deslocamentos de brilho na imagem. Um resumo sobre o assunto que merece ser destacado, especialmente da variante diferencial do box-counting, foi publicado recentemente em [75].
Finalmente, cabe ressaltar que os métodos propostos neste trabalho podem ser considerados, até certo ponto, como uma combinação de métodos baseados em modelos fractais com métodos estatísticos, sendo capazes de fornecer deste modo uma rica for-mulação multiescala, como a provida pelos descritores fractais, ao mesmo tempo em que capturam nuances locais e as representam em vetores de características usando a análise estatística.
1.3
Organização
Incluindo esta introdução, esta tese está dividida em sete capítulos. Na intro-dução é feita a descrição e contextualização do trabalho, bem como uma apresentação da contribuição desenvolvida. No Capítulo 2são apresentados os conceitos e propriedades dos fractais, destacando-se a autossimilaridade. O Capítulo 3 traz as definições matemáticas de dimensão fractal, bem como a aplicação da dimensão fractal box-counting a imagens binárias e imagens em tons de cinza, o que é fundamental para a fundamentação deste trabalho. Semelhantemente à estrutura do capítulo anterior, o Capítulo 4 faz uma breve apresentação da teoria da análise multifractal fina e grosseira e é concluído com a aplicação da teoria multifractal à análise de imagens. A metodologia proposta está no Capítulo 5, onde são apresentados os descritores fractais aqui desenvolvidos. Os primeiros descritores propostos são baseados nas caixas usadas no cálculo da dimensão box-counting e poste-riormente, motivados pela teoria multifractal, são propostos descritores fractais obtidos por imagens binárias geradas através de partições das imagens de texturas. O Capítulo 6
mostra os experimentos e os resultados para os métodos propostos, sendo os resultados comparados com outras abordagens de análise de texturas na literatura, e também discute os resultados alcançados. O último capítulo, isto é, o Capítulo 7, apresenta as conclusões fomentadas pelos resultados obtidos.
2 Fractais
Neste capítulo, é apresentada a definição mais difundida de fractal proposta por Mandelbrot [23], bem como as características dos fractais segundo Falconer [27]. Aqui também são apresentados exemplos clássicos de fractais, em especial fractais com autossimilaridade exata e aproximada.
2.1
Definição e Propriedades dos Fractais
Embora o estudo dos fractais tenha se difundido cada vez mais nas últimas décadas, até hoje não há uma definição para estes objetos que seja consensual. A primeira definição conhecida na literatura, proposta por Mandelbrot [23], classifica como fractais os conjuntos cujas dimensões de Hausdorff são estritamente maiores que as respectivas dimensões topológicas. Por ser bastante rigorosa, pois exclui conjuntos que são usualmente considerados fractais, esta definição se mostrou inapropriada em muitas situações, assim como também ocorre com várias outras definições propostas. Diante da dificuldade em se formalizar exatamente o que é um fractal, Falconer afirma que definir um “fractal” deve ser semelhante a um biólogo definir a “vida” [27]. Mesmo sem propor uma definição formal para um objeto fractal, Falconer também diz que ao se pensar em um fractal deve-se esperar um objeto com as seguintes características:
(i) Estrutura fina: um fractal deve ter detalhes em escalas arbitrariamente pequenas; (ii) Incapaz de ser descrito pela geometria tradicional;
(iii) Autossimilaridade, ainda que aproximada ou estatística, isto é, repetições, a menos de transformações afins, de estruturas em diferentes escalas e regiões do objeto; (iv) Definição simples e possivelmente recursiva;
(v) Geralmente com dimensão fractal maior que a topológica.
Os fractais podem ser divididos basicamente em três categorias: geométricos, não lineares e probabilísticos [76]. Os fractais geométricos são obtidos através de infinitas aplicações de operações simples que modificam um conjunto inicial. Exemplos clássicos deste tipo de fractal são o conjunto de Cantor, curva de Koch e a esponja de Menger. Os fractais não lineares, como por exemplo os conjuntos de Julia e Mandelbrot, são obtidos por infinitas iterações de funções não lineares de variáveis complexas. Os fractais probabilísticos ou aleatórios são gerados por funções de densidade de probabilidade e usados para modelar
objetos da natureza como montanhas e plantas e também usados para construção de cenários artificiais [77].
