São as vigas que são fabricadas com mais de um material.

-UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA:SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI

DISCIPLINA:RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Tensões em Vigas – Tópicos Avançados

Vigas compostas

São as vigas que são fabricadas com mais de um material.

Exemplos: Tubos revestidos com plásticos e vigas de madeira reforçadas com placas de aço. Veja a Figura 1.

Figura 1- Exemplo de vigas compostas: (a) viga bi metálica, (b) tubo de aço revestido com plástico, (c) Viga de madeira reforçada com uma placa de aço.

Outros tipos de vigas compostas têm sido desenvolvidos nos últimos anos, basicamente para economizar material e reduzir peso.

Vigas sanduíche são amplamente utilizadas nas indústrias aeroespaciais e de aviação, em que se faz necessário pouco peso com alta resistência e rigidez.

Uma viga sanduíche típica apresenta-se na Figura 2.

Figura 2 – Vigas sanduíche com (a) Núcleo de plástico (b) Núcleo em forma de colméia (c) Núcleo corrugado

A viga sanduíche apresentada na Figura 2, consiste de duas faces finas de material relativamente resistente separadas por um núcleo espesso de material leve e pouco resistente. Uma vez que as faces estão a maior distância da linha neutra (onde as tensões de flexão são maiores), elas funcionam mais ou menos como os flanges de uma viga de perfil I. O núcleo serve como um enchimento que serve de sustentação para as faces, estabilizando-as contra empenamento e flambagem.

Plásticos, espumas leves, bem como caixas de papelão e estruturas em formato de colméia ou corrugadas são usadas frequentemente como núcleo.

Tensões e deformações

As deformações em vigas compostas são determinadas a partir do mesmo axioma básico que usamos para encontrar as deformações em vigas de um material, isto é, as seções transversais permanecem planas durante a flexão. Esse axioma é válido para a flexão pura independente da natureza do material.

As deformações longitudinais εx variam linearmente do topo até a base da viga, como expresso pela eq. Já estudada na aula de flexão e repetida aqui:

y y

x _ρ κ

ε =− =− (1)

onde y é a distância a partir da linha neutra, ρ é o raio de curvatura e κ é a curvatura. Analisando a Figura 3, nota-se que essa viga consiste de duas partes, as quais estão colocadas de maneira que permita considera-las como uma única viga sólida.

Analisando a Figura 3 nota-se que essa viga consiste de duas partes, denominadas de 1 e 2 que estão colocadas de maneira que permita considerá-las como uma única viga sólida. Como já foi discutido, assume-se que o plano xy é um plano de simetria e que o plano xz é o plano neutro da viga. Entretanto, a linha neutra não passa pelo centróide da seção transversal, no caso da viga ser composta por dois materiais diferentes.

Figura 3 – (a) Viga composta de dois materiais (b) seção transversal da viga (c) distribuição de deformações εx ao longo da altura da viga e (d) distribuição de tensões

Se a viga é flexionada com curvatura positiva, as deformações εx, irão variar como ilustrado na Figura 3.c, sendo ε_A a deformação de compressão no topo da viga,

B

ε a deformação de tração na base e εC a deformação na superfície de contato dos dois materiais . Note que a deformação é zero na linha neutra.

Denotando-se os módulos de elasticidade para os materiais 1 e 2 como E1 e E2,

respectivamente, e também assumindo que E2 >E1, obtemos o diagrama de tensão ilustrado na Figura 3.d. A tensão no topo da viga é:

A 1 A E ε

σ = (2)

A tensão de tração na base é:

B 2 B E ε

σ = (3)

Na superfície de contato, as tensões nos dois materiais são diferentes porque seus módulos são diferentes.

Material 1 σ1C =E1εC ; Material 2 é σ2C =E2εC (4) Usando a lei de Hooke e equação (1), podemos expressar as tensões normais a uma distância y da linha neutra em termos da curvatura:

y E1 1

x κ

σ =− ;σx2 =−E2κy (5)

Em que σ_x1 é a tensão no material 1 e σ_x2 é a tensão no material 2. Com base nessas equações, podemos localizar a linha neutra e obter a relação momento-curvatura.

Linha Neutra

A posição da linha neutra é encontrada a partir da condição de que a força axial resultante agindo na seção transversal é zero, consequentemente

0 dA dA 2 2 x 1 1 x +

∫

∫

Subentendendo-se que a primeira integral é calculada sobre a área de seção transversal do material 1 e a segunda integral é calculada sobre a área de seção transversal do material 2. Substituindo σx1 e σx2 das expressões (5) na expressão (6) obtém-se 0 ydA E ydA E 2 2 1 1 − = −

∫

∫

Como a curvatura é constante ao longo de uma dada seção transversal, ela não é envolvida nas integrações e pode ser cancelada da equação, assim,

0 ydA E ydA E 2 2 1 1

∫

∫

As integrais nessas equações representam os primeiros momentos das duas partes da área da seção transversal com respeito à linha neutra.

Se a seção transversal de uma viga é duplamente simétrica, como no caso de uma viga de madeira com placas de cobertura de aço no topo e na base como na Figura 4, a linha neutra está localizada à meia altura da seção transversal e a equação (8) não é necessária.

Figura 4- Seção transversal duplamente simétrica.

