INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
JONISARIO LITTIG
MODELAGEM MATEMÁTICA E O CONHECIMENTO REFLEXIVO: UM ESTUDO A PARTIR DA CAPTAÇÃO DA ÁGUA DA CHUVA
Vitória 2016
JONISARIO LITTIG
MODELAGEM MATEMÁTICA E O CONHECIMENTO REFLEXIVO: UM ESTUDO A PARTIR DA CAPTAÇÃO DA ÁGUA DA CHUVA.
Vitória 2016
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) L777m Littig, Jonisario.
Modelagem matemática e o conhecimento reflexivo : um estudo a partir da captação da água da chuva / Jonisario Littig. – 2016.
135 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Luciano Lessa Lorenzoni.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2016. 1. Modelos matemáticos. 2. Matemática – Estudo e ensino. 3. Água – Captação. I. Lorenzoni, Luciano Lessa. II. Instituto Federal do Espírito Santo. IIV. Título.
À minha mãe Dora, pelo amor e
Entre o porto e o mar, Eu prefiro o mar... Entre respostas e perguntas,
Eu prefiro as perguntas... Não sei ensinar chegadas, só partidas. Ao invés de arapucas para pegar pássaros, Pássaros para pegar arapucas.
AGRADECIMENTOS
Sou feliz por ter, ao meu lado, pessoas do bem e com elas compartilho a alegria da realização desse sonho. A todos que acompanharam minha longa e árdua jornada, me ajudaram e compreenderam, meu muito obrigado! Sem vocês não teria chegado até aqui.
A Deus, pelo conforto em dias de angústias e desesperos.
A minha mãe, Dora, que desde sempre me acompanhou nos meus projetos de vida, despertando em mim o amor e o respeito ao próximo. Pelo apoio e amor incondicional durante todo o processo de formação.
A minha amiga Josiane, pelo carinho, atenção, compreensão, incentivos e auxílio. Obrigada por acreditar em mim e me motivar durante toda a trajetória.
À professora Drª Ozirlei Teresa Marcelino, por ter despertado o gosto pela pesquisa na graduação. Por ter acreditado no meu potencial e pelas sugestões e orientações que me conduziram à aprovação no programa de mestrado. Meu muito obrigado.
Ao professor Dr. Oscar Luiz Teixeira de Rezende, por ter acreditado no meu projeto e na minha intenção para investigação. Sem você não teria chegado ao mestrado.
Ao professor Dr. Luciano Lessa Lorenzoni – meu orientador – pelo exemplo, dedicação, compreensão e incentivo. Agradeço infinitamente pela oportunidade e as imprescindíveis orientações neste trabalho. Obrigado pela confiança!
A minha amiga e colega de pesquisa Rafaela Nascimento Duarte, que sempre esteve presente organizando minhas tarefas, ouvindo minhas lamentações e em muitos momentos me orientando nessa dura caminhada. Obrigado por compartilhar das mesmas angústias e desafios. Obrigado pelo companheirismo e ajuda.
Ao Grupo de Estudo e Pesquisa em Modelagem Matemática e Educação Estatística (GEPEME), que muito contribuíram para minha formação profissional.
Aos meus professores e colegas do Educimat, quanto aprendi com vocês! Não só conhecimento científico, mas também experiências de vida. Vocês são muito importantes para mim.
À EEEFM “Professor Hermann Berger”, pelo espaço e incentivo na realização deste trabalho. Em especial, à diretora Luzia Domingas Fiorotti, pelo apoio e compreensão. Aos alunos do segundo ano do ensino médio, pelo empenho e motivação para o desenvolvimento da atividade.
A minha tia Flora, que desde muito cedo me incentivou aos estudos. E durante esta etapa da minha vida sempre esteve do meu lado me motivando e incentivando. Sou muito grato a ti.
Ao meu amigo Leonardo Correia Alves, que esteve ao meu lado nos momentos finais quando já não tinha mais forças e me incentivou e caminhou comigo. Muito obrigado pela paciência.
Aos demais amigos e colegas, que conviveram comigo neste período, presenciando alegrias, tristezas, decepções e iras. Meu muito obrigado por me acompanharem.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
O objetivo dessa pesquisa foi analisar e identificar o desenvolvimento do conhecimento reflexivo com base em uma atividade de modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica. A prática foi subsidiada com a construção de um ambiente de aprendizagem baseado em uma atividade de modelagem matemática, por meio da captação da água da chuva para irrigar um jardim sustentável, conduzida dentro de um cenário de investigação. Os sujeitos desta pesquisa foram oito alunos do segundo ano do ensino médio de uma escola estadual do interior do município de Santa Maria de Jetibá/ES. Trata-se de uma pesquisa qualitativa que utilizou como instrumentos de coleta de dados observações, diário de campo do professor/pesquisador, entrevista semiestruturada, questionário e as produções dos alunos. A análise foi conduzida à luz da educação matemática crítica, da perspectiva sociocrítica da modelagem matemática e da teoria sociocultural. Os resultados da pesquisa apontam indícios do desenvolvimento da capacidade de refletir, argumentar e intervir dos alunos em uma situação problemática da realidade por meio da matemática, caracterizando a construção do conhecimento reflexivo.
Palavras-chave:Educação Matemática Crítica. Perspectiva sociocrítica. Modelagem Matemática. Teoria Sociocultural. Conhecimento Reflexivo.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
The objective of this research was to analyze and to identify the development of reflective knowledge for an activity mathematical modeling. The under social critical perspective practice was supported by the construction of a learning environment based on mathematical modeling activity, from the rainwater capture to irrigate a sustainable garden, guided by a research project. The analysis was performed in the light of Critical Mathematics Education, under social critical perspective of mathematical modeling and under sociocultural theory. The subjects were eight students in the second year of high school of a public school in the interior of the municipality of Santa Maria de Jetibá – ES. This was a qualitative study that used data collection tools observations, teacher's researchers field diary, semi-structured interview, questionnaire and the productions of the students. The results indicate evidence of development of the ability to think, to argue and to intervene in problematic situations of reality by means of mathematics, featuring the construction of reflective knowledge.
