Existência de ciclos hamiltonianos via técnicas espectrais

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CURSO DE GRADUAÇÃO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Guilherme Brandão Pereira

EXISTÊNCIA DE CICLOS HAMILTONIANOS VIA

TÉCNICAS ESPECTRAIS

NITERÓI 2016

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EXISTÊNCIA DE CICLOS HAMILTONIANOS VIA TÉCNICAS ESPECTRAIS

Monografia apresentada à Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia (GGT 00013).

Orientador: Renata Raposo Del-Vecchio

Niterói 2016

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EXISTÊNCIA DE CICLOS HAMILTONIANOS VIA TÉCNICAS ESPECTRAIS

Monografia apresentada à Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia (GGT 00013). .

Aprovada em: 11/01/2017

Banca Examinadora

_______________________________________________ Prof. Renata R. Del-Vecchio - Orientador

Doutor – Universidade Federal Fluminense

_______________________________________________ Prof. Cybele T. M. Vinagre - Membro

Doutor – Universidade Federal Fluminense

_______________________________________________ Prof. Miriam Del Milagro Abdon - Membro

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por tudo.

Aos meus pais, e minha irmã pelo apoio e ajuda em todos os momentos.

Aos meus amigos e em especial à Hemily por estarem comigo nessa caminhada.

À professora Renata e a professora Cybele, por me incentivar na pesquisa e na caminhada acadêmica.

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RESUMO

Matrizes podem ser associadas a um grafo, (matriz de adjacência e matriz laplaciana, dentre outras). Um dos principais problemas da teoria algébrica de grafos é determinar precisamente como e quando, propriedades de grafos são refletidas através das propriedades algébricas de tais matrizes. Esta linha de investigação recebe o nome de Teoria Espectral de Grafos. No presente trabalho estudamos grafos hamiltonianos e hiperhamiltonianos. Um grafo é dito hamiltoniano quando existe um ciclo contido nesse grafo, que contenha todos os seus vértices. Se um grafo é hamiltoniano, e ao retirar um vértice qualquer de seu conjunto de vértices, e o grafo obtido for um grafo hamiltoniano, então o grafo é dito hiperhamiltoniano. São conhecidas condições suficientes sobre o espectro de um grafo para que ele seja hamiltoniano. Porém, não existe caracterização de grafos hiperhamiltonianos através de seus autovalores. Neste trabalho buscamos estas caracterizações, usando os autovalores da matriz de adjacência, matriz laplaciana e matriz distância. Apresentamos também famílias infinitas de grafos

threshold contendo grafos hamiltonianos e hiperhamiltonianos.

Palavras-chave: Grafos hamiltonianos. Grafos hiperhamiltonianos. Condições

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ABSTRACT

Matrices can be associated to a graph, (adjacency matrix and Laplacian matrix, among others). One of the main problems of the algebraic theory of graphs is to determine precisely how and when, properties of graphs are reflected through the algebraic properties of such matrices. This line of investigation is called Spectral Theory of Graphs. In the present work we study Hamiltonian and hyperhamiltonian graphs. A graph is said to be Hamiltonian when there is a cycle contained in this graph, which contains all its vertices. If a graph is Hamiltonian, and when removing any vertex of its set of vertices, and the graph obtained is a Hamiltonian graph, then the graph is said Hyperhamiltonian. Sufficient conditions are known on the spectrum of a graph so that it is Hamiltonian. However, there is no characterization of hyperhamiltonian graphs through its eigenvalues. In this work we look for these characterizations, using the eigenvalues of the adjacency matrix, laplacian matrix and distance matrix. We also present infinite families of threshold graphs containing Hamiltonian and Hyperhamiltonian graphs.

Keywords: Hamiltonian graphs. Hyperhamiltonian graphs. Spectral conditions. Graphs threshold families.

(8)

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao 3

2 Grafos e matrizes 5

2.1 Grafos . . . 5

2.1.1 Grafo complementar . . . 6

2.1.2 Grafo regular de grau k ou k-regular . . . . 6

2.1.3 Grafo completo . . . 7

2.1.4 Cadeias, caminhos e ciclos: . . . 8

2.1.5 Grafo conexo . . . 8

2.2 Grafos Thresholds . . . . 8

2.2.1 Abacaxi . . . 10

2.3 Opera¸c˜oes com grafos . . . 10

2.3.1 Uni˜ao (∪) . . . 10

2.3.2 Join (∨) . . . 11

2.4 Matrizes . . . 11

2.4.1 Matriz de adjacˆencia . . . 12

2.4.2 Matriz laplaciana . . . 13

2.4.3 Matriz distˆancia . . . 13

2.5 K-fecho . . . 14

3 Teoria espectral de grafos 16 3.1 Resultados conhecidos . . . 16

4 Grafos hamiltonianos 19 4.1 Resultados conhecidos . . . 20

4.2 Teoremas espectrais importantes . . . 29

5 Grafos hiperhamiltonianos 34 5.1 Condi¸cões suficientes não espectrais para um grafo ser hiperha-miltoniano . . . 35

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5.2 Condi¸c˜oes suﬁcientes espectrais para um grafo ser hiperhamil-toniano . . . 38

6 Hamiltonicidade, hiperhamiltonicidade e outras matrizes 44

6.1 Matriz laplaciana . . . 44 6.1.1 Resultados conhecidos da literatura sobre o espectro

da matriz laplaciana . . . 44 6.1.2 Novas condi¸c˜oes de hamiltonicidade para grafos threshold 45 6.1.3 Novas condi¸c˜oes de hiperhamiltonicidade para grafos

threshold . . . . 46 6.2 Matriz Distˆancia . . . 47 6.2.1 Resultados conhecidos para um grafo ser hamiltoniano 48 6.2.2 Resultados obtidos para um grafo ser hiperhamiltonianos 52 6.3 Comparando com os Resultados sobre a Matriz de Adjacˆencia 54

7 Grafos hiperhamiltonianos em fam´ılias de grafos threshold 56

7.1 Fam´ılia Fn,n−2 . . . 56 7.2 Fam´ılia Fn,n−3 . . . 59

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Matrizes podem ser associadas a um grafo, (matriz de adjacência e matriz laplaciana, dentre outras). Um dos principais problemas da teoria algébrica de grafos é determinar precisamente como e quando, propriedades de grafos são refletidas através das propriedades algébricas de tais matrizes. Esta linha de investiga¸cão recebe o nome de Teoria Espectral de Grafos.

No presente trabalho estudamos grafos hamiltonianos e hiperhamiltoni-anos. Um grafo é dito hamiltoniano quando existe um ciclo contido nesse grafo, que contenha todos os seus vértices. Se um grafo é hamiltoniano, e ao retirar um vértice qualquer de seu conjunto de vértices, o grafo obtido for um grafo hamiltoniano, então o grafo é dito hiperhamiltoniano.

São conhecidas condi¸cões suficientes sobre o espectro de um grafo (au-tovalores da matriz de adjacência associada ao grafo) para que ele seja ha-miltoniano ([2], [5], [7],[9], [11]). Porém, não existe caracteriza¸cão de grafos hiperhamiltonianos através de seus autovalores. Neste trabalho, buscamos condi¸cões, relacionadas aos autovalores de algumas matrizes que podem ser associadas a grafos, que possam garantir que um grafo seja hiperhamiltoni-ano. Também investigamos caracter´ısticas próprias de grafos que possam for-necer condi¸cões para que um grafo seja hiperhamiltoninano e novas condi¸cões para um grafo ser hamiltoniano, além das condi¸cões já existentes na literatura da teoria espectral de grafos.

Esta monografia está dividida em 7 cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 apresentamos os conceitos e nota¸cões sobre grafos e matrizes necessários ao atendimento texto. O cap´ıtulo 3 contém os resultados gerais de teoria espectral de grafos que serão utilizados adiante. No cap´ıtulo 4 apresentamos os resultados sobre grafos hamiltonianos com as demonstra¸cões detalhadas. Essas demonstra¸cões foram adaptadas para o caso dos gafos hiperhamiltonianos, no cap´ıtulo 5. O cap´ıtulo 6 é dedicado ao estudo de hamiltonicidade e hiperhamiltonicidade relacionado a outras matrizes. No cap´ıtulo 7 apresentamos fam´ılias de

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ga-fos threshold hiperhamiltonianos. Finalmente, no cap´ıtulo 8, apresentamos conclus˜oes e propostas de continuidade deste trabalho.

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Cap´ıtulo 2

Grafos e matrizes

2.1 Grafos

Matematicamente, um grafo ´e uma estrutura G = G(V, E), onde V =

{v1, v2, . . . , vn} é um conjunto finito e não vazio, cujos elementos são deno-minados vértices, e E ={e = vivj; vi, vj ∈ V } é um conjunto de subconjuntos de dois elementos de V denominados arestas. Indicamos por |V | e |E|, res-pectivamente, o número de vértices e o n´umero de arestas de G.

Figura 2.1: No grafo acima, V ={v1, v2, v3, v4, v5} e E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6},

e portanto, |V | = 5 e |E| = 6.

