texto8 2019 FisExp

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Instituto de Física & Química – IFQ

Universidade Aberta do Brasil – UAB

Curso de Licenciatura em Física – EaD

Textos Auxiliares para as disciplinas:

Física Experimental

Metodologia Científica

Prof. Gabriel Rodrigues Hickel

Baseado em material didático criado por

Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi

Ano 2019

Conteúdo deste texto:

XXIX – Erros Sistemáticos e Estatísticos

XXX – Medidas Diretas repetidas N vezes e Limites de Erros XXXI – Exemplos de Aplicação

Referências Bibliográficas utilizadas neste texto

Livros:

1 – Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, 2a Edição, São Paulo, SP, 2000.

2 – Corradi, W.; Vieira, S.L.A.; Társia, R.D.; Balzuweit, K.; Fonseca, L.; Oliveira, W.S., Física Experimental. Editora da UFMG, Belo Horizonte, MG, 2008.

3 – Morettin, L.G., Estatística Básica – vol. I e II. Editora Makron Books, São Paulo, SP, 2004.

4 – Piacentini, J.J., Grandi, B.C.S., Hofmann, M.P., Lima, F.R.R. e Zimmermann, E., Introdução ao Laboratório de Física. Editora da UFSC, Florianópolis, 2a edição, SC, 2005.

XXIX – Erros Sistemáticos e Estatísticos

O conhecimento de estatística adquirido até aqui permite que retornemos à questão de como efetuar medidas finais (e erros), para situações em que repetimos N vezes uma mesma medida. Ficará mais claro porque estudamos a distribuição (tabela de frequências e histograma), valores de tendência central e de dispersão dos dados; bem como o fato de que ao repetir inúmeras vezes uma mesma medida, aproximamo-nos cada vez mais do seu valor verdadeiro, desde que os erros cometidos nas medidas sejam aleatórios. Para entender melhor, vamos conhecer os tipos de erros principais: grosseiros, sistemáticos e aleatórios.

Por mais cuidadoso que seja o processo de medição e por mais preciso que seja o instrumento que está sendo utilizado na realização das medidas, não podemos realizar uma medida direta perfeita ou exata. O valor verdadeiro de qualquer grandeza física é inatingível por medição. Sua determinação será sempre aproximada, pois qualquer que seja a metodologia e o instrumento de medição utilizado, sempre haverá um limite na capacidade de observação. Isto é, devido aos erros de medição, o valor verdadeiro do mensurando só pode ser conhecido aproximadamente. (O mensurando é a grandeza física a ser determinada num processo de medição.)

O erro é inerente ao próprio processo de medida. As incertezas experimentais sempre existem e por isso, um dos principais problemas na hora de medir é saber como minimizá-las. Sempre que formos realizar um experimento, precisamos pensar nas possíveis fontes de erros. Vejamos alguns exemplos:

a) O valor atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vácuo é c = (2,99792458 ± 0,00000004) x 108 m/s. Isto significa que, apesar das sofisticadas técnicas empregadas e do esforço de muitos cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4 m/s na velocidade da luz.

b) Em 2001 a NASA lançou o satélite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) com a missão de estudar a radiação cósmica de fundo em microondas, que é um tipo de radiação eletromagnética produzida nos momentos iniciais do Universo. Após colher dados durante 3 anos, os resultados indicam que a idade do Universo é de (13,73 ± 0,15) bilhões de anos. (obs: nesta medida, o valor e o erro são obtidos por sistemáticas diferentes e por esta razão, o erro é indicado com mais de um A.S.)

O resultado final da medida uma grandeza física será sempre expresso na forma: unidade M M G====( ±±±± ∆∆∆∆ ) ,

sendo M o valor mais provável da grandeza física (geralmente o valor médio) e M∆ a incerteza associada ao processo de medição.

A incerteza (erro) deve ser interpretada como um intervalo de largura ∆M, centrado em M , onde o valor verdadeiro da grandeza medida se encontra, conforme ilustrado na Figura H-1.

Figura H-1 – diagrama esquemático mostrando o valor médio e o intervalo de incerteza. O valor verdadeiro de M está neste intervalo.