Keywords: Critical Mathematics Education. Social Critical perspective of Mathematical Modeling. Sociocultural theory. Discursive interactions. Reflective knowledge.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Possibilidades de discussões reflexivas Santos e Barbosa (2012)... 34
Figura 2 – Relação entre a perspectiva da modelagem e o conhecimento... 41
Figura 3 – Ciclo da Modelagem Matemática proposto por Blum e Leib (2006) ... 45
Figura 4 – A Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio “Professor Hermann Berger”... 58
Figura 5 – A cidade de Santa Maria de Jetibá/ES... 58
Figura 6 – Tabela da precipitação média de chuva mensal... 79
Figura 7 – Medindo a área do telhado da escola... 80
Figura 8 – Discutindo aproximações... 82
Figura 9 – Realizando as medições do jardim... 83
Figura 10 – Esquema do método que indicaria a quantidade de água do reservatório... 90
Figura 11 – Fechando os trabalhos e tirando dúvidas dos alunos... 92
Figura 12 – Alunos apresentando a maquete com o sistema de captação da água da chuva... 93
Figura 13 – O método de captação da água com o sistema de medição de quantidade da água do reservatório... 94
Figura 14 – Apresentando o sistema de irrigação... 95
Figura 15 – Os gastos financeiros com o sistema de irrigação... 96
Figura 16 – Alunos montando o experimento... 97
Figura 17 – Experimento pronto... 98
Figura 18 – O experimento com o balde cilíndrico... 99
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Ambientes de Aprendizagens proposto por Skovsmose (2000)... 29
LISTA DE SIGLAS
CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CNMEM – Conferência Nacional de Modelagem em Educação Matemática
EMC – Educação Matemática Crítica
EPMEM – Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática
MM – Modelagem Matemática
NDR – Nível de Desenvolvimento Real
NDP – Nível de desenvolvimento Potencial
SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO... 17
2 REFERENCIAL TEÓRICO... 23
2.1 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA... 23
2.1.1 Investigação na aula de matemática... 27
2.1.2 Diálogo e discussões na aula de matemática... 30
2.1.3 Discussões reflexivas e o conhecimento reflexivo... 31
2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA... 35
2.2.1 Concepções da modelagem matemática... 36
2.2.2 As perspectivas da modelagem matemática... 40
2.2.3 A perspectiva sociocrítica da modelagem matemática... 42
2.2.4 As etapas orientadoras da modelagem matemática... 44
2.3 A TEORIA SOCIOCULTURAL DE VYGOTSKY... 46
2.3.1 Caracterizando as interações sociais à luz da teoria de Vygotsky... 46
2.3.2 Relacionando a teoria sociocultural de Vygostky com a Modelagem Matemática... 49 2.4 REVISÃO DE LITERATURA... 51 3 PERCURSO METODOLÓGICO... 56 3.1 O CONTEXTO DA PESQUISA... 57 3.2 OS SUJEITOS DA PESQUISA... 59 3.3 A INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA... 60
3.4 OS INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS... 64
4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DA ATIVIDADE DE MODELAGEM DESENVOLVIDA... 67
4.1 O SURGIMENTO DA PROPOSTA... 67
4.2 MODELAGEM MATEMÁTICA: OS PRIMEIROS PASSOS... 69
4.3 A ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA SOB A PERSPECTIVA SOCIOCRÍTICA: DESENVOLVENDO O CONHECIMENTO REFLEXIVO... 71
4.3.1 Encontro 1: Discussões iniciais sobre a obtenção de água para irrigação do jardim da escola... 71
4.3.3 Encontro 3: Simplificando o problema com base nos conhecimentos
construídos no contexto social... 75
4.3.4 Encontro 4: Trabalhando matematicamente e evidenciando o papel do professor no ambiente de modelagem... 78
4.3.5 Encontro 5: Estabelecendo relações entre a área do telhado da escola e a precipitação de chuva... 80
4.3.6 Encontro 6: Identificando as irregularidades do jardim por meio da matemática... 82
4.3.6.1 Medindo o jardim... 82
4.3.6.2 Discutindo as irregularidades do jardim por meio da matemática... 84
4.3.7 Encontro 7: Determinando a quantidade de água necessária para irrigar o jardim... 85
4.3.8 Encontro 8: Discussões sobre a captação da água da chuva, o armazenamento e avaliando a quantidade captada... 87
4.3.8.1 Avaliando a quantidade de água captada... 87
4.3.8.2 Discutindo meios para efetivar a irrigação do jardim... 89
4.3.9 Encontro 9: Estabelecendo relações entre o nível da água do reservatório e a quantidade gasta na irrigação... 90
4.3.10 Encontro 10: Orientando e finalizando os trabalhos para apresentação... 92
4.3.11 Encontro 11: Apresentação dos trabalhos... 93
4.3.12 Encontro 12: Realizaram o experimento e estabeleceram relações entre o nível da água do reservatório e a quantidade para irrigação... 97
4.3.13 Encontros 13 e 14: Discussões de encerramento e elaboração do relatório e aplicação do questionário... 100
4.4 INTERFERÊNCIA NA REALIDADE POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA... 100
4.5 AS PERCEPÇÕES DOS ALUNOS COM RELAÇÃO À ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA SOB A PERSPECTIVA SOCIOCRÍTICA... 104
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 111
REFERÊNCIAS... 119
APÊNDICES A- Carta de apresentação do aluno de mestrado... 124
APÊNDICES C-Termo de Cessão de Direitos sobre Depoimento Oral... 126 APÊNDICES D- Roteiro de Questionário... 127 APÊNDICE E- Roteiro de entrevista dos professores das escolas estaduais.... 128 ANEXO A- Texto coletivo produzido pelos alunos... 129 ANEXO B – Cartilha ilustrativa da atividade desenvolvida... 130
1 INTRODUÇÃO
A matemática da educação básica sempre despertou meu interesse e, apesar de não entender de onde surgira esse interesse, me sentia motivado a aprender as fórmulas e equações matemáticas apresentadas pelos professores. Além das resoluções propostas pelos docentes, buscava relações do conteúdo com o contexto social. Mas essa era uma tarefa muito complexa, pois a maioria dos tópicos matemáticos era trabalhada, de modo geral, desvinculado da realidade. Comecei a perceber que este poderia ser um fator para a dificuldade de aprendizagem dessa ciência.
Após a formação básica, optei em cursar Medicina Veterinária. Porém, apesar de ter sido aprovado no processo seletivo não pude ingressar pela distância da minha residência à universidade. No semestre seguinte optei por Ciências Biológicas, curso ofertado por uma faculdade mais próxima. Frequentei durante um curto período, pois as atividades de agricultura que desempenhava durante o dia me impossibilitaram de continuar. A Licenciatura em matemática tornou-se uma possibilidade viável para a realização profissional, uma vez que era ofertada na cidade onde residia. Ingressei no curso no ano de 2008, na Faculdade da Região Serrana, e acreditava que poderia aprender formas para ensinar os conteúdos de forma contextualizada e próximos da realidade dos alunos. Adquiri uma fundamentação matemática boa, mas ainda sentia a necessidade de aproximar os conteúdos aprendidos com a realidade dos alunos.
No desenvolvimento do estágio também vivenciei a forma de apresentação da matemática desvinculada da realidade do aluno. Identifiquei a dificuldade dos alunos em relacionar os conteúdos escolares com o seu contexto social, bem como os desafios de propor atividades nesse contato inicial em sala de aula. Sugeri, então, no trabalho de conclusão de curso, desenvolver uma pesquisa que buscasse por possibilidades de aproximação da matemática escolar com o cotidiano do aluno, em particular o ensino de geometria. Além disso, o trabalho também versava sobre a integração com outras disciplinas curriculares, por entender que o conhecimento é construído relacionando e conectando vários saberes para superar esses desafios.
A fim de aprofundar em metodologias de ensino realizei uma especialização em Metodologias do Ensino da Matemática oferecida pela Faculdade Integrada da Grande Fortaleza, na modalidade a distância.
Após a conclusão da especialização, comecei a lecionar para turmas do ensino médio em escolas púbicas do município de Santa Maria de Jetibá, onde estou até hoje. Encontrei diversos obstáculos, além das questões metodológicas. As questões sociais e o currículo fragmentado e dissociado da realidade dos alunos também influenciavam na aprendizagem. Contudo, amparado nas teorias adquiridas na formação inicial e na especialização, procuro trabalhar a matemática por meio do diálogo que conduza os alunos a compreenderem a relação dos conteúdos escolares com o contexto social em que vivem.
A prática de sala de aula me motivou a continuar aprendendo novos métodos e possibilidades de ensino e me levaram a ingressar no curso de mestrado, com a intenção de pesquisar possibilidades metodológicas para o ensino da geometria. Isso porque havia percebido que esse era um dos conteúdos de maior dificuldade para os alunos, tanto nas questões conceituais quanto na relação com o cotidiano. Nas primeiras aulas no mestrado tive contato com a modelagem matemática e percebi que ela se aproximava do que tinha como objetivo: ensinar matemática relacionando os conteúdos escolares com o contexto social dos discentes, o que se tornou o meu objeto de estudo.
