Lacunaridade

As medidas extraídas para a composição do descritor proposto na seção atual se completam com a lacunaridade. Este conceito foi introduzido na geometria fractal por Mandelbrot[23] e, de certa forma, complementa a ideia da dimensão fractal. Enquanto a dimensão fractal é calculada através da distribuição do objeto no espaço, a lacunaridade é obtida pela análise da distribuição dos espaços vazios deixados pelo objeto.

Tanto para imagens binárias quanto para imagens em tons de cinza, um método bastante simples para calcular a lacunaridade da imagem é o gliding-box [35]. No caso da imagem em tons de cinza, esta é convertida para uma nuvem de pontos conforme a Figura

3.7-E, e então é particionada por meio dos cubos da r–malha Mr representada na Figura

5.9. Assim é definida a distribuição de massa dada por P : P ps, rq “ nps, rq

Figura 5.20 – Dimensão fractal por Bouligand-Minkowski. Na parte superior, a forma sendo dilatada por círculos de raios diferentes. Abaixo, à esquerda, a tabela de valores para log Aprq em função de logprq. À direita, o gráfico log Aprqˆlog r.

Fonte: Obtido de [77]

sendo nps, rq o número de cubos contendo exatamente s pontos da nuvem, e N prq o número total de cubos de aresta r. Pela definição de P tem-seÿ

s

P “ 1, fazendo de P uma distribuição de probabilidade, e permitindo a definição do primeiro e segundo momento

Z1prq “ ÿ s sP ps, rq, (5.28) Z2prq “ ÿ s s2P ps, rq. (5.29)

A lacunaridade na escala r é dada pelo quociente de momentos

Λprq “ Z2prq

Z1prq2. (5.30)

potência [23] dada por

Λprq «ˆ 1 r

˙D

, (5.31)

semelhantemente a [35], será definida

LAC “ pD, Cq,

em que D e C são obtidos aplicando-se logaritmo à Equação (5.31), e obtendo-se a reta ajustada por mínimos quadrados dada por log Λprq “ ´D logprq ` C.

Embora aqui o objetivo seja a classificação de imagens de textura, na estratégia aqui apresentada as imagens são particionadas em imagens binárias, e a obtenção da lacunaridade foi feita de forma muito semelhante ao caso das texturas. Basicamente apenas a malha de cubos é substituída por uma malha de quadrados.

5.4.5

Motivação

A dimensão fractal, assim como outras medidas clássicas da geometria fractal (como a lacunaridade, por exemplo), tais como definidas com o máximo de rigor matemático [27], são sabidamente inadequadas para a análise de qualquer imagem digital. Para não se estender muito, basta que se considere que imagens digitais são discretas, isso tanto em seu domínio espacial quanto no de valor do pixel. Deste modo, sua representação geométrica será necessariamente enumerável, devido ao número finito de pontos. É amplamente sabido da teoria da geometria fractal que a dimensão de qualquer conjunto enumerável é, por definição, zero [27]. Fica claro então que a definição clássica de dimensão fractal não tem nenhuma aplicação prática como uma medida descritiva destas imagens. Pode-se contrapor aqui que um modelo de aproximação contínua da imagem poderia ser construído, mas aí, além da análise que pode se tornar bastante complicada, a introdução de alguma informação artificial ao processo será inevitável.

É diante então deste cenário que se desenvolve aqui um modelo estatístico para uma investigação do mecanismo segundo o qual medidas fractais como a dimensão box-counting e de Bouligand-Minkowski atuam e podem ser úteis na representação e análise de imagens digitalizadas.

Este estudo é também estendido, para além da dimensão em si, aos descritores multifractais propostos. Para este fim e por simplicidade da análise estatística envolvida, mas sem perda relevante de generalidade, os códigos LBP serão supostos seguir uma distribuição uniforme.

5.4.5.1 Box-counting

No caso de box-counting, pode-se partir de um modelo similar ao apresentado em [102]. Nele se assume que a probabilidade de um ponto de interesse aparecer em uma imagem binária é p e que existe um total de N pontos. Assume-se ainda que o dado está representado na reta real R e limitado ao intervalo I “ r0, 1s. Deste modo, a probabilidade de uma “caixa” unidimensional de comprimento s (subintervalo de I) não conter qualquer ponto de interesse é

p0 “ p1 ´ sqN p.

