Extremosv3

(1)

Narciso Gomes

narciso.gomes@docente.unicv.edu.cv

Departamento Ciˆencia & Tecnologia, Uni-CV, Campus de Palmarejo, Cabo Verde

Janeiro 2011

1 Extremos

Seja f uma fun¸cão real de várias variáveis, definida num dom´ınio Df ∈ Rn, isto é,

x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn e x0 = (x01, x02, . . . , x0n) ∈ Rn.

Nesta seçcão, salienta-se que nas defini¸cões seguintes serão dadas nas condi¸cões n = 2, ou seja, x = (x, y). Para os casos n ≥ 3, será feita de forma análoga.

Defini¸cão 1.1 Seja f uma fun¸cão real de duas variáveis, definida num dom´ınio Df.

Diz-se que f tem um m´aximo relativo (ou m´aximo local) no ponto (x0, y0) ∈ Df se

f (x, y) ≤ f (x0, y0), para todos os pontos (x, y) do dom´ınio de f pertencentes a uma

vizinhan¸ca de (x0, y0).

Defini¸c˜ao 1.2 Diz-se que f tem um m´ınimo relativo(ou m´ınimo local) no ponto (x0, y0) ∈

Df se f (x, y) ≥ f (x0, y0), para todos os pontos (x, y) do dom´ınio de f pertencentes a

uma vizinhan¸ca de (x0, y0).

Defini¸cão 1.3 Seja f uma fun¸cão real de duas variáveis, definida em Df ∈ R2.

Diz-se que f tem um m´aximo absoluto no ponto (x0, y0) ∈ Df se f (x, y) ≤ f (x0, y0), para

todos os pontos (x, y) ∈ Df. Do mesmo modo, diz-se que f tem um m´ınimo absoluto

no ponto (x0, y0) ∈ Df se f (x, y) ≥ f (x0, y0), para todos os pontos (x, y) ∈ Df.

Teorema 1.4 Se a fun¸c˜ao f , definida no dom´ınio Df, admite um extremo num ponto

(x0, y0) ∈ Df ent˜ao:

(a) (x0, y0) ´e um ponto cr´ıtico de f , isto ´e, ~∇f (x0, y0) = ~0.

(b) (x0, y0) é um ponto singular de f , isto é, ~∇f (x0, y0) não existe.

Nota 1.5 Ponto cr´ıtico e Extremante

• Um ponto cr´ıtico denomina-se ponto de sela se f não possui um extremo nesse ponto. (Para fun¸cão real de variável real, esses pontos são os pontos de inflexão.) • O ponto (x0, y0) diz-se um extremante de f , se f (x0, y0) for extremo.

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Defini¸c˜ao 1.6 Um ponto (x0, y0) ∈ D diz-se ponto cr´ıtico ou candidato a extremante

de f se:

(i) f não é a´ı diferenciável; ou,

(ii) f ´e a´ı diferenci´avel e ~∇f (x0, y0) = ~0.

Teorema 1.7 Seja (x0, y0) ∈ Df ∈ R2 um ponto cr´ıtico de f , tal que f ∈ C2 na sua

vizinhan¸ca. Considere-se o determinante da matriz Hessiana (Hessiano) de f no ponto (x0, y0): detHess(f )(x0, y0) = ∂2_f ∂x2(x0, y0) ∂ 2_f ∂x∂y(x0, y0) ∂2_f ∂y∂x(x0, y0) ∂2_f ∂y2(x0, y0) . (i) Se detHess(f )(x0, y0) > 0 e ∂ 2_f

∂x2(x0, y0) > 0, ent˜ao f possui um m´ınimo local em

(x0, y0).

(ii) Se detHess(f )(x0, y0) > 0 e ∂

2_f

∂x2(x0, y0) < 0, ent˜ao f possui um m´aximo local em

(x0, y0).

(iii) Se detHess(f )(x0, y0) < 0, ent˜ao f ´e um ponto de sela de f .

(iv) Se detHess(f )(x0, y0) = 0, ent˜ao nada se pode concluir.

Exemplo 1.8 Determine os extremos da fun¸c˜ao seguinte: f (x, y) = x2+ xy + y2+ 3x − 3y + 4.