Debrucei-me sobre leituras de trabalhos realizados na educação básica que utilizaram a modelagem matemática como ferramenta metodológica. Observei que a forma de condução depende da intenção do professor: ele pode desenvolver a atividade olhando para os conceitos matemáticos ou para as técnicas de resolução do problema. Pode ainda discutir, analisar e refletir sobre a relação entre o problema, o modelo e a realidade.
Meu interesse nesta pesquisa é desenvolver uma atividade de modelagem matemática com olhar para as discussões e reflexões sobre um problema da realidade dos alunos e amparada na matemática. Para isso, proponho a construção de um ambiente de aprendizagem que objetiva a investigação e o desenvolvimento do conhecimento matemático reflexivo. Esse ambiente contempla a aprendizagem de conteúdos matemáticos baseada na realidade dos alunos e com foco na compreensão do papel político da matemática na sociedade. As reflexões propiciadas durante a atividade de modelagem posicionam o aluno ativamente na construção do conhecimento, viabilizando a formação crítica sobre questões sociais com a matemática.
Sob esse olhar, na condução da atividade de modelagem, encontro proximidade com a educação matemática crítica que se fundamenta no desenvolvimento do conhecimento reflexivo a fim de discutir a influência da matemática nas questões políticas, econômicas e sociais (SKOVSMOSE, 2001). Portanto, a importância desta pesquisa se fundamenta na compreensão de problemas reais por meio da utilização da matemática.
Justifica-se ainda pela possibilidade de desenvolver a capacidade de refletir e criticar a aplicação matemática no contexto social do aluno, em que ele é convidado a investigar, problematizar e refletir sobre o uso da matemática na sociedade e de atuar criticamente, tornando o indivíduo capaz de participar de discussões políticas com referência na matemática.
Para Barbosa (2004), a modelagem matemática fundamenta-se na criação de um ambiente de aprendizagem por meio de questões problemáticas do contexto social do aluno, que podem incialmente não configurar uma atividade de matemática, mas a interpretação e a resolução estão sujeitas a ela. Além disso, esse ambiente possibilita refletir sobre o papel social da matemática.
Com base na criação de um ambiente subsidiado pela modelagem matemática proposto por Barbosa (2004), a atividade analisada nesta pesquisa foi proposta a partir da questão problemática trazida pelos alunos: como irrigar o jardim da escola? O Jardim Sustentável é um projeto da escola, de caráter interdisciplinar, que busca promover discussões em torno da educação ambiental, tema de destaque no âmbito educacional. Os alunos perceberam que a implantação desse jardim seria inviável pelas condições hídricas da escola, que não recebe água de empresas de tratamento, dispondo apenas de um poço artesiano. Portanto, apresentaram a seguinte questão a ser investigada: “Como captar a água da chuva e irrigar o jardim sustentável?”.
O estudo da irrigação do jardim sustentável da escola foi conduzido sob a óptica da educação matemática crítica e a perspectiva sociocrítica da modelagem matemática. Intenta identificar em que medida o conhecimento reflexivo emerge em alunos do segundo ano do ensino médio de uma Escola Estadual do município de Santa Maria de Jetibá ao desenvolver uma atividade de modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica
Justificamos a abordagem do conhecimento reflexivo por compreender a capacidade de o indivíduo refletir, investigar, avaliar e interferir na resolução de problemas sociais via uso da
matemática. Apesar de o conhecimento matemático e tecnológico serem intrínsecos à atividade de modelagem matemática, o conhecimento reflexivo amplia a visão de mundo, desenvolvendo a democracia e posturas críticas.
Diante dessas questões propus o desenvolvimento dessa dissertação, a qual intencionava
identificar em que medida o conhecimento reflexivo emerge a partir de uma atividade de modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica em alunos do segundo ano do ensino médio de uma escola estadual do município de Santa Maria de Jetibá.
Ela visa apresentar o desenvolvimento de uma pesquisa que objetivou identificar e analisar o desenvolvimento do conhecimento reflexivo a partir de uma atividade de modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica em uma turma do segundo ano do ensino médio da rede estadual de ensino no município de Santa Maria de Jetibá. Os específicos versam sobre:
Construir um ambiente de aprendizagem por meio da modelagem matemática com alunos do segundo ano do ensino médio baseado no problema da irrigação do jardim da escola.
Identificar as discussões reflexivas que se fundamentam na análise sobre os impactos sociais do modelo construído e o papel político e social da matemática nessa atividade.
Apontar as contribuições da atividade de modelagem matemática para a construção do conhecimento reflexivo.
Construir um guia didático com elementos que viabilizam a construção do conhecimento reflexivo.
O trabalho está estruturado em capítulos, sendo que este primeiro trata da introdução do trabalho. No segundo capítulo apresento a fundamentação teórica da pesquisa, que contempla discussões em torno da educação matemática crítica, o caráter político da educação e suas aproximações com a atividade de modelagem matemática, além das bases teóricas que discutem o diálogo, a reflexão e o conhecimento reflexivo. A modelagem matemática será abordada nesse capítulo, iniciando com um panorama geral dos fundamentos teóricos metodológicos para aprofundar as discussões na perspectiva sociocrítica com foco na construção do conhecimento reflexivo no ambiente propiciado pela modelagem. A perspectiva sociocultural de Vygotsky também será contemplada a fim de fundamentar o
desenvolvimento do conhecimento por meio das interações sociais entre os sujeitos e a interação entre o sujeito e o contexto social em que a atividade de modelagem surgiu.
No terceiro capítulo descrevo o percurso metodológico da pesquisa, os instrumentos de coleta de dados, o contexto sociocultural em que a escola está inserida e caracterizo os sujeitos da pesquisa. Utilizo o ciclo de modelagem matemática proposto por Blum e Leib (2006) para apresentar as etapas da atividade que foram desenvolvidas.
No quarto capítulo apresento as análises, com base nos aportes teóricos, dos dados coletados por meio do diário de bordo do professor pesquisador, a entrevista e o questionário aplicado aos alunos. Este instrumento tem questões referentes à proposta metodológica da atividade de modelagem, as contribuições das discussões para a construção do conhecimento reflexivo para a compreensão do papel social da matemática e os registros dos alunos.
Já no quinto capítulo descrevo as considerações finais sobre o estudo realizado, as observações quanto ao desenvolvimento social e à aprendizagem dos alunos.
Destaco ainda a elaboração de um compendio didático com o objetivo de divulgar e tornar a pesquisa realizada acessível aos professores da educação básica, compartilhando experiência e proporcionando condições para desenvolver outras atividades amparadas nesses princípios. Nela, apresento as características de uma atividade de modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica por meio da construção de um ambiente de aprendizagem com base no cenário de investigação.
O compêndio didático “Irrigando o jardim, semeando reflexões, colhendo conhecimento reflexivo” é apresentada em duas etapas. A primeira traz abordagens conceituais dos elementos-chave da pesquisa, como as características da modelagem matemática, as interações dos sujeitos com o contexto social e com os demais integrantes do grupo cultural, o cenário de investigação que sustenta a atividade de modelagem, as discussões e os meio para desenvolver o conhecimento reflexivo. A outra parte descreve uma atividade de modelagem por meio de uma história em quadrinhos (Anexo B). Em cada cena aponto elementos característicos da condução e os elementos necessários para desenvolvê-la.