Para podermos avaliar corretamente a incerteza na medida de uma grandeza, devemos considerar todas as possíveis fontes de erros. Elas podem ser, basicamente, distribuídas em três grandes categorias:

1. Erros grosseiros ou evitáveis; 2. Erros Estatísticos;

3. Erros Sistemáticos.

A incerteza da medida final será a raiz quadrada da soma quadrática das parcelas atribuídas a cada uma destas fontes de erros. Vamos analisar em maior detalhe estas categorias de erros:

1) Erros Grosseiros ou Evitáveis

São erros decorrentes da falta de atenção ou má aplicação dos instrumentos de medida (por falta de treinamento do operador). São erros totalmente injustificáveis, e a sua ocorrência geralmente invalida toda medida feita. Podemos destacar, entre outros, os seguintes erros grosseiros:

• Falta de ajuste do ponto zero; como em balanças, ohmímetros, voltímetros, micrômetros, amperímetros, etc;

• Uso de instrumentos visivelmente danificados para efetuar as medições;

• Má aplicação e utilização de um instrumento de medição;

• Erro de paralaxe: Este tipo de erro ocorre devido ao não alinhamento correto entre o olho do observador, o indicador da leitura e a escala do instrumento.

É importante salientar que os erros grosseiros sempre podem ser evitados, procedendo de forma correta na leitura e efetuando a manutenção dos instrumentos de medição. Tomando-se os devidos cuidados, eles serão sempre desprezíveis frente aos outros tipos de erros.

2) Erro Estatístico ou Erro Aleatório Médio

Representam a soma de uma série de pequenos efeitos, incontroláveis, que se distribuem tanto para mais, quanto para menos do valor real de uma medida. Como consequência, em uma série de N medidas repetidas de uma grandeza, os valores flutuam, isto é, apresentam uma dispersão em torno de um valor central característico. Estas flutuações acarretam uma imprecisão em torno do valor médio, o que pode ser caracterizado como um erro estatístico, independente do erro de cada medida individual da amostra. Este erro pode ser estimado pelo Limite de Erro Estatístico (LEE).

É importante salientar que para efetuar uma boa medida estatística, o erro individual de cada medida da amostra deve ser tipicamente menor que a flutuação das medidas (que pode ser avaliada rapidamente, com uma pequena amostra e o sexto da amplitude, por exemplo). Em alguns casos, mesmo após a repetição de uma medida, não se observam flutuações estatísticas. Isto não significa que elas não estejam presentes, mas somente que elas ocorrem em um limite inferior à capacidade de leitura do instrumento. Nestes casos, não adianta efetuar medidas estatísticas, pois teríamos uma falsa impressão que o erro estatístico seria praticamente nulo. Como veremos mais adiante, a solução para reduzir os erros estatísticos consiste em repetir muitas vezes a medição. Mas se eles são nulos, fazer estatística não melhorará a medida individual.

3) Erros Sistemáticos

São erros que afetam todas as N medidas de uma amostra sempre do mesmo jeito, num sentido único e bem definido (ou todos para mais ou todos para menos, em relação ao valor central). Eles não podem ser minimizados com a repetição da experiência, mas em tese, podem ser identificados e corrigidos. Grande parte dos erros sistemáticos é identificável e seu valor pode ser determinado. Este tipo de erro pode ser estimado pelo Limite de Erro Sistemático (LES). Eles geralmente podem ser agrupados em um dos subtipos a seguir:

3a) Erro sistemático ambiental:

Erro que ocorre devido a efeitos do ambiente sobre a experiência. Em geral eles podem ser reduzidos ou praticamente eliminados se as condições ambientais forem conhecidas ou confinadas, como em um laboratório, por exemplo.

Exemplos:

• Uma trena metálica é graduada a 20ºC e empregada a 30ºC. Suas divisões estão dilatadas e assim todas as medições feitas com ela indicarão valores sistematicamente menores do que os corretos. O resultado final pode ser corrigido, de modo a eliminar ou minimizar o erro devido à dilatação.

• Numa experiência para medir o campo magnético gerado por uma corrente que passa por um fio, o instrumento utilizado sempre indicará o campo total, que é a superposição do campo gerado pelo fio com o campo magnético local da Terra. Novamente, precisamos conhecer o campo magnético local da Terra para corrigir o resultado final.

3b) Erro sistemático instrumental:

São erros provenientes da calibração do instrumento de medição. Além do erro na calibração inicial do instrumento, deve-se sempre estar atento a possíveis alterações na calibração por causa de diversos fatores, como o envelhecimento, a temperatura, a deformação do instrumento, dentre outros. Esses erros também podem, em geral, ser reduzidos ou praticamente eliminados. O erro sistemático instrumental é muito comum em aparelhos de medição eletrônicos. Por exemplo, um multímetro com a bateria fraca, irá medir resistências elétricas sistematicamente maiores.