Uma classificação possível para os fractais é quanto ao tipo de autossimilaridade, já que, conforme já destacado nas propriedades apresentadas em [27], um fractal pode apresentar autossimilaridade exata, aproximada ou estatística. A própria palavra “fractal”, proposta por Benoit Mandelbrot, deriva do latim fractus (fracionado, dividido em partes) [78], referindo-se à característica mais marcante dos fractais, a autossimilaridade entre diferentes partes.
2.2
Fractais com Autossimilaridade Exata
Nos fractais com autossimilaridade exata, como a característica indica, partes destes fractais, ou o fractal inteiro, contêm infinitas cópias de si mesmo em escalas arbitrariamente pequenas. Exemplos destes fractais são o conjunto de Cantor, o triângulo de Sierpinski, a curva de Koch, a esponja de Menger, etc. A seguir será apresentada a construção dos dois primeiros exemplos citados.
Conjunto de Cantor
O conjunto de Cantor é um dos fractais mais conhecidos e, como será mostrado a seguir, sua construção é muito simples. Seja C0 o intervalo real r0, 1s. Em seguida,
divide-se C0 em três intervalos iguais e o intervalo central é excluído, resultando assim
em C1 “ r0, 1{3s Y r2{3, 1s. Semelhantemente, excluindo-se a terça parte central dos
intervalos r0, 1{3s e r2{3, 1s, o resultado será C2 “ r0, 1{9s Y r2{9, 1{3s Y r2{3, 7{9s Y r8{9, 1s.
Continuando o processo, percebe-se que a cada etapa o número de intervalos é dobrado em relação à etapa anterior e o comprimento dos intervalos é igual à terça parte dos intervalos anteriores, de forma que Cn será composto por 2n intervalos de comprimento
3´n. O conjunto de Cantor C será obtido pelo limite da sequência C
n quando n Ñ 8.
Figura 2.1 – Primeiras iterações do Conjunto de Cantor
Sendo Lno comprimento de Cn, é fácil ver que Ln “
ˆ 2 3
˙n
, pois Cné composto
por 2n intervalo disjuntos, todos de comprimento 3´n. Vê-se então que o “comprimento”
do conjunto de Cantor C é lim
nÑ8Ln“ 0. O conjunto de Cantor apresenta características
contém pontos isolados e é não enumerável [79], mas conforme destacado em [27], algumas de suas características, que podem ser encontradas em muitos outros fractais são:
• Autossimilaridade – Perceba que a intercessão do conjunto de cantor C com o intervalo r0, p1{3qns é similar ao conjunto C inteiro, sendo reduzido pela escala p1{3qn.
• Estrutura fina – C apresenta detalhes em qualquer escala.
• Definição Simples – A definição de C é muito simples, embora seja rico em detalhes. • É obtido por recursividade.
• Não pode ser facilmente descrito com a geometria clássica, no sentido de por exemplo ser solução de uma equação.
• Pontos com vizinhança de difícil descrição. Perto de cada uma dos seus pontos existem outros pontos separados por uma infinidade de distâncias distintas.
• Dimensão fracionária. Como será demonstrado na seção3.2, a dimensão do fractal de Cantor é igual a logp2q{logp3q « 0, 63.
Para evitar confusão, deve-se enfatizar que algumas propriedades aqui apre-sentadas, como a autossimilaridade exata e a dimensão fracionária, estão presentes em “muitos” fractais, mas não em “todos”.