De facto, a fun¸cão é de classe C∞. Então em qualquer máximo ou m´ınimo a gradiente ´

e zero. Ou seja, ∇f (x, y) = 0 ou equivalentemente ∂f_∂x = 0 e ∂f_∂y = 0. Então obtém-se um sistema de duas equa¸cões

2x + y = −3 ∧ x + 2y = 3,

onde obtemos a solu¸cão (x, y) = (−3, 3), que é o ponto candidato ao extremo. Pode-se ver que Hess(f )(−3, 3) > 0 e ∂_∂x2f2(−3, 3) > 0, então f possui um m´ınimo local em

(−3, 3).

Exercicios Propostos 1.9 Resolva o problema inicial max / min f∗(x, y) = xy s.a x2_{+ y}2 _{= 1 & x, y ≥ 0}

Exercicios Propostos 1.10 Encontre os extremos locais da fun¸c˜ao f (x, y) = y2 ₊

xy − 2x − 2y.

Exercicios Propostos 1.11 Encontre os extremos locais da fun¸c˜ao f (x, y) = x3 ₋

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Teorema 1.12 Caso Geral - Seja f : A → R uma fun¸c˜ao de classe C2 _{definida num}

aberto A ⊂ Rn_{. Suponha que x}

0 ∈ A seja um ponto cr´ıtico de f . Sejam λ1, λ2, . . . , λn

os valores pr´oprios da matriz hessiana de f em x0 ∈ A:

Hess(f )(x0) =       ∂2_f ∂x2 1(x0) ∂2_f ∂x1∂x2(x0) · · · ∂2_f ∂x1∂xn(x0) ∂2_f ∂x2∂x1(x0) ∂2_f ∂x22(x0) · · · ∂2_f ∂x2∂xn(x0) .. . ... . .. ∂2_f ∂xn∂x1(x0) ∂2_f ∂xn∂x2(x0) · · · ∂2_f ∂x2 n(x0)      

1.1 Crit´

erio dos valores pr´

oprios da Hessiana

Se os valores pr´oprios da matriz Hessiana

1. são todos positivos então f (x0) é um m´ınimo local de f ;

2. são todos negativos então f (x0) é um máximo local de f ;

3. tomam sinais contrários, então f não possui extremante em x0; Dizemos que x0

´e um ponto de sela.

Exercicios Propostos 1.13 Determine, caso existirem, os extremos da fun¸c˜ao f (x, y, z) = −3

2x

4_{+ 6x}3_{− 6x}2_{+ x}2_{z − 2xz − 2y}2_{− 12y − 18 −} 3 2z

2_.

1.2 Teorema de Weierstrass para campos escalares

Teorema 1.14 Um campo escalar f de classe C0 _{assume, num subconjunto fechado e}

limitado D de Rn_{, um m´}_{aximo e um m´ınimo globais.}

Exercicios Propostos 1.15 Determine os extremos absolutos da fun¸c˜ao f no dom´ınio D indicado f (x, y) = xy(3 − x − y), D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x + y ≤ 3}

2 Extremos condicionados

Nesta seçcão, estudar-se-á um método eficaz na determina¸cão de extremos, chamado método de multiplicadores de Lagrange. Este método é espec´ıfico para problemas que se conhece o dom´ınio de trabalho, ou seja, o problema tenha fun¸cão de restri¸cão pr´ e-definida.

Considere a fun¸cão f de n variáveis, f = f (x1, x2, . . . , xn) com m fun¸cões de restri¸cão

g = (g1(x1, x2, . . . , xn), g2(x1, x2, . . . , xn), . . . , gm(x1, x2, . . . , xn)) = 0. Se as vari´aveis

não forem independentes mas satisfazem as restri¸cões anteriores, pode-se isolar cada variável das fun¸cões de restri¸cão e as substituir em f e depois encontrando os pontos cr´ıticos através da primeira derivada e analisando a segunda derivada é poss´ıvel encon-trar os máximos e m´ınimos da fun¸cão. Entretanto nem sempre é poss´ıvel resolver por este método. Da´ı a necessidade de recorrer ao método de Multiplicadores de Lagrange proposto por Joseph L. Lagrange, a seguir:

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2.1 Multiplicadores de Lagrange

Defini¸c˜ao 2.1 Considere f e suas m restri¸c˜oes g citados anteriormente todas elas

de classe C1 _{e que ∇g 6= 0.} _{Se f tiver um extremo relativo dentro de suas}

re-stri¸cões, então este ocorre em um ponto P (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n), tal que P perten¸ca a uma superf´ıcie de restri¸cão de f na qual o gradiente ∇f (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n) é múltiplo do gradi-ente ∇g(x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n), ou seja, existe λ tal que satisfaz a condi¸cão seguinte

∇f (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n) = λ∇g(x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n_{), λ ∈ R.}

Deste modo, ter-se-´a uma estrat´egia para determinar os extremos de f quando sujeitos `

a condi¸c˜ao g = 0, que consiste em resolver o sistema

∇f (x₁, x2, . . . , xn) = λ∇g(x1, x2, . . . , xn)

g(x1, x2, . . . , xn) = 0.