3c) Erro sistemático teórico:

Erro resultante da utilização de modelos simplificados para obtenção de resultados. Isto leva ao uso de fórmulas teóricas aproximadas. Um exemplo bastante familiar a todos nós é o estudo dos corpos que caem em queda livre. Neste caso, está sendo desprezada a resistência do ar.

Resumindo, erros grosseiros são evitáveis; erros estatísticos estarão sempre presentes em uma amostra de medidas para a qual o erro individual é menor que a flutuação das medidas; erros sistemáticos podem ser ou não importantes, mas são geralmente identificáveis e passíveis de correção.

É preciso ter em mente que tão importante quanto determinar o erro da medida é identificar a natureza destes erros. Estão associados aos erros sistemáticos e estatísticos, respectivamente, os conceitos de: Precisão - que será tanto melhor quanto menor for o erro estatístico, ou seja, a dispersão (dos dados) da medida. Podemos dizer que um experimento é muito preciso quando ele consegue resultados cuja flutuação em torno de um valor médio é pequena (nota: isto depende do experimentador, do instrumento de medida e da grandeza a ser medida).

Exatidão ou acurácia - que será tanto maior quanto menor for o erro sistemático associado ao experimento. Podemos dizer que um experimento é muito acurado quando o resultado da sua medição é próximo do valor verdadeiro.

O significado destes dois conceitos está ilustrado na Figura H-2, que mostra um alvo alvejado por dois atiradores. O atirador 1 apresenta menor dispersão, portanto é mais preciso do que o atirador 2. No entanto, o atirador 2 tem seu centro da distribuição de tiros mais próximo ao centro do alvo. Trata-se, portanto de um atirador mais exato ou acurado do que o atirador 1.

Figura H-2 – Diferença entre precisão e acurácia (ou exatidão). O conjunto de tiros 1 é menos disperso (mais preciso) que o conjunto de tiros 2, mas também mais afastado do centro do alvo (menos acurado).

Desta forma, podemos dizer que a precisão está mais relacionada ao erro estatístico, pois ela depende da dispersão das medidas. Já a acurácia relacionar-se-á com o erro sistemático, pois ela depende de quão distante a média ou valor central das medidas está do valor verdadeiro da grandeza.

Assim a incerteza total de uma medida obtida da estatística de uma amostra deve levar em conta a precisão e a acurácia. Como a incerteza total (∆M) constitui um indicador único, estimado a partir dos dois tipos de erros, o Limite de Erro Estatístico (LEE) e o Limite de Erro Sistemático (LES); para calculá-la procedemos uma soma quadrática (supondo que não existam erros grosseiros):

((((

))))

2

((((

))))

2 LES LEE ++++ = == = ∆ ∆ ∆ ∆ M

A seguir, veremos como determinar os limites de erros estatísticos e sistemáticos.

XXX – Medidas Diretas repetidas N vezes e Limites de Erros

Ao jogar um dado comum e perfeitamente equilibrado, é possível prever qual das seis faces que irá ficar para cima? A resposta é não. No entanto, é possível definir um conjunto de resultados possíveis (de 1 a 6) e dizer que existe uma chance (não-nula) que o resultado seja algumas das faces, por exemplo, a que tem o número 4 (nominalmente, 1/6 ou 16,7 % de probabilidade).

O exemplo acima ilustra uma situação natural frequente – a ocorrência de um processo aleatório, no qual, uma série imensa de fatores, impossíveis de serem controlados, determina o resultado de um evento. Mas, mesmo em situações como esta, é possível se desenvolver um tratamento de dados que permita, a partir de um conjunto de observações, prever comportamentos gerais. Isto é estatística (e probabilidade), o que já vimos de modo introdutório nos módulos anteriores.

A medição repetida de uma grandeza G forma um conjunto (amostra) com N valores (eventos) Gi, a partir dos quais é possível se

determinar quantas vezes ni um determinado evento Gi ocorreu ao se

frequências, que já vimos anteriormente. A Figura H-3 ilustra um exemplo de distribuição de frequências absolutas fi = ni, da medida de

uma grandeza G qualquer.