Similarmente, a probabilidade da mesma caixa conter pelo menos um ponto é o comple- mentar de p0:

p1 “ 1 ´ p1 ´ sqN p.

O número esperado de caixas não vazias usadas no cálculo da dimensão box-counting é então fornecido por

Bpsq “ r1 ´ p1 ´ sqN ps{s.

De modo análogo, em R2 pode-se trabalhar no subintervalo I2 “ r0, 1s ˆ r0, 1s e então se estabelecer

Bpsq “ r1 ´ p1 ´ s2qN ps{s2.

A ideia desenvolvida em [102] é que para conjuntos auto-similares com dimensão de auto-similaridade dS tem-se

Bpsq “ r1 ´ p1 ´ sdS

qN ps{sdS_.

A dimensão box-counting pode ser facilmente encontrada a partir do ajuste de uma reta à curva log s ˆ log Bpsq, por exemplo, usando-se mínimos quadrados. O valor da variável s varia dentro de um intervalo pré-definido (normalmente linear ou exponencial) s1, s2, ¨ ¨ ¨ , sn.

Visando simplificar a notação matemática, define-se xi “ log si e yi “ log Bpsiq. É sabido

também que o método dos mínimos quadrados possui uma interpretação estatística em que a equação da reta y “ αx ` β é definida em termos de medidas de variância e covariância.

Primeiramente, são definidas aqui as variâncias de x e y assim como a covariância entre x e y: σ_x2 “ řn i“1pxi´ xq2 n σ 2 y “ řn i“1pyi´ yq2 n covpx, yq “ řn i“1pxi´ xqpyi´ yq n ,

em que x e y correspondem às médias aritméticas de x e y, respectivamente. Tem-se assim α “ covpx, yq

σ2

x

e β “ y ´ αx. (5.32)

Pode-se notar que estas expressões representam o quanto que a medida em questão (número de caixas) está relacionada estatisticamente com a escala s. A Figura 5.22ilustra

200 400 600 800 1000 Np -1.1 -1.05 -1 200 400 600 800 1000 Np -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 200 400 600 800 1000 Np -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 200 400 600 800 1000 Np 0 0.05 0.1 0.15 200 400 600 800 1000 Np 0 0.2 0.4 0.6 200 400 600 800 1000 Np 0.2 0.4 0.6 0.8 1 dS “ 1.1 dS “ 1.5 dS “ 1.9

Figura 5.21 – α e β para diferentes valores do número de pontos N p e da dimensão dS.

cenários com α e β para valores diferentes do número de pontos Np e da dimensão dS.

Quando a dimensão de similaridade varia, a dimensão box-counting (α) e o coeficiente linear (β) exibem perfis distintos quando representados no gráfico em relação à distribuição de pontos (N p). Trazendo mais especificamente para o caso dos descritores de imagens, isto corresponde a uma representação mais completa do que o uso único e exclusivo da dimensão ou ainda da probabilidade p, mesmo que estes importantes atributos continuem a determinar a forma geral da curva.

5.4.5.2 Bouligand-Minkowski

Uma análise mais formal da dimensão de Bouligand-Minkowski é complicada, mesmo em duas dimensões, uma vez que o processo de de sobreposição de círculos dilatados é sensivelmente mais complexo do que a construção de subconjuntos na reta de box-counting. O leitor interessado no assunto pode ter alguma ideia deste tipo de análise em [103]. Se o objetivo principal porém for uma análise estatística, uma redução a uma dimensão já fornece alguma intuição útil. Neste caso, parte-se novamente de uma “imagem” binária em R, mais especificamente definida no subintervalo r0, 1s. Neste domínio reduzido, a dilatação morfológica de Bouligand-Minkowski consiste na prática no posicionamento de barras com comprimento s (s ă 1) centradas nos pontos de interesse aleatoriamente estabelecidos sobre o intervalo. O objetivo é o cálculo do valor esperado do comprimento total da região coberta por pelo menos uma barra.

Como é necessário que se dê atenção especial aos limites do intervalo r0, 1s, ocorre que para o caso em que se tenha apenas uma barra, a probabilidade p1 de um ponto na posição x ser coberto pela barra pode assumir três valores possíveis, a depender do

valor de x: p1 “ $ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ % x ` s 2 if s P r0, r 2s s if x P rs 2, 1 ´ s 2s ´x ` s 2 ` 1 if x P r1 ´ s 2, 1s.