Por meio desse compêndio didático o professor de matemática poderá identificar como se desenvolve o conhecimento reflexivo em um ambiente de modelagem matemática subsidiado
pelo cenário de investigação. Além disso, pode servir de orientação para ele desenvolver esse conhecimento em suas aulas.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
Neste capítulo encontram-se os suportes teóricos desta dissertação, iniciando com os pressupostos da educação matemática crítica. Também discute a concepção de Modelagem Matemática de alguns autores para, em seguida, aprofundá-la na perspectiva sociocríticaque se aproxima da educação matemática crítica. Além disso, expõe elementos da teoria de Vygostky, que aborda a aprendizagem pela interação social. No ambiente de modelagem analisada este é um dos elementos-chave para o desenvolvimento do conhecimento.
Por fim, são apresentados os resultados da revisão de literatura, desenvolvida por meio da busca nos seguintes portais de periódicos: CAPES, Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, Conferência Nacional de Modelagem Matemática e Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática no período de 2000 a 2015 cujos trabalhos versam sobre a perspectiva sociocrítica da modelagem matemática, o conhecimento reflexivo e a coleta da água da chuva.
2.1 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA CRÍTICA
A educação matemática crítica “preocupa-se com a maneira como a matemática em geral influencia nosso ambiente cultural, tecnológico e político e com as finalidades para as quais as competências matemáticas devem servir” (ALRO; SKOVSMOSE, 2010, P. 18). Propõe a educação matemática como suporte para o desenvolvimento de competências democráticas da sala de aula por meio de reflexões sobre tópicos da matemática (SKOVSOSE, 2008) para conduzir a participação dos indivíduos em debates sociais e discussões democráticas na sociedade (SKOVSMOSE, 2001).
A educação matemática crítica foi inspirada em duas linhas de pensamento. Primeiramente, na teoria crítica da escola de Frankfurt, opositora da teoria tradicional, “de caráter conservador e baseado no sistema dedutivo, no qual todas as proposições referentes a um determinado campo estariam relacionadas de tal modo que poderiam ser deduzidas de uns poucos princípios gerais” (JACOBINI, 2004, P. 21).
Também se apoia na educação crítica de Freire (1980, p. 35), que discute “condições básicas para a obtenção do conhecimento, devem estar a par dos problemas sociais, das desigualdades, da supressão [...], e deve tentar fazer da educação uma força social progressivamente ativa”. Sob essas condições a educação deve contemplar discussões em torno de problemas sociais.
Skovsmose (2001) se refere à educação crítica como uma investigação que propicia condições necessárias para a obtenção do conhecimento e a identificação e avaliação de problemas sociais como uma possibilidade de reação a esses problemas.
Freire (1980) discute a dimensão crítica da educação por meio do termo “Literacia”, compreendido como mecanismos de organizar e reorganizar questões sociais e reformas políticas com o propósito de libertação. Nesse sentido, Skovsmose (2013), para atribuir à educação matemática a dimensão crítica, adota o termo “Matemacia” e argumenta sobre questões políticas e sociais nesse processo.
A Matemacia deve ser desenvolvida em um contexto educacional preocupado com a confiabilidade e responsabilidade da matemática. Segundo o autor, “tratar de questões como confiabilidade e responsabilidade nada mais é do que apenas uma sugestão de como articular preocupação com empowerment e desenvolver uma educação matemática com uma dimensão crítica”. (SKOVSMOSE, 2008, P. 124). Esse termo significa dar poder, ativar e desenvolver potencialidades criativas nos sujeitos e dinamizá-las. É um meio de efetivar a alfabetização matemática - Matemacia - sob olhares críticos, viabilizando meios de organizar e reorganizar situações sociais (SKOVSMOSE, 2008).
Além disso, a matemacia se fundamenta no desenvolvimento de competências para lidar com noções matemáticas, aplicá-las em diferentes contextos, e a competência de reflexão, habilitando os indivíduos a refletir e analisar as consequências e os impactos dos conhecimentos tecnológicos. Essas reflexões estão associadas à avaliação das consequências dos modelos matemáticos para a sociedade (SKOVSMOSE, 2013).
Freire (1980) ressalta a importância do desenvolvimento de competências reflexivas críticas, que possibilitam ao homem construir e reconstruir o mundo por meio da conscientização e das reflexões. Essa conscientização aproxima o indivíduo da realidade pelo viés crítico, por meio do qual “os homens esclarecerão as dimensões obscuras que resultam de sua aproximação com o mundo” (FREIRE, 1980 P. 27).
Apesar da relação intrínseca das competências matemáticas, que se referem à capacidade de trabalho com elementos matemáticos e tecnológicos, que compreendem a seleção de técnicas e procedimentos para a resolução do problema e reflexivas que tratam da análise dos modelos construídos e seus impactos sociais, Skovsmose (2013) afirma que refletir é fundamental para o desenvolvimento da matemacia. Nesse sentido, Barbosa, ao se referir à educação matemática crítica, afirma: “ao sublinhar a educação crítica através da matemática, não estou enfatizando o abandono do conteúdo matemático nas situações de ensino, mas, apenas, o resgate de sua dimensão crítica” (BARBOSA, 2001, P. 22).
Sob a dimensão crítica há múltiplas possibilidades de trabalho, não se resumindo a abordagens homogêneas e/ou a condução dos alunos à compreensão lógica das estruturas matemáticas. Com foco nessa dimensão, o presente trabalho foi subsidiado pela investigação de uma situação problemática do contexto social dos alunos, contemplando a matemática como suporte para o desenvolvimento do conhecimento reflexivo.
Esse processo de investigação foi mediado pela modelagem matemática sob a perspectiva sociocrítica amparado em Barbosa (2003a), que reconhece a potencialidade da educação matemática crítica para o desenvolvimento da democracia, mas ressalta que
se estamos interessados em construir uma sociedade democrática, onde as pessoas possam participar de sua condução e, assim, exercer cidadania [...] devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem capazes de intervir em debates baseados em matemática (BARBOSA, 2003a, P.4).
Para Araújo (2009, P. 65), “os estudantes [...] são incentivados a negociar, debater, ouvir o outro e respeitar suas ideias. Essa é uma forma de trabalhar questões políticas e democracia na microssociedade da sala de aula”.
Skovsmose (2001) acredita que o processo educacional democrático viabiliza a educação matemática crítica, pois
as ideias relativas ao diálogo e à relação estudante-professor são desenvolvidas do ponto de vista geral de que a educação deve fazer parte de um processo de democratização. Se queremos desenvolver uma atitude democrática por meio da educação, a educação como relação social não deve conter aspectos fundamentalmente não democráticos. É inaceitável que o professor (apenas) tenha um papel decisivo e prescritivo. Em vez disso, o processo educacional deve ser entendido como um diálogo (SKOVSMOSE, 2001, p.18).
Assim, a democracia é caracterizada pela forma de participação em discussões e decisões de situações reais. Ela deve ceder lugar à democracia crítica, que é constituída pelo desempenho
de uma competência crítica (SKOVSMOSE, 2001). Sob esse olhar, a democracia contribui para o desenvolvimento de atitudes críticas, pois os alunos são conduzidos a construir competências críticas o que, para Skovsmose (2001), posicionam esses indivíduos frente aos processos educacionais a respeito de como abordar problemas externos à sala de aula, engajando-os criticamente na compreensão e solução do problema.