A distribuição discreta resultante mostra que alguns valores foram observados mais vezes (onde fi é maior) e outros menos. Medindo-se N

vezes a mesma grandeza G, sob as mesmas condições, isto é, quando feitas pelo mesmo experimentador, utilizando o mesmo instrumento e nas mesmas condições experimentais, teremos um conjunto de medidas aleatórias de G. Uma vez que todos os valores representam medidas da mesma grandeza, todos eles são igualmente válidos, e não há motivo para tomar apenas um deles como sendo o valor representativo da grandeza, em detrimento dos demais. Assim, resta a questão: Qual medida é a mais representativa do conjunto de medidas realizadas? Se a distribuição (histograma) da amostra indica uma concentração de valores para uma determinada classe, então os valores de tendência central são os mais indicados para representar a medida do conjunto.

Figura H-3 – Distribuição de frequências das medidas da grandeza G.

Esta é uma questão antiga e a melhor resposta encontrada foi a fornecida pelo matemático, astrônomo e físico Carl Freidrich Gauss: “O melhor valor representativo de uma distribuição simétrica de dados, com uma concentração, é a sua média aritmética.”

Já vimos que se G1, G2, G3,..., GN são os resultados de N

N G G G N G G G N N i i + ++ + + + + + + ++ + = == = = == = > > > > < < < < = == =

∑

∑

∑

∑

= = = =1 1 2 ...

É importante observar que, quando o número de medidas é muito grande, a média aritmética tende a um valor conhecido como valor médio verdadeiro. Na prática, o número de medições não pode ser infinito. Assim, é evidente que o valor verdadeiro é uma quantidade sempre desconhecida.

Para chegar o mais próximo possível do valor verdadeiro recorre-se ao tratamento estatístico do problema. Uma distribuição estatística muito comum, que melhor se ajusta a uma distribuição simétrica de medidas como a da Figura H-3 é a curva de Gauss (ou distribuição Normal de frequências), representada na Figura H-4.

Na Figura H-4, G é a média aritmética das medidas e é também a mediana e moda da distribuição, isto é, divide a curva em partes iguais e é o valor médio da classe mais frequente. Desta forma, podemos afirmar que se uma distribuição de dados é aleatória em torno de um valor central (portanto, simétrica), a forma mais provável desta distribuição é uma curva gaussiana. Nesta situação, média aritmética, mediana e moda terão valores idênticos (ou muito parecidos).

É possível ir adiante e perguntar quão boa é a estimativa de G , ou seja, com que precisão a média aritmética G é uma boa estimativa do valor verdadeiro G?

Para responder a esta questão, consideremos dois conjuntos de N medidas de uma dada grandeza G. As distribuições de frequências das

medidas podem ser representadas pelas distribuições D1 (azul) e D2

(vermelha), como as mostradas na Figura H-5.

Pode-se notar que as duas distribuições são representadas pela mesma média; no entanto, a curva 2 apresenta uma maior dispersão em relação à média (ela é bem menos concentrada do que a curva 1) e portanto, deve ter maior erro estatístico.

Desta forma, é fácil ver que, embora o valor médio G é representativo, tanto para a distribuição 1 quanto para a distribuição 2, é notório que no primeiro caso, a dispersão dos dados é menor (o pico é mais “estreito” em torno do calor central), do que na distribuição 2. Outra maneira de dizer isto é afirmar que “os pontos da distribuição D1 se afastam menos da média que os pontos da distribuição D2”.

Esta observação nos permite criar uma grandeza que fornece uma medida da qualidade do valor médio, através do cálculo do desvio absoluto de uma medida. O desvio absoluto de uma medida é a diferença entre o valor de uma medida individual Gi e o valor mais

provável da grandeza G , sendo dado por

G G Gi ==== i −−−− δ δδ δ

Relembrando, o desvio absoluto médio é definido como:

No cálculo do desvio absoluto médio, os desvios absolutos de cada

δ

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = − −− − = == = = == = = == = n i i n i i m G G N G N G 1 1 1 1 δδδδ δδδδ δδδδ

Figura H-5: Distribuições de frequências para duas séries de medidas de uma mesma grandeza G.

modular que nos interessa. Perceba que, se somássemos os desvios absolutos levando-se em conta o sinal, o resultado seria zero, ou muito próximo disso!