Triângulo de Sierpinski
Muitos outros fractais podem ser construídos por processos semelhantes ao da construção do fractal de Cantor, como por exemplo o Triângulo de Sierpinski. Seja S0 um
triângulo qualquer. Em S0 exclua o triângulo com vértices nos pontos médios dos seus
três lados e o que sobrar de S0 formará S1. Por construção, S1 será composto por três
triângulos semelhantes, cada um com área 4 vezes menor que a área de S0(Veja a figura
2.2). Para construir Sn repita o processo com os triângulos que formam Sn´1. O triângulo
de Sierpinski é o limite desta sequência Sn, i.e.,
S “ lim
nÑ8Sn.
Como cada iteração triplica a quantidade de triângulos e S0 tem um único
triângulo, Sn terá 3n triângulos. É fácil de se ver que os interiores dos triângulos são
disjuntos e que cada um deles tem área 4´nA
0, em que A0 é a área do triângulo que define
S0. Pela construção de Sn sua área será
An “
ˆ 3 4
˙n
Figura 2.2 – Primeiras iterações do Triângulo de Sierpinski fazendo com que a área de S seja nula, uma vez que lim
nÑ8An“ 0.
Genericamente, todas as propriedades listadas para o conjuntos de Cantor são válidas para o triângulo de Sierpinski, particularmente para a dimensão, que é d « 1, 585.
2.3
Fractais com Autossimilaridade Aproximada
Fractais com autossimilaridade aproximada são fractais que apresentam estru-turas quase idênticas em escalas cada vez menores. Os fractais mais conhecidos com estas características são os fractais de Julia e o de Mandelbrot.
Figura 2.3 – Autossimilaridade Aproximada (zoom 100x no retângulo vermelho)
Fractais de Julia
Embora a definição de conjunto de Julia possa se estender a uma grande classe de funções complexas [80], tanto o fractal de Mandelbrot quanto os fractais de Julia aqui apresentados estão associados às iterações da função de variável complexa f pzq “ z2` c, com c P C.
Definição 2.1 (Fractais de Julia). O fractal de Julia Jc associado à função fcpzq “ z2` c
é a fronteira do conjunto Fc, em que Fc “
! z : lim nÑ8|f n cpzq| “ 8 ) . [81]
Na Definição 2.1, fn representa a composição da função f n vezes, isto é, fn “ f ˝ f ˝ ... ˝ f e, dado z0 fixo, limnÑ8|fnpz0q| “ 8 significa que para todo positivo M
existe um inteiro N tal que, se n ą N , então |fnpz0q| ą M . Como os fractais de Julia são
associados às funções do tipo fcpzq “ z2` c, cada fractal de Julia fica determinado pela
constante complexa c.
Figura 2.4 – Fractais de Julia determinados por c.
Fractal de Mandelbrot
Um dos fractais mais conhecidos é o conjunto de Mandelbrot, representado na Figura 2.5. Assim como os fractais de Julia, o fractal de Mandelbrot também está relacionado ao comportamento das iterações das funções complexas fcpzq “ z2` c.
Figura 2.5 – Fractal de Mandelbrot.
Embora cada fractal de Julia Jc esteja associado à constante c, a Definição 2.1
mostra que cada Jc é formado por valores de z. Por outro lado, o conjunto de Mandelbrot
é formado por valores de c conforme a Definição 2.2.
Definição 2.2 (Conjunto de Mandelbrot). O conjunto de Mandelbrot FM é o conjunto
z “ 0 não “vai para o infinito”, i.e., FM “ ! c : lim nÑ8|f n cp0q| ‰ 8 ) r82s
Uma relação entre o fractal de Mandelbrot e os fractais de Julia a se destacar é que, se c pertence ao conjunto de Mandelbrot, então o fractal de Julia correspondente a c é conexo, caso contrário, o fractal de Julia será desconexo [83]. Observe na Figura
2.4 que o fractal determinado por c “ ´0, 5 ` 0, 57i P FM é conexo, enquanto o fractal
3 Dimensão Fractal
Este capítulo apresenta a descrição matemática para diferentes definições de dimensão fractal, assim como métodos de estimativa desta dimensão aplicados a imagens digitais. As três definições de dimensão apresentadas neste capítulo são a dimensão por similaridade, a dimensão de Hausdorff e a dimensão box-counting, e todas estão formalmente baseadas em [27]. Analisando estas três definições, será possível concluir que, de certa forma, a dimensão fractal mede o grau de preenchimento do espaço por um conjunto F , fornecendo assim informação rica sobre suas propriedades geométricas. Neste capítulo também são apresentados métodos de estimativa da dimensão box-counting para imagens binárias e imagens de textura.