Se u, v ∈ V e e = uv ∈ E , dizemos que a aresta e incide em u e v. O grau de um v´ertice v, denotado por d(v), ´e o n´umero de arestas que incidem em

v. V´ertices ligados por arestas s˜ao ditos v´ertices adjacentes. Quando V ´e um conjunto unit´ario e E =∅ dizemos que G ´e o grafo trivial. Consideraremos

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apenas grafos sem arestas ligando um vértice a ele mesmo (la¸cos), sem arestas múltiplas (mais de uma aresta incidindo no mesmo par de vértices) e sem orienta¸cão. Estes grafos s˜ao chamados grafos simples, mas nos referiremos a eles como grafos.

Se G = G(V, E) é um grafo, quando G′ = G′(V′, E′) é um grafo satisfa-zendo V′ ⊆ V e E′ ⊆ E escrevemos G′ ⊆ G e dizemos que G′ é um subgrafo de G. Quando G′ ´e um subgrafo de G e G′ ̸= G, dizemos que G′ é um subgrafo pr´oprio de G.

Figura 2.2: Na figura, o grafo da direita é um subgrafo do grafo da esquerda e é também um subgrafo próprio desse grafo.

Apresentamos a seguir alguns tipos especiais de grafos que aparecer˜ao ao longo deste trabalho.

2.1.1 Grafo complementar

Grafo complementar de um grafo G, ´e o grafo ¯G = ¯G( ¯V , ¯E) obtido de G = G(V, E) de tal forma que ¯V = V e (vi, vj) ´e uma aresta em ¯G quando (vi, vj) n˜ao ´e uma aresta de G.

2.1.2 Grafo regular de grau k ou k-regular

´

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Figura 2.3: Um grafo e seu complementar.

Figura 2.4: Grafo 3-regular.

2.1.3 Grafo completo

Grafo completo ´e o grafo no qual quaisquer dois vértices distintos são adjacentes. Para cada n ≥ 2, o grafo completo com n vértices é (n − 1)-regular e denotado por Kn.

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2.1.4 Cadeias, caminhos e ciclos:

Uma sequˆencia ﬁnita v1, v2, ..., vk de v´ertices de um grafo G(V, E) ´e dita uma cadeia (walk ) de v1 a vk quando (vi, vi+1)∈ E(G) para 1 ≤ i ≤ k − 1 . Dizemos que v1, v2, ..., vk ´e uma cadeia fechada quando v1 = vk (respectiva-mente, cadeia aberta quando v1 ̸= vk).

Um caminho (path) ´e uma cadeia em que todos os vértices são distintos. Um caminho fechado ´e denominado ciclo. O comprimento de um caminho ou de um ciclo é o número de arestas que ocorrem em cada um. O caminho e o ciclo com n v´ertices s˜ao denotados, respectivamente, por Pn e Cn. Em particular, o ciclo C3 é chamado triângulo.

Figura 2.6: Caminho P6 e Ciclo C8

2.1.5 Grafo conexo

´

E um grafo no qual existe um caminho ligando cada par de vértices. Em caso contrário, o grafo é denominado desconexo. Se G é um grafo desconexo, dizemos que G′ ⊂ G é uma componente conexa de G quando G′ é um grafo conexo e n˜ao existe um grafo conexo H ⊂ G tal que G′ ⊂ H e G′ ̸= H.

2.2 Grafos Thresholds

Defini¸c˜ao 2.2.1. Um grafo threshold ´e um grafo obtido por um processo de recorrência, que come¸ca com um vértice isolado, e a cada passo seguinte, é colocado um novo vértice isolado ou um vértice adjacente a todos os vértices anteriores.

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Figura 2.7: Na figura, o grafo da direita é um grafo conexo e o grafo da esquerda é um grafo desconexo.

Figura 2.8: Contru¸c˜ao de um grafo threshold.

String (sequˆencia bin´aria): sequˆencia de zeros e uns de um grafo

threshold, onde:

• 0 indica a adi¸c˜ao de um v´ertice isolado;

• 1 indica a adi¸cão de um vértice adjacente aos outros: • A sequência sempre come¸ca com zero (1o _v´_{ertice ´}_{e isolado)}

• Se a sequˆencia termina com 1 o grafo threshold ´e conexo, se termina

com 0 ´e desconexo.

Tra¸co: Soma das entradas de valor 1 da sequˆencia bin´aria do grafo

th-reshold.

No seguinte exemplo, podemos ver a sequˆencia bin´aria do grafo threshold da ﬁgura 2.8, que possui tra¸co T = 2:

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2.2.1 Abacaxi

O abacaxi é um grafo threshold obtido a partir de um grafo completo, inserindo vértices ligados a um mesmo v´ertice do completo. Clique ´e um conjunto de vértices onde todos os vértices desse conjunto são adjacentes uns aos outros, e conjunto independente ´e um conjunto de vértices onde os vértices desse conjunto não são adjacentes entre si. Os vértices do abacaxi que formam um grafo completo formam a clique do abacaxi. Os demais vértices que formam a ”coroa”do abacaxi formam o conjunto independente. Vamos denotar por Pn,T o abacaxi com n vértices e tra¸co T , onde n e T s˜ao inteiros tais que n≥ 5 e 3 ≤ T ≤ n − 2.

Figura 2.9: O abacaxi P7,4. Sequˆencia bin´aria: (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)

Seja o grafo Pn,n−2, ou seja, o abacaxi com n vértices e tra¸co T = n− 2. Denotaremos por P(n,n−2) + e o grafo obtido a partir de Pn,n−2, inserindo uma aresta adjacente ao único v´ertice do conjunto independente de Pn,n−2, e adjacente a algum vértice da clique.

2.3 Opera¸

c˜

oes com grafos

2.3.1 Uni˜

ao (

∪

)

Defini¸c˜ao 2.3.1. Sejam G1 e G2 grafos com conjuntos de vértices disjuntos V1 e V2, respectivamente, e conjunto de arestas E1 e E2, respectivamente. A união de G1 e G2 é o grafo G1

∪

G2 que tem conjunto de v´ertices V1

∪

V2 e conjunto de arestas E1

∪

(18)

Figura 2.10: O grafo P6,4+ e obtido a partir do abacaxi P6,4, e o grafo P7,5+ e

obtido a partir do abacaxi P7,5

Figura 2.11: O grafo C3

∪

P2 ´e um grafo desconexo obtido pela uni˜ao de C3

e P2.

2.3.2 Join (

∨

)

Defini¸c˜ao 2.3.2. Sejam G1 e G2 grafos com conjuntos de v´ertices disjuntos V1 e V2, respectivamente, e conjunto de arestas E1 e E2, respectivamente. O grafo G1

∨

G2 (G1 join G2) é o grafo obtido inserindo todas as arestas poss´ıveis ligando vértices de G1 a vértices de G2, isto é, inserindo arestas

(ei, ej), onde ei ∈ V (G1) e ej ∈ V (G2)

2.4 Matrizes

Matrizes podem ser associadas a um grafo (matriz de adjacˆencia e matriz laplaciana, dentre outras). Os autovalores dessas matrizes trazem importan-tes informa¸c˜oes sobre a estrutura dos grafos a elas associados. Apresentare-mos a seguir algumas dessas matrizes:

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Figura 2.12: Na ﬁgura, podemos observar que C3 e P2 s˜ao subgrafos de C3

∨

P2.

2.4.1 Matriz de adjacˆ

encia

A matriz de adjacência A(G) do grafo G com n v´ertices, é a matriz quadrada de ordem n cujas entradas aij são iguais a 1, se o v´ertice vi é adjacente ao v´ertice vj, e iguais a 0 caso contrário.

Podemos ver a seguir a matriz de adjacˆencia do grafo da ﬁgura 2.1.       0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0      

O polinˆomio caracter´ıstico da matriz de adjacˆencia A(G) de um grafo

G, ou seja, det(λI − A(G)), e denominado polinˆomio caracter´ıstico de G e

denotado por pG(λ) ; λ ´e dito um autovalor do grafo G quando λ ´e uma raiz de pG(λ). Se A(G) possui s autovalores distintos escrevemos em ordem n˜ao crescentes os autovalores λ1 > λ2 > . . . > λs.

O maior autovalor de G é denominado ´ındice de G e denotado por λ(G). Observe a seguir, os autovalores da matriz de adjacência do grafo da figura 2.1, em ordem não crescente:

λ1 = 2, 64119; λ2 = 0, 72374; λ3 =−0, 58922; λ4 =−1, 00000; λ5 =−1, 775711

Observamos que o tra¸co dessa matriz é zero, o que implica que todo grafo não trivial possui autovalores positivos e negativos. Além disso, pelo teorema de Perron-Frobenius [14], o ´ındice de um grafo conexo tem multiplicidade algébrica a 1.

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2.4.2 Matriz laplaciana

Seja B a matriz diagonal dos graus dos v´ertices de um grafo G (ou seja, a matriz B tal que bii= d(vi) e seja A a matriz de adjacˆencia de G. A matriz laplaciana de G ´e a matriz

L = B− A

Podemos ver a seguir a matriz laplaciana do grafo da ﬁgura 2.1.       1 1 0 0 0 −1 3 −1 0 −1 0 −1 3 −1 −1 0 0 −1 2 −1 0 −1 −1 −1 3      

O espectro da matriz Laplaciana L(G) de um grafo G, ´e a matriz-linha cujos elementos s˜ao todos os autovalores de L(G) ordenados de forma n˜ao crescente. Assim, se µ1 ≥ µ2 ≥ . . . ≥ µn s˜ao os autovalores de L(G) ent˜ao o espectro da matriz Laplaciana de G ´e

[

µ1 µ2 . . . µn ]

.