Embora o desvio absoluto médio forneça uma boa ideia da dispersão dos dados em torno da média, os tratamentos estatísticos preferem utilizar como medida de confiabilidade da média, a quantidade denominada desvio padrão, a qual já conhecemos. Por ser uma medida quadrática, o desvio padrão é geralmente maior que o desvio médio. A vantagem de utilizar o desvio padrão é que ele é mais suscetível a valores mais afastados da média, fornecendo uma ideia mais confiável das irregularidades da distribuição. Outra vantagem do desvio padrão é que está associado à variância da distribuição (σ2) e portanto, ao momento de segunda ordem da distribuição (o que facilita o seu cálculo). O desvio padrão (para pequenas amostras, N < 100) é calculado por:

((((

))))

) 1 ( 1 2 − − − − − −− − = = = =

∑

∑

∑

∑

= == = N G G N i i σ σ σ σ .

O erro padrão da média é outra definição muito importante na análise de dados estatísticos, pois ela estará relacionada ao limite do erro estatístico. Considere que a medida de uma grandeza física G tenha sido realizada N vezes. Se tivermos P conjuntos de N medidas de G, cada qual com sua média G ; o chamado desvio absoluto da média σm é

justamente a medida da dispersão das P médias G em torno do valor médio da distribuição total. Este desvio absoluto da média ou erro padrão da média é dado por:

N m σ σσ σ σ σ σ σ ====

O Limite do Erro Estatístico (LEE) associado a um conjunto de medidas de uma grandeza é estimado como sendo três vezes o erro padrão da média, ou nominalmente:

N LEE ====3σσσσ_m ==== 3σσσσ

Para entender o porque deste valor para o LEE, precisamos analisar melhor a distribuição de Gauss. Formalmente, a função densidade de

probabilidade Normal ou função gaussiana, ou de Gauss-Laplace, é dada por:



























 −

−

−

−

−

−

−

−

×

×

×

×













=

=

=

=

2

2

1

exp

2

1

)

(

σ

σ

σ

σ

µ

µ

µ

µ

π

π

π

π

σ

σ

σ

σ

x

x

D

sendo µµµµ a média dos dados e σσσσ o desvio padrão (vide Figura H-6). Suas principais características são:

• Trata-se de uma curva em forma de sino, com valores sempre positivos;

• A altura máxima Dmax ocorre quando x====µµµµ sendo dada por

((((

µµµµ

))))

1 σσσσ 2ππππ

max ====D x==== ====

D _{, ou seja, o máximo da distribuição de}

dados ocorre no valor da média aritmética;

• Ela tende a zero (D(x) → 0) quando x → ± ∞, ou seja, quanto mais afastado da média, menor a probabilidade de ocorrência; • Quanto menor o desvio padrão σσσσ, tanto mais estreita (pico mais

fino e pronunciado) é a curva;

• 65% das medidas não se afastam mais do que ±1σσσσ da média; • 95% das medidas não se afastam mais do que ±2σσσσ da média; • 99,7% das medidas não se afastam mais do que ±3σσσσ da média. Desta forma, concluímos que praticamente todos os dados de uma amostra de uma distribuição Normal, estão no intervalo

((((

µµµµ−−−−3σσσσ

))))

≤≤≤≤ x≤≤≤≤

((((

µµµµ++++3σσσσ

))))

_{. Isto fornece não só um critério de validação dos} dados (escore) de uma amostra (valores fora deste intervalo podem ser considerados espúrios, pois têm 0,3% de probabilidade de serem válidos), como também determina o intervalo de incerteza da medida estatística. Quanto mais repetimos uma medida, mais confinamos este intervalo, mesmo que a dispersão seja constante, pois o limite do erro estatístico cai com a raiz quadrada do número de medidas, 1/ N .

Então, em uma medida estatística qualquer, a incerteza ∆∆∆∆G é determinada com os seguintes passos:

⇒ Cálculo do Limite do Erro Estatístico (LEE):

1) Certificar-se que a distribuição dos dados, na forma de um histograma, aproxima-se de uma distribuição gaussiana (simétrica ou levemente assimétrica);

2) Calcular a média aritmética (o valor mais provável da medida), G ; 3) Calcular o desvio padrão σσσσ ;

Figura H-6: A Distribuição Gaussiana ou Normal.

Caso a distribuição seja assimétrica, o desvio padrão deve ser substituído pelo desvio médio, na expressão acima.

⇒ Cálculo do Limite de Erro Sistemático (LES):

1) Estimar o LES associado ao processo de medição. Isto pode ser bastante complicado, pois é preciso efetuar um estudo minucioso do processo de medição, incluindo instrumentação utilizada, condições ambientais, metodologia de obtenção dos dados e modelos utilizados na derivação das medidas secundárias (se houverem). Desta forma, não existe uma formulação única que possa ser utilizada para determinar o LES.