3.1
Definição
Assim como ocorre com o objeto fractal, não existe um consenso na literatura para a definição de dimensão fractal, entretanto, a definição original apresentada por Mandelbrot [23] é a dimensão de Hausdorff. Uma advertência comprovada pelo Exemplo
3.3 é que “Não se deve presumir que diferentes definições apresentarão o mesmo valor de dimensão fractal”.
Na geometria tradicional, os objetos têm sempre dimensão inteira. Na geometria Euclidiana, por exemplo, a dimensão de um conjunto é o menor número de coordena-das necessárias para determinar as posições de seus pontos, mesmo que seja necessário “transformar” o espaço destas coordenadas. De forma intuitiva, a dimensão topológica dos pontos é igual a 0, das curvas igual a 1, das superfícies igual a 2 e dos sólidos a dimensão é 3. Diferentemente de objetos da geometria tradicional, os fractais podem apresentar dimensão não inteira.
3.2
Dimensão por Similaridade
A dimensão por similaridade é significativa apenas para uma pequena classe de conjuntos estritamente autossimilares [27]. Apesar desta limitação, além de ser relativa-mente simples sua aplicação para tais conjuntos, ela se mostra bastante útil para que as dimensões fracionárias possam ser introduzidas.
Para começar, suponha que um objeto F possa ser divididos em Nr cópias de
si mesmo em uma escala r. A ideia é relacionar a dimensão d com r e Nr. Observe por
Nr “ 4, enquanto que usando a escala r “ 1{3 o número de cópias será Nr “ 9, valendo a
relação Nr “ r´d.
Figura 3.1 – Divisão do quadrado em 4 e em 9 partes iguais
A relação Nr “ r´d é válida para outros objetos do espaço Euclidiano que
possam ser divididos em cópias com uma escala r qualquer. Como na verdade o interesse é encontrar o valor da dimensão, a relação Nr “ r´d será reescrita na forma
d “ ´ logpNrq
logprq . (3.1)
A Equação (3.1) pode ser aplicada por exemplo para calcular a dimensão fractal do conjunto de Cantor e do triângulo de Sierpinski, pois estes dois apresentam autossimilaridade exata. Pela construção do fractal de Cantor (veja Figura 2.1), a relação entre seus números de cópias e a escala é dada pela Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Relação entre escala r e número de cópias Nr do conjunto de Cantor.
r Nr 1 1 1{3 2 1{9 4 .. . ... p1{3qk 2k
Aplicando-se a Equação (3.1) para qualquer r ą 1 e Nr correspondente, o
resultado será:
d “ ´ log 2
logp1{3q “ log 2
log 3 « 0, 63.
Para o cálculo da dimensão do triângulo de Sierpinski (veja a Figura 2.2), pode-se tomar por exemplo r “ 1{2 e Nr “ 3, levando a
d “ ´ log 3
logp1{2q “ log 3
Um dos fractais com autossimilaridade exata obtido a partir de um sólido geométrico é a esponja de Menger. Para obtê-lo, primeiramente deve-se tomar um cubo M0. O próximo passo consiste em dividir M0 em 27 cubos iguais, obviamente com escala
r “ 1{3. Para se chegar a M1, dos 27 cubos gerados, devem ser eliminados todos os 7
que não tocam nas arestas de M0. Repetindo o processo com cada um dos 20 cubos que
formam M1, restarão 202 cubos que formarão M2. Este processo deve ser repetido de forma
que Mn será composto por 20n cubos, cada um com aresta 3n vezes menor que a aresta de
M0. A esponja de Menger é definida como
M “ lim
nÑ8Mn.
