Além da análise dos números de pontos nos cubos, outra característica que pode fornecer informações relevantes sobre a textura é a posição dos cubos no espaço tridimensional. A posição de cada cubo crijk é definida pelas variáveis i, j e k, mas as duas primeiras estão basicamente associadas à partição da imagem original, não fornecendo nenhuma informação relevante quando analisadas separadamente. Já a terceira coordenada, i.e., k, está diretamente associada às intensidades dos pixels representados pelos pontos do interior do cubo, fornecendo informações diferentes para cada textura. Embora o descritor proposto nesta seção seja bastante robusto na classificação de texturas, superando outros descritores que representam o estado-da-arte em descritores de texturas, sua definição é extremamente simples. Basicamente, consiste nos histogramas hr formados pelos valores
de k associados a cada cubo crijk não vazio e será formalizado a seguir.
Definição 5.2 (Histograma hr). Seja T uma imagem M por N com nível de cinza
variando entre 0 e L ´ 1, representada pela nuvem de pontos do espaço tridimensional C “ t pi, j, T pi, jqq | 1 ď i ď M e 1 ď j ď N u. Sejam também cri,j,k os cubos da r–malha que cobre C, definidos por
com 1 ď i ď M {r, 1 ď j ď N {r, 1 ď k ď L{r. O histograma hr será definido por hrpT q “ pf1rpT q, f r 2pT q, ¨ ¨ ¨ , f r L{rpT qq,
sendo fαrpT q o número de cubos cri,j,k não vazios com k “ α, dado por
fαrpT q “ λr ÿ i δpα, vrpiqq, em que
• λr é o número de cubos não vazios de aresta r,
• vr “ t k | cri,j,kX C ‰ ∅u é o vetor com k pontos para cada cubo não vazio c r i,j,k e
• δ é o delta de Kroneker – `δpx, yq “ 1 se x “ y e δpx, yq “ 0 se x ‰ y˘. Sendo H “ thr1, hr2, ¨ ¨ ¨ , hrwu o conjunto de histogramas definidos por
tr1, r2, ¨ ¨ ¨ , rwu, com hri “`f
ri
1 , ¨ ¨ ¨ , f
ri
L{ri˘, H poderá ser visto como o conjunto das funções
reais associadas aos histogramas e às respectivas arestas dos cubos, isto é, H “ fr1 1 , ¨ ¨ ¨ , f r1 L{r1, f r2 1 , ¨ ¨ ¨ , f r2 L{r2, ¨ ¨ ¨ , f rw 1 , ¨ ¨ ¨ , f rw L{rw(.
O descritor BCF DβpT q “`fr1pT q, fr2pT q, fr3pT q, ¨ ¨ ¨ , frkpT q˘ foi introduzido
na Definição 5.1, com as funções reais β “ tfr1, fr2, fr3, ¨ ¨ ¨ , frku associadas aos cubos
de arestas rj. Desta forma, BCF DH será definido como o descritor composto pelos
histogramas de H.
Definição 5.3 (BCF DH). Sendo H “ thr1, hr2, ¨ ¨ ¨ , hrwu o conjunto de histogramas
conforme a Definição 5.2, com hri “`f
ri
1 , ¨ ¨ ¨ , f
ri
L{ri
˘
. O descritor BCF DH será definido
por BCF DHpT q “ p hr1pT q, hr2pT q, ¨ ¨ ¨ , hrkpT q q “ p fr1 1 pT q, ¨ ¨ ¨ , f r1 L{r1pT q, ¨ ¨ ¨ , f rk 1 pT q, ¨ ¨ ¨ , f rk L{rkpT q q (5.21)
Cada histograma hr que define BCF DHpT q traz informações quanto às inten-
sidades dos pixels da imagem original reduzida pelo fator r, assim como também traz informações quanto à variação local das intensidades dos pixels, que é determinante para o número de cubos. Quanto maior for a variação local das intensidades dos pixels, maior será o número de caixas.
Observação 1 (Diferença entre hrpT q e histpTrq). Não se deve confundir hrpT q com o
histograma histpTrq obtido pela simples redução das intensidades dos pixels da imagem
Suponha por exemplo que uma imagem T de dimensão M por N tenha as intensidades de seu pixels reduzidas pelo fator r, resultando na imagem Tr de dimensão
M por N , sendo Trpi, jq “ R T pi, jq ` 1 r V . (5.22)
O histograma de Tr, representado por histpTrq, terá as mesmas classes que
hrpT q, isto é, 1, 2, ¨ ¨ ¨ , L{r, mas não necessariamente as mesmas frequências. A soma
das frequências das classes definidas por histpTrq será obviamente constante e igual a
M N , independentemente do valor de r. Por outro lado, a soma das frequências das classes definidas por hrpT q será λr, sendo diretamente influenciada pela distribuição dos pixels na
imagem original, especialmente pela distribuição nas submatrizes quadradas de lado r. A Figura 5.13 representa duas imagens de 16ˆ16, T1 e T2, ambas com a mesma quantidade de pixels nas intensidades correspondentes, mas com distribuição muito diferente (intensidade variando entre 0 e 15). Sendo pT1qr e pT2qr obtidas conforme a
Equação (5.22), os histogramas hist`pT1qr˘ e hist`pT2qr˘ serão idênticos independentemente
do valor de r, enquanto BCF DHpT1q ‰ BCF DHpT2q, para BCF DHpT1q “ hrpT1q e
BCF DHpT2q “ hrpTrq, com 1 ă r ă 8.