De uma forma mais geral, considere uma fun¸c˜_{ao f : R}n _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}1

e g : Rn _{→ R}m_{, com m < n, uma fun¸c˜}_{ao tamb´}_{em de classe C}1_{. Pretende-se determinar}

os extremos de f sujeitos ao sistema de equa¸cões (ou condi¸cões), g(x) = 0, ou seja,        g1(x1, x2, . . . , xn) = 0 g2(x1, x2, . . . , xn) = 0 · · · gm(x1, x2, . . . , xn) = 0 em que g1, g2, . . . , gm são as componentes de g.

Assim, teremos que resolver o sistema

∇f (x) = λ₁∇g1(x) + λ2∇g2(x) + . . . + λm∇gm(x) = 0

g(x) = 0 (1)

Assim, quer isso dizer que determina-se os extremos de f restringida à fun¸cões definida pelo sistema de equa¸cões g(x) = 0. Este é o chamado problema dos extremos condi-cionados.

Note-se que este sistema apresenta (n + m) equa¸cões e (n + m) incógnitas e, em geral, não e linear. Os escalares λ1, λ2, . . . , λm são os chamados multiplicadores de Lagrange

e ao sistema (1) chama-se m´etodo dos multiplicadores de Lagrange.

Exemplo 2.2 Considerado a fun¸c˜ao f (x, y) = x2+y2 e a restri¸c˜ao g(x, y) = x2+y₄2−1. Assim, ∇f (x, y) = λ∇g(x, y) g(x, y) = 0 ⇔    2x = λ2x 2y = λy₂ x2₊ y2 4 − 1 = 0 ⇔    x(1 − λ) = 0 y(4 − λ) = 0 x2₊ y2 4 − 1 = 0 ⇔    x = 0 ∨ λ = 1 y = 0 ∨ λ = 4 x2+ y₄2 − 1 = 0

de onde obtemos os pontos (0, −2), (0, 2), (−1, 0), (1, 0). Os dois primeiros são os mais afastados da origem e os outros dois são os mais próximos. Note-se que o cálculo do escalar λ é irrelevante para o problema.

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Exemplo 2.3 Determine os pontos extremos da fun¸c˜ao f (x, y, z) = x + y + z sujeita `

as condi¸c˜oes x2_{+ y}2 _{= 2 e x + z = 1.}

Temos duas restri¸c˜oes, ou seja, g1(x, y, z) = x2+ y2− 2 e g2(x, y, z) = x + z − 1. Assim,

precisamos encontrar x, y, z, λ1 e λ2 tal que

   ∇f (x, y, z) = λ1∇g1(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z) g1(x, y, z) = 0 g2(x, y, z) = 0.

Calculando os gradientes, o sistema fica            1 = λ1· 2x + λ2· 1 1 = λ1· 2y + λ2· 0 1 = λ1· 0 + λ2· 1 x2+ y2− 2 = 0 x + z − 1 = 0 ⇔            1 = 2λ1x + λ2 1 = 2λ1y λ2 = 1 x2+ y2− 2 = 0 x + z − 1 = 0

Note-se que se obteve 5 equa¸c˜oes (3 + 2). Como λ2 = 1 ent˜ao 2λ1x = 0 e 2λ1y = 1. Se

λ1 6= 0 ent˜ao x = 0. Assim y = ±

√

2 e z = 1. Portanto, os candidatos a extremos são: (0, ±√2, 1). Pode-se verificar que (0,√2, 1) dá-nos o máximo relativo e (0, −√2, 1) o m´ınimo relativo. A condi¸cão x2_{+ y}2 _{= 2 implica que x e y s˜}_{ao limitados. Do mesmo}

modo, x + z = 1 mostra que z é limitado. O que segue que as restri¸cões dadas são fechadas e limitadas no conjunto, digamos S. Então, f possui um máximo e um m´ınimo em S, (0,√2, 1) e (0, −√2, 1), respectivamente.