Figura 3.2 – Esponja de Menger
De acordo com a construção da esponja de Menger, para r “ ˆ 1 3
˙k
, o número de cópias correspondentes será Nr “ 20k e consequentemente:
d “ log 20
log 3 « 2, 727.
A dimensão por similaridade é definida apenas para conjuntos com autossimi-laridade exata, entretanto existem outras definições de dimensão que podem ser aplicadas a qualquer conjunto. A definição de Hausdorff por exemplo pode ser aplicada a qualquer conjunto e nos casos ilustrados até aqui apresentará os mesmos resultados.
3.3
Dimensão de Hausdorff
Além de ser uma das definições de dimensão fractal mais antigas, a dimensão de Hausdorff mostra sua importância não só por ter sido usada por Mandelbrot para definir um fractal, mas também por ser aplicável a uma família muito ampla de conjuntos. Uma desvantagem da dimensão de Hausdorff é que em muitos casos é difícil ou até mesmo impossível o seu cálculo, sendo em muitos casos uma tarefa extremamente difícil até mesmo
a estimativa numérica. Por outro lado, uma grande vantagem está na sua definição precisa, sendo essencial para a compreensão da dimensão como uma medida de preenchimento do espaço.
3.3.1
Medida de Hausdorff
A dimensão de Hausdorff é derivada diretamente da medida de Hausdorff, mas antes da apresentação da definição de tal medida serão necessárias algumas definições básicas.
Definição 3.1 (Diâmetro de um conjunto). Sendo um subconjunto não vazio do espaço Euclidiano n-dimensional, o diâmetro de U é definido por
|U | “ sup |x ´ y| : x, y P U(.
Definição 3.2 (δ-cobertura). Seja Ui
( enumerável, com |Ui| ď δ. Se F Ă 8 ď i“1 Ui, então Ui ( é uma δ-cobertura de F . Ui ( é uma δ-cobertura de F ðñ |Ui| ď δ, F Ă 8 ď i“1 Ui.
Definição 3.3. Dados F P Rn, δ ą 0 e s não negativo, define-se
H s δ pF q “ inf # 8 ÿ i“1 |Ui|s : Ui ( é uma δ-cobertura de F + . (3.2)
Pela definição de HδspF q, se δ1 ď δ2, então Hδs1pF q ě H
s
δ2pF q, uma vez que toda δ1-cobertura também é uma δ2-cobertura. Desta forma, à medida que o valor de δ
decresce, o valor de HδspF q cresce, ficando assim garantido que o limite lim
δÑ0H s
δ pF q exite,
sendo um número real não negativo ou infinito.
Definição 3.4 (Medida de Hausdorff s-dimensional). A medida de Hausdorff s-dimensional
do conjunto F P Rn é H s pF q “ lim δÑ0H s δ pF q. (3.3)
Na geometria tradicional é bem conhecido o fato de que, quando uma curva F é reescalada por um fator positivo λ, a curva λF terá seu comprimento de F multiplicado por λ. Se F for uma superfície, a área da superfície de λF será igual à área da superfície de F multiplicada por λ2 e no caso de um sólido seu volume será multiplicado por λ3. Esta propriedade é válida para a s-medida de Hausdorff e será demonstrada a seguir.
Propriedade 3.1 (Medida de Hausdorff s-dimensional de λF ). Dado F P Rn e λ P R`,
a s-medida de Hausdorff de λF será igual a H s
Demonstração. De fato, se Ui( é uma δ-cobertura de F , então para λ ą 0, λUi( é uma λδ-cobertura de λF , e consequentemente: Hs λδpλF q ď 8 ÿ i“1 |λUi|s “ λs 8 ÿ i“1 |Ui|s. Como HλδspλF q ď λs 8 ÿ i“1
|Ui|s para qualquer δ-cobertura Ui( de F , chega-se a
H s λδpλF q ď λ sH s δ pF q e, fazendo-se δ Ñ 8, H s pλF q ď λsH spF q. (3.5)
Por outro lado, se Ui( é uma δ-cobertura de λF ,
1 λUi( será uma δ λ-cobertura de F , consequentemente, H s δ λpF q ď 8 ÿ i“1 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 λUi ˇ ˇ ˇ ˇ s “ 1 λs 8 ÿ i“1 |Ui|s. Como Hδs λpF q ď 1 λs 8 ÿ i“1
|Ui|s para qualquer δ-cobertura Ui( de λF , chega-se a
H s δ λpF q ď 1 λsH s δ pλF q, e com δ Ñ 8, tem-se H s pF q ď 1 λsH s pλF q ou, equivalentemente, H s pλF q ě λsH spF q. (3.6)
A Equação (3.4) é trivialmente concluída pelas desigualdades 3.5 e3.6.