Relação momento-curvatura

A relação momento-curvatura para uma viga composta por dois materiais pode ser determinada a partir da condição de que o momento resultante das tensões de flexão é igual ao momento fletor M agindo na seção transversal. Seguindo os mesmos passos para uma viga de um material.

∫

∫

∫

∫

∫

A equação (9) pode ser escrita de forma mais simples

(

)

onde I1 e I2 são os momentos de inércia em relação à linha neutra (o eixo z) das áreas de seção transversal dos materiais 1 e 2, respectivamente. Note que I=I₁+I₂, sendo que I é o momento de inércia de toda a área de seção transversal em relação à linha neutra.

A equação (10) pode ser resolvida para a curvatura em termos do momento fletor: 2 2 1 1I E I E M 1 + = = ρ κ (11)

Essa equação é a relação momento curvatura para uma viga de dois materiais. O denominador no lado direito é a rigidez a flexão da viga composta.

Tensões Normais

As tensões normais (ou tensões de flexão) na viga são obtidas substituindo-se a expressão para a curvatura (11) nas expressões para σx1 e σx2 das equações (5)

2 2 1 1 1 1 x I E I E MyE + − = σ 2 2 1 1 2 2 x I E I E MyE + − = σ (12)

As expressões (12) são conhecidas como fórmulas de flexão para uma viga composta, fornecem as tensões normais nos materiais 1 e 2, respectivamente.

Se os dois materiais têm o mesmo módulo de elasticidade(E1=E2=E), então

ambas as equações se reduzem à fórmula de flexão para uma viga de um material.

Teoria Aproximada para Flexão de Vigas Sanduíche

Vigas sanduíche com seções transversais duplamente simétricas e compostas de dois materiais elásticos lineares como apresenta a Figura 5.

Podem ser analisadas quanto à flexão usando as equações (11) e (12), como descrito nas seções anteriores.

Podemos desenvolver uma teoria aproximada para flexão de vigas sanduíche com a introdução de algumas hipóteses simplificadoras.

Figura 5- Seção transversal de uma viga sanduíche tendo dois eixos de simetria(seção transversal duplamente simétrica).

Se o material das faces (material 1) tiver um módulo de elasticidade muito maior do que o material do núcleo (material 2), é razoável desconsiderar as tensões normais no núcleo e assumir que as faces resistem a todas as tensões de flexão longitudinais. Essa suposição é equivalente a dizer que o módulo de elasticidade do núcleo E2 é zero.

A fórmula de flexão para o material 1 e 2 é:

1 1 x I My − = σ σx2 =0 (13)

A quantidade I1 é o momento de inércia das duas faces calculado com relação à linha

neutra; dessa forma:

(

)

onde b é a largura da viga, h é a altura total da viga e hc é a altura do núcleo.

t 2 h

hc= − (15)

onde t é a espessura das faces.

As tensões normais máximas na viga sanduíche ocorrem no topo e na base da seção transversal para y=h/2 e –h/2, respectivamente. Dessa forma, da Eq. (13) obtemos: 1 topo I 2 Mh − = σ ; 1 base I 2 Mh = σ (16)

Se o momento fletor M é positivo, a face superior está em compressão e a face inferior está em tração.

Se as faces são finas comparadas com a espessura do núcleo(isto é, se t é pequeno comparado com hc), podemos desconsiderar as tensões de cisalhamento nas faces e considerar que o núcleo suporta todas as tensões de cisalhamento. Sob essas condições, a tensão e deformação de cisalhamento média no núcleo são, respectivamente., c media bh V = τ c c media G bh V = γ (17)

Onde V é a força de cisalhamento agindo na seção transversal e Gc é o módulo de elasticidade de cisalhamento para o material do núcleo.(Embora a tensão de cisalhamento máxima e a deformação de cisalhamento máxima sejam maiores do que os valores médios, os valores médios são usados com freqüência para fins de dimensionamento).

Exercícios:

1)Uma viga sanduíche com faces de liga de alumínio revestindo um núcleo de plástico como apresenta a Figura 6, está submetida a um momento fletor M=3,0 kN.m. A espessura das faces é t=5 mm e seu módulo de elasticidade E1=72GPa. A altura do núcleo de plástico é hc =150mme seu módulo de elasticidade é E2 =800MPa. As dimensões totais da viga são h=160 mm e b=200 mm. Determine as tensões de tração e compressão máximas nas faces e no núcleo usando (a) A teoria geral para vigas compostas e (b) a teoria aproximada para vigas sanduíche.

Figura 6 – Seção transversal de viga sanduíche com faces de liga de alumínio e um núcleo de plástico

2. Uma viga composta como apresentado na Figura 7 é construída com uma viga de madeira (dimensões reais de 4,0 in x 6,0 in)e uma placa de reforço feita de aço(4,0 in. de largura 0,5 in. de espessura). Admite-se que a madeira e aço estão perfeitamente unidos de forma a se comportarem como uma única viga. A viga está submetida a um momento fletor positivo M=60 k-in. Calcule as maiores tensões de tração e compressão na madeira (material 1) e as tensões máxima e mínima no aço (material 2) se E1= 1500 ksi e E2=30000 ksi.

Figura 7 – Seção transversal de uma viga composta de madeira e aço.

Obs.: Resolvido no Gere pág. 303

Resposta: σ_1A =−1310 psi, σ_1C =251psi,σ_2B =7620 psi,σ_2C =5030 psi

Referências Bibliográficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995.

2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning

3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

Observações:

1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.