O autor acredita que atitudes críticas encontram-se presentes desde os primeiros contatos com o problema, ou seja, na escolha, compreendendo a realidade com base em padrões sociais e avaliando pontos importantes para direcionar a resolução de uma situação. Diante disso é perceptível a necessidade do uso de atividades reais para oportunizar a investigação dos múltiplos elementos que compõem a situação, a qual tem implicações sociais importantes. Ele afirma que,
para desenvolver uma atitude mais crítica em relação a essa construção de modelos, não basta entender a construção matemática do modelo; também temos de conhecer seus pressupostos. Devemos ser capazes de apontar que ideias econômicas estão escondidas atrás da cortina de certas fórmulas matemáticas (SKOVSMOSE, 2001, P. 42).
Para promover atitudes mais críticas é necessário o desenvolvimento da reflexão e da democracia, elementos constituintes da educação matemática crítica. Para isso, o autor apresenta critérios de seleção de um problema que possibilitam esse desenvolvimento:
1) Deveria ser possível para os estudantes perceber que o problema é importante. Ele deve ter relevância subjetiva e estar relacionado a situações ligadas às suas experiências;
2) o problema deve estar relacionado a processos importantes na sociedade;
3) de alguma maneira e em alguma medida, o engajamento dos estudantes na situação problema e no processo de resolução deveria servir como base para um engajamento político e social (posterior) (SKOSVMOSE, 2001, P. 34).
Baseado nessas características o problema deve emergir do contexto social do aluno, ter importância social e despertar o interesse do aluno, motivando-o e engajando-o na reflexão sobre questão políticas e sociais subjacentes à problemática (BARBOSA, 2003b; SKOVSMOSE, 2001). Na investigação da situação-problema podem, segundo Skovsmose (2013), emergir três conhecimentos: o conhecimento matemático, o conhecimento tecnológico e o conhecimento reflexivo. Apesar da distinção, o autor não trata esses conhecimentos de forma isolada ou dissociados.
O conhecimento matemático pode ser caracterizado como uma habilidade de reproduzir raciocínios e algoritmos matemáticos e realizar demonstrações. O conhecimento tecnológico propicia a construção de modelos matemáticos impulsionando o desenvolvimento de técnicas de resolução. Já o conhecimento reflexivo procura refletir e criticar a aplicação e os impactos dos modelos matemáticos na sociedade (SKOVSMOSE, 2013). Sob essa especificação dos conhecimentos a matemática é o pilar das construções de modelos para o desenvolvimento da tecnologia enquanto a capacidade da reflexão sobre esses modelos se faz necessária para o desenvolvimento da democracia.
Diante dos conhecimentos que podem emergir da escolha do problema (subsidiado pela educação matemática crítica) e das reflexões necessárias para a compreensão do papel político e social da matemática (que contribui para o desenvolvimento da democracia), acredito que a problemática deve dar lugar ao cenário de investigação privilegiando o diálogo e as discussões nesse ambiente. Portanto, na próxima seção, apresento o processo de investigação sob a concepção de Skovsmose (2000, 2008) e as características dos diálogos e discussões que podem e/ou devem ser contempladas.
2.1.1 Investigação na aula de matemática
A abordagem de investigação tem uma relação intrínseca com a educação matemática crítica, pois possibilita a interpretação e a ação em situações sociais e políticas estruturadas pela matemática (SKOVSMOSE, 2000). Em decorrência dessa relação, emerge o “cenário de investigação”, ambiente que dá suporte ao trabalho investigativo: “é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações” (SKOVSMOSE, 2000, P. 6). Ele é caracterizado por Alro e Skovsmose (2010, p. 56) “por alto grau de referência a situações da vida real”.
Para Almeida e Ferruzzi (2009, p. 121), o ato de investigar
[...] significa „seguir os vestígios‟, „fazer diligências para achar‟, pesquisar‟; ações como buscar informações, identificar e selecionar variáveis, definir hipóteses, fazer simplificações, constituem, portanto, elementos desse processo e requerem uma interpretação adequada e certo grau de intuição para superar a “falta de compreensão”.
O ato de explicar, elaborar, sugerir, apoiar e avaliar consequências é identificado por Alro e Skovsmose (2010) como atos investigativos, pois promovem tentativas de ir além do pensamento estabelecido e pela interação auxiliar a outros sujeitos nesse processo, “Neste sentido, investigar atua no campo que está entre o-que-se-sabe e o-que-ainda-não-se-sabe- ou numa Zona de Desenvolvimento Proximal [...]” (ALRO; SKOVSMOSE 2010, P. 124).
Práticas que privilegiam posturas investigativas possibilitam maior envolvimento dos estudantes com os conteúdos e os conduz a uma investigação de conceitos (BORBA, 2010). Além de possibilitar a exploração e a explicação de questões com referência na realidade e tornam o sujeito responsável pela sua aprendizagem, ajudaria a compreender múltiplas relações sociais com base na questão investigada.
Contudo, Skovsmose (2000) ressalta que a atividade só é um cenário de investigação se os alunos aceitarem o convite para investigar. Essa aceitação depende da natureza de exploração e explicação de propriedades matemáticas, da disposição dos alunos explorar e investigar e do convite realizado pelo professor pois, dependendo da situação, o convite pode transparecer uma ordem (SKOVSMOSE, 2008).
As práticas de sala de aula fundamentadas em um cenário para investigação são diferenciadas pelo autor daquelas pautadas em exercícios por terem como foco a produção de significado para atividades e conceitos matemáticos. Com objetivo de elucidar essas diferenças, Skovsmose (2000) apresenta seis ambientes de aprendizagem. Ele se baseia em três referências que incluem motivos e ações para a realização da atividade, além de dois paradigmas que serão explicitados a seguir. Sobre as três referências, o autor caracteriza a primeira pelas questões e atividades relacionadas somente à matemática. A segunda é a semirrealidade, ou seja, uma realidade construída. A terceira trata dos contextos da vida real, na qual professores e alunos podem trabalhar questões do cotidiano (SKOVSMOSE, 2000).
Os dois paradigmas elencados pelo autor são caracterizados pelos exercícios, propostos por agentes externos da sala de aula e resolvidos pelos alunos. Contudo, o cenário de Investigação, para Skovsmose (2000, p. 3 - 6), é “um ambiente que pode dar suporte a um trabalho de investigação”. Na figura 1 estão explicitados os seis ambientes de aprendizagens.
Tabela 1 - Ambientes de Aprendizagens
Exercícios Cenário para Investigação
Referência à matemática pura (1) (2)
Referência à semirrealidade (3) (4)
Referência à realidade (5) (6)
Fonte: Skovsmose, 2001
Baseado nessa matriz de referência, Skovsmose (2000) caracteriza cada ambiente, sendo (1) aquele dominado por exercícios apresentados no contexto da “matemática pura”. O ambiente (2) é caracterizado como aquele que envolve a investigação de questões puramente matemáticas. No ambiente de aprendizagem (1) os alunos resolvem exercícios, e no ambiente (2) são conduzidos a investigar questões matemáticas. No ambiente de aprendizagem (3) os exercícios têm como referência à semirrealidade e são construídos de forma que descrevam todos os elementos relevantes para desenvolvê-los.