Nota: Alguns autores recomendam que se nenhuma informação for fornecida ou estabelecida, pode-se usar a expressão abaixo como uma aproximação para o LES:

LES = (erro da medida individual)/ N

Eles alegam que este seria o limite mínimo para o LES (estando o mesmo embutido no erro da medida individual, por ter valor menor que este erro). Particularmente nesta disciplina, nós NÃO adotaremos esta determinação!

⇒ Cálculo da incerteza total da medida, ∆G:

((((

))))

2

((((

))))

2 LES LEE ++++ = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ G

Note que se um erro sistemático (LES) está presente, ele irá transladar todas as medidas efetuadas para mais ou para menos do valor verdadeiro da medida. Assim, o valor final da medida deverá sempre ser corrigido do erro sistemático:

LES − −− − = == = G G_C

Então, podemos finalmente escrever a medida estatística final, na forma usual (que considera o intervalo de 99,7% de confiança no qual o valor verdadeiro de G este inserido):

G====(GC ±±±±∆∆∆∆G)unidades

Lembre-se que o valor de GC deve ser com o mesmo número

de A.S. de G , que por sua vez, tem o mesmo número de A.S. do somatório dos dados (

∑

∑

∑

∑

= == = N i i G 1

). O erro desta medida (∆∆∆G) deverá ∆ ser representado com o mesmo número de casas decimais que a própria medida (GC ) apresenta.

Exemplos:

a) Uma amostra simétrica de 54 elementos da medida da massa de uma fruta forneceu um somatório de todos os dados igual a 63,70 kg, um desvio padrão de 0,18567821 kg, com a balança apresentando um erro sistemático de cada medida igual a +0,05 kg. Então:

180 , 1 54 70 , 63 = == = = = = = µ µµ

µ _{kg , já arredondado, pois o somatório tem 4 A.S.}

O LEE é dado por: 0,076

54 18567821 , 0 3 3 = = = = × ×× × = = = = N σ σ σ σ kg, já arredondado, parando na terceira casa decimal que é a última na qual a média é representada.

Para o limite do erro sistemático, temos a informação direta:

LES = 0,05kg. Assim. a incerteza total da massa média é calculada:

((((

LEE

))))

2 ++++

((((

LES

))))

2 ====

((((

0,076

))))

2 ++++

((((

0,05

))))

2 ====0,091 = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ m kg.

E por fim, a medida final da massa típica da fruta é expressa:

((((

1,130±±±±0,091

))))

= = = = m kg.

b) Uma amostra simétrica de 70 elementos da medida da espessura de uma peça de uma linha de produção forneceu um somatório de todos os dados igual a 141,238 cm e um desvio padrão de 0,067834854 cm. Existe um erro sistemático ambiental conhecido, que afeta a amostra, de 0,012 cm para menos em todas as medidas. Então:

01769 , 2 70 238 , 141 = = = = = = = = µ µµ

µ cm , já arredondado, pois o somatório tem 6 A.S.

O LEE é dado por: 0,02432

70 067834854 , 0 3 3 = == = × × × × = = = = N σ σ σ σ cm, já arredondado, parando na quinta casa decimal que é a última na qual a média é representada.

O erro sistemático é fornecido: LES = 0120, cm.

O valor típico da medida precisa ser corrigido do erro sistemático:

((((

−−−−0,012

))))

====2,02969 − −− − = = = =µµµµ e cm,

uma vez que o erro sistemático sempre afeta os valores medidos para menos.

A incerteza total da espessura média da peça é calculada:

((((

LEE

))))

2++++

((((

LES

))))

2 ====

((((

0,02432

))))

2 ++++

((((

0,012

))))

2 ====0,02712 = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ e cm.

E por fim, a medida estatística final é expressa:

((((

2,02969±±±±0,02712

))))

= = = = e cm.

Observem que, apesar dos erros não apresentarem mais um único A.S., ainda assim, a medida e a incerteza sempre apresentam o mesmo número de casas decimais.