Por sua vez, a probabilidade de x não estar coberto é o complementar 1´p1. Pode-se adotar então um procedimento similar ao que foi feito para box counting. Assim se supõe que a “imagem” possui N pontos e que a probabilidade de ocorrência de um ponto de interesse é p. O número esperado de pontos de interesse nesta situação é N p. A probabilidade de x não ser coberto por nenhuma de n barras posicionadas de modo aleatório em r0, 1s é então p1 ´ p1qN p. Já a probabilidade de x ser coberto por no mínimo uma barra é

pn“ 1 ´ p1 ´ p1qN p.

Por fim, o valor esperado do comprimento da região coberta por alguma barra é obtido por xLy “

ż1

0 pndx.

Em termos práticos, o raio de dilatação empregado nos cálculos da dimensão de Bouligand- Minkowski costuma ser significativamente menor do que o tamanho da imagem. Isso faz com que o efeito deste comportamento especial nas bordas possa ser negligenciado sem maiores prejuízos e o foco então do cálculo esteja na região interior x P rs

2, 1 ´ s 2s. Isto simplifica bastante o cálculo da integral, que se torna então

xLy “ 1 ´ p1 ´ sqN p. (5.33)

Esta expressão resultante confirma a relação de lei de potência, de certo modo já esperada, e que surge naturalmente em fenômenos complexos com comportamento fractal. Especifi- camente para o propósito da análise aqui desenvolvida, é importante também que se dê alguma atenção à Equação (5.33), que determina o comportamento de xLy quanto N não tem valor tão alto.

Uma estratégia parecida com a apresentada em [102] pode aqui também ser empregada. Em duas dimensões, dois círculos com raio s podem ser estabelecidos e (5.33) é então reformulada como

xLy “ 1 ´ p1 ´ πs2qN p.

Para uma estrutura hipotética perfeitamente auto-similar com dimensão de auto-similaridade dS, pode-se recorrer à fórmula do volume da bola n-dimensional:

xLy “ 1 ´ ˜ 1 ´ π dS{2 Γ`dS 2 ` 1 ˘ s dS ¸N p ,

em que Γ é a função Gama de Euler. α e β podem ser obtidos no caso por (5.32), como usual. Como anteriormente, a Figura 5.22exemplifica α e β para valores diferentes do número

200 400 600 800 1000 Np 0 0.01 0.02 0.03 200 400 600 800 1000 Np 0 0.05 0.1 0.15 0.2 200 400 600 800 1000 Np 0 0.2 0.4 0.6 200 400 600 800 1000 Np 0 0.01 0.02 0.03 0.04 200 400 600 800 1000 Np 0 0.1 0.2 0.3 200 400 600 800 1000 Np 0 0.2 0.4 0.6 dS “ 1.1 dS “ 1.5 dS “ 1.9

Figura 5.22 – α e β para diferentes valores do número de pontos N p e da dimensão de auto-similaridade dS.

de pontos Np e da dimensão de auto-similaridade dS. Assim como na Figura5.21, curvas

visualmente distintas podem ser observadas para cada dimensão de auto-similaridade considerada.

Em suma, pode-se afirmar que a análise apresentada fornece mais um indicativo para o interesse na associação entre a análise de características locais da imagem, como aquelas fornecidas pelos códigos LBP, e a inspeção de propriedades de uma curva log ´ log de fractalidade definida sobre estas medidas locais. No estudo presente, em particular, optou-se pelo uso dos coeficientes angular e linear da reta ajusta à curva e o potencial desta modelagem, tal qual como predito teoricamente, foi também confirmado na prática, na tarefa de classificação de imagens de texturas.

6 Experimentos e Resultados

Este capítulo traz os experimentos e resultados para os métodos propostos, sendo tais resultados comparados com outras abordagens de análise de texturas na literatura e também discute os resultados alcançados. Ele é composto por uma seção para os experimentos, uma seção para os resultados de cada descritor proposto, e se encerra com uma seção apresentando brevemente a comparação dos resultados dos descritores propostos.

6.1

Experimentos

Esta seção apresenta separadamente os experimentos feitos com os descrito- res fractais baseados nas caixas do box-counting e os descritores baseados na análise multifractal.