No ambiente (4) a atividade contém referências a uma semirrealidade, mas agora ela não é utilizada como um recurso para a produção de exercícios, mas um convite para que os alunos façam explorações e explicações. Nesse sentido, o ambiente condiciona as ações para a investigação e a descoberta, levando o aluno a “recorrer as suas próprias capacidades intelectuais quando envolvidos em decisões e julgamentos matemáticos” característicos dos cenários de investigação (SKOVSMOSE, 2008, P. 37). Já no ambiente de aprendizagem (5), os exercícios são baseados na vida real. As informações e os dados numéricos da realidade são constituintes dos exercícios e oferecem diferentes condições de comunicação entre aluno e professor. Nesse ambiente faz sentido suplementar as informações fornecidas pelos exercícios.
No ambiente (6) as referências são reais, tornando possível aos alunos produzirem diferentes significados para as atividades (e não somente os conceitos). Ele oferece condições para as reflexões sobre a matemática, “contém uma especificação de elementos de uma crítica da modelagem da matemática como essencial para o desenvolvimento da competência chamada matemacia” (SKOVSMOSE, 2008, P. 38). O autor conclui que os ambientes pautados no cenário de investigação conduzem a discussões e reflexões sobre diferentes investigações e os pressupostos de que há uma, e somente uma resposta correta, carecem de sentido (SKOVSMOSE, 2000). O professor assume o papel de orientador das discussões que podem
conduzir a reflexões críticas sobre a construção do processo de modelagem e/ou do modelo construído.
O papel de orientador do professor, bem como as características do cenário para a investigação, podem alterar os padrões de comunicação na aula de matemática, ampliar as possibilidades para a cooperação e para novas formas de aprendizagens (ALRO; SKOVSMOSE, 2010). Sobre esses padrões de comunicação presentes no cenário de investigação, os autores apontam os diálogos, as discussões e a interação entre a microssociedade da sala de aula e também com o contexto social.
2.1.2 Diálogo e discussões na aula de matemática
O diálogo que nesse cenário se relaciona com a prática interpretativa da investigação com foco em aspectos comunicativos é caracterizado por Alro e Skovsmose (2010, p. 119) como:
[...] uma conversação que visa à aprendizagem. Isso aponta para uma interpretação na qual o diálogo não é concebido como uma conversação qualquer, mas sim como uma conversação com certas qualidades. Dialogar é mais do que um simples ir-e-vir de mensagens [...]
É um processo de aprendizagem conjunta, não no sentido de construção de conhecimento comum e sim no sentido de compartilhamento de pensamentos, emoções e ações pertencentes a todos os indivíduos ao mesmo tempo (ALRO; SKOVSMOSE, 2010).
Alro e Skovsmose (2010), ao se reportarem a Paulo Freire (1980), relacionam o diálogo à emancipação no sentido de cooperação com o outro em uma relação de confiança mútua. Com base nesses apontamentos, os autores elencam três aspectos do diálogo: realizar investigação, correr riscos e promover a igualdade. Diálogo é uma conversa baseada na investigação, em que os indivíduos estão engajados a descobrir algo. O professor nesse processo não pode ter respostas ao problema e sim deve instigar a curiosidade dos alunos participando do diálogo por meio de um processo cooperativo (ALRO; SKOVSMOSE, 2010).
No processo de dialogar também se correm riscos na medida em que se confrontam e se desafiam as ideias descritas e explicadas a partir do que se acredita. Quando uma sugestão ou opinião é refutada e questionada produz um sentimento desconfortável, mas esse desconforto
pode gerar ganhos quando a nova sugestão desempenha papel importante na investigação. Contudo, no ambiente educacional:
é importante que o desconforto não seja exagerado, pois os alunos podem ficar tão frustrados, chegando ao ponto de desistir. O importante não é remover os riscos, mas estabelecer um ambiente de aprendizagem confortável e respeitoso e uma atmosfera de confiança mútua, na qual se torna possível experimentar incertezas passageiras (ALRO; SKOVSMOSE, 2010, P. 129).
Outro aspecto do diálogo é a promoção de igualdade, ou seja, saber lidar com as diversidades e a diferença “na busca de um entendimento mais profundo, juntamente com os parceiros no diálogo” (ALRO; SKOVSMOSE, 2010, P. 132). Em síntese, o diálogo “compreende realizar uma investigação, correr riscos e promover igualdade [...] (é) um processo envolvendo atos de estabelecer contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto, reformular e desafiar” (ALRO; SKOVSMOSE, 2010, P. 135), o que conduz a aprendizagem matemática para uma relação crítica entre a educação matemática e a democracia que caracteriza a educação matemática crítica.
Ferruzzi (2011) denomina a comunicação no ambiente de investigação como discurso, sendo ele qualquer ato de comunicar, tanto com os outros como consigo mesmo, tanto verbal quanto com o uso de outro sistema simbólico. Já o termo discussão se refere à enunciação oral e o ato de produzir um discurso (SANTOS; BARBOSA, 2012).
Santos e Barbosa (2012) apresentam três tipos de discussões que podem emergir de uma atividade de modelagem matemática: as discussões sobre conceitos matemáticos, ideias e procedimentos; as discussões sobre técnicas e maneiras de representar um fenômeno por meio da matemática; as discussões reflexivas que são promovidas sobre a influência dos critérios utilizados na construção do modelo e os resultados na realidade.
2.1.3 Discussões Reflexivas e o Conhecimento Reflexivo
Nesse item aprofundo os estudos sobre as discussões reflexivas desenvolvidas no ambiente de investigação que fundamentam o desenvolvimento da democracia, da postura crítica e a compreensão da função política e social da matemática e propiciam a construção do conhecimento reflexivo.
As discussões reflexivas, segundo Barbosa (2007, p. 165), estão relacionadas na análise dos pressupostos utilizados na construção do modelo, dos resultados obtidos e dos impactos dos resultados na sociedade. Para Santos (2008), as discussões reflexivas tratam da influência dos critérios utilizados na construção do modelo matemático e seus resultados, bem como a influência desse modelo no contexto social.
Barbosa (2007) aponta duas possíveis formas de produção de discussões reflexivas em ambientes de modelagem referentes aos debates sobre a influência dos critérios na construção de modelos e a comparações entre modelos diferentes construídos pelos alunos. Para Skovsmose (2001), as discussões reflexivas podem ser guiadas pela avaliação das consequências do problema estudado, bem como a reflexão sobre a matemática contemplada na construção do modelo.
Almeida e Silva (2010) acreditam que a capacidade de refletir criticamente sobre um modelo e suas naturezas sociais e criar habilidades para avaliá-lo é viabilizado pelo conhecimento reflexivo. Os autores ressaltam a necessidade de o conhecimento reflexivo estar respaldado no conhecimento matemático, ou seja, no domínio de competências matemáticas como partes do processo de compreensão do problema. Além disso, “o conhecer reflexivo tem de ser desenvolvido para dar à alfabetização matemática uma dimensão crítica” (SKOVSMOSE, 2013, P. 118).
De forma sintetizada, Skovsmose (2001, p. 92) apresenta seis passos que podem conduzir as crianças e estudantes para o desenvolvimento das discussões reflexivas:
(1) usamos o algoritmo de maneira correta? (2) usamos o algoritmo certo?
(3) podemos confiar no resultado vindo desse algoritmo? (4) poderíamos ter prescindido de cálculos formais?
(5) como o uso efetivo de um algoritmo (apropriado ou não) afeta um contexto específico?
6) poderíamos ter desempenhado a avaliação de outro modo?
O autor apresenta esses passos apenas para diferenciá-los, mas não com a intenção de organizá-los em ordem cronológica. Além disso, ressalta que eles não garantem o desenvolvimento de competências democráticas ou o conceito de conhecimento reflexivo, mas podem viabilizar o aumento de significado educacional no desenvolvimento da alfabetização matemática (SKOVSMOSE, 2013). Passemos a caracterização de cada passo.