A matriz L ´e semideﬁnida positiva e singular, isto ´e µi ≥ 0, para todo

i = 1, . . . , n e µn= 0.

O segundo menor autovalor do Laplaciano de G, µn−1, ´e chamado

co-nectividade algébrica do grafo G e será denotado por a(G). a(G) > 0 se, e somente se, G é conexo [1]. O maior autovalor do Laplaciano de G, µ1, é

chamado ´ındice do Laplaciano de G.

Observe a seguir, o espectro da matriz laplaciana do grafo da ﬁgura 2.1: [

4, 48119 4, 00000 2, 68889 0, 82991 0 ].

2.4.3 Matriz distˆ

ancia

Sejam vi e vj v´ertices de um grafo G. A distância entre vi e vj, denotada por dG(vi, vj) ´e o comprimento do menor caminho de via vj (ou seja, o número de arestas que possui o menor caminho de vi a vj). A matriz distância de

G (deﬁnida para um grafo G conexo), denotada por D(G) ´e a matriz n× n

cujas entradas di,j s˜ao iguais a dG(vi, vj), para cada i e para cada j, isto ´e, a entrada di,j ´e igual a distˆancia entre os v´ertices vi e vj. Denotaremos por

ρ(G) o ´ındice da matriz distância de G, isto ´e, o maior autovalor do polinômio caracter´ıstico de D(G). Neste caso, assim como para a matriz de adjacência, o

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teorema de Perron-Frobenius garante que ρ(G) tem multiplicidade alg´ebrica 1.

Podemos ver a seguir a matriz distˆancia do grafo da ﬁgura 2.1.       0 1 2 3 2 1 0 1 2 1 2 1 0 1 1 3 2 1 0 1 2 1 1 1 0      

2.5 K-fecho

A seguir, apresentaremos a deﬁni¸c˜ao de k- fecho de um grafo, e algumas propriedades e teoremas apresentados em [5].

Defini¸c˜ao 2.5.1. k-fecho

Seja k um inteiro positivo. O k-fecho de um grafo G é obtido a partir do grafo G juntando-se recursivamente pares de vértices não adjacentes com soma de graus pelo menos igual a k.

Figura 2.13: Um grafo e seu 4-fecho.

Uma observa¸cão surpreende ´e que o k-fecho de G ´e único, ou seja, não depende da ordem em que as arestas são adicionadas.

Propriedade Principal do k-fecho

Seja Hk(G) o k-fecho de um grafo G. Ent˜ao:

dHk(G)(u) + dHk(G)(v)≤ k − 1

para cada par de v´ertices n˜ao adjacentes u e v de Hk(G).

Propriedade k-est´avel: Seja P uma propriedade deﬁnida em todos os

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P ´e uma propriedade k-est´avel sempre que, para todos u, v∈ V (G), tais que u e v s˜ao n˜ao adjacentes, G + uv com a propriedade P e dG(u) + dG(v)≥ k implica que G tem a propriedade P .

A próxima proposi¸cão será necessária no cap´ıtulo 5.

Proposi¸c˜ao 2.5.1. [3]

Se P é uma propriedade k-estável tal que o k-fecho de G tem a propriedade P , então G tem a propriedade P .

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Cap´ıtulo 3

Teoria espectral de grafos

3.1 Resultados conhecidos

Nesse cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados conhecidos na literatura da teoria espectral de grafos, que foram utilizados nesse trabalho. Os dois primeiros resultados nos dão os autovalores da matriz de adjacência de um grafo obtido pela união de outros dois grafos.

Proposi¸c˜ao 3.1.1. [1] Se o grafo G ´e a uni˜ao de dois grafos G1 e G2 ent˜ao pG(λ) = pG1(λ)· pG2(λ)

Demonstra¸c˜ao. Se An_×né a matriz de adjacˆencia de G1 e Bm×mé a matriz de adjacˆencia de G2, então a matriz de adjacˆencia de G ´e da forma:

[ An×n 0 0 Bm×m ] Ent˜ao: pG(λ) = det [ An×n− λIn×n 0 0 Bm×m− λIm×m ]

Pelo desenvolvimento de Laplace: det [ An×n− λIn×n 0 0 Bm×m− λIm×m ] = n ∑ j=1 a1j∆1j

Onde os a1j s˜ao as entradas da primeira linha da matriz, e ∆1j ´e o

de-terminante afetado pelo sinal (−1)(1+j) da submatriz obtida retirando-se a primeira linha e a j-´esima coluna de

[

An×n− λIn×n 0 0 Bm×m

] .

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Fazendo indu¸c˜ao sobre n, temos: • Se n = 1: pG(λ) = det [ A1×1− λI1×1 0 0 Bm×m− λIm×m ] = det [ (a11− λ) 0 0 Bm×m− λIm×m ] = (a11− λ) · ∆11+ 0 = (a11− λ) · det (Bm×m− Im×m) = det (A1×1− Im×m)· det (Bm×m− Im×m) = pG1(λ)· pG2(λ)

• Suponha que o resultado seja v´alido para n = k, para todo k ≥ 1

inteiro. Ent˜ao, se n = k + 1, temos:

pG(λ) = det [ A(k+1)×(k+1)− λI(k+1)×(k+1) 0 0 Bm×m− λIm×m ] = (a11− λ) · ∆11− a12· ∆12+ + . . . + (−1)(1+k)· a1k∆1k+ (−1)(1+(k+1))· a1(k+1)∆1(k+1)

Como cada ∆1j ´e o determinante de uma matriz da forma

[ A

′

k×k− λIk×k 0

0 Bm×m− λIm×m ]

ent˜ao, podemos escrever:

∆1j = det Aj · det (Bm×m− Im×m); Para cada j = 1, 2, . . . , k, (k + 1) onde Aj ´e a matriz obtida pela retirada da primeira linha e da j-´esima coluna da matriz A(k+1)×(k+1)− λI(k+1)×(k+1)

Logo,

pG(λ) = det [

A(k+1)_×(k+1)− λI(k+1)_×(k+1) 0

0 Bm×m− λIm×m ]

= (a11− λ) · ∆11− a12· ∆12+ . . . + (−1)(1+k)· a1k+ (−1)(1+(k+1))· a1(k+1)

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+ . . . + (−1)(1+k)· a1k· det Ak· det (Bm×m− Im×m)+

(−1)(1+(k+1))· a1(k+1)· det Ak+1· det (Bm×m− Im×m)

= [(a11− λ) · det A1− a12· det A2+ . . . +

(−1)(1+k)·a1k·det Ak+(−1)(1+(k+1))·a1(k+1)det Ak+1]·det (Bm×m− Im×m)

= det A(k+1)×(k+1)− λI(k+1)×(k+1)· det (Bm×m− Im×m) = pG1(λ)· pG2(λ)

Portanto, temos:

pG(λ) = pG1(λ)· pG2(λ)

Corol´ario 3.1.1. Se o grafo G ´e a união de dois grafos G1 e G2 então o ´ındice λ de G é dado por:

λ = max{λG1, λG2}

Demonstra¸c˜ao. Pela proposi¸c˜ao 2,

pG(λ) = pG1(λ)· pG2(λ)

Portanto, os autovalores de G1 e G2 s˜ao os autovalores de G. Da´ı, o ´ındice

de G1 ou o ´ındice de G2 ´e o maior autovalor de G, isto ´e: λ = max{λG1, λG2}

O seguinte resultado, encontrado em [8], relaciona o ´ındice da matriz de adjacência de um grafo com o ´ındice da matriz de adjacência de um subgrafo próprio desse grafo.

Proposi¸c˜ao 3.1.2. [8] [13] Se H ´e subgrafo próprio de G, então λ(H) ≤ λ(G), e a desigualdade é estrita caso G seja conexo.

Outro resultado que será importante, é a desigualdade de Stanley, que apresenta uma cota superior para o ´ındice da matriz de adjacência de um grafo.

Proposi¸c˜ao 3.1.3. [5]

Se G ´e um grafo com m arestas, ent˜ao

λ(G)≤ − 1 2+ √ 2m + 1 4

(26)

Cap´ıtulo 4

Grafos hamiltonianos

Um grafo G é dito hamiltoniano se existe um ciclo em G que contenha todos os seus vértices, sendo que cada vértice só aparece uma vez no ci-clo. Este ciclo ´e chamado de ciclo hamiltoniano. Sendo assim, um grafo ´e hamiltoniano quando ele contém um ciclo hamiltoniano.

Figura 4.1: Grafo hamiltoniano: existe um ciclo que contém todos os vértices. Nesse cap´ıtulo, apresentaremos resultados obtidos a partir de outros re-sultados conhecidos da literatura, que relacionam a existência de ciclos ha-miltonianos em grafos com o maior autovalor da matriz de adjacência , ou seja o ´ındice da matriz de adjacência desse grafo.