* Desvios ou Erros Relativos de uma Medida

Outro conceito importante para medidas estatísticas, é o desvio ou erro relativo δδδδr de uma série de medidas de uma grandeza. Ele é a razão

entre a incerteza total ∆G e o valor mais provável da grandeza (valor central característico): C G G r ∆ ∆∆ ∆ = = = = δ δδ δ

O desvio relativo permite avaliar melhor a qualidade de uma

medida. Por exemplo, para as medidas L1 = (100,0 ± 1,0) cm e

L2 = (1000,0 ± 4,0) cm, teremos os seguintes desvios relativos:

Para medida 1 → 0,01 1% 0 , 100 0 , 1 = == = = = = = = = = = r δ δδ δ Para medida 2 → 0,004 0,4% 0 , 1000 0 , 4 = = = = = = = = = = = = r δ δδ δ

Assim, embora a medida L2 tenha um erro absoluto maior (4,0 > 1,0),

seu erro ou desvio relativo é menor (0,4% < 1%). A qualidade (precisão) de uma medida será tanto melhor quanto menor for o seu desvio relativo.

XXXI – Exemplos de Aplicação

A seguir, veremos alguns exemplos de aplicação de medidas estatísticas, com erros sistemáticos presentes:

1) Vamos supor que medindo 8 vezes o diâmetro de um tipo de célula, tenhamos os dados seguintes, em µm:

34 33 36 34 33 32 31 34

para um erro de medida de 1 µm. O método de medida introduz um erro sistemático de 2 µm, sempre para mais. Como podemos expressar o diâmetro típico deste tipo de célula?

Solução:

A amostra tem muito poucos dados (8), de modo que não há como fazer uma análise de sua distribuição (simetria e decisão de quais valores estatísticos utilizar). Nestas situações, de amostras muito pequenas, sempre utilizaremos a média aritmética, como valor de tendência

a) Calculando a média aritmética:

O somatório tem 3 A.S., logo a média também o terá:

267 8 1 = == =

∑

∑

∑

∑

= = = = i i D _{⇒ 33,375} 8 8 1 = = = = = == =

∑

∑

∑

∑

= = = = i i D D µm ⇒ <D> = 33,4 µµµm µ

b) Calculando o desvio padrão e o LEE:

((((

))))

505941 , 1 1 8 8 1 2 = = = = − − − − − −− − = = = =

∑

∑

∑

∑

= = = = i i D D σ σ σ σ µm 1,6 8 3 = = = = = = = = σσσσ LEE µm

c) O limite de erro sistemático é fornecido: LES = 2 µm

d) Calcula-se o erro total da medida:

((((

))))

2

((((

))))

2 2 2 2 6 , 1 LES LEE ++++ ==== ++++ = == = ∆ ∆ ∆ ∆ D = 2,6 µm

e) Corrige-se o valor representativo da amostra do erro sistemático:

4 , 31 2 4 , 33 LES==== −−−− ==== − − − − = == = D DC µm

f) Expressa-se a medida do diâmetro da célula:

2) Para determinar a força eletromotriz (voltagem) de uma pilha elétrica comum, foram efetuadas 25 medidas mostradas abaixo:

1,482 1,491 1,501 1,508 1,511 1,513 1,516 1,518 1,520 1,521 1,522 1,523 1,523 1,524 1,525 1,528 1,529 1,532 1,534 1,539 1,545 1,549 1,551 1,558 1,569

O multímetro utilizado para tanto tem um conhecido erro sistemático de 0,007 V para menos. Como expressar o valor da força eletromotriz da pilha?

a) Nesta amostra já temos um número razoável de medidas, a ponto de calcularmos a distribuição dos dados e verificar quais valores estatísticos devemos utilizar. Iniciamos calculando o número, o intervalo e as frequências das classes:

N = 25; Nc = 5; I = 1,569 – 1,482 = 0,087 V ; Ic = 0,0174 V. A Tabela de frequências da amostra é a Tabela 8.1:

Tabela 8.1 – Tabela de Frequências da Amostra de Voltagens de Pilhas Classe Intervalo (V) Frequência Absoluta

A 1,482 – 1,4994 2

B 1,4995 – 1,5168 5

C 1,5169 – 1,5342 12

D 1,5343 – 1,5516 4

E 1,5517 – 1,569 2

E o seu respectivo histograma, a Figura H-7. É visível que a amostra apresenta uma tendência de concentração em torno de uma classe (C) e parece simétrica. Para nos certificarmos disto, calculamos os quartis e o grau (ou fator) de simetria:

Q1 = 1,514 V Q2 = 1,523 V Q3 = 1,536 V Φ = 0,182 Concluímos que a distribuição é levemente assimétrica.

b) Assim, utilizaremos a mediana (m = Q2 = 1,523 V) como valor central e o desvio padrão como valor de dispersão, conforme aprendemos no módulo 7.

