Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado
Formalismo Termodinˆ
amico e Dimens˜
ao de Hausdorff
Vanessa Ribeiro Ramos
Salvador-Bahia
Vanessa Ribeiro Ramos
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.
Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr.
Salvador-Bahia
Salvador, 2009. 60 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Co-orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr.
Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2009.
Referˆencias bibliogr´aficas.
1. Sistemas dinˆamicos. 2. Teoria erg´odica. I. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.
Vanessa Ribeiro Ramos
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 11 de fevereiro de 2009.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) UFBA
Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Jr. (Co-orientador) UFBA
que n´os lhe oferecemos.”
Agrade¸co a Deus, for¸ca criadora que impulsiona minha vida. Aos meus pais, pela educa¸c˜ao moral e amor incondicional.
Ao meu orientador, Professor Dr.Vilton Pinheiro, exemplo de dedica¸c˜ao `a pesquisa matem´atica, que atrav´es de sua firmeza na condu¸c˜ao deste trabalho foi o maior respons´avel pelo meu crescimento acadˆemico. Ao meu co-orientador, Professor Dr. Au-gusto Armando, um matem´atico atencioso e preocupado com a forma¸c˜ao de seus alunos, agrade¸co pelos s´abios conselhos nos momentos de inseguran¸ca. Ao Professor Dr. Vitor Ara´ujo que, pela generosidade ao transmitir seus conhecimentos, fez despertar o meu in-teresse no estudo dos sistemas dinˆamicos. Ao Professor Dr. Paulo Varandas, um amigo querido, referˆencia de boa vontade e gentileza. A estes “dinˆamicos”, meu eterno agradeci-mento pelo apoio ao prosseguiagradeci-mento dos meus estudos de nossa bel´ıssima Matem´atica.
Ao Professor Dr. Carlos Matheus, pelos coment´arios e sugest˜oes para esta dis-serta¸c˜ao.
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A Maria Teresa Gilly, pelo amparo e otimismo que fortaleceram meus passos no momento mais dif´ıcil desta caminhada.
`
As “super-poderosas”, Fabi, Liu, Man´u e `a ´Isis, queridas amigas que, com muito amor e cumplicidade, me ajudaram a superar tantos obst´aculos.
Ao Jo˜ao Paulo, pela disponibilidade em normatizar o layout deste trabalho. Aos professores do Instituto de Matem´atica-UFBA, pela aten¸c˜ao e carinho du-rante toda gradua¸c˜ao e mestrado. Em especial, ao Professor Dr. Enaldo Vergasta, um amigo e incentivador, alicerce de minha trajet´oria matem´atica.
`
A CAPES, pelo aux´ılio financeiro.
O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e usar o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme. Com esta finalidade, constru´ımos parti¸c˜oes de Markov para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Tais parti¸c˜oes nos permite identificar a dinˆamica destes sistemas com um subshift de tipo finito. Para finalizar, exibimos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os quais o polinˆomio z2 +c atua como um repulsor
conforme no seu conjunto de Julia.
The main goal of this masters thesis is use the thermodynamical formalism for calculate the Hausdorff dimension of a conformal repeller. To this end, we constructed Markov partition for uniformly expanding dynamical systems making use of shading property by pseudo-orbit. Such partitions allow us to identify the dynamics of this systems with a subshift of finite type. Finally, we display one set of parametersc∈C for
which the polynomial z2+c acts as a conformal repeller on its Julia set.
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 3
1.1 Shift . . . 3
1.2 Medidas Invariantes . . . 6
1.3 Ergodicidade . . . 7
1.4 Outros Resultados . . . 10
2 Entropia 12 2.1 Entropia do shift . . . 12
2.2 Entropia Topol´ogica e Press˜ao . . . 15
2.3 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman . . . 20
3 Formalismo Termodinˆamico 25 3.1 O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle . . . 25
3.2 Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio . . . 31
4 Repulsores Conformes 36 4.1 Defini¸c˜ao e Propriedades Gerais . . . 36
4.2 C´alculo da Dimens˜ao de Hausdorff de J . . . 41
5 Itera¸c˜ao de Polinˆomios Quadr´aticos 46 5.1 Conjuntos de Julia . . . 46
5.2 O Cardi´oide Principal . . . 52
A Medidas e Dimens˜ao de Hausdorff 55 A.1 Medidas de Hausdorff . . . 55
A.2 Dimens˜ao de Hausdorff . . . 57
Referˆencias 58
O Formalismo Termodinˆamico desempenha um papel proeminente no entendi-mento das propriedades erg´odicas dos sistemas uniformemente hiperb´olicos. A id´eia central ´e utilizar as parti¸c˜oes de Markov para codificar as ´orbitas destes sistemas por sequˆencias simb´olicas infinitas e construir os chamados Estados de Equil´ıbrio e Medidas Gibbs.
Enquanto as medidas Gibbs fornecem um controle uniforme da medida de todas as bolas dinˆamicas, os estados de equil´ıbrio maximizam a press˜ao do sistema. Deste modo, essas medidas invariantes tornam-se as mais naturais associadas a uma transforma¸c˜ao expansora.
Apesar de nos restrigirmos ao estudo de sistemas uniformemente hiperb´olicos, as t´ecnicas apresentadas servem de modelo para a compreens˜ao da dinˆamica de sistemas mais gerais.
Neste trabalho, utilizaremos o formalismo termodinˆamico para calcular a dimens˜ao de Hausdorff de um repulsor conforme.
O cap´ıtulo 1 ´e composto de resultados preliminares para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes da disserta¸c˜ao. Como a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende da existˆencia de medidas invariantes provamos a existˆencia de tais medidas para trans-forma¸c˜oes cont´ınuas em espa¸cos compactos. Para tal, utilizamos a no¸c˜ao de convergˆencia fraca no espa¸co M(X, T) das medidas invariantes por transforma¸c˜oes cont´ınuas T : X → X em que X ´e compacto. Em seguida, fornecemos uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de medidas erg´odicas em espa¸cos compactos. Esta interpreta¸c˜ao nos permitiu concluir que as medidas definidas por princ´ıpio variacional s˜ao erg´odicas. Por ´ultimo, mostramos que um sistema dinˆamico expansor na m´etrica hiperb´olica ´e na verdade um sistema uniformemente hiperb´olico.
Como a imprevisibilidade das ´orbitas de um sistema dinˆamico pode ser medido pela entropia, no cap´ıtulo 2 apresentamos os conceitos de entropias m´etrica e topol´ogica para o shift, provando a principal rela¸c˜ao entre elas: o Princ´ıpio Variacional. Demonstramos o Teorema de Shannon-McMillan-Breiman e, baseados neste, definimos a entropia m´etrica de uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida. Comentamos
ainda a interessante vers˜ao topol´ogica deste teorema dada por Brin e Katok. Denotando por X o espa¸co topol´ogico compacto AN
, em que A ={1, . . . , m}, e porT o shift emX, a cada fun¸c˜ao realφcont´ınua emXassociamos o operador de Ruelle, tamb´em conhecido como operador de transferˆencia,Lφ :C(X)→C(X) definido por:
Lφ(f)(x) =
X
y∈T−1(x)
eφ(y)f(y).
Iniciamos o cap´ıtulo 3, dedicado ao formalismo termodinˆamico, por mostrar o Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle que, sob a hip´otese de φ ter varia¸c˜ao som´avel, garante a existˆencia de uma ´unica probabilidade invariante autofun¸c˜ao do operador adjunto L∗
φ.
Como consequˆencia deste teorema mostramos que para toda fun¸c˜ao φ H¨older existe um ´
unico estado de equil´ıbrio que ´e uma medida Gibbs.
No cap´ıtulo 4, mostramos como construir parti¸c˜oes de Markov, com elementos de diˆametro arbitrariamente pequeno, para sistemas uniformemente expansores utilizando a propriedade de sombreamento por pseudo-´orbitas. Fixada uma parti¸c˜ao de Markov, exibimos uma (semi)conjuga¸c˜ao do sistema expansor com um subshift de tipo finito. Essa identifica¸c˜ao tem uma particular importˆancia quando consideramos um repulsor conforme; uma vez que este sistema uniformemente expansor ´e topologicamente mixing podemos aplicar o formalismo termodinˆamico desenvolvido no cap´ıtulo 3 para calcular a sua dimens˜ao de Hausdorff.
Apresentamos no cap´ıtulo 5 algumas propriedades do Conjunto de Julia pro-duzido por itera¸c˜ao de polinˆomios complexos. Considerando a fam´ılia de polinˆomios quadr´aticos {Pc(z) = z2 +c}c∈C, exibimos um conjunto de parˆametros c ∈ C para os
quais, o conjunto de Julia associado ´e um repulsor conforme. Desta forma, tem-se um bom entendimento da dinˆamica do polinˆomio neste conjunto.
Preliminares
Neste cap´ıtulo, apresentamos algumas ferramentas b´asicas para o entendimento dos enunciados e defini¸c˜oes desta disserta¸c˜ao.
1.1
Shift
SejaX um espa¸co topol´ogico. Denotaremos porB(X) o conjunto das sequˆencias θ : Z → X e por B+(X) o conjunto das sequˆencias θ : N → X providos da topologia
produto. O shift T :B(X)←֓ ´e a transforma¸c˜ao definida por T(θ)(n) = θ(n+ 1)
Analogamente, define-se o shift T : B+(X) ←֓ denominado `as vezes shift unilateral. Da An´alise Funcional, sabemos que ambas aplica¸c˜oes s˜ao cont´ınuas. No caso de X ser um conjunto finito com m elementos escreveremos B(m) = B(X), B+(m) = B+(X) e identificaremosX com o conjunto A={1, . . . , m} provido da topologia discreta.
A σ-´algebra dos boreleanos deB(m) ´e gerada pelos cilindros
x1. . . xn :={θ ∈B(m) ; θ(i) = xi , 1≤i≤n}
Diremos que um subconjunto Λ ⊂B(m) ´e um subshift se ´e compacto e invariante sob a dinˆamica deT, isto ´e, T−1(Λ) = Λ. Um subshift Λ⊂B(m) ´e dito de tipo finito se existeM uma matrizm×m, chamada matriz de incidˆencia , cujos coeficientesmij s˜ao 0
ou 1 e tal que
θ ∈Λ ⇐⇒ mθ(i)θ(i+1) = 1
para todoi∈Z. Neste caso, denotaremos Λ = Λ(M). Reciprocamente, dada uma matriz
de incidˆenciaM = (mij)m×m podemos definir o subshift
Λ = Λ(M) := {θ∈B(m) ; mθ(i)θ(i+1) = 1, ∀i∈Z} Denotaremos pormn
ij as entradas da matrizMn.
Examinemos agora as rela¸c˜oes entre as propriedades alg´ebricas da matriz M e as propriedades topol´ogicas de Λ(M).
Seja X um espa¸co compacto e T : X →X uma transforma¸c˜ao cont´ınua. O par (X, T) ´e dito topologicamente transitivo, se para todo par de abertosU eV existen∈N
tal que Tn(U)∩V 6= ∅. Dizemos que (X, T) ´e topologicamente mixing se, para todo
par de abertos U e V em X, existe k > 0 tal que Tn(U)∩V 6= ∅,∀n ≥ k. Note que
topologicamente mixing implica em topologicamente transitivo. O shift em AN
´e topologicamente mixing, pois para todo aberto U existe n ≥ 0 tal que Tn(U) = AN
Teorema 1.1.1. O subshift(Λ(M), T)´e topologicamente transitivo se, e somente se, para todo i, j ∈ A, existe n ≥ 1 tal que mn
ij > 0 (isto ´e, M ´e irredut´ıvel). Mais ainda, ele ´e
topologicamente mixing se, e somente se, existe n ≥ 1 tal que para todo i, j ∈ A temos
mk
ij >0,∀k ≥n (isto ´e, M ´e aperi´odica).
Na prova deste teorema usaremos o
Lema 1.1.2. Para todo 1≤i≤m, 1≤j ≤m e l ≥1, tem-se que m(ijl) = #Sij(l), em que
Sij(l) ´e o conjunto das fun¸c˜oes γ :{0, . . . , l} → {1, . . . , m} tais que
γ(0) =i γ(l) = j
mγ(t)γ(t+1) = 1, t∈ {0, . . . , l−1}
Demonstra¸c˜ao: (Lema 1.1.2.) Provaremos por indu¸c˜ao sobre l.
Para l = 1 a igualdade ´e clara. Suponha que vale para um dado l ≥ 1, e analisemos a igualdade paral+ 1.
Seja S a uni˜ao disjunta dos conjuntos Sit(l), com t tal que mtj = 1. Ent˜ao,
#S= X
mtj=1
#Sit(l) = X
mtj=1
m(itl) =X
t
m(itl)mtj =m(ijl+1).
Por outro lado, considerando a fun¸c˜ao φ :S → {θ :{0, . . . , l+ 1} → {1, . . . , m}}
definida por
φ(γ)(s) = γ(s), s= 0, . . . , l φ(γ)(l+ 1) =j
temos uma bije¸c˜ao entre S eSij(l+1).
De fato, pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao φ,
o que garante a injetividade da mesma. A sobrejetividade tamb´em ´e v´alida, pois dada α∈Sij(l+1), ou seja, α∈ {θ :{0, . . . , l+ 1} → {1, . . . , m}} tal que
α(0) =i α(l+ 1) =j
mα(t)α(t+1) = 1, t= 0, . . . , l ,
existeγ ∈S, mais precisamente γ ∈Siα(l)(l) definida como γ(s) = α(s), s= 0, . . . , l
mγ(t)γ(t+1) = 1, t= 0, . . . , l−1, tal que neste caso,
φ(γ)(s) =γ(s) = α(s), s= 0, . . . , l φ(γ)(l+ 1) =j =α(l+ 1)
mφ(γ)(t)φ(γ)(t+1) =mγ(t)γ(t+1)= 1, t= 0, . . . , l−1 mφ(γ)(l)φ(γ)(l+1) =mγ(l)j =mα(l)j = 1
.
Conclu´ımos ent˜ao que, dadaα em Sij(l+1), existe uma fun¸c˜aoγ em S tal que a imagem de γ por φ ´eα. Disto, segue que #S = #Sij(l+1).
Portanto, m(ijl+1) = #Sij(l+1).
c.q.d.
Com este lema provemos o teorema:
Demonstra¸c˜ao: (Teorema 1.1.1.) Queremos provar que, seU eV s˜ao abertos n˜ao vazios de Λ(M), ent˜ao existe n >0 tal que Tn(U)∩V 6=∅.
Como aσ-´algebra dos boreleanos deAN
´e gerada pela uni˜ao disjunta dos cilindros, seU eV s˜ao abertos de Λ(M), existem cilindros xj. . . xj+p eyi. . . yi+s tais que
(xj. . . xj+p)∩Λ(M)⊂U e (yi. . . yi+s)∩Λ(M)⊂V.
Ent˜ao,
Tn(U)∩V ⊃ Tn((x
j. . . xj+p)∩Λ(M))∩(yi. . . yi+s)∩Λ(M)
= (xj+n. . . xj+p+n)∩(yi. . . yi+s)∩Λ(M)
(1.1)
Construiremos uma seq¨uˆenciaθ ∈AN
tal que θ ∈Tn(U)∩V.
Sejam θ1 ∈(xj. . . xj+p)∩Λ(M) e θ2 ∈(yi. . . yi+s)∩Λ(M). Consideren tal que
Pelo lema 1.1.2., existeα :{0, . . . , n+j−i−s} → {1, . . . , n} tal que α(0) =yi+s
α(n+j −i−s) =xj
mα(t)α(t+1) = 1, t∈ {0, . . . , n+j −i−s−1} Definimosθ ∈AN
como:
θ(t) =θ2(t), t≤i+s
θ(t) =α(t−i−s), i+s≤t≤n+j θ(t) =θ1(t−n), t≥n+j
Disto, da defini¸c˜ao deα e de θ1, θ2 ∈Λ(M), conclu´ımos que θ∈Λ(M). Al´em disso, θ ∈(xj+n. . . xj+p+n)∩(yi. . . yi+s).
Portanto, por (1.1), obtemos Tn(U)∩V 6=∅.
Reciprocamente, se (Λ(M), T) ´e transitivo, dados 1≤i≤m, 1≤j ≤m, para os cilindrosi0ej0 existen >0 tal queTn(j0)∩(i0)∩Λ(M)6=∅, isto ´e, (j
n)∩(i0)∩Λ(M)6=∅.
Sejaθ ∈(jn)∩(i0)∩Λ(M). Ent˜ao θ|{1,...,n} satisfaz: θ(0) =i
θ(n) = j
mθ(t)θ(t+1) = 1, t∈ {1, . . . , n−1} Pelo lema anterior, obtemosm(ijn) ≥1.
Seguindo as mesmas id´eias demonstra-se a segunda equivalˆencia do teorema. c.q.d.
Apesar de apresentarem uma dinˆamica bastante simples, os shifts modelam as dinˆamicas uniformemente hiperb´olicas: em particular, veremos no cap´ıtulo 4 que um sistema uniformemente expansor ´e uma r´eplica exata de algum subshift, pelo menos sob o ponto de vista de uma medida erg´odica aberta.
1.2
Medidas Invariantes
Sejam (X,A, µ) um espa¸co de medida eT :X ←֓uma transforma¸c˜ao mensur´avel. Diremos queµ´e uma medida invariante (ou T preserva a medida µ) se ∀A∈ A vale
µ(T−1(A)) =µ(A)
Teorema 1.2.1. Sejam (X,A, µ) um espa¸co de medida σ-finito e T : X ←֓ uma trans-forma¸c˜ao mensur´avel. Se existe uma sub´algebraB ⊂ Aque geraAe tal queµ(T−1(A)) = µ(A) para todo A∈ B ent˜ao µ ´e invariante.
Demonstra¸c˜ao: Defina a medida ν :A →R por
ν(A) =µ(T−1(A)).
Note queν|B =µ|B e portanto ν ´e a extens˜ao aA deµ|B. Como tal extens˜ao ´e ´unica (ver [2]) temos ν=µ, o que mostra queµ´e invariante.
c.q.d.
Vejamos uma aplica¸c˜ao deste teorema.
Exemplo 1.2.2. Sejam X = AN
, em que A = {1, . . . , m}, e T o shift unilateral. Dada uma probabilidade µ0 em A defina a medida produto µ nos cilindros por
µ(a1. . . an) := m
Y
i=1 µ0(ai)
Como os cilindros geram aσ-´algebra dos boreleanos de X, o teorema de extens˜ao garante a boa defini¸c˜ao de µ nesta ´algebra al´em disso, pelo teorema anterior, µ ´e uma medida invariante.
1.3
Ergodicidade
Nesta se¸c˜ao utilizaremos alguns resultados de An´alise Funcional que podem ser encontrados em [9].
Seja T uma transforma¸c˜ao que preserva medida de um espa¸co de probabilidade (X,A, µ). Diremos que µ´e uma medida erg´odica (ou T ´e erg´odica) se
A∈ A e T−1(A) =A=⇒µ(A) = 0 ou 1
Para uma interpreta¸c˜ao geom´etrica do conceito de ergodicidade, suponha que X seja um espa¸co m´etrico compacto e queA seja a cole¸c˜ao dos boreleanos deX. O teorema de representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]) nos permite identificar a cole¸c˜ao das medidas boreleanas (com sinal) finitas M(A) com (C(X))∗, o dual do espa¸co das fun¸c˜oes reais cont´ınuas definidas emX, da seguinte forma
Φ :M(A) −→ (C(X))∗
µ 7−→ Φ(µ) : C(X)−→ R
f 7−→ Φ(µ)(f) := Z
X
Denotando por M(X) o conjunto das medidas de probabilidade definidas em X, a topologia fraca em (C(X))∗ induz uma topologia emM(X), chamada topologia fraca-* deM(X), com a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia
µn−→f raca−∗ µ ⇐⇒ Z
X
f dµn −→
Z
X
f dµ, ∀f ∈C(X).
Por outro lado, sendo X m´etrico compacto, o conjunto C(X) ´e separ´avel e portanto a aplica¸c˜ao d∗ :M(A)× M(A)→[0,+∞) definida por
d∗(µ, ν) := +∞ X
j=1 2−j
Z
X
gjdµ−
Z
X
gjdν
em que {gj}j≥1 ´e um subconjunto denso enumer´avel da bola unit´aria de C(X), ´e uma m´etrica que gera a toplogia fraca-* de M(X). Deste modo, aplicando o teorema de Banach-Alaoglu, temos queM(X) ´e compacto.
Em resumo, M(X) ´e um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico. O teorema de Krein-Millman mostra que neste caso, toda medida em M(X) ´e combina¸c˜ao convexa dos pontos extremais de M(X). Aqui um ponto µ ∈ M(X) ´e extremal se
µ1, µ2 ∈ M(X) e µ= 1
2(µ1+µ2)⇒µ1 =µ2 =µ.
Por exemplo, as medidas de Diracδx para x∈X s˜ao pontos extremais de M(X).
Seja T :X ←֓ uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Esta transforma¸c˜ao induz uma aplica¸c˜ao T∗ :M(X)←֓ definida por
A∈ A, T∗µ(A) = µ(T−1(A)).
Proposi¸c˜ao 1.3.1. A fun¸c˜ao T∗ ´e linear e cont´ınua em M(X).
Demonstra¸c˜ao: A linearidade de T∗ ´e clara. Pelo teorema de Riesz-Markov, para toda f ∈C(X) vale Z
X
f d(T∗µ) = Z
X
f ◦T dµ
Desta equa¸c˜ao, vemos que se (µn) ´e uma sequˆencia em M(X) convergindo fracamente-*
para µent˜ao sequˆencia (T∗µ
n) converge fracamente-* paraT∗µ.
c.q.d.
DefinaM(X, T) como o conjunto das medidas deM(X) que s˜ao invariantes por T. Este ´e um conjunto compacto convexo n˜ao-vazio e portanto ´e gerado pelos seus pontos extremais. O teorema a seguir caracteriza estas medidas invariantes extremais.
Teorema 1.3.2. Os pontos extremais de M(X, T) s˜ao exatamente as medidas erg´odicas extremais.
Demonstra¸c˜ao: (Extremal⇒ erg´odica) Suponha que a medida µ ∈ M(X, T) n˜ao seja erg´odica. Ent˜ao existe um boreleano E ∈ A tal que T−1(E) = E e 0 < µ(E) < 1. Utilizando as fun¸c˜oes caracter´ısticas χE e χX\E, defina as medidas
µ1 := χE
µ(E)µ, µ2 :=
χX\E
µ(X\E)µ
desde queE eX\E s˜ao invariantes, µ1 eµ2 s˜ao invariantes. Logo,µn˜ao ´e extremal pois, µ = µ(E)µ1+ (1−µ(E))µ2.
(Erg´odica ⇒extremal) Seja µerg´odica, e suponha que µ=aµ1+ (1−a)µ2 com µi ∈ M(X, T) e 0 < a <1. Neste caso, µj ´e absolutamente cont´ınua com respeito a µ, e
pelo teorema de Radon-Nikodym (ver [2]),µj =fjµ com fj ≥0 e fj ∈ L1(µ).
Considere o conjunto E ={f1 <1}, como Z
E\T−1(E)
f1dµ+ Z
E∩T−1(E)
f1dµ = µ1(E) =µ1(T−1(E))
= Z
T−1(E)\E
f1dµ+ Z
E∩T−1(E)
f1dµ
ent˜ao Z
E\T−1(E)
f1dµ= Z
T−1(E)\(E)
f1dµ
e
µ(E\T−1(E)) = µ(E)−µ(E∩T−1(E)) = µ(T−1(E))−µ(E∩T−1(E)) = µ(T−1(E)\E)
Por outro lado, f1 <1 emE\T−1(E) e f1 ≥1 em T−1(E)\E. Estes fatos mostram que µ(E△T−1(E)) = 0. Afirmamos queµ(E) = 0 ouµ(E) = 1.
De fato, indutivamente vemos que se µ(E△T−1(E)) = 0 ent˜ao µ(E△T−n(E)) =
0. Definindo
E∞ = ∞ \
n=0 ∞ [
i=n
T−i(E)
Em verdade µ(E) = 0, pois µ1 = f1µ e µ1 ´e invariante. Deste modo, f1 ≥ 1 em µ-qtp x ∈ X, e o mesmo argumento aplicado ao conjuntoE = {f1 > 1} mostra que µ(E) = 0. Logo, f1 = 1 emµ-qtpx∈X e µ1 =µ, o que implica µ2 =µ.
c.q.d.
1.4
Outros Resultados
Os resultados a serem apresentados nesta se¸c˜ao s˜ao considerados cl´assicos de An´alise Complexa e Geometria Riemanniana, portanto omitiremos as demonstra¸c˜oes. Para maiores detalhes consulte [7] e [2].
Teorema 1.4.1. (Teorema de Uniformiza¸c˜ao de Riemann)Seja U um subconjunto aberto e simplesmente conexo deC, tal queU 6=C. Dadoz0 ∈U, existe um ´unico biholomorfismo
f :U →D:={z ∈C; |z|<1}, tal que f(z0) = 0 e f′(z0)∈(0,+∞).
Em palavras, o teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann nos permite identificar um aberto simplesmente conexo do plano com o disco unit´arioD. EquipandoDcom a m´etrica
hiperb´olica ρ definida por
dρ(z) = |dz| (1− |z|2) classificamos os holomorfismos do disco com o
Lema 1.4.2. (Lema de Schwarz) Se f : D → D ´e uma fun¸c˜ao holomorfa ent˜ao, com
rela¸c˜ao a m´etrica hiperb´olica, f ´e uma isometria ou ´e uma contra¸c˜ao.
Para ilustrar a importˆancia destes teoremas, considereU ⊂Cum aberto
simples-mente conexo e f :U → U uma fun¸c˜ao holomorfa que possui pelo menos um ponto fixo atratorz0 emU.Pelo teorema de uniformiza¸c˜ao de Riemann∃F :U →Dbiholomorfismo
com f(z0) = 0.
Defina ˆf :D←֓por ˆf =F◦f◦F−1(z). Pelo lema de Schwarz, ˆf ´e uma isometria
ou uma contra¸c˜ao na m´etrica hiperb´olca. No entanto, da Geometria Riemanniana, sabe-mos que as isometrias na m´etrica hiperb´olica do disco s˜ao precisamente as tranforma¸c˜oes de M¨obius
T(z) = az+b bz+a em que |a|2− |b|2 = 1 e como
ˆ
f(0) = 0 e |Dfˆ(0)|=|Df(z0)|<1
Seja J ⊂ U compacto invariante por f, isto ´e, f−1(J) = J. Denotando por A o conjunto F(J) temos que A ´e compacto (e portanto ∃c < 1 ; |z| ≤ c, ∀z ∈ A ) e invariante por ˆf . Desta forma, ∀z =F−1(ˆz)∈J e∀n ≥1 vale
||fˆn(ˆz)||
ρ≤kn||zˆ||ρ
Pela defini¸c˜ao da m´etricaρ
|Dfˆn(ˆz)|
1− |fˆn(ˆz)|2 ≤ kn
1− |zˆ|2 Logo,
|Dfn(z)| ≤ k
n(1−c2)−1 min
ˆ
z∈A|DF
−1(ˆz)||DF(fn◦F−1(ˆz))| equivalentemente,
|Dfn(z)| ≤ Ckn, ∀z ∈J.
Deste modo, se J n˜ao possui pontos cr´ıticos de f ent˜ao ∃n0 tal que todo ramo inverso f−n ´e uniformemente expansor em J para todo n ≥ n0. Este resultado ser´a
Entropia
O conceito de entropia em sistemas dinˆamicos foi introduzido inicialmente por Kolmogorov e por Sinai em 1958 e 1959, respectivamente. Eles se basearam nos conceitos de entropia em teoria de informa¸c˜ao, introduzidos por Shannon. Enquanto a defini¸c˜ao de entropia m´etrica depende de uma medida invariante, a entropia topol´ogica ´e definida de modo puramente topol´ogico para transforma¸c˜oes cont´ınuas e n˜ao depende de medida. Intuitivamente, elas medem o qu˜ao desordenadas s˜ao as ´orbitas do sistema. A principal rela¸c˜ao entre elas ´e dada pelo Princ´ıpio Variacional.
Iniciamos o cap´ıtulo apresentando estes conceitos de entropia para o shift, uma vez que esta transforma¸c˜ao modelar´a o nosso sistema. Em seguida, veremos a defini¸c˜ao de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao qualquer que preserva medida, baseada no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. E finalmente, com a vers˜ao topol´ogica de Brin-Katok, obtemos a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift.
2.1
Entropia do shift
Sejam X = AN
, em que A ={1, . . . , m}, e T o shift em X. O espa¸co de medida (X,A) tem uma decomposi¸c˜ao natural (Bn), em queBn´e aσ-´algebra gerada pelo conjunto
An dos cilindros x1. . . xn de ordem n.
Seja µ uma probabilidadeT-invariante em X. Para cada n definimos a entropia da parti¸c˜ao An com respeito `a medida µ como
Hµ(An) :=−
X
A∈An
µ(A) log(µ(A)).
Proposi¸c˜ao 2.1.1. Para todo n, p∈N temos Hµ(An+p)≤Hµ(An) +Hµ(Ap).
Demonstra¸c˜ao: Denotaremos por AB o cilindro da forma a1. . . anb1. . . bp, em que
a1. . . an=A∈ An e b1. . . bp =B ∈ Ap.
Note que todo cilindro de An+p ´e da forma AB. Logo,
µ(A) = X
B∈Ap
µ(AB) = X
B∈Ap
µ(BA).
o que implica,
X
B∈Ap
µ(AB)
µ(A) = 1 e X
B∈Ap
µ(AB) µ(A) µ(B) µ(AB) = 1 µ(A).
Da convexidade da fun¸c˜ao −log, segue que log(µ(A)) =−log
1 µ(A)
=−log X
B∈Ap
µ(AB) µ(A)
µ(B) µ(AB)
≤ − X
B∈Ap
µ(AB) µ(A) log µ(B) µ(AB) . e portanto,
µ(A) logµ(A)≤ − X
B∈Ap
µ(AB) logµ(B) + X
B∈Ap
µ(AB) logµ(AB).
Tomando o somat´orio em A ∈ An e sabendo que da invariˆancia de µ temos
µ(B) = µ(T−n(B)) =µ( [ A∈An
AB) = X
A∈An
µ(AB), conclu´ımos que:
X
A∈An
µ(A) logµ(A) + X
B∈Ap
µ(B) logµ(B)≤ X
A∈An,B∈Ap
µ(AB) logµ(AB),
isto ´e,
Hµ(An+p)≤Hµ(An) +Hµ(Ap).
c.q.d.
A proposi¸c˜ao nos mostra que a sequˆencia (Hµ(An))n∈N ´e subaditiva. Acerca de
sequˆencias subaditivas temos a
Proposi¸c˜ao 2.1.2. Se (un)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia n˜ao negativa de n´umeros reais
satis-fazendo
un+p ≤un+up, ∀n, p∈N
ent˜ao a sequˆencia un
n
n≥1 ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao: Seja c = inf
n (
un
n ). Pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, dado ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que un0
un
n ≤
pun0 +uq
n < pun0
pn0 +uq
n ≤c+ε+ 1 n
sup 1≤j≤n0
uj
.
Logo, para n suficientemente grande un
n ≤ c+ 2ε, implicando na convergˆencia (para o ´ınfimo) da sequˆencia.
c.q.d.
Estes dois ´ultimos resultados garantem a boa defini¸c˜ao da entropia m´etrica do shift T com respeito `a medida µ:
hµ(T) := lim n→+∞
Hµ(An)
n
Objetivando apresentar uma outra forma de calcular a entropia do shift, hµ(T),
introduziremos o conceito de jacobiano.
Considere x=x1x2. . . xn. . .∈X. Para cadan∈N defina
Jn(x) =
µ(x2. . . xn)
µ(x1. . . xn)
, seµ(x1. . . xn)6= 0;
+∞ , caso contr´ario.
Devido `a invariˆancia da medidaµa fun¸c˜aoJn´e limitada inferiormente por 1. Sabe-se que
a sequˆencia (Jn) est´a em L1(µ) martingale com respeito a decomposi¸c˜ao (Bn) e portanto,
a fun¸c˜ao
Jµ(x) := lim
n→+∞Jn(x)
existe emµ-qtpx∈X. Ela ´e chamada o Jacobiano de T com respeito a medida µ. Como propriedade das fun¸c˜oes Jn temos a
Proposi¸c˜ao 2.1.3. A fun¸c˜ao x7→M(x) = sup{logJn(x); n ≥0} est´a em L1(µ).
Demonstra¸c˜ao: Para λ > 0, defina Eλ = {M > λ}. Este conjunto pode ser reescrito
como
Eλ =
x∈X; inf
n
µ(x1x2. . . xn)
µ(x2. . . xn)
< e−λ
.
Seja (Cn) a fam´ılia dos cilindros m´aximos para os quais µ(Cn)< e−λµ(T(Cn)).
Por maximalidade, (Cn) s˜ao dois a dois disjuntos, e Eλ =SCn. Portanto,
µ(Eλ) =
X
µ(Cn)< e−λ
X
µ(T(Cn))≤me−λ
e conclu´ımos que Z
X
M dµ= Z ∞
0
c.q.d.
Podemos agora estabelecer a F´ormula de Rohlin, a qual ´e ´util para o c´alculo da entropia.
Teorema 2.1.4. Seja Jµ o jacobiano de T com respeito `a µ. Ent˜ao,
hµ(T) =
Z
X
logJµdµ.
Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema da convergˆencia dominada, podemos escrever Z
X
logJµdµ= lim n→+∞
Z
X
logJndµ.
Mas, observe que Z
X
logJndµ=
X
A∈An
µ(A) logµ(T(A))− X
A∈An
µ(A) logµ(A) =un−un−1
Como sabemos que esta sequˆencia converge para o limite RXlogJµdµ, ent˜ao a soma a
C´esaro 1 n
n
X
i=1
(ui−ui−1) converge para o mesmo valor. Isto ´e, lim n→∞ 1 n n X i=1
(ui−ui−1) = lim
n→∞ 1 n n X i=1
(−Hµ(Ai−1) +Hµ(Ai)) =
Z
X
logJµdµ.
Logo,
Z
X
logJµdµ= lim n→∞
Hµ(An)
n −
Hµ(A0)
n
= lim
n→∞
Hµ(An)
n =hµ(T).
c.q.d.
2.2
Entropia Topol´
ogica e Press˜
ao
Seja φ uma fun¸c˜ao cont´ınua em X, denominada freq¨uentemente na literatura de potencial. Para cada n≥0, considere a soma de Birkhoff
Snφ= n−1 X
k=0
φ◦Tk
Para um cilindro C e uma fun¸c˜ao cont´ınua ψ ∈C(X), denotaremos por ψC = sup{ψ(x);x∈C}.
Teorema 2.2.1. O limite a seguir existe e define a Press˜ao do potencial φ.
P(φ) = lim
n→+∞ 1 nlog
X
C∈An
e(Snφ)C
!
Demonstra¸c˜ao: Dados A∈ An eB ∈ Ap, note que
(Sn+pφ)AB ≤(Snφ)A+ (Spφ)B.
Denotando por Vn a sequˆencia
Vn=
X
C∈An
e(Snφ)C
obtemos
Vn+p =
X
A,B
e(Sn+pφ)AB ≤X
A,B
e(Snφ)Ae(Spφ)B = X
A∈An
e(Snφ)A X
B∈Ap
e(Spφ)B =V
nVp.
Aplicando a proposi¸c˜ao 2.1.2. com un= logVn, obtemos o resultado esperado.
c.q.d.
A Entropia Topol´ogica ´e definida como a press˜ao do potencial nulo, φ≡0. Para o shift completo, quando φ ≡0, temos que
X
C∈An
e(Snφ)C = #A
n =mn
e portanto, sua entropia topol´ogica ´e
lim
n→+∞ 1 n logm
n= logm.
Teorema 2.2.2. (Perron-Frobenius)Se M ´e uma matriz irredut´ıvel, existeλ >0tal que, para qualquer autovalor η de M, temos |η| ≤λ e, λ ´e um autovalor simples de M e Mt
associado a um autovetor positivo.
Aceitando provisoriamente este resultado temos o
Teorema 2.2.3. A entropia topol´ogica de um subshift Λ(M), associado `a matriz irre-dut´ıvel M, ´e log(λ(M)), em que λ(M) ´e o autovalor dominante de M.
Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema 2.2.1., a entropia topol´ogica ´e dada por
h(T) = lim
n→+∞ 1
nlogNn
em que Nn ´e o n´umero de cilindros de Λ(M) com ordem n. Seja Nn(j) o n´umero destes
cilindros que terminam com j ∈A. Claramente,
m
X
j=1
Nn(j) = Nn. E, para obter Nn+1(j), basta considerar todos os cilindros de ordem n que terminam com i ∈ A (que s˜ao os Nn(i)) para i= 1, . . . , m, tal
que mij = 1, isto ´e, aqueles que a ´ultima entrada i pode ser seguida do j. Desta forma,
vale
Nn+1(j) =
m
X
i=1
Nn(i)mij.
Denotando por Vn o vetor linha (Nn(j)), vemos que
Vn+1 = ( Nn+1(1) . . . Nn+1(m) ) = (
m
X
i=1
Nn(i)mi1 . . .
m
X
i=1
Nn(i)mim ) = VnM.
AssimVn+1 =VnM implicando queVn=V0Mn comV0 = (1, . . . ,1). E portanto,
Nn(j) = m
X
i=1
mnij =
m
X
i=1
V0(i)mnij, (2.1)
em que V0(i) ´e a i-´esima entrada do vetor V0.
Agora, com a existˆencia garantida pelo teorema 2.2.2., tome o autovetor positivo V deM associado ao autovalor dominanteλ(M). Deste modo,
V Mn=V M Mn−1 =λV Mn−1 =. . .=λnV, isto ´e,
m
X
i=1
V(i)mnij =λnV(j).
E, considerando a= minV(i) e b = maxV(i), para cadaj ∈A, temos que V(j) a λ n= m X i=1 V(i) a m n ij ≥ m X i=1
V0(i)mnij ≥
De (2.1) e da aplica¸c˜ao do somat´orio emj ∈A, segue que m X j=1 V(j) a λ n ≥ m X j=1
Nn(j) =Nn≥ m X j=1 V(j) b λ n. Obtendo-se lim
n→+∞ 1 nlog m X j=1 V(j) a λ
n ≥ lim n→+∞
1
n logNn ≥n→lim+∞ 1 nlog m X j=1 V(j) b λ n.
Como os limites dos extremos s˜ao ambos iguais a logλ, conclu´ımos que
h(T) = lim
n→+∞ 1
nlogNn= logλ.
c.q.d.
Um importante resultado do formalismo termodinˆamico relaciona a entropia m´etrica e a press˜ao: o Pric´ıpio Variacional.
Para o potencial nulo, φ ≡ 0, o princ´ıpio variacional nos d´a a principal rela¸c˜ao entre a entropia topol´ogica e a entropia m´etrica, pois estabelece que a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao cont´ınua em um espa¸co m´etrico compacto ´e o supremo das entropias m´etricas tomado sobre todas as probabilidades invariantes para essa transforma¸c˜ao.
Teorema 2.2.4. (Princ´ıpio Variacional)
P(φ) = sup{hµ(T) +
Z
X
φ dµ;µ∈ M(X, T)}
Para demonstrarmos este teorema precisaremos do seguinte
Lema 2.2.5. Sejam p1, . . . , pn n´umeros reais n˜ao-negativos com n
X
i=1
pi = 1, tomando
a1, . . . , an n´umeros reais arbitr´arios temos,
n
X
i=1
pi(ai−logpi)≤log n
X
i=1 eai
! .
com igualdade se, e somente se, pi =
eai
Pn i=1eai
.
Demonstra¸c˜ao: (Lema) Considere a fun¸c˜ao f :Rn →Rdefinida por