Figura 5.13 – Exemplo de imagens com o mesmo histograma.
Este exemplo ilustra que, se duas imagens quaisquer apresentam uma mesma quantidade de pixels de uma determinada classe α (intervalo de intensidade), em um histograma simples, a frequência daquela classe será idêntica (veja Tabela 5.4), mas o mesmo não necessariamente ocorre com a quantidade de cubos crijk com k “ α (veja Tabela
5.5). Isso se dá pois o número de cubos é influenciado pela distribuição das intensidades dos pixels na imagem original. Os argumentos aqui apresentados relacionam os descritores BCF DHpT q e BCF DNpT q (Contagem de caixas – Equação (5.4), pois
ÿ
hrpT q “ λrpT q.
Na prática, os três descritores definidos por BCF DHpT q, histpTrq e a contagem
de caixas BCF DNpT q estão relacionados conforme ilustra a Figura 5.14. Ela resume a classificação das texturas da base Outex pelos descritores com poucos valores para r.
Tabela 5.4 – Histogramas hist`pT1qr˘ e hist`pT2qr˘ com r “ 2, 4, 8. r hist`pT1qr ˘ ÿ phistq hist`pT2qr ˘ ÿ phistq 2 (64,0,64,0,64,0,64,0) 256 (64,0,64,0,64,0,64,0) 256 4 (64,64,64,64) 256 (64,64,64,64) 256 8 (128,128) 256 (128,128) 256 Tabela 5.5 – BCF DH`T1˘ e BCF DH`T2˘, com H “ thru e r “ 2, 4, 8. r BCF DH`T1 ˘ ÿ pBCF DHq BCF DH`T2 ˘ ÿ pBCF DHq 2 (64,0,64,0,64,0,64,0) 256 (16,0,16,0,16,0,16,0) 64 4 (16,16,16,16) 64 (8,8,8,8) 32 8 (4,4) 8 (4,4) 8
Primeiro apenas com r “ t2u, depois com r “ t2, 4u, até r “ t2, 4, 8, 16, 32u. O descritor baseado apenas no histograma da imagem reescalada Tr, isto é, histpTrq, permanece
praticamente inalterado com o aumento de r, pois aumentar as caixas equivale apenas à união de classes adjacentes. Claramente, fazendo-se apenas r “ 1, serão idênticos os valores apresentados por BCF DHpT q e histpTrq.
Diferentemente de histpTrq, o descritor baseado no nível dos cubos BCF DHpT q
extrai novas informações com valores diferentes para r, pois o número de cubos depende não só das intensidades dos pixels, mas também da distribuição destes na imagem original.
Figura 5.14 – Acurácia dos descritores definidos por BCF DHpT q, histpTrq e combinação
de histpTrq com BCF DβpT q (contagem de caixas) para r “ t2, 4, ¨ ¨ ¨ , 2rmaxu.
Em suma, assim como histpTrq, o descritor BCF DHpT q também gera o histo-
grama de Tr, mas preservando informações relativas às variações dos pixels através dos
dados do descritor BCF DNpT q, resultando de certa forma em BCF DHpT q « histpTrq ` BCF DNpT q.
Embora a proposta seja a extração de características das imagens através da
BCF DHpT q, deve-se perceber que, para imagens em tons de cinza variando entre 0 e 255,
a comprimento de BCF DHpT q será ˇ ˇBCF DHpT q ˇ ˇ“ ÿ r 256 r ,
gerando vetores extensos. Mesmo usando poucas escalas, correspondendo a caixas com r “ t1, 2, 4, 8u, o descritor terá seu comprimento igual a 480. Aumentando-se o número de escalas para extração de mais informações, com por exemplo com r inteiro de 1 a 16, o comprimento do descritor será igual a 865. Com o intuito de reduzir a extensão do descritor, os dados extraídos por BCF DHpT q serão resumidos da seguinte forma. Sendo
vr “ t k | cri,j,kX C ‰ ∅u e hr da Definição 5.2, tem-se
hr “ µpvrq, σpvrq, µphrq, σphrq, Kphrq(, (5.23)
em que µ é a média, σ o desvio padrão e K a entropia. Para H “ thr1, hr2, ¨ ¨ ¨ , hrwu, o
descritor proposto será
BCF DHpT q “ thr1, hr2, ¨ ¨ ¨ , hrwu
BCF DHpT q “ µpvr1q, σpvr1q, µphr1q, σphr1q, Kphr1q, µpvr2q, ¨ ¨ ¨ , Kpvrwq( (5.24)
O descritor final terá comprimento igual a 5 vezes o número de escalas r, reduzindo por exemplo de 480 para 20 e de 865 para 80.