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Figura 4.2: Grafo não hamiltoniano: não existe ciclo que contém todos os vértices.

4.1 Resultados conhecidos

Proposi¸c˜ao 4.1.1. [3] Seja G um grafo com n v´ertices. A propriedade de G ser hamiltoniano ´e n-est´avel.

O teorema de Ore [7], é um resultado conhecido que nos garante uma condi¸cão suficiente para que um grafo seja hamiltoniano.

Teorema 4.1.1. Teorema de Ore [7] :

Dado um grafo G com n ≥ 3 vértices, suponha que para cada par de vértices u e v de G, não adjacentes, vale

du+ dv ≥ n.

Ent˜ao G tem um ciclo hamiltoniano.

Demonstra¸c˜ao. Entre todos os caminhos poss´ıveis de G, seja P = v1v2. . . vtvt+1 um caminho de comprimento m´aximo t.

utilizaremos as seguintes aﬁrma¸c˜oes:

1. : Cada v´ertice w adjacente a v1 deve ser um dos v´ertices v2, v3, . . . , vt. Caso contr´ario, wv1v2. . . vtvt+1, ´e um caminho de comprimento t + 1, e estipulamos que t ´e o maior comprimento que um caminho poder´a ter, entre todos os caminhos simples.

De maneira simlar, provamos que cada v´ertice w adjacente a vt+1 deve ser um dos v´ertices v2, v3, . . . , vt.

(28)

2. : Se u e v s˜ao v´ertices n˜ao adjacentes em G, ent˜ao deve haver algum v´ertice w adjacente a u e v.

Caso contr´ario, cada um dos outros n−2 vértices poderia ser adjacente a u ou v, mas não a ambos, o que implicaria du+dv ≤ n−2, contrariando a hipótese.

Agora, vamos dividir a demonstra¸c˜ao em dois casos: (a) Caso 1: P ´e um ciclo (v1 = vt+1)

i. Se t + 1 = n, est´a provado, pois v1v2. . . vt+1 = v1 ´e um ciclo

com todos os n v´ertices de G. ii. Suponha t + 1 < n

Se h´a n v´ertices e t + 1 < n, ent˜ao existe um v´ertice u que n˜ao pertence a v1, v2, . . . , vt+1.

Pela aﬁrma¸c˜ao 1 , u n˜ao pode ser adjacente a v1.

Como u e v1 não são adjacentes, pela afirma¸cão 2, existe um

v´ertice w que ´e adjacente a u e v1.

Como w ´e adjacente a v1, segue da aﬁrma¸c˜ao 1 que w ´e um

v´ertice de v2, v3, . . . , vt, digamos vj. Ent˜ao,

uvjvj+1. . . vtvt+1(= v1)v2. . . vj−1

´e um caminho de comprimento t + 1 (pois foi adicionado um v´ertice a um caminho simples de comprimento t), e isto con-tradiz a escolha de P como caminho de comprimento m´aximo. (b) Caso 2: P n˜ao ´e um ciclo (v1 e vt+1 são não adjacentes) Pela afirma¸cão 1, qualquer v´ertice adjacente a v1 é um dos vértices v2, v3, . . . , vt.

Ent˜ao o grau de v1é no m´aximo t−1, pois v1n˜ao incide em vt+1ou nele mesmo. Agora, usaremos a seguinte afirma¸cão para concluir a demonstra¸cão:

3. : Se v1n˜ao ´e adjacente a vt+1, ent˜ao existe algum v´ertice vkno conjunto

{v2, v3, . . . , vt−1} tal que vk ´e adjacente a vt+1, e vk+1 ´e adjacente a v1.

Pois, se supusermos que para cada vk em {v2, v3, . . . , vt−1} que é adja-cente a vt+1, temos vk+1 n˜ao adjacente a v1, então existem no máximo d(vt+1)− 1 vértices em {v2, v3, . . . , vt−1} que são adjacentes a vt+1. Portanto, temos d(vt+1)− 1 vértices vk+1 n˜ao adjacentes a v1. Então:

(29)

Como v1 não ´e adjacente a vt+1, temos uma contradi¸cão da hipótese. Observe que

P′ = v1v2. . . vkvt+1vtvt−1vt−2. . . vk+1

´e um caminho de comprimento t, cujos extremos v1 e vk+1 s˜ao adjacentes. Agora, basta seguir o racioc´ınio do caso 1 com P′ para concluir a demons-tra¸c˜ao.

Observe que a condi¸cão estabelecida no teorema de Ore é suficiente para garantir hamiltonicidade, mas não é necessária, como mostra o exemplo da figura 4.3.

Figura 4.3: O caminho C8 é um grafo hamiltoniano, porém não satisfaz a

hipótese do teorema de Ore, pois a soma de dois vértices não adjacentes é sempre igual a 2.

Como corol´ario do teorema 4.1.1 (teorema de Ore), temos o teorema de Dirac:

Corol´ario 4.1.1. Teorema de Dirac [12] Uma condi¸cão suficiente para que um grafo G seja hamiltoniano é que o grau de todo vértice de G seja no m´ınimo n₂, onde n é o número de vértices em G.

O exemplo da figura 4.3 também comprova que a condi¸cão de Dirac é suficiente mas não necessária.

(30)

O teorema de Ore relaciona o grau de vértices não adjacentes com a existência de ciclo hamiltoniano no grafo. Existe outro resultado na literatura que fornece uma condi¸cão suficiente para um grafo ser hamiltoniano, porém relacionando hamiltonicidade com o número de arestas de um grafo. Para provar esse resultado, precisaremos dos lemas apresentados a seguir.

Lema 4.1.1. [9] Se G ´e um grafo com n ≥ 3 v´ertices e sequˆencia de graus dG(v1) ≤ dG(v2) ≤ . . . ≤ dG(vn), e para cada k inteiro positivo, tal que

dG(vk)≤ k < n₂ implica dG(vn−k)≥ n − k, ent˜ao G ´e hamiltoniano.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grafo n˜ao hamiltoniano cuja sequˆencia de graus satisfaz:

dG(vk)≤ k <

n

2 ⇒ dG(vn−k)≥ n − k; k ∈ Z tal que 1 ≤ k ≤ n. (4.1) Seja ˆG um grafo maximal não hamiltoniano de G, isto ´e, ˆG ´e obtido pela adi¸cão do número m´aximo de arestas que podemos inserir em G sem obtermos um grafo hamiltoniano. Ou seja, ao inserir qualquer aresta em ˆG,

obtemos um grafo hamiltoniano.

Observe que d_Gˆ(vn−k)≥ dG(vn−k)≥ n − k.

Sejam u e v dois v´ertices n˜ao adjacentes de ˆG tais que d_Gˆ(u)+d_Gˆ(v) seja o

maior poss´ıvel e d_Gˆ(u)≤ d_Gˆ(v). Como ˆG ´e o grafo m´aximo n˜ao hamiltoniano,

existe um caminho hamiltoniano com v´ertices u = u1, u2, . . . , un= v. Sejam os conjuntos:

S = {i; (u, ui+1) ´e aresta de ˆG}

T ={i; (ui, v) ´e aresta de ˆG} N˜ao existe j ∈ S∩T . Caso contr´ario, o ciclo

uj, uj−1, . . . , u1, uj+1, uj+2, . . . , un

´e um ciclo hamiltoniano em ˆG. Portanto S∩T =∅, e S∪T ⊆ {1, 2, . . . , n−

1}. Ent˜ao:

d_Gˆ(u) + d_Gˆ(v) = |S| + |T | < n; d_Gˆ(u) < n

2 Al´em disso, d(u) > n₂. Como S

∩

T = ∅, cada uj, com j ∈ S ´e n˜ao adjacente a v e a maximalidade d_Gˆ(u) + d_Gˆ(v) implica d_Gˆ(uj)≤ d_Gˆ(u)

(31)

Então existem pelo menos |S| = d_Gˆ(u) vértices uj cujos graus não são maiores que d_Gˆ(u). Fazendo k = d_Gˆ(u), como d_Gˆ(vn−k) ≥ n − k, o número de v´ertices com grau maior ou igual a n− k é

n− (n − k − 1) = k + 1

ent˜ao existem k + 1 v´ertices cujos graus s˜ao pelo menos n− k. O v´ertice

u = u1 tem grau k = 1 e n˜ao ´e adjacente a v. Ent˜ao: d_Gˆ(u) = 1⇒ d_Gˆ(v)≥ n − 1

⇒ d_Gˆ(u) + d_Gˆ(v)≥ n − 1 + 1 = n > d_Gˆ(u) + d_Gˆ(v)

Contradi¸c˜ao. Portanto, G ´e hamiltoniano.

Lema 4.1.2. Seja G um grafo com n ≥ 4 v´ertices. Se mG = n

2_−3n+4

2 e

G̸= Pn,n−2, ent˜ao d(v) > 1; ∀v ∈ V (G)

Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que para algum vj ∈ V (G), para j = 1, 2, . . . , n,

d(vj)≤ 1 1. Se d(vj) = 0, ent˜ao: 2mG = n ∑ 1 d(vi) ⇒ n2_{− 3n + 4 = d(v} j) + ∑ i̸=j d(vi) ⇒ n2_{−3n+4 = 0+[d(v1}_)+d(v 2)+. . .+d(vj−1)+d(vj+1)+. . .+d(vn)]≤ 2mKn−1 ⇒ (n − 1)(n − 2) + 2 ≤ 2mKn−1 = (n− 1)(n − 2) ⇒ (n − 1)(n − 2) + 2 ≤ (n − 1)(n − 2) ⇒ 2 ≤ 0 Absurdo. 2. Se d(vj) = 1, ent˜ao: 2mG = n ∑ 1 d(vi)

(32)

⇒ n2_{− 3n + 4 = d(v} j) + ∑ i̸=j d(vi) ⇒ n2_{−3n+4 = 1+[d(v1}_)+d(v 2)+. . .+d(vj−1)+d(vj+1)+. . .+d(vn)]≤ 1+2mKn−1 ⇒ (n − 1)(n − 2) + 2 ≤ 1 + 2mKn−1 = 1 + (n− 1)(n − 2) ⇒ (n − 1)(n − 2) + 2 ≤ (n − 1)(n − 2) + 1 ⇒ 2 ≤ 1 Absurdo Portanto, d(v) > 1; ∀v ∈ V (G)

Teorema 4.1.2. [2] Seja G um grafo n˜ao hamiltoniano com n≥ 5 v´ertices e m = n2−3n+4₂ arestas. Se n = 5, ent˜ao G = K2

∨ _¯

K3. Caso contr´ario G ´e o abacaxi Pn,n−2, com n > 5.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grafo n˜ao hamiltoniano com n v´ertices e m = n2_−3n+4

2 arestas. Seja d(v1) ≤ d(v2) ≤ . . . ≤ d(vn) a sequˆencia de graus n˜ao

decrescente de graus de G. Ent˜ao, pelo lema 4.1.1:

Existe algum k tal que d(vk)≤ k <

n 2 e d(vn−k)≤ n − k − 1 Observe que: • d(v1)≤ d(v2)≤ . . . ≤ d(vk)≤ k ⇒ d(v1)≤ d(v2)≤ . . . ≤ d(vk)≤ k · k = k2 • d(vk+1)≤ d(vk+2)≤ . . . ≤ d(vn−k)≤ n − k − 1 ⇒ d(vk+1) + d(vk+2) + . . . + d(vn−k)≤ [(n − k) − k](n − k − 1) = (n− 2k)(n − k − 1) • d(v_n−k+1)≤ d(v_n−k+2)≤ . . . ≤ d(vn)≤ n − 1 ⇒ d(vn−k+1) + d(vn−k+1) + . . . + d(vn)≤ [n − (n − k)](n − 1) = k(n− 1)

(33)

Então: 2m = n ∑ i=1d(vi) = ( k ∑ i=1d(vi)) + ( n−k ∑ i=k+1d(vi)) + ( n ∑ i=n−k+1d(vi)) ⇒ n2_{− 3n + 4 = (} k ∑ i=1d(vi)) + ( n−k ∑ i=k+1d(vi)) + ( n ∑ i=n−k+1d(vi)) ≤ k2_{+ (n}_{− 2k)(n − k − 1) + k(n − 1)} ⇒ n2_{− 3n + 4 ≤ k}2 + n2 − kn − n − 2kn + 2k2+ 2k + kn− k ⇒ n2_{− 3n + 4 ≤ 3k}2 _{+ n}2_{− 2kn − n + k} ⇒ 3k2_{+ k}_{− 4 ≥ 2kn − 2n = (2k − 2)n} Como k < n 2 ⇒ n > 2k ⇒ n − 1 ≥ 2k ⇒ n ≥ 2k + 1 Então: 3k2+ k− 4 ≥ (2k − 2)n ≥ (2k − 2)(2k + 1) ⇒ 3k2_{+ k}_{− 4 ≥ 4k}2_{+ 2k}_{− 4k − 2 = 4k}2_{− 2k − 2} ⇒ k2_{− 3k + 2 ≤ 0} ⇒ (k − 1)(k − 2) ≤ 0 k = 1 e k = 2 s˜ao solu¸cões. 1. Se k = 1,pelo lema 4.1.2: d1 = 1 ⇒ G = Pn,n−2 2. Se k = 2, para n = 5, temos d1 ≤ d2 ≤ 2 e d3 ≤ 5 − 2 − 1 = 2 ⇒ d1 ≤ d2 ≤ d3 = 2ed4 ≤ d5 ≤ 4 ⇔ 2m = 14 = d1+ d2+ d3 + d4+ d5 ≤ 2 + 2 + 2 + 4 + 4

(34)

⇔ 14 ≤ 14 Portanto, d1 = d2 = d3 = 2 e d4 = d5 = 4 Para n = 5, temos: m = 5 2_{− 15 + 4} 2 = 7 Ent˜ao, G = K2 ∨ _¯ K3. Agora, utilizando os resultados anteriores, podemos provar a seguinte condi¸cão suficiente para um grafo ser hamiltoniano, utilizando o número de arestas do grafo.

Teorema 4.1.3. [5]

Dado um grafo G com n≥ 3 v´ertices e m arestas, se m > n

2− 3n + 2

2

Então G é hamiltoniano ou G = Pn,n−2 ou, se n = 5, então G = K2 ∨ _¯

K3.

Demonstra¸c˜ao. Observe que o n´umero de arestas de Pn,n−2 ´e:

mPn,n−2 = (n− 1)(n − 2) 2 + 1 = n2− 3n + 2 2 + 1 > n2− 3n + 2 2 se n = 5, m_K₂∨_K¯₃ = 7 = n2− 3n + 2 2 + 1 > n2 − 3n + 2 2 Suponha G̸= Pn,n−2 e n̸= 5.

Entre todos os caminhos poss´ıveis de G, seja P = v1v2. . . vtvt+1 um dos caminhos de comprimento m´aximo t.

utilizaremos as seguintes aﬁrma¸c˜oes:

1. : Cada v´ertice w adjacente a v1 deve ser um dos v´ertices{v2, v3, . . . , vt}. Caso contr´ario, wv1v2. . . vtvt+1, ´e um caminho de comprimento t + 1, e estipulamos que t ´e o maior comprimento que um caminho poder´a ter, entre todos os caminhos simples.

De maneira simlar, provamos que cada v´ertice w adjacente a vt+1 deve ser um dos v´ertices {v2, v3, . . . , vt}.

(35)

2. : Se u e v s˜ao v´ertices n˜ao adjacentes em G, ent˜ao deve haver algum v´ertice w adjacente a u e v.

Caso contr´ario, o n´umero de arestas de G ser´a no m´aximo:

max{mG} = mKn−2+ (n−2) = (n− 3)(n − 2) 2 + (n−2) = n2_{− 3n + 2} 2 Portanto: m≤ n 2_{− 3n + 2} 2 Mas isto contradiz a hip´otese do teorema.

Agora, vamos dividir a demonstra¸c˜ao em dois casos:

Caso 1 : v1 = vt+1. Neste caso, o caminho simples P ´e um ciclo de comprimento t.

(a) Se t + 1 = n, est´a provado, pois v1v2. . . vt+1 = v1 ´e um ciclo com

todos os n v´ertices de G. (b) Suponha t < n

Se h´a n v´ertices e t < n, ent˜ao existe um v´ertice u que n˜ao pertence a{v1, v2, v3, . . . , vt, vt+1}.

Pela aﬁrma¸c˜ao 1 , u n˜ao pode ser adjacente a v1.

Como u e v1não são adjacentes, pela afirma¸cão 2, existe um vértice w que é adjacente a u e v1.

Como w ´e adjacente a v1, segue da aﬁrma¸c˜ao 1 que w ´e um dos

v´ertices v2, v3, . . . , vt, digamos vj. Ent˜ao,

uvjvj+1. . . vtvt+1(= v1)v2. . . vj−1

´e um caminho de comprimento t + 1 (pois foi adicionado um v´ertice a um caminho simples de comprimento t), e isto ´e uma contradi¸c˜ao.

Caso 2: P n˜ao ´e um ciclo (v1 e vt+1 s˜ao n˜ao adjacentes)

Pelo teorema 4.1.2, como G ̸= Pn,n−2 e n ̸= 5, ent˜ao m > n

2_−3n+4

2 .

Pela afirma¸cão 1, qualquer v´ertice adjacente a v1 é um dos vértices v2, v3, . . . , vt.

Ent˜ao o grau de v1 ´e no m´aximo t− 1. Agora, usaremos a seguinte

(36)

3. : Se v1n˜ao ´e adjacente a vt+1, ent˜ao existe algum v´ertice vkno conjunto

{v2, v3, . . . , vt−1} tal que vk ´e adjacente a vt+1, e vk+1 ´e adjacente a v1.

Pois, se supusermos que para cada vk em {v2, v3, . . . , vt−1} que é adja-cente a vt+1, temos vk+1 n˜ao adjacente a v1, então existem no máximo d(vt+1)− 1 vértices em {v2, v3, . . . , vt−1} que são adjacentes a vt+1. Portanto, temos d(vt+1)− 1 vértices vk+1 n˜ao adjacentes a v1. Então:

d(v1)≤ t − 1 − (d(vt+1)− 1) = t − d(vt+1)⇒ d(v1) + d(vt)≤ t ≤ n − 1

(pois se h´a n v´ertices o valor m´aximo de t quando v1 e vt+1 são não adjacentes ´e n− 1, caso contrário, se o caminho P tivesse comprimento

n deveria ter n + 1 v´ertices. Da mesma forma, não ´e poss´ıvel t > n) Então, o n´umero de arestas que incidem em v1 somado ao número de

aretas que incidem em vt ´e no m´aximo n− 1 Logo: mGmax = (n− 1) + (n− 2)(n − 3) 2 = n2− 3n + 4 2 Portanto: m≤ n 2− 3n + 4 2 = m(Pn,n−2)

Como estamos supondo m > n2−3n+4₂ , chegamos a uma contradi¸cão, então vale a afirma¸cão 3.

Observe que

P′ = v1v2. . . vkvt+1vtvt−1vt−2. . . vk+1

´e um caminho de comprimento t, cujos extremos v1 e vk+1 s˜ao adjacentes. Agora, basta repetir o racioc´ınio do caso 1 para P′ concluindo a demons-tra¸c˜ao.

4.2 Teoremas espectrais importantes

Em [5], Fiedler e Nikiforov provam o seguinte resultado, que fornece uma condi¸cão suficiente sobre o ´ındice de adjacência de um grafo para que esse grafo seja hamiltoniano.

(37)

Teorema 4.2.1. [5] Seja G um grafo com n v´ertices, m arestas e seja λ(G) o ´ındice de adjacˆencia de G. Se

λ(G) > n− 2

Então, G contém um ciclo hamiltoniano ou G é o abacaxi P(n,n₋₂₎.

Demonstra¸c˜ao. Suponha λ(G) > n− 2. Pela desigualdade de Stanley:

λ(G)≤ − 1 2+ √ 2m + 1 4 Ent˜ao: n− 2 < λ(G) ≤ −1 2 + √ 2m + 1 4 ⇒ n − 2 +1 2 < √ 2m + 1 4 ⇒ (n − 3 2) 2 < 2m + 1 4 ⇒ n2_{− 3n +} 9 4 − 1 4 < 2m ⇒ 2m > n2_{− 3n +}8 4 = n 2_{− 3n + 2} ⇒ m > n2− 3n + 2 2

Pelo teorema 4.1.3, G ´e hamiltoniano ou G = P(n,n−2).

Também em [5], encontramos o próximo resultado, que fornece outra condi¸cão suficiente para garantir que um grafo seja hamiltoniano, dessa vez uma condi¸cão sobre o ´ındice de adjacência do complementar do grafo anali-sado.

Teorema 4.2.2. [5]

Seja G um grafo com n vértices e λ(G) o ´ındice de adjacência do seu complementar. Se λ(G) ≤ √n− 2, então G contém um ciclo hamiltoniano ou G = P(n,n−2).

(38)

Demonstra¸c˜ao. Seja H o n-fecho de G. Assuma que G n˜ao possui ciclo hamiltoniano. Ent˜ao, pelo fato 2, H n˜ao tem ciclo hamiltoniano.

A propriedade principal de H, nos diz:

dH(u) + dH(v)≤ n − 1 [1.1]

para cada par de v´ertices n˜ao adjacentes u e v de H. Ent˜ao:

d_H(u) + d_H(v) = (n− 1 − dH(u)) + (n− 1 − dH(v)) = n + (n− 2) − (dH(u) + dH(v)) De 4.2 d_H(u) + d_H(v)≥ n + (n − 2) − n + 1 isto ´e: d_H(u) + d_H(v)≥ n − 1 para todo par de v´ertices n˜ao adjacentes u e v de H.

Como cada termo d_H(u) aparece no somat´orio precisamente d_H(u) vezes, temos: ∑ uv∈E(H) (d_H(u) + d_H(v))≥ |E(H)|_∑ 1 (n− 1)

⇒ [dH(u) + dH(v)] + . . . + [dH(u) + dH(v)]≥ (n − 1)|E(H)|

⇒ [dH(u) + . . . + dH(u)] + [dH(v) + . . . + dH(v)]≥ n|E(H)| − |E(H)|

⇒ dH(u)× dH(u) + dH(v)× dH(v)]≥ n|E(H)| − |E(H)|

⇒ ∑

u∈V (H)

d_H2(u)≥ n|E(H)| − |E(H)|

Usando a desigualdade de Hofmeister (λ ≥ √ 1 n ∑ u∈V d2(u) ⇒ nλ 2 _≥ ∑ u∈V d 2_{(u)), obtemos:} nλ2_(H) ≥ ∑ u∈V (H)

d2_H(u)≥ n|E(H)| − |E(H)|

Como H ⊆ G e por hip´otese, λ(G)≤√n− 2, temos: λ_(H)≤ λ(G)≤√n− 2

⇒ n − 2 ≥ λ2

(G)≥ λ

2 (H)

(39)

⇒ n(n − 2) ≥ nλ2 (G)≥ nλ 2 (H) ≥ n|E(H)| − |E(H)| ⇒ n(n − 2) ≥ n|E(H)| − |E(H)| ⇒ n(n − 2) ≥ n|E(H)| − |E(H)| ⇒ n(n − 2) ≥ |E(H)|(n − 1) ⇒ |E(H)| ≤ n(n− 2) n− 1

Como|E(H)| = n(n−1)₂ − |E(H)|, temos:

|E(H)| = n(n− 1) 2 − |E(H)| ≥ n(n− 1) 2 − n(n− 2) n− 1 ⇒ |E(H)| = n(n− 1)2− 2n(n − 2) 2(n− 1) > (n− 1)(n − 2) 2 = n2− 3n + 2 2 A ´ultima desigualdade ´e verdadeira pois:

n(n− 1)2− 2n(n − 2) 2(n− 1) > (n− 1)(n − 2) 2 ⇔ n(n − 1)2_{− 2n(n − 2) > (n − 1)}2_(n_{− 2)} ⇔ n(n − 1)2 _{> (n}_{− 1)}2_(n_{− 2) + 2n(n − 2)} ⇔ n(n2_{− 2n + 1) > (n − 2)(n}2_{+ 1)} ⇔ n3_{− 2n}2_{+ n > n}3_{+ n}_{− 2n}2_{− 2} ⇔ 2 > 0 Ent˜ao: |E(H)| > n2− 3n + 2 2

Como H n˜ao possui ciclo hamiltoniano, o teorema 4.1.3 implica que H =

P(n,n−2). Se G = H, a prova est´a completa.

Vamos supor que G ´e subgrafo pr´oprio de P(n,n−2). Ent˜ao G ´e a estrela K1,n−2 com algumas arestas adicionais. Al´em disso, G cont´em um subgrafo

pr´oprio conexo de K1,n−2. Assim, pelo teorema de Perron-Frobenius λ_(G)> λ(K1,n−2) =

√ n− 2

mas isto contradiz a hip´otese. Portanto, se G̸= P(n,n₋₂₎, G ´e hamiltoni-ano.

(40)

Podemos observar que as provas dos resultados encontrados em [5] baseiam-se no teorema 4.1.3, que é equivalente ao teorema 4.1.1 (teorema de Ore). Portanto, as condi¸cões suficientes de hamiltonicidade obtidas pelo ´ındice do grafo são essencialmente as mesmas de Ore. No cap´ıtulo a seguir, apresen-taremos resultados encontrados em nossa pesquisa, que fornecem condi¸cões análogas às condi¸cões apresentadas nesse cap´ıtulo, para grafos hiperhamilto-nianos.

(41)

Cap´ıtulo 5

Grafos hiperhamiltonianos

Um grafo é dito hiperhamiltoniano se ele é hamiltoniano, e ao retirar um vértice qualquer de seu conjunto de vértices, o grafo obtido é um grafo hamiltoniano.

Figura 5.1: O grafo é hiperhamiltoniano: é hamiltoniano, e quando retiramos um vértice qualquer, obtemos um grafo hamiltoniano.

Como visto nos resultados anteriores, existe na literatura condi¸cões sufi-cientes sobre o espectro de um grafo para que ele seja hamiltoniano. Porém, não existem condi¸cões sobre os autovalores de um grafo para verificar hi-perhamiltonicidade. Neste cap´ıtulo, apresentamos condi¸cões suficientes para que um grafo seja hiperhamiltoniano, em especial, encontramos condi¸cões relacionadas ao ´ındice da matriz de adjacência.

(42)

Figura 5.2: O grafo não é hiperhamiltoniano: é hamiltoniano, porém, existe pelo menos um vértice que, quando retirado, obtém-se um grafo que não é hamiltoniano.

5.1 Condi¸

c˜

oes suficientes n˜

ao espectrais para

um grafo ser hiperhamiltoniano

De acordo com a defini¸cão de grafo hiperhamiltoniano, se provarmos que um grafo é hamiltoniano e provarmos que o grafo obtido ao retirar um vértice qualquer também é hamiltoniano, então teremos provado que o grafo é hi-perhamiltoniano. Utilizando o teorema 4.1.1 (teorema de Ore), encontramos o seguinte resultado:

Teorema 5.1.1. Dado um grafo G com n ≥ 3 v´ertices, suponha que para

cada par de v´ertices u e v de G, n˜ao adjacentes, vale dG(u) + dG(v)≥ n + 1.

Ent˜ao G ´e hiperhamiltoniano.

Demonstra¸c˜ao. Se para cada par de v´ertices u, v n˜ao adjacentes em G vale dG(u) + dG(v)≥ n+1, ent˜ao dG(u) + dG(v)≥ n. Portanto, pelo teorema de Ore 4.1.1, G ´e hamiltoniano.

Seja G′ = G− w; tal que w ∈ V (G). Sejam u e v v´ertices n˜ao adjacentes em G′. Da´ı, u e v s˜ao n˜ao adjacentes em G.

Ent˜ao, em G′ temos:

1. Se w e u s˜ao n˜ao adjacentes e w e v s˜ao n˜ao adjacentes:

(43)

Como o n´umero de v´ertices de G′ ´e igual a n− 1, pelo teorema 4.1.1,

G′ ´e hamiltoniano.

2. Se w e u s˜ao n˜ao adjacentes e w e v s˜ao adjacentes (ou, se w e u s˜ao adjacentes e w e v s˜ao n˜ao adjacentes):

dG(u)+dG(v) = dG′(u)+1+dG′(v)≥ n+1 ⇒ dG′(u)+dG′(v)≥ n > n−1 Analogamente `a justiﬁcativa do item 2, conclu´ımos que G′ ´e hamilto-niano.

3. Se w ´e adjacente a u e v:

dG(u)+dG(v) = dG′(u)+1+dG′(v)+1≥ n+1 ⇒ dG′(u)+dG′(v)≥ n−1 Novamente pelo teorema de Ore, conclu´ımos que, tamb´em nesse caso,

G′ ´e hamiltoniano.

Como os trˆes casos podem ocorrer em G com a retirada de um vértice w qualquer, e nesses três casos conclu´ımos que o grafo obtido é hamiltoniano, ent˜ao G ´e um grafo hiperhamiltoniano.

Analogamente ao teorema 4.1.1 (teorema de Ore), o teorema dá condi¸cões suficientes para um grafo ser hiperhamiltoniano através da soma dos graus dos pares de vértices não adjacentes. Também encontramos um resultado análogo ao teorema 4.1.3, que analisa hiperhamiltonicidade pelo número de arestas do grafo.

Teorema 5.1.2. Dado um grafo G com n≥ 3 v´ertices e m arestas, se

m > n

2_{− 3n + 4}

2

Ent˜ao G ´e hiperhamiltoniano ou G = P(n,n−2)+ e.

Demonstra¸c˜ao. Observe que:

m(P(n,n−2)+e)= m(Pn,n−2)+ 1 = n2− 3n + 4 2 + 1 > n2− 3n + 4 2 Suponha G̸= P(n,n₋₂₎+ e. Como n2− 3n + 4 2 > n2 − 3n + 2 2 ,

(44)

pelo teorema 4.1.3, G ´e hamiltoniano ou G = P(n,n−2). Como mG > n2_−3n+4

2 = m(P(n,n−2)), G̸= P(n,n−2), portanto G ´e hamiltoniano.

Seja G′ = G− v, tal que v ∈ V (G). Ent˜ao, o menor n´umero de arestas poss´ıvel de G′ ´e m(G)− (n − 1). Logo:

m_(G′₎ ≥ m(G)− n + 1

Como estamos considerando mG> n

2_−3n+4 2 , temos: m_(G′₎> n 2_{− 3n + 4} 2 − n + 1 = n 2_{− 3n + 4 − 2n + 2} 2 = n 2− 5n + 6 2 = (n 2_{− 2n + 1) − 3n + 3 + 2} 2 = (n− 1) 2_{− 3(n − 1) + 2} 2 Fazendo n′ = n− 1, temos: m_(G′₎> (n ′ )2− 3n′ + 2 2

Como o n´umero de v´ertices de G′ ´e igual a n′ = n−1, pelo teorema 4.1.3,

G′ ´e hamiltoniano ou G′ = P_(n′_,n′₋₂₎.

Se G′ = P_(n′_,n′₋₂₎, ent˜ao o v´ertice v retirado de G para obter G′, deve ser

adjacente ao v´ertice independente de P_(n′_,n′₋₂₎ e adjacente a pelo menos um dos v´ertices da clique de P_(n′_,n′₋₂₎, caso contr´ario, G n˜ao ser´a hamiltoniano.

Como estamos supondo G̸= P(n,n₋₂₎+ e, temos:

mG< mP(n,n−2)+e= mP_{(n′ ,n′}₋₂₎+ n− 1 ⇒ mG ≤ (n′)2 − 3n′ + 4 2 + n− 2 ⇒ mG ≤ (n− 1)2− 3(n − 1) + 4 2 + n− 2 ⇒ mG≤ (n2− 2n + 1) − 3n + 3 + 4 + 2n − 4 2

(45)

⇒ mG ≤

n2− 3n + 4

2

o que contradiz a hip´otese. Portanto, G′ ̸= P_(n′_,n′₋₂₎.

Logo, G′ ´e hamiltoniano, e portanto, conclu´ımos que G ´e hiperhamilto-niano.

5.2 Condi¸

c˜

oes suficientes espectrais para um

grafo ser hiperhamiltoniano

Um dos objetivos da pesquisa é encontrar a caracteriza¸cão para grafos hiperhamiltonianos pelo seu espectro de adjacência. Em [5], encontramos os teoremas 4.2.1 e 4.2.2, que fornecem condi¸cões suficientes para grafos hamiltonianos através do ´ındice da adjacência do grafo e do ´ındice da ad-jacência do grafo complementar. Analisando esses teoremas, tentamos en-contrar condi¸cões análogas às de [5] para um grafo ser hiperhamiltoniano. Para encontrar tais condi¸cões precisamos primeiramente provar os seguintes resultados preliminares.

Proposi¸c˜ao 5.2.1. Seja G um grafo com n v´ertices. A propriedade de G ser hiperhamiltoniano ´e (n + 1)-est´avel.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grafo com n v´ertices, tal que, para todo u,

v ∈ V (G) n˜ao adjacentes, G+uv ´e hiperhamiltoniano e dG(u)+dG(v)≥ n+1. Logo, pelo teorema 4.1.1, G ´e hamiltoniano.

Seja G′ = G− {w}, w ∈ V (G). Observe que

G′ + uv = (G + uv)− {w}; u, v, w ∈ V (G); u n˜ao adjacente a v. que ´e hamiltoniano, pois G + uv ´e hiperhamiltoniano. Ent˜ao:

• Se w é um vértice não adjacente a u e não adjacente a v, temos d_G′(u) + d_G′(v)≥ n + 1 > n − 1

• Se w é um vértice adjacente a u e não adjacente a v (ou adjacente a v

e n˜ao adjacente a u), temos

(46)

• Se w ´e um v´ertice adjacente a u e adjacente a v, temos d_G′(u) + d_G′(v)≥ (n + 1) − 2 = n − 1

Como o número de v´ertices de G′ ´e n− 1, pela proposi¸cão 4.1.1, G′ é hamiltoniano, e portanto, G ´e hiperhamiltoniano

Ent˜ao, a propriedade de G ser hiperhamiltoniano ´e (n + 1)-est´avel.

Proposi¸c˜ao 5.2.2. Um grafo G ´e hiperhamiltoniano se, e somente se, o

(n + 1)-fecho de G ´e hiperhamiltoniano.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grafo com n v´ertices e H o (n + 1)-fecho de G. Se G é hiperhamiltoniano, como G é subgrafo de H, então H ´e hiperha-miltoniano.

Se H ´e hiperhamiltoniano, pelas proposi¸c˜oes 2.5.1 e 5.2.1 G ´e hiperha-miltoniano.

Assim, depois de estudarmos e analisarmos as demonstra¸cões das pro-posi¸cões 4.2.1 e 4.2.2 de [5], juntamente com os resultados anteriores, conse-guimos provar as seguintes condi¸cões suficientes que garantem que um grafo seja hiperhamiltoniano, conhecendo seu ´ındice de adjacência e o ´ındice de adjacência do grafo complementar.

Proposi¸c˜ao 5.2.3. Seja G um grafo com n v´ertices, m arestas e seja λ(G) o ´ındice da adjacˆencia de G. Se

λ(G) > √ (n−3 2) 2_{+ 2}− 1 2

Ent˜ao, G ´e hiperhamiltoniano ou G = P(n,n−2)+ e.

Demonstra¸c˜ao. Suponha λ(G) > √ (n− 3₂)2_{+ 2}−1 2. Observe que _√ (n− 3 2) 2_{+ 2}− 1 2 > n− 2 ⇔ √ (n− 3 2) 2 _{+ 2 > n}− 3 2

(47)

⇔ (n − 3 2) 2_{+ 2 > (n}₋3 2) 2 ⇔ 2 > 0 Portanto, λ(G) > √ (n− 3₂)2_{+ 2}−1

2 > n− 2. Pela proposi¸c˜ao 4.2.1, G ´e

hamiltoniano ou ´e o P(n,n−2).

Pela desigualdade de Stanley:

λ(G)≤ −1 2 + √ 2m + 1 4 Ent˜ao: √ (n− 3 2) 2_{+ 2}− 1 2 < λ(G) ≤ − 1 2 + √ 2m + 1 4 ⇒ √ (n−3 2) 2_{+ 2 <} √ 2m +1 4 ⇒ (n − 3 2) 2_{+ 2 < 2m +}1 4 ⇒ n2_{− 3n +} 9 4+ 2 < 2m + 1 4 ⇒ n2_{− 3n +} 17 4 − 1 4 < 2m ⇒ 2m > n2_{− 3n +} 16 4 = n 2_{− 3n + 4} ⇒ m > n2− 3n + 4 2

Pelo teorema 5.1.2, G ´e hiperhamiltoniano ou G = P(n,n−2)+ e.

Teorema 5.2.1. Seja G um grafo com n v´ertices e λ(G) o ´ındice de ad-jacˆencia do seu complementar. Se λ_(G) ≤

√

(n−2₂ )− (n−2_n ), ent˜ao G ´e hi-perhamiltoniano ou G = P(n,n−2)+ e.

Demonstra¸c˜ao. Seja I o (n + 1)-fecho de G. Assuma que G n˜ao seja hiperhamiltoniano. Ent˜ao, pela proposi¸c˜ao 5.2.2, I n˜ao ´e hiperhamiltoniano. A propriedade principal de I, nos diz:

(48)

para cada par de vértices n˜ao adjacentes u e v de I. Ent˜ao: d_I(u) + d_I(v) = (n− 1 − dI(u)) + (n− 1 − dI(v)) = n + (n− 2) − (dI(u) + dI(v)) Da desigualdade anterior,, d_I(u) + d_I(v)≥ n + (n − 2) − n isto é: d_I(u) + d_I(v)≥ n − 2 para todo par de vértices n˜ao adjacentes u e v de I.

Como cada termo d_I(u) aparece no somat´orio precisamente d_I(u) vezes, temos: ∑ uv∈E(I) (d_I(u) + d_I(v))≥ |E(I)|_∑ 1 (n− 2)

⇒ [dI(u) + dI(v)] + . . . + [dI(u) + dI(v)]≥ (n − 2)|E(I)|

⇒ [dI(u) + . . . + dI(u)] + [dI(v) + . . . + dI(v)]≥ n|E(I)| − 2|E(I)|

⇒ dI(u)× dI(u) + dI(v)× dI(v)]≥ n|E(I)| − 2|E(I)|

⇒ ∑

u∈V (I)

d_I2(u)≥ n|E(I)| − 2|E(I)|

Usando a desigualdade de Hofmeister (λ ≥ √ 1 n ∑ u∈V d2(u) ⇒ nλ 2 _≥ ∑ u∈V d 2_{(u)), obtemos:} nλ2_(I) ≥ ∑ u∈V (I)

d2_I(u)≥ n|E(I)| − 2|E(I)|

Como I ⊆ G e por hip´otese, λ(G) ≤ √ (n−2₂ )− (n−2_n ), temos: λ_(I) ≤ λ(G)≤ √ (n− 2 2 )− ( n− 2 n ) ⇒ (n− 2 2 )− ( n− 2 n ))≥ λ 2 (G) ≥ λ 2 (I) ⇒ n(n− 2 2 )− (n − 2) ≥ nλ 2 (G)≥ nλ 2

(49)

⇒ n(n− 2) 2 − (n − 2) ≥ n|E(I)| − 2|E(I)| ⇒ n(n− 2) 2 − (n − 2) ≥ |E(I)|(n − 2) ⇒ |E(I)| ≤ n(n− 2) 2(n− 2) − n− 2 n− 2 ⇒ |E(I)| ≤ n 2 − 1 Como|E(I)| = n(n₂−1) − |E(I)|, temos:

|E(I)| = n(n− 1) 2 − |E(I)| ≥ n(n− 1) 2 − n 2 + 1 ⇒ |E(I)| ≥ n(n− 2) 2 + 1 Como n(n− 2) 2 + 1 > n2 − 3n + 4 2 = (n− 1)(n − 2) 2 + 1 ⇔ n(n− 2) 2 > (n− 1)(n − 2) 2 ⇔ n(n − 2) > (n − 1)(n − 2) ⇔ n > (n − 1) ⇔ 1 > 0 Ent˜ao: |E(I)| > n2− 3n + 4 2

Como I n˜ao ´e hiperhamiltoniano, o teorema 5.1.2 implica que I = P(n,n−2)+ e. Se G = I, a prova est´a completa.

Vamos supor que G ´e subgrafo pr´oprio de P(n,n−2)+e. Observe que P(n,n−2)

´

e um subgrafo pr´oprio de P(n,n−2)+ e, e portanto os subgrafos de P(n,n−2) s˜ao

tamb´em subgrafos de P(n,n−2) + e. Ent˜ao, se G ´e um desses subgrafos ou

o pr´oprio P(n,n−2), analogamente à conclusão da demonstra¸cão do teorema

4.2.2, temos: λ(G)≥ λ(K1,n₋₂) = √n− 2 > √ (n− 2 2 )− ( n− 2 n )

(50)

√ n− 2 > √ (n− 2 2 )− ( n− 2 n ) ⇔ n − 2 > (n− 2 2 )− ( n− 2 n ) ⇔ n − 2 > (n − 2)(1 2− 1 n) ⇔ n− 2 n− 2 > 1 2 − 1 n ⇔ 1 > 1 2 − 1 n ⇔ n > n 2 − 1 ⇔ n − n 2 >−1 ⇔ n 2 >−1 ⇔ n > −2 Portanto, se G̸= P(n,n₋₂₎+ e, G ´e hiperhamiltoniano.

(51)

Cap´ıtulo 6

Hamiltonicidade,

hiperhamiltonicidade e outras

matrizes

Nos cap´ıtulos anteriores foram apresentados resultados relacionando gra-fos hamiltonianos e hiperhamiltonianos com o espectro de adjacência desse grafo. Existem outras matrizes que podem ser associadas a grafos além da matriz de adjacência. Estudamos algumas dessas matrizes e investigamos resultados que relacionam hamiltonicidade e hiperhamiltonicidade com os autovalores dessas matrizes.

6.1 Matriz laplaciana

Seja D a matriz diagonal dos graus dos v´ertices de um grafo G (ou seja, a matriz D tal que Dii = d(vi)) e seja A a matriz de adjacˆencia de G. A

matriz laplaciana de G é a matriz L = D− A. Neste cap´ıtulo, apresentamos condi¸cões suficientes para um grafo ser hamiltoniano e ser hiperhamiltoniano, sobre os autovalores da matriz Laplaciana associada a esse grafo.

6.1.1 Resultados conhecidos da literatura sobre o

es-pectro da matriz laplaciana

Os seguintes resultados são conhecidos na literatura da teoria espectral de grafos e serão utilizados para provar os próximos resultados.

Teorema 6.1.1. [10] Seja G um grafo threshold de n v´ertices, com tra¸co T e sequência de graus [d1, d2, . . . , dn] em ordem não-crescente. Então, a

(52)

sequˆencia (n˜ao-crescente) [µ1, µ2, . . . , µn] de autovalores laplacianos de G

pode ser obtida da seguinte maneira: 1. Se 1≤ i ≤ T , ent˜ao µi = di+ 1

2. Se T + 1 ≤ i ≤ n − 1, ent˜ao µi = di+1

3. µn= 0

Teorema 6.1.2. [6] Seja G um grafo, e a(G) a conectividade alg´ebrica de G, ou seja, o autovalor µn−1 de G. Seja G1 o grafo obtido pela retirada de k v´ertices de G. Ent˜ao, a(G)≤ a(G1) + k.

6.1.2 Novas condi¸

c˜

oes de hamiltonicidade para grafos

threshold

Utilizando resultados vistos anteriormente, conseguimos obter condi¸cões sobre os autovalores da matriz Laplaciana de um grafo threshold, que garan-tem que esse grafo seja hamiltoniano. Esses resultados são decorrência dos teoremas de Ore e Dirac, respectivamente.

Proposi¸c˜ao 6.1.1. Seja G um grafo threshold com n v´ertices e tra¸co T ≤

(n− 3). Seja µ1, µ2, . . . , µn a sequˆencia n˜ao-crescente de autovalores

laplaci-anos de G.Ent˜ao:

µ(n−1)+ µ(n−2) ≥ n ⇒ G ´e hamiltoniano.

Demonstra¸c˜ao. Suponha µ(n−1)+ µ(n−2) ≥ n.

Seja d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dn a sequência não-crescente dos graus dos vértices de G.

Pelo teorema 6.1.1,

µ(n−1) = dn e µ(n−2)= dn−1

Como dne dn−1 s˜ao os menores graus de v´ertices de G, para qualquer par de v´ertices v1,v2 de G, em particular para os pares de v´ertices n˜ao adjacentes,

temos:

dv1+ dv2 ≥ dn+ dn−1 = µ(n−1)+ µ(n−2) ≥ n

Logo, pelo teorema 4.1.1, G ´e hamiltoniano.