3.3.2
Dimensão de Hausdorff
Como foi afirmado anteriormente, a dimensão de Hausdorff é derivada direta-mente da medida de Hausdorff, que é dada para cada s ą 0 pelo limite HδspF q quando δ Ñ 0, permitindo que se considere δ ă 1. Sendo Ui( uma δ-cobertura de F e s1 ă s2,
|Ui| ď δ |Ui|s2´s1 ď δs2´s1 |Ui| s2 ď δs2´s1 |Ui| s1 8 ÿ i“1 |Ui|s2 ď δs2´s1 8 ÿ i“1 |Ui|s1 H s2 δ pF q ď δ s2´s1H s1 δ pF q. (3.7) Fazendo-se δ Ñ 0, se Hs1
pF q ă 8, então pela Equação (3.7) e por s2 ą s1, Hs2pF q “ 0.
Semelhantemente, se H s2
pF q ą 0, então H s1
pF q “ 8.
Este resultado mostra que, para F Ă Rn, a função f : R` ÝÑ R Y t8u, definida
um valor crítico onde salta de 8 para 0. Este valor crítico é definido como a dimensão de Hausdorff de F.
Definição 3.5 (Dimensional de Hausdorff). A dimensão de Hausdorff do conjunto F P Rn, indicada por dimHpF q, é o valor crítico da função f psq “H spF q.
Figura 3.3 – Gráfico de H spF q em função de s, com ponto crítico em s “ dimHpF q.
É importante enfatizar que, quando s “ dimHpF q, a s-medida de Hausdorff
H s
pF q pode ser igual a 0, 8 ou qualquer número real positivo e, para s ‰ dimHpF q,
H s pF q “ # 8 se s ă dimHpF q, 0 se s ą dimHpF q. (3.8)
Exemplo 3.1 (Dimensão do conjunto de Cantor). Se F é o conjunto de Cantor, então
dimHF “
log 2 log 3.
Demonstração. Pelas definições 3.3 e 3.4, se F “ A Y B, com A X B “ ∅, HspF q “
H s
pAq `HspBq. Sendo F o conjunto de Cantor, pela sua construção tem-se F “ A Y B, com A “ F X „ 0,1 3 , B “ F X„ 1 3, 1
(veja a Figura2.1). Os conjuntos A e B são obtidos de F por uma escala de 1
3, de forma que H s pAq “ Hsˆ 1 3F ˙ e H spBq “ H sˆ 1 3F ˙ . Pela propriedade 3.1 H sˆ 1 3F ˙ “ 1 3sH s pF q e então H s pF q “ H spAq `H spBq H s pF q “ H sˆ 1 3F ˙ `H sˆ 1 3F ˙ H s pF q “ 2 3sH s pF q.
Agora, assumindo que dimHF “ s com 0 ă H spF q ă 8, tem-se 1 “
2 3s,
levando a s “ log 2 log 3.