O primeiro grupo de questões formuladas por alunos e professores que podem conduzir ao conhecimento reflexivo refere-se: “Fizemos os cálculos corretamente? Temos que seguir
rigorosamente os algoritmos? Há maneiras diferentes de controlar os cálculos?” (SKOVSMOSE, 2013, P. 89). Essas questões tratam diretamente da matemática compreendida na problemática e direcionam as reflexões sobre esses elementos.
O segundo passo em direção ao conhecimento reflexivo pode compreender questões do tipo: “Fizemos os cálculos adequados? É possível escolher entre algoritmos diferentes? O algoritmo é confiável em todas as circunstâncias? É sólido?” (SKOVSMOSE, 2013, P. 90). Esse grupo de questões explicita reflexões sobre métodos e procedimentos utilizados que podem direcionar para o terceiro passo.
O terceiro passo pode provocar reflexões relacionadas à confiabilidade da solução em um contexto específico. Em outras palavras, os algoritmos poderiam ser os mais adequados e as soluções poderiam estar corretas, mas teríamos interesse se encontramos um resultado que podemos usar de fato? “Os resultados são confiáveis para o propósito que temos em mente?” (SKOVSMOSE, 2013, P. 90). O autor ressalta que, se há condições de levantar tais questões, é imprescindível que a problemática seja contextualizada para o reconhecimento dos valores da investigação.
O quarto passo em direção ao conhecimento reflexivo pode fazer emergir questões do tipo “É apropriado usar uma técnica formal para tudo? É importante introduzir um método formal? Poderíamos encontrar a solução sem a matemática? O resultado baseado em um cálculo matemático é mais ou menos confiável do que interpretações intuitivas da situação em questão?” (SKOVSMOSE, 2013, P. 91). Nesse grupo de questões o autor ressalta que os métodos formais nem sempre precisam existir para compreensão de uma questão problemática e que métodos intuitivos podem ser preferíveis. Nesse passo, as reflexões são motivadas pelos métodos utilizados ou que poderiam ser utilizados. Outra questão abordada pelo autor é que esse grupo de questão ataca a ideologia do verdadeiro-falso, a qual diz que métodos formais devem ser preferíveis.
A procura por consequências mais amplas do uso de técnicas específicas para a solução da questão problemática caracteriza o quinto passo em direção ao conhecimento reflexivo. E algumas questões podem surgir: “Como a aplicação de um algoritmo afeta nossa concepção de uma parte do mundo?” (SKOVSMOSE, 2013, P. 92). Essa questão investiga implicações gerais da tarefa por métodos formais e compreende o poder formatador da matemática. As reflexões nesse passo são conduzidas pelas interpretações dos resultados da atividade
desenvolvida no contexto social mais amplo. O último passo refere-se à capacidade de reflexão sobre como refletimos sobre o uso da matemática, devendo ela dirigir seu próprio estudo (SKOVSMOSE, 2013).
Baseado nesses passos em direção ao conhecimento reflexivo é perceptível a relação intrínseca das variáveis utilizadas na construção do modelo e os resultados obtidos subsidiados pelas discussões reflexivas. As variáveis compreendidas nessa relação referem-se aos elementos matemáticos utilizados na resolução do problema, as características do contexto social em que emergiu a questão investigada e a simplificação realizada.
Essa relação é apresentada por Santos e Barbosa (2012) em um esquema conforme a Figura1.
Figura 1: Possibilidades de discussões reflexivas
Fonte: Santos e Barbosa, 2012
Os passos elencados por Skovsmose (2001) em direção ao conhecimento reflexivo e as discussões que podem emergir no ambiente de modelagem segundo Santos e Barbosa (2012) estabelecem uma relação intrínseca evidenciando a importância de cada conhecimento. Sobre o esquema de Santos e Barbosa (2012) (Figura 2), pode-se dizer que as variáveis correspondem aos elementos matemáticos utilizados para descrever a situação real problemática por meio do processo de simplificação. Os resultados referem-se aos modelos construídos para a solução do problema, e as discussões reflexivas ocorrem durante toda a atividade, na seleção das variáveis para representar o problema, na análise do modelo construído e nos impactos do modelo na sociedade.
O conhecimento reflexivo, que se fundamenta em um amplo horizonte de interpretações e entendimentos, é construído por meio dessas discussões reflexivas sobre a análise de variáveis e resultados (SKOVSMOSE, 2013). Essas interpretações são mediadas pelo conhecimento
reflexivo em uma análise do papel da matemática nas práticas sociais ao desenvolver a capacidade de discutir as implicações dos resultados matemáticos, baseada na situação do contexto social (BARBOSA, 2003a).
Almeida e Silva (2010) acreditam que a capacidade de interpretar e agir em situações fundamentadas pela matemática tem relações intrínsecas e definem o conhecimento reflexivo. Para Skovsmose (2001, p. 116), conhecimento reflexivo “se refere à competência de refletir sobre o uso da matemática e avaliá-lo. Refletir tem a ver com a avaliação das consequências do empreendimento tecnológico”.
Assim, o conhecimento reflexivo contribui para a formação social e crítica dos indivíduos pela interação entre os conhecimentos matemáticos, os conhecimentos tecnológicos e o contexto social. Isso
é necessário para a interpretação e discussão dos modelos matemáticos que, em plena atividade na sociedade, estão influenciando nossas decisões e atitudes. Tais modelos são constituídos pela interação entre os conhecimentos matemático e tecnológico, que por si só são míopes, isto é, são incapazes de preverem os efeitos sociais e políticos da implantação de um determinado modelo (ALMEIDA; SILVA 2010, P. 226).
Portanto, as práticas mediadas pelo conhecimento reflexivo conduzem para discussões sobre a natureza dos modelos matemáticos e seu efeito na sociedade, e para as habilidades de avaliação deles no contexto social (ALMEIDA; SILVA, 2010). Desenvolvem capacidades de compreender e criticar argumentos matemáticos no contexto social, potencializando a participação dos indivíduos em tomadas de decisões coletivas (BARBOSA, 2003b).
2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Nesta seção apresento as concepções de modelagem matemática no campo da educação matemática e as perspectivas que conduzem as pesquisas. Caracterizo a perspectiva sociocrítica que está vinculada a discussões do papel político e social da matemática encontrando, assim, intercessões com os objetivos deste trabalho.
2.2.1 Concepções da Modelagem Matemática
A modelagem matemática emerge da matemática aplicada com princípios de construção de modelos matemáticos e resolução de problemas do contexto real por meio de procedimentos matemáticos. Com a importação para a educação matemática ela adquire características didáticas e pedagógicas (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012).
Dessa forma, o conceito de modelagem no âmbito da educação matemática ultrapassa os limites da construção dos modelos da matemática aplicada ou da aplicação dessa ciência em outras áreas do conhecimento. É um meio de compreender problemas reais por meio da matemática ou ainda compreender, explicar e resolver problemas sociais. Para Barbosa (2004, p.1), a modelagem na educação matemática é como “um grande „guarda-chuva‟, onde cabe quase tudo”. Assim, diversas concepções têm surgido para subsidiar sua abordagem na educação matemática.
Concordo com Niss (2001) quando diz que:
há uma contínua necessidade de clarificar conceitos, objetivos e perspectivas relativas às aplicações e modelagem na educação matemática como um pré-requisito essencial para o pensamento coerente e uma prática sistematizada e refletida sobre o campo (p. 80).
