ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II
AULA 05
ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II
AULA 05
Site da disciplina:
engpereira.wordpress.com
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
Material disponibilizado: 1 - Programação das aulas:
Material disponibilizado: 2 - Plano de ensino: • Objetivos • Ementa • Conteúdo programático • Metodologia do curso • Bibliografia METODOLOGIA DA DISCIPLINA Material disponibilizado:
3 – Slides das aulas que poderão ser impressos para acompanhamento da disciplina:
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
Material disponibilizado:
4 – Tabelas de cálculo, catálogo de fabricantes, artigos, etc..
Material disponibilizado:
5 – Programas gratuitos para análise estrutural (STRAP, Ftool, etc..)
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
Material disponibilizado:
6 – Resolução de alguns exercícios em vídeo.
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
Demais informações serão sempre postadas no site. • Lista de exercícios;
• Resoluções dos exercícios (algumas soluções em vídeo); • Provas anteriores para estudo;
• Gabaritos;
• Avisos em geral (alterações de sala, vistas de prova, etc...); • Qualquer informação adicional pertinente à disciplina.
AULA 05
AULA 05
• Determinação da flecha e rotação em vigas isostáticas e hiperestáticas simples
1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:
a) Não há rigidez nos apoios para transmissão de momento
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
1.1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:
b) Ligação flexível (permite mais que 80% da rotação teórica)
1.2 - Condições para adotar modelo apoiado engastado: Um dos apoios não permite rotação devido à sua rigidez. - Gera momento no apoio
engastado.
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
1.3 - Condições para adotar modelo bi-engastado: Apoios têm rigidez suficiente para impedir rotação
1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.1 – Considere uma viga engastada isostática com carregamento concentrado na extremidade:
Convenção:
Carregamento para cima (+) Carregamento para baixo (-) Hipótese:
Material elástico, flexão-pura (V = 0)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.2 – Durante flexão, cada ponto da viga sofre deflexão(ν) e rotação(θ)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.3 –Convenções:
• Deflexão(ν): positiva para cima (observar convenção dos esforços)
• Rotação(θ): positiva pela “regra da mão direita”
No ponto m1: Deflexão = ν; rotação = θ No ponto m2: Deflexão = ν + dν; rotação = θ + dθ
ds – distância de m1 e m2 (arco); dθ – ângulo (em rad)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.4 –Para vigas com pequenas rotações:
• Na prática, as deformações nas vigas das edificações não possíveis de serem observadas sem instrumentação, portanto:
• Por definição ângulo(θ) em radianos é: s – arco; ρ - raio
• Sabemos que a curvatura é inversamente proporcional ao raio (quanto maior o raio, menor a curvatura), então a curvatura(k) é:
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.4 –Para vigas com pequenas rotações:
• Na prática, as deformações nas vigas das edificações não são possíveis de serem observadas sem instrumentação
Portanto:
• Derivando em função de x, temos:
• O primeiro membro da equação acima é a curvatura (conforme slide anterior), então:
• (I)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.5 –Lei de Hooke:
Inclinação no regime elástico: (II) Deformação específica (adimensional): (III) Definição de momento com equações (II) e (III):
A integral do produto dos elementos de uma área pelo quadrado da distância de um eixo pode ser substituída pela inércia:
(IV)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.6 – Conclusão da dedução:
A partir de (I) e (IV), temos:
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.6 – Convenção de sinais da curvatura:
Curvatura positiva:
Curvatura negativa:
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.7 – Integração da equação da curvatura: Derivada do momento: (força cortante)
Derivada da cortante: (carregamento)
(observar convenção do eixo de referência da carga distribuída. Em geral, a carga de peso próprio é positiva, assim algumas bibliografias utilizam a derivada da cortante igual a -q, entretanto, se adotarmos eixo y para cima, a carga de peso próprio é negativa, desta forma o sinal já está indicado com a carga, como é utilizado em todos os programas de modelagem estrutural)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.8 – Vigas com rigidez constante:
Isolando momento da equação da linha elástica: Derivar os dois membros:
Então:
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.9 – Rotina para resolução:
1º Passo: escrever as equações de momento da viga;
2º Passo: substituir equação de momento na equação da linha elástica; 3º Passo: integrar duas vezes para isolar a deflexão.
As integrações geram constantes C1 e C2
4º Passo: determinar as constantes C1 e C2 de acordo com condições de contorno
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.10 – Condições de contorno:
Nos apoios não há deflexão. Somente engaste produz momento. Deflexão e momento = 0
Deflexão e momento = 0 Deflexão e rotação = 0
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.11 – Vigas bi-apoiadas:
3. EXERCÍCIO
3 – Qual é a deflexão máxima e a rotação nos apoios da viga abaixo com rigidez constante?
3 EXERCÍCIO
1º Passo: determinar a equação do momento fletor
3 EXERCÍCIO
2º Passo: substituir equação de momento obtida na equação da linha elástica.
3 EXERCÍCIO
3º Passo: integração dupla
Primeira integração:
Segunda integração:
3 EXERCÍCIO
4º Passo: determinar condições de contorno e C1 e C2 Momentos e deflexões inexistentes nos apoios Então:
Para determinação das constantes, substituir na equação da linha elástica da viga
3 EXERCÍCIO
3 EXERCÍCIO
5º Passo: substituir C1 e C2 na equação da linha elástica
Substituindo:
3 EXERCÍCIO
A deflexão máxima ocorre no meio da viga, então:
Para: em
Temos:
3 EXERCÍCIO
Equação da rotação:
3 EXERCÍCIO
Rotação nos apoios: Equação da rotação:
4 EXERCÍCIO
4 – Determinar a deflexão e rotação no ponto D da viga abaixo. Verificar resultados com programa de análise estrutural. E = 10 Gpa.
4 EXERCÍCIO
4 EXERCÍCIO
4.2 Equação da linha elástica: Carregamento Cortante Momento Rotação Deflexão: 4 EXERCÍCIO
4.3 Equação da linha elástica: Carregamento Cortante Momento Rotação Deflexão: 4 EXERCÍCIO 4.4 Constantes C1, C2, C3 e C4:
4 EXERCÍCIO 4.5 Rigidez: 4.6 Equações Rotação: Deflexão: 4 EXERCÍCIO
4.7 Deflexão e rotação no ponto D: x = 2,20 m Rotação:
Deflexão:
4 EXERCÍCIO
4.8 Verificação no programa de análise estrutural Rotação:
5 EXERCÍCIO PARA SEMANA
5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, a deflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastada isostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidez constante.
5 EXERCÍCIO PARA SEMANA
5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, a deflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastada isostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidez constante.