3.4
Dimensão Box-counting
A medida em escala é fundamental para a maioria das definições de dimensão. A ideia é basicamente medir o conjunto F , desprezando as irregularidades menores que a escala δ adotada, e analisar o comportamento da medida quando a escala tende a zero. Se houver uma lei de potência com constantes c e s relacionando uma medida MδpF q com a
escala δ, de forma que
MδpF q „ cδ´s, (3.9)
a constante s será então uma dimensão de F . Dadas duas funções f, g : R`Ñ R, a relação
representada por f pδq „ gpδq em 3.9 significa que lim
δÑ0
f pδq
gpδq “ 1. Aplicando-se o logaritmo, a relação será dada por
log`MδpF q
˘
„ logpcq ´ s logpδq, (3.10)
que pode ser reescrito como
s „ logpcq ´ log`MδpF q ˘ logpδq , e fazendo-se δ tender a 0 s “ lim δÑ0 log`MδpF q ˘ ´ logpδq . (3.11)
Assumindo a validade da relação apresentada em 3.9, ainda que não seja possível fazer δ Ñ 0 para resolver a Equação (3.11), a dimensão s pode ser estimada como o coeficiente angular da reta ajustada pela curva log ´ log representada por 3.10 para valores adequados de δ (veja Figura 3.4).
Figura 3.4 – Curva ajustada para a equação log`MδpF q
˘
3.4.1
Definição da Dimensão Box-counting
Um dimensão definida pela Equação (3.11), gerada pela lei de potência, é a dimensão box-counting. Sua definição pode ser dada usando-se como medida o menor número de conjuntos de diâmetros menores ou iguais a δ que cobrem F .
Definição 3.6 (Dimensão Box-counting). Seja F P Rn um conjunto limitado tal que
F ‰ ∅. Considere também que NδpF q é o menor número de conjuntos com diâmetro
menor ou igual a δ necessários para cobrir F . A dimensão box-counting inferior e a superior de F são respectivamente
dimBF “ lim inf
δÑ0
log NδpF q
´ log δ (3.12)
dimBF “ lim sup δÑ0
log NδpF q
´ log δ (3.13)
e se dimBF “ dimBF , a dimensão box-counting de F será dada por
dimBF “ lim δÑ0
log NδpF q
´ log δ . (3.14)
Na Definição 3.6da dimensão box-counting a única restrição da cobertura do conjunto F é que tenha o diâmetro no máximo igual a δ, porém, conforme apresentado na Definição 3.8 e representado na Figura 3.5, várias alternativas equivalentes para NδpF q
podem ser mais convenientes. Entre as alternativas para NδpF q, na aplicação à análise de
imagens destaca-se o número de cubos da δ-malha que intersectam F , sendo apresentada na Definição 3.7.
Definição 3.7 (δ–malha de Rn). Seja cδpi1, i2, ¨ ¨ ¨ , inq o cubo n-dimensional de aresta δ
definido por
cδpi1, i2, ¨ ¨ ¨ , inq “ rδi1, δpi1` 1qs ˆ rδi2, δpi2` 1qs ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ rδin, δpin` 1qs,
com ikP Z. A δ–malha de Rn é o conjunto de todos os cubos n-dimensionais de aresta δ,
isto é, Mδ “ ! cδpi1, i2, ¨ ¨ ¨ , inq : ti1, i2, ¨ ¨ ¨ , inu Ă Z ) .
Definição 3.8 (Definições Equivalentes para Dimensão Box-counting). Seja F P Rn um conjunto limitado tal que F ‰ ∅. As dimensões box-counting inferior e a superior de F são respectivamente
dimBF “ lim inf
δÑ0
log NδpF q
´ log δ (3.15)
dimBF “ lim sup δÑ0
log NδpF q
e se dimBF “ dimBF , a dimensão box-counting de F será dada por
dimBF “ lim δÑ0
log NδpF q
´ log δ , (3.17)
em que NδpF q é qualquer uma das opções:
1. o menor número de bolas fechadas de raio δ que cobrem F ; 2. o menor número de cubos de aresta δ que cobrem F ;
3. o número de cubos da δ–malha que intersecta F ;
4. o menor número de conjuntos com diâmetro menor ou igual a δ que cobrem F ; 5. o maior número de bolas disjuntas de raio δ com centro em pontos de F .
Figura 3.5 – Alternativa para NδpF q para o cálculo da dimensão box-counting.
Fonte: [27].
Exemplo 3.2 (Dimensão Box-counting do Conjunto de Cantor).