Diante da necessidade apontada pelo autor, apresento o conceito de modelagem de alguns dos principais pesquisadores do campo. Para Burak (1992, p.62), “a Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões”.
Blum (1995, p. 5) vê a modelagem como “um processo de construção de modelos que transforma uma situação real em uma situação matemática, ou um processo todo de resolução de um problema aplicado, ou algumas vezes, uma maneira de conectar o mundo real com a matemática”.
Para Biembengut (1997), a Modelagem Matemática configura um processo que objetiva a obtenção de um modelo por meio de conhecimentos matemáticos, da intuição, da criatividade para interpretar o contexto e pela seleção de conteúdos matemáticos que melhor se adequem
para a resolução da situação. Em outras palavras é “um conjunto de procedimentos requeridos na elaboração de modelo de qualquer área do conhecimento” (BIEMBENGUT, 2004, P. 17).
Já Bassanezi (2002) considera a Modelagem como “o estudo de situações ou problemas reais usando a Matemática como linguagem para sua compreensão, simplificação e resolução para uma possível previsão ou modificação do objeto estudado” (BASSANEZI, 2002, P. 5). Para Barbosa (2004, p. 04), modelagem é um ambiente de problematização e investigação no qual “o primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre ela”.
Para Santana e Barbosa (2012), a modelagem constitui um ambiente de aprendizagem que propicia a compreensão de problemas que relacionam a matemática com o cotidiano do indivíduo. Almeida, Silva e Vertuan (2012) apresentam a modelagem como uma situação real problemática que necessita de um conjunto de procedimentos e conceitos matemáticos ou não matemáticos para se alcançar uma situação final, ou seja, solucionar a problemática por meio da construção de um modelo matemático. Para os autores, o modelo matemático é “[...] um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática e que tem por finalidade descrever ou explicar o comportamento de outro sistema” (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, P. 13). A construção de um modelo possibilita compreender o problema, trabalhar com conceitos matemáticos e interpretar os dados matemáticos à luz da realidade.
Diante da conceituação dos autores compreende-se a modelagem matemática como o estudo de uma situação problemática do contexto real que utiliza conceitos e procedimentos matemáticos para compreender, resolver e explicar o problema inicial, direcionado para a reflexão e intervenção na sociedade por meio da matemática. Fundamentado nesse entendimento desenvolvo a modelagem matemática segundo a concepção de Barbosa (2001; 2003b; 2004).
As diferentes concepções apresentadas neste texto, que convergem em alguns aspectos e divergem em outros, indica que é notória a amplitude de possibilidades de contemplar uma atividade de modelagem matemática na educação básica, e sua contribuição para a construção do conhecimento dos alunos. Quanto à construção do conhecimento, não se tem como referência somente o de caráter matemático, mas todo aquele que é evocado durante a resolução da atividade, inclusive a modalidade reflexiva.
Essas múltiplas possibilidades de abordagem da modelagem trazem vantagens para a construção do conhecimento matemático, o desenvolvimento de técnicas e estratégias de resolução e o desenvolvimento do conhecimento reflexivo, que é o foco dessa dissertação. Essas vantagens encontram-se relacionadas a seguir segundo a percepção de alguns autores. Bassanezi (2002, p. 36) apresenta como vantagem da utilização da modelagem o desenvolvimento de habilidades críticas, de exploração criativa que contribui para a formação cidadã e a percepção da matemática como instrumento para resolver problemas reais, bem como facilitar a aprendizagem.
Barbosa (2004, p. 02) cita as contribuições da atividade de modelagem para o processo de construção do conhecimento. “Em geral, são apresentados cinco argumentos: motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sociocultural da matemática”. Esse processo mobiliza os alunos a buscar respostas a questões de seus interesses, alavancando os conhecimentos previstos nas propostas curriculares.
Esses argumentos estão intimamente relacionados à prática investigativa propiciada pela modelagem matemática, pois conduzem os alunos a investigar problemas do seu contexto. Convida-os a refletir sobre a influência dos modelos matemáticos nos debates sociais e favorecem as interações sociais na sala de aula e no contexto da situação no qual os conhecimentos são construídos.
Burak (2005) aborda as vantagens de se utilizar a modelagem e ressalta o interesse tanto individual quanto o do grupo para o desenvolvimento dessa atividade, contribuindo significativamente no processo de aprendizagem pela interação estabelecida. Jacobini (2004, p. 2) acredita que um dos fatores associados ao interesse do aluno é justificado pela escolha da problemática que, segundo ele, “amplia sua motivação para o estudo e seu comprometimento com as tarefas inerentes ao trabalho com a Modelagem”.
Malheiros (2012) compreende o interesse pela utilização da modelagem matemática como algo dinâmico, objetivo e pessoal. Ter interesse em algo significa estar envolvido e ser levado por alguma “coisa”, e quando o indivíduo se interessa por alguma coisa “[...] significa que ele se identificou com os objetivos que determinam a atividade e que fornecem os meios e originam os obstáculos para a sua realização” (DEWEY apud MALHEIROS, 2012, P. 872). Em outras palavras, o interesse é “[...] uma atividade em marcha dentro de cada um de nós, a
fim de atingir um objeto, no seu julgamento de valor” (DEWEY apud MALHEIROS, 2012, P. 872).
Figueiredo (2013, p. 25) aponta contribuições da modelagem para a aprendizagem. Ela possibilita uma “forma diferente de pensar, criar, construir, analisar, estabelecer relações entre conteúdos matemáticos e a sua vivência, proporcionando um ambiente interessante e estimulador, que aprender é decorrente da interação com o problema proposto”.
Contudo os autores ressaltam dificuldades quanto à utilização da modelagem no contexto da sala de aula. Elas se referem ao sistema de ensino, à estrutura curricular, à formação de professores e aos discentes, que devem ser observados para que possíveis dificuldades sejam evitadas e/ou superadas. A primeira dificuldade refere-se à resistência de alguns professores em utilizar a atividade de modelagem matemática como possibilidade metodológica, que pode ter inúmeras explicações. Entre elas estão o tempo gasto por uma atividade de modelagem em detrimento do cumprimento do currículo e a insegurança do professor em desenvolver uma atividade pela falta de formação inicial ou continuada e pelas características dos alunos (SILVEIRA; CALDEIRA, 2012).
Os destacam que além do tempo de desenvolvimento da modelagem é necessário um tempo maior para o planejamento das aulas, havendo a necessidade de replanejar suas atividades fora da escola (podendo se configurar em um obstáculo). Outra dificuldade se refere à escola, pela ausência da colaboração da parte administrativa, principalmente a escola pública, além da excessiva preocupação com o desempenho dos alunos em exames externos.
Bassanezi (2002, p. 37) descreve outro ponto que pode dificultar a inserção da modelagem como ambiente de aprendizagem com referência ao aluno: o “uso da modelagem matemática foge da rotina do ensino tradicional e os estudantes, não acostumados ao processo, podem se perder e se tornar apáticos nas aulas”.
Com as contribuições da modelagem para a aprendizagem e esclarecidas as dificuldades que podem emergir da utilização desse ambiente de aprendizagem, sugiro alguns dos caminhos possíveis para sua utilização. Barbosa (2004) apresenta três possibilidades para o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática denominado por ele de casos. No primeiro, o professor apresenta a problemática, bem como os dados qualitativos e quantitativos, cabendo ao aluno elaborar, sugerir, explicar e avaliar a resolução. Pela atividade se limitar à sala de aula, o tempo de duração também é reduzido. No segundo, os alunos são