c) Mesmo assim ,precisamos calcular a média aritmética para calcular o desvio padrão:

O somatório tem 5 A.S., logo a média (e o valor central, aqui a mediana) também o terá:

∑

∑

∑

∑

= = = = = == = 25 1 132 , 38 i i V _{V ⇒ <VP> = 1,5253 V}

b) Calculando o desvio padrão e o LEE:

((((

))))

019816911 , 0 1 25 25 1 2 = = = = − − − − − −− − = = = =

∑

∑

∑

∑

= = = = i i V Vp Vp σ σ σ σ V 0,0119 25 3 = = = = = == = V LEE σσσσ V c) Conhecemos o LES: LES = 0070, V

d) Calcula-se o erro total da medida:

((((

LEE

))))

2

((((

LES

))))

2 0,01192 0,0072 0,0138 = == = + + + + = = = = + + + + = == = ∆ ∆ ∆ ∆ D V

e) Retira-se o erro sistemático do valor da mediana (valor central):

((((

-0,007

))))

====1,523++++0,007====1,530 − − − − = = = = Pm P V V V

E por fim, representamos a medida estatística final. A mediana (ou qualquer valor central utilizado) deve ser escrita com o mesmo número de A.S. do somatório das medidas (adicionando-se zeros, se necesario):

3) Para determinar o comprimento típico de um prego (em mm), foram efetuadas 50 medidas de uma amostra aleatória com um paquímetro: 39,05 39,20 39,35 39,50 39,55 39,60 39,65 39,70 39,70 39,75 39,80 39,85 39,85 39,90 39,90 39,90 39,90 39,95 39,95 39,95 39,95 39,95 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,05 40,05 40,05 40,05 40,10 40,10 40,10 40,10 40,15 40,15 40,20 40,20 40,25 40,30 40,30 40,35 40,40 40,50 40,55 40,65 40,95

O paquímetro utilizado foi calibrado a 22oC, mas as medidas foram efetuadas com temperatura ambiente de 37oC, o que implica em um erro sistemático de -0,12 mm. Como expressar o comprimento típico do prego?

a) A amostra tem um número razoável de medidas, então, calculamos a distribuição dos dados e verificamos quais valores estatísticos devemos utilizar. Iniciamos calculando o número, o intervalo e as frequências das classes:

N = 50; Nc = 7; I = 40,95 – 39,05 = 1,90 mm ; Ic = 0,271 mm. A Tabela de frequências da amostra é a Tabela 8.2:

Tabela 8.2 – Tabela de Frequências do Comprimento de Pregos Classe Intervalo (mm) Frequência Absoluta

I 39,05 – 39,321 2 II 39,322 – 39,592 3 III 39,593 – 39,863 8 IV 39,864 – 40,134 24 V 40,135 – 40,405 9 VI 40,406 – 40,676 3 VII 40,677 – 40,95 1

E o seu respectivo histograma, a Figura H-8. É visível que a amostra apresenta uma tendência de concentração em torno de uma classe (IV) e parece simétrica. Para nos certificarmos disto, calculamos os quartis e o grau (ou fator) de simetria:

Φ = 0,000; concluímos que a distribuição é simétrica.

Figura H-8 – Histograma da distribuição de comprimentos de pregos.

b) Assim, utilizaremos a média aritmética como valor central e o desvio padrão como valor de dispersão, conforme aprendemos no módulo 7. O somatório tem 6 A.S., logo a média também o terá:

45 , 1999 50 1 = = = =

∑

∑

∑

∑

= == = i i L mm ⇒⇒⇒ ⇒ L ==== 39,9890 mm

Calculando o desvio padrão e o LEE:

((((

))))

339611122 , 0 1 50 50 1 2 = == = − − − − − − − − = = = =

∑

∑

∑

∑

= = = = i i L L L σ σ σ σ mm 0,1441 50 3 = = = = = = = = L LEE σσσσ mm

c) O LES é fornecido: LES = 120, mm

d) Calcula-se o erro total da medida:

((((

LEE

))))

2 ++++

((((

LES

))))

2 ==== 0,14412 ++++0,122 ====0,1875 = = = = ∆ ∆ ∆ ∆L mm

e) Retira-se o erro sistemático do valor da média:

((((

-0,12

))))

====39,9890++++0,12====40,1090 − −− − = = = = L L mm

E por fim, representamos a medida estatística final: