PCNA - Matemática AULA 1

(1)

PCNA - Matemática

(2)

PCNA - Matemática

Aritmética:

• Operações básicas com frações • Potenciação

• Radiciação • Módulo

(3)

Necessário para o Cálculo 1:

• Polinômios

• Operações com expressões algébricas • Intervalos, inequações e módulo

• Funções • Geometria • Trigonometria

(4)

1. Aritmética e

Expressões

(5)

1.1 Ordem e precedência dos

cálculos

• Exemplos: 1) 2 + 1 × 2 − 6₂ × 5 + 3 2) 2 + 1 . 2 − 6₂ . 5 + 3 3) 2 + 1 . 2 − 6₂ . 5 + 3

(6)

1.2 Operações com Números

Fracionários

1.2.1 Soma e Subtração • 1º Caso: 𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑐 • 2º Caso: 𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑑

(7)

Exemplos

Ex 1:

2 5

+

4 5

Ex 2:

23 10

+

3 10

Ex 3:

9 8

+

2 8

−

1 8

(8)

Ex 4:

2 3

+

9 4

Ex 5:

2 5

+

8 9

-

7 12

(9)

1.2.2 Multiplicação de

Números Fracionários

𝑎 𝑐 × 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 × 𝑏 𝑑

(10)

Exemplos

Ex 1:

3 14

×

21 15

Ex 2:

1 10

×

2 5

Ex 3:

10 × 5₃ + 2₄

(11)

1.2.3 Divisão de Números

Fracionários

Conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

𝑎 𝑐 𝑏 𝑑

(12)

Exemplos

Ex 1:

1 7 2 5

Ex 2:

11 5 2 10

Ex 3:

35 14 28 12

(13)

Resolva

1) Encontre o valor de A 𝐴 = 1 − 1_{4 +} 1 1 + 1₄ 1 + 1_{4 −} 1 1 + 1₄

(14)

1.3 Expressões Algébricas

• Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas.

Exemplos: 1) 2 x₃ − 7_x 2) 2 x:y x − 4 x y

(15)

Exemplos:

Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões

algébricas abaixo:

1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 3) 𝑥 − 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 4) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦

(16)

• A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto,

respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas.

• Exemplos:

1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏 2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦

(17)

1.3.1 Simplificação de Frações

Algébricas

• Exemplos: 1) 2x;4y_2x 2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑎 + 𝑏

(18)

Resolva

2) Calcule a expressão 2𝑎 𝑥 − 3 + 𝑎 𝑥 − 2𝑎𝑥 𝑥2 _{− 3𝑥} . 𝑥 2𝑎 3) Resolva a expressão (𝑥 + 1_{𝑥 − 2 +} 𝑥 − 3_{𝑥 + 2)} 2𝑥2 _{− 2𝑥 + 8} 𝑥 − 2

(19)

1.4 Potenciação

• Potenciação

- Forma:

𝑎

m

• Exemplos:

1) 2

4

2) −2

2

3) 3

3

4) −3

3

(20)

PROPRIEDADES

• Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚 inteiros:

1) Potência de expoente nulo e igual a 1: 𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎

2) Potência de base igual a 1: 1𝑛 = 1

3) Potencia de expoente negativo: 𝑎;𝑛 = 1

𝑎𝑛

4) Multiplicação de potências de mesma base: 𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛:𝑚

(21)

5) Divisão de potências de mesma base: 𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛;𝑚

6)Multiplicação de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7) Divisão de potências de expoentes iguais: 𝑎𝑛

𝑏𝑛 =

𝑎 𝑏

𝑛

8) Potência de uma potência:

(22)

Exemplos

Ex 1: 4

4

_{× 4}

1

Ex 2: 2

4

_{÷ 2}

1

Ex 3: 10

3 2

Ex 4:

2 7 ;3

Ex 5: 2 × 11

5

(23)

Exemplos

Ex. 6: 24 2 + 42 22 + −3 ;3 Ex. 7: −3 ;2 ₋ ;3 7 ;3 Ex. 8: 𝑥3_{𝑦 𝑥 𝑦} ;2

(24)

Nos exemplos abaixo,

determine o valor de 𝑥.

Ex. 9: 3𝑥 _{= 9}

Ex. 10: 2𝑥 _{+ 2}𝑥:1 _{= 24}

(25)

Resolva

4) A expressão é igual a: 2 𝑥2𝑦 . 3(𝑥2𝑦3) 𝑥²𝑦² 5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0 a) (𝑎_(𝑎.𝑏4..𝑏₂2_)²)³ b) 𝑎4._{. 𝑏}3 3_{. (𝑎}2_{. 𝑏)²}

(26)

Resolva

6)Calcule o valor das expressões:

a) 2−1; ;2₂₂₊2₂:(;2)₋₂ −1 b) 32;3−2 32:3−2 c) −1 2 2 . 1₂ 3 −1 2 2 3

(27)

Resolva

* Encontre o valor de x que satisfaz a equação:

(28)

1.5 Radiciação

• A radiciação é uma operação matemática inversa da potenciação, ou seja, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 _{= 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏}_𝑛 _{= 𝑎} 𝒂 𝒏 _{= 𝒃} índice radicando raiz

(29)

• Propriedades:

Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0

1) Raiz de radicando nulo: 0 𝑛

= 0 2) Raiz de índice unitário nulo:

𝑎

1 _{= 𝑎}

3) Produto de radicais de mesmo índice: 𝑎

𝑛 _{. 𝑏}𝑛 _{. 𝑐}𝑛 ₌ 𝑛 _{𝑎. 𝑏. 𝑐}

4) Divisão de radicais com mesmo índice:

𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎_𝑏 𝑛  Ex: (3 4₅) = 3 4 5 3

1.5 Radiciação

(30)

5) Potência de uma raiz:

( 𝑎𝑛 ₎_𝑚_{= 𝑎}𝑛 _𝑚_{ Ex:} 2 ₄ 3 ₌ 2 ₄₃

6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice: ( 𝑎𝑛 ₎_𝑛_{= 𝑎}

7) Raiz de uma raiz:

𝑎 𝑛 𝑚

= 𝑛.𝑚 𝑎

8) Multiplicação de raiz por uma constante

(31)

• A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em forma de potência como:

𝑎𝑚

𝑛

(32)

Exemplos

Ex 1: 5

Ex 2: 16

Ex 3: 20

Ex 4: 8

3

Ex 5: 72

3

(33)

Exemplos

• Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: Ex. 6: −273 . 108

Ex. 7: 36 5_∙ 3 3

3

• Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0

EX.. 8: 𝑎 . 𝑎 Ex. 9: 𝑎3 _{. 𝑎}3

(34)

1.6. Racionalização de

denominadores

• 1° Caso:

𝒂

𝒃

• Exemplos: 30 2 3 4 × 6 2 + 5 7

(35)

• 2° Caso:

𝒂

𝒄 ± 𝒃

Exemplo: 23 4 : 7

(36)

• 3° Caso 𝒂 𝒃𝒏 𝒎 Exemplo: 21 72 5 3 67 3

(37)

Resolva

1) Reduza à expressão mais simples

(𝒂 𝒃. 𝒃𝟒 )/ 𝒂. 𝒃𝟑

2) Encontre o Valor de y

𝑦 = 3;2 + 2;1 1 − 7. 2;3

(38)

(39)

PCNA - Matemática

Aritmética: • Logaritmos • Módulo

(40)

1.7. Logaritmos

log

_𝑏

𝑎 = c  𝑏

𝑐

= 𝑎

(41)

Exemplos:

1) log 100 = 𝑥 2) log 0,1 = 𝑥 3) 𝑙𝑜𝑔₂ 4 = 𝑥 4) 𝑙𝑜𝑔₂ 1 32 = 𝑐 5) 𝑙𝑜𝑔₃ 1 = 𝑥

(42)

6) 𝑙𝑜𝑔1

4 (2 2) = 𝑥

7) ln1

𝑒 = 𝑐

(43)

1.7.1. Propriedades dos

logaritmos

1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0. 𝑙𝑜𝑔_𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑏0 = 0 2) Logaritmo da base é 1. 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑏1 = 1 3) Logaritmo de um produto 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎. 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑐 4) Logaritmo de um quociente 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

(44)

5) Logaritmo de uma potência

𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎

6) Mudança da base b para a base c 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔_𝑐 𝑏

7) Igualdade de logaritmos de mesma base 𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔_𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦

8) Potência de base b e expoente log_𝑏 𝑎 é igual a a. 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎

(45)

Exemplos

1) 𝑙𝑜𝑔 0,1 ∙ 10 2) 𝑙𝑜𝑔₂ 1 16 3) 2𝑙𝑜𝑔2 4 4) 4𝑙𝑜𝑔2 4 5) 𝑒;3 𝑙𝑛 𝑥 6) 3 ln 𝑎 + ln 𝑏 − ln(𝑒)

(46)

Exemplos:

7) log ₂ 𝑥 = −3

8) 3 ln 𝑥 = 2

9) 2 𝑙𝑜𝑔₂ 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔₂ 4

(47)

1.3.2. Tipos particulares

de logaritmos

(48)

Exemplos

Ex 1:

log 100

Ex 2:

log 1000

Ex 3:

log

1

10 Ex 4:

log

1 10000

(49)

Exemplos

Ex 1:

ln 𝑒

Ex 2:

ln 𝑒

3 Ex 3:

ln

1

(50)

1) Encontre o valor de: 𝑙 = 𝑙𝑜𝑔3 9 + 𝑙𝑜𝑔2 1 2 𝑙𝑜𝑔 100 + 𝑙𝑛 𝑒;3 + 𝑙𝑜𝑔 1000 − 𝑙𝑜𝑔₄ 1/16 𝑙𝑛 𝑒2 _{+ 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔 100}

2) Obtenha o valor da expressão:

log

₃

1 : log 0,01

log

₂₆₄1

× log

₄

8

(51)

Questões da Apostila

12) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula

𝑅1 − 𝑅2 = log₁₀ 𝑀1 𝑀2

Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um

correspondente a R1=8 e outro correspondente a R2=6. Calcule a razão 𝑀1_𝑀2

(52)

Resolva

Questões da apostila: 13) Calcule o valor de S:

(53)

Resolva

Questões da Apostila

14) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log₃(𝑥:4)

(54)

(55)

PCNA - Matemática

(56)

1.8. Módulo ou Valor Absoluto

A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto, também chamado de módulo, representado por 𝑥

definido por : 𝑥 = _{−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0}𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

(57)

• Propriedades 1) 𝑥 ≥ 0 2) 𝑥 = | − 𝑥| 3) 𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦| 4) 𝑥/𝑦 = 𝑥 /|𝑦| com 𝑦 ≠ 0 5) 𝑥 = 𝑦 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦 6) 𝑥𝑛 𝑛 ₌ 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ; 𝑥 ∈ ℛ • Observação: 𝑥 ± 𝑦 ≠ 𝑥 ± |𝑦|

(58)

Exemplos:

1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo, calcule: 𝑎) −3 + 5 𝑏) −3 − 5 − −3 𝑐) −2 . 3 𝑑) −3 2 𝑒) 3 −3 3 𝑓) 2 𝑥 + 1 𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3

(59)

Exemplos:

2) Considerando 𝑎 = 10, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões: 𝑎) 𝑎2. 𝑏 𝑏) 𝑎 𝑐 𝑐) 𝑐2 2 𝑑) 𝑐3 3 𝑒) 𝑎 − 𝑏

(60)

Exemplos:

3) Resolva as equações abaixo: 𝑎) 𝑥 + 2 = 8

𝑏) 2𝑥 + 1 = 3

𝑐) 4𝑥 + 1 = |5 − 2𝑥| 𝑑) 𝑥2 _{= 8}

(61)

Resolva

• Questões da apostila 22) Resolva as equações: a) 5𝑥 − 3 = 12 c) 3𝑥 + 1 = |𝑥 − 3| f) 𝑥 2 _{+ 𝑥 − 6 = 0}

(62)

Resolva

23) Elimine o módulo:

a) 𝑥 + 1 + |𝑥|

(63)

1.9. Polinômios

Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 da seguinte forma: 𝑝 𝑥 = 𝑎_𝑛𝑥𝑛 + 𝑎_𝑛;1𝑥𝑛;1 + 𝑎_𝑛;2𝑥𝑛;2 + ⋯ +𝑎₁ 𝑥 + 𝑎₀𝑥0 Exemplos: 𝑎 𝑥 = 4𝑥4 − 2𝑥2 + 5 𝑏 𝑥 = 3 − 5 2𝑥2 + 𝑥 𝑐 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥

(64)

1.9.1. Adição e Subtração de

Polinômios

Dado dois polinômios:

• 𝑝 𝑥 = 𝑎_𝑛𝑥𝑛 + 𝑎_𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀𝑥0 • 𝑞 𝑥 = 𝑏_𝑛𝑥𝑛 + 𝑏_𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ + 𝑏₁𝑥 + 𝑏₀𝑥0 Soma: • 𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = (𝑎_𝑛+𝑏_𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ +(𝑎₀ +𝑏₀)𝑥0 Subtração: • 𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = (𝑎_𝑛−𝑏_𝑛)𝑥𝑛 + ⋯ + (𝑎₀−𝑏₀)𝑥0

(65)

Exemplo

• Calcule 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) e 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥), sendo: 𝑝 𝑥 = −3𝑥2 + 5 − 𝑥 + 2𝑥3 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2 • Calcule 𝑟 𝑥 = 2 𝑝 𝑥 − 3 𝑞(𝑥), onde: 𝑝 𝑥 = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2 𝑞 𝑥 = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1

(66)

1.9.2. Multiplicação de

Polinômios

𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑓

Ex: Determine os produtos 𝑔 𝑥 𝑘(𝑥) e

𝑕 𝑥 𝑚(𝑥), sendo:

• 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1 • 𝑘 𝑥 = −𝑥2 + 3𝑥 • 𝑕 𝑥 = −𝑥 + 𝑥3 • 𝑚 𝑥 = 𝑥5 − 𝑥3

(67)

1.9.3. Produtos Notáveis

• Produto da soma pela diferença de dois termos: 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2

• Quadrado da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥 + 𝑎 . 𝑥 + 𝑎 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 • Quadrado da diferença de dois termos:

𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥 − 𝑎 . 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 • Cubo da soma de dois termos:

𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3 • Cubo da diferença de dois termos:

(68)

Exemplos:

1) 𝑘 − 5 2 2) 2 𝑡 + 3 2 3) 3 − 2𝑥 3 + 2𝑥 4) 9𝑦2 _{+ 𝑥}2 _{− 6𝑦𝑥}

(69)

1.9.4. Divisão de Polinômios

𝑎 𝑥 ÷ 𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 + 𝑟 𝑥 𝑏 𝑥

(70)

Exemplo

1) Calcule 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:

(71)

Resolva

Determine o quociente e o resto da seguinte divisão: 2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2

(72)

(73)

PCNA - Matemática

(74)

1.9.5. Raiz de um Polinômio

Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥) são os valores de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) = 0.

• Polinômio de 1ª Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Possui uma raiz 𝑥₁ que pode ser calculada como: 𝑎𝑥₁ + 𝑏 = 0 → 𝑥₁ = −𝑏

(75)

• Polinômio de 2º Grau

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Possui duas raízes 𝑥₁ e 𝑥₂ que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara.

𝑥 = −𝑏 ± ∆

2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐

• Se ∆> 0 então 𝑥₁ e 𝑥₂ são raízes reais e distintas • Se ∆= 0 então 𝑥₁ e 𝑥₂ são raízes reais e iguais • Se ∆< 0 então 𝑥₁ e 𝑥₂ são raízes complexas

(76)

(77)

(78)

(79)

Exemplos

1) Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos polinômios abaixo:

𝑝 𝑥 = 3 𝑥 + 9

(80)

Exemplos

2) Encontre as raízes dos polinômios abaixo:

a) 𝑝 𝑥 = 3𝑥 − 6

b) 𝑔 𝑥 = 4𝑥2 _{+ 16𝑥 + 16}

(81)

1.9.6. Fatoração de

Polinômios

Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛

𝑝 𝑥 = 𝑎_𝑛𝑥𝑛 + 𝑎_𝑛;1𝑥𝑛;1 + ⋯ +𝑎₁ 𝑥 + 𝑎₀

Se 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então, 𝑝(𝑥) pode ser fatorado como:

(82)

Exemplos

1) Fatore os polinômios abaixo:

a) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

(83)

(84)

PCNA - Matemática

• Intervalos

_;

(85)

2.1. Intervalos

Intervalos são trechos contínuos da reta numérica.

Intervalos

(86)

2.1.1. Intervalos Limitados

• Intervalo aberto de a até b

• Intervalo fechado de a até b

• Intervalo fechado em a e aberto em b

(87)

2.1.2. Intervalos Não

Limitados

• Intervalo aberto de a até +∞

• Intervalo fechado de a até +∞

• Intervalo aberto de −∞ até a

(88)

Exemplos

1) Dado o intervalo represente-o na reta numérica

a) ] − 2, 5]

(89)

Exemplos

1) Descreva o intervalo dado na reta numérica

a) 𝐼 = −2, +∞ = 𝑥 ∈ ℜ 𝑥 ≥ −2}

(90)

2.2. Inequações

2.2.1 Propriedades da desigualdade

Sejam a, b, c, e d números reais

• 1) Somar ou subtrair um número qualquer em ambos os lados da inequação não altera o sinal da mesma.

• i) Se 𝑎 < 𝑏 então:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 • ii) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 < 𝑑 então:

(91)

• 2) Multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número POSITIVO não altera o sinal da mesma. • i) Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0 então: 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐 • ii) Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 então: 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐

(92)

• 3) Multiplicar ou dividir ambos os lados do inequação por um número NEGATIVO inverte o sinal da desigualdade. • i) Se 𝑎 < 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então: 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑐 • ii) Se 𝑎 > 𝑏 𝑒 𝑐 < 0 então: 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 𝑒 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐

(93)

• 4) Desigualdade Triangular: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + |𝑦|. Obs.: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem

simultaneamente positivos ou negativos.

• 5) 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

• 6) 𝑥 ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎

• 7) 𝑛 𝑥𝑛 ₌ 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟

(94)

Exemplos

• 1) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1

• 2) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5

(95)

Resolva!

d) 𝑥2 _{+ 1 < 2𝑥}2 _{− 3 ≤ −5𝑥}

(96)

(97)

PCNA - Matemática

Função:

• Definição;

• Domínio, Contradomínio e Imagem; • Tipo de função;

(98)

3.1 Definição

Uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B, representado por 𝑓:𝐴→𝐵, se todos os elementos do conjunto A estão associados a um e somente um elemento do conjunto B.

(99)

3.1 Definição

• Funções definidas por fórmula

y pode ser calculado a partir de x, por meio de uma fórmula (ou regra, ou lei).

• Lei de Correspondência

Lei que associa cada número real x ao número y, Ex.: sendo y o dobro de x, temos:

(100)

3.2 Domínio e

Contradomínio

Domínio 𝐷(𝑓) = { −3, 0, 3 } Contradomínio 𝐶𝐷(𝑓)={ 0, 9, 18 } Imagem 𝐼𝑚(𝑓)= { 0, 9 }

(101)

3.2 Domínio e

Contradomínio

• Exemplo – Dada a função 𝑓(𝑥)=4𝑥²−2, determine: [𝑓(0)−𝑓(2)]/𝑓(1).

Resolva – Considere a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.

Calcule o valor da constante 𝑏 = {[𝑓(1)]2− 2.𝑓(1)}/4𝑓(0) e um número real 𝑎 de modo que 𝑓 (𝑥) = 0.

(102)

3.2 Domínio e

Contradomínio

• Exemplo 2 – Calcule o domínio da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4

Resolva – Calcule o domínio da função: 𝑓(𝑥) = 5

𝑥 + 1 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2

(103)

3.3 Tipos de Função

Função Injetora

Função Bijetora

Função Sobrejetora

(104)

3.3 Tipos de Função

• Função Constante

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é denominada função constante. 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘

(105)

3.3 Tipos de Função

• Função Constante

(106)

3.3 Tipos de Função

• Função Par

Uma função 𝑓 é dita ser uma função par se: 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

Gráfico?

• Função ímpar

Uma função 𝑓 é dita ser uma função impar se: 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

(107)

3.3 Tipos de Função

Exemplo – Dada a função 𝑓, determine se ela é uma função par ou uma função impar.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 _{− 1;}

(108)

3.3 Tipos de Função

Resolva – Verificar se a função é par ou ímpar. a) cosx

(109)

3.4 Gráfico de Funções

• O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto de todos os pares ordenados (𝑥,𝑦) no plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥 pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦 pertence a 𝐼(𝑓).

Pares ordenados (𝑥,𝑓(𝑥)), pois 𝑦=𝑓(𝑥).

(110)

3.4 Gráfico de Funções

• Análise de Gráficos

Escolha da atividade a ser feita no simulador

(111)

(112)

Referências Bibliográficas

Material Didático do PCNA

FAUSTINO, C.; FURTADO, F. (2013). 1o. Funções no cotidiano do engenheiro– Relatório de Missão e investigação e incidência.

“Exercícios sobre função logarítmica – Brasil Escola – Site oficial “ Disponível em : <

http://exercicios.brasilescola.com/exercicios-matematica/exercicios-sobre-funcao-logaritmica.htm#questao-5963 > Acesso: Jun. 2015

“Função Exponencial – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm> Acesso: Jun. 2015 “Função do segundo grau e lançamento oblíquo – Brasil Escola – Site oficial” Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm>. Acesso: Jun. 2015

(113)

(114)

PCNA - Matemática

• Função Polinomial de 1° grau; • Função Polinomial de 2° grau.

(115)

3.5 Função polinomial do

1° grau

• Definição

A função 𝑓 é dada por um polinômio de 𝟏º Grau: 𝑓(𝑥)=𝑎.𝑥+𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0. 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=ℜ. Exemplos: f(x) = 5x – 3, em que a = 5 e b = -3 f(x) = - 2x – 7, a = -2 e b = -7 f(x) = 11x, a = 11 e b = 0

Função

Afim

Linear

(116)

3.5 Função polinomial do

1° grau

• Coeficientes da função Afim

y = ax + b a = coeficiente angular b = coeficiente linear • Zero da função

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1°grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Assim, a raiz de f(x) é x = ;𝑏

(117)

3.5 Função polinomial do

1° grau

• Gráfico de uma função Afim Reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

(118)

3.5 Função polinomial do

1° grau

• Exemplo – Plote o gráfico da função dada pela equação y= 2x+4

(119)

3.5 Função polinomial do

1° grau

Resolva – Plote o gráfico das funções dadas pelas equações. a) 𝑦 = −2 𝑥 − 2 b) 𝑦 = 3𝑥 − 9 c) 𝑦 = − 𝑥 2 d) 𝑦 = 3𝑥

(120)

3.5 Função polinomial do

1° grau

(121)

3.6 Função do 2° Grau

• Definição

Uma função 𝑓 é denominada de função de 2º grau quando ela for dada por uma lei da forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 reais e 𝑎 ≠ 0 . Exemplos

f(x) = 2x² + 3x +5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = x² - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = -1

(122)

3.6 Função do 2° Grau

• Zero da função

Chamam-se zeros ou raízes da função do 2° grau f(x) = ax² +bx + c, a ≠ 0, os números reais x tal que f(x) = 0.

As raízes são solução da equação do 2° grau ax² + bx + c = 0. Logo, pela fórmula de Bláskara:

𝑥₁ 𝑒 𝑥₂ = −𝑏 ± 𝑏² + 4𝑎𝑐 2𝑎

(123)

3.6 Função do 2° Grau

• Zero da função

Soma e produto das raízes

Função genérica do 2° grau com raízes 𝑟₁ 𝑒 𝑟₂. 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟₁)(𝑥 − 𝑟₂) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑟₂𝑥 − 𝑟₁𝑥 + 𝑟₁𝑟₂ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥(𝑟₂ + 𝑟₁) + 𝑟₁𝑟₂ 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² − 𝑎𝑥(𝑟₂ + 𝑟₁) + 𝑎𝑟₁𝑟₂ Logo: 𝑏 = −𝑎𝑥(𝑟₂ + 𝑟₁) → 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. −𝑎 𝑐 = 𝑎𝑟₁𝑟₂ → 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠. 𝑎

(124)

3.6 Função do 2° Grau

• Exemplo – Obter os zeros da função f(x) = x² - 5x + 6 Caminho 1 – Fórmula de Bháskara

Caminho 2 – Soma e Produto de raízes ∗ 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0

(125)

3.6 Função do 2° Grau

• Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2° grau, 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

• Coordenadas do vértice do gráfico 𝑉 = − 𝑏

2𝑎 , − ∆ 4𝑎

(126)

3.6 Função do 2° Grau

• Gráfico

Concavidade da parábola e vértice

Domínio e imagem da função de 2º grau S𝑒 𝑎>0 , 𝐷(𝑓)= ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[𝑦𝑣 ,+∞)

(127)

3.6 Função do 2° Grau

• Construção da Parábola

1° O valor do coeficiente “a” define a concavidade 2° Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo x

3° O vértice V indica o ponto de mínimo (se a>0) ou de máximo (se a<0)

4° A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola

5° Para x = 0, temos 𝑦 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐; então, (0,c) é o ponto em que a parábola toca o eixo y

(128)

3.6 Função do 2° Grau

• Exemplo – Esboçar o gráfico 𝑓(𝑥)=3𝑥²−9𝑥+6.

(129)

3.6 Função do 2° Grau

Resolva – Uma empresa de armamentos bélicos

realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada

pela função y = – x2_{+ 3x, onde y é a altura atingida}

pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa?

(130)

(131)

Referências Bibliográficas

(132)

(133)

PCNA - Matemática

• Função Exponencial • Função Logarítmica

(134)

3.7 Função Exponencial

• Definição

Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥_{, em que a é um}

número real dado, sendo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é denominada de

função exponencial. Ex.: 𝑓(𝑥) = 0.5𝑥 𝑓 𝑥 = 0.8𝑥 Para 0 < 𝑎 < 1 𝑓(𝑥) = 10𝑥 Para 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 4𝑥

(135)

3.7 Função Exponencial

• Gráfico

Intercepta o eixo Y no ponto (0,1) Nunca intercepta o eixo X

(136)

3.7 Função Exponencial

Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 X Y -3 -2 -1 0 1 2 3

(137)

3.7 Função Exponencial

Resolva – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 1₂ 𝑥e depois compare com o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥_.

*Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los.

(138)

3.7 Função Exponencial

• Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

(139)

3.7 Função Exponencial

• Função 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 com base sendo a Constante de

Euler 𝒆 𝒆 ≈ 𝟐, 𝟕𝟏𝟖

(140)

3.7 Função Exponencial

Exemplo – Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 –0,2t_{, em que v}

0 é

uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Resolva – Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320_{= 1,80.}

(141)

3.8 Função Logarítmica

• Definição

Dado um número real 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1), chama-se função logarítmica de base 𝒂 a função de ℜ_∗: em ℜ

dada pela lei 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥. Exemplos

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔₁₀𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑒𝑥

(142)

3.8 Função Logarítmica

Exemplo – Plote o gráfico 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1 2𝑥

Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1 2𝑥 𝑋 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔_1/𝟐𝑥 -2 -1 0 1 2

(143)

3.8 Função Logarítmica

Resolva – Plote o gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 e compare com o gráfico de 𝑓 𝑥 = 2𝑥_.

Utilizando o método de localizar alguns pontos do gráfico e ligá-los. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔₂𝑥 X 𝑌 = 𝒍𝒐𝒈_𝟐𝒙 -3 -2 -1 0 1 2 3

(144)

3.8 Função Logarítmica

• Gráfico da função logarítmica Intercepta o eixo X

no ponto (1,0)

Nunca intercepta o eixo Y

(145)

3.8 Função Logarítmica

• Gráfico

Estudo comparativo entre a função exponencial e a função logarítmica

(146)

3.9 Função Inversa

• Se 𝑓:𝐴→𝐵 for uma função bijetora então, ela admite uma função inversa 𝑓−1:𝐵→𝐴.

• Exemplo

Dada a função 𝑓 calcule sua inversa 𝑓;1

𝑓 𝑥 = 3 𝑥 + 6 𝑓 𝑥 = 2𝑥

(147)

3.9 Função Inversa

• Resolva (a definir)

Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1_{(inversa de f ) é:}

(148)

Referências Bibliográficas

“Função Exponencial – Alunos Online – Site oficial” Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/grafico-da-funcao-exponencial.html>

(149)

(150)

PCNA - Matemática

• Função Composta;

*Função Modular.

(151)

3.10 Função Composta

Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 que entre eles existam as seguintes funções: 𝑓:𝐴→𝐵 𝑒 𝑔:𝐵→𝐶

Assim, irá existir outra função 𝑕∶𝐴→𝐶 tal que 𝑕(𝑥)=𝑔(𝑓(𝑥 )) que é chamada de função composta de 𝑔 e 𝑓 denotada por (𝑔∘𝑓)(𝑥).

(152)

3.10 Função Composta

Exemplo/Resolva (a definir)– Considere as funções 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 Determine • 𝑔 𝑜 𝑓 • 𝑓 𝑜 𝑔 • 𝑓 𝑜 𝑓 • 𝑔 𝑜 𝑔

(153)

* Função Modular

• Função definida por mais de uma sentença Sendo f uma função definida pelas sentenças: Se x < 0, então f(x) = 1

Se x ≥ 0, então f(x) = x +1

Calcular f(-3), f(-√2), f(0), f(2) e construir o gráfico de f.

Y é uma função de x definida por 2 sentenças. Assim, usa-se uma sentença ou outra, dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra.

(154)

* Função Modular

Chama-se função modular a função f de IR em IR dada pela lei f(x) = I x I.

Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser caracterizada:

(155)

* Função Modular

• Gráfico

D = IR Im = IR₊

(156)

* Função Modular

• Exemplo 1.

Se f(x) = x – 1 e g(x) =|x|, construa o gráfico da função h(x), que é a composta de g com f.

De modo geral, para esboçar o gráfico de h(x) = |f(x)|: 1° quando f(x) ≥ 0, o gráfico de h(x) é o próprio gráfico de f(x).

(157)

* Função Modular

• Exemplo 2.

Se f(x) = x² - 4 e g(x) =|x|, então a composta de g com f é dada pela lei:

h(x) = g(f(x)) = g(x² - 4) =|x² - 4| Construa o gráfico da função h(x) =|x² - 4|.

(158)

* Função Modular

(159)

* Função Modular

• Resolva

Construa o gráfico das seguintes funções definidas em IR:

a) h(x) = |x|-1 b) f(x) = |3x|

c) r(x) = |x² + 4x|

(160)

Referências Bibliográficas

(161)

(162)

PCNA - Matemática

(163)

4.1. Ponto

4.2. Reta

(164)

4.2.1 Postulados da Reta

a)

b)

(165)

4.3. Plano

4.3.1 Postulados do Plano

a) c)

(166)

4.3.2. Posições Relativas

de duas Retas no Plano

(167)

4.4. Espaço

4.4.1 Posições Relativas de duas Retas no Espaço

• Retas Coplanares: Duas retas são ditas coplanares quando existe um plano que as contêm.

• Retas Reversas: Duas retas são ditas reversas quando não existe um plano que as contêm.

(168)

Exemplo

1) De acordo com a figura abaixo, dê a

classificação em relação à posição relativa dos pares de retas indicadas:

(169)

(170)

4.5.1. Razão entre

Segmentos de Reta

• A razão os entre os segmentos (AB̅) e (CD ̅ ),

respectivamente, de comprimentos 6 cm e 3 cm é determinada por:

(171)

4.5.2. Segmentos

Proporcionais

• Exemplos:

1) Verifique se os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄, nesta ordem, são proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.

2) Considere os segmentos 𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝑀𝑁 e 𝑃𝑄,

proporcionais nesta ordem. Calcule as medidas dos segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sabendo que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚

(172)

4.5.3. Teorema de Talles

“Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos que são proporcionais”.

𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵 𝐵𝐶 =

𝑀𝑁 𝑁𝑃

(173)

Exemplos:

(174)

Exemplos:

• 2) A figura abaixo mostra dois terrenos cujas laterais horizontais são paralelas. Determine as medidas 𝑥 e 𝑦.

(175)

4.6. Circunferência e

Círculo

(176)

4.6.1. Elementos da

Circunferência e do Círculo

• Corda e Segmento Circular

(177)

(178)

(179)

(180)

Exemplos:

1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em radianos.

(181)

4.7.2. Classificação dos

Ângulos

• ângulos agudo • Obtuso • Reto • Raso • de uma volta • e côncavo.

(182)

Exemplos:

1) Determine o valor do ângulo 𝑎, na figura abaixo, sabendo que 𝑕 = 40°_.

(183)

Exemplos:

2) Na figura, determinar os valores dos ângulos x , y e z.

(184)

4.8.1. Semelhança de

Polígonos

• Ângulos correspondentes iguais:

𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; … • Lados correspondentes proporcionais

𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ = 𝐵𝐶 𝐵′𝐶′ = 𝐶𝐷 𝐶′𝐷′ = ⋯ = 𝑘 onde 𝑘 é a razão de semelhança

(185)

Exemplos:

1) Determine o comprimentos x, y e z dos polígonos da figura, sabendo que eles são semelhantes.

(186)

4.8.2. Semelhança de

Triângulos

a) Quanto aos lados c) Quanto a dois lados e um ângulo

(187)

Exemplos:

(188)

(189)

PCNA - Matemática

(190)

4.9. Perímetro e Área

• Perímetro: é a medida do contorno de um objeto bidimensional.

• Área: é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a medida de sua superfície.

(191)

Exemplo

• Considere uma sala cuja planta baixa está indicada:

• a) Quantos metros de rodapé serão necessários para contornar a sala?

• b) Deseja-se revestir o piso da sala com lajotas quadradas de 1 𝑚2_{.Quantas lajotas serão}

(192)

Resolva

5) A soma das áreas dos três quadrados abaixo é igual a 83 𝑐𝑚2_{. Determine a área o quadrado maior.}

(193)

4.9.1 Círculo

(194)

(195)

(196)

4.9.4 Losango

𝑆 = 𝐷. 𝑑

(197)

(198)

(199)

Exemplo:

• 1) Calcule a área da superfície composta pelas áreas hachuradas e pontilhadas da figura.

(200)

Exemplo:

2) Calcule a área da coroa circular de raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚 e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚, indicada na figura 4.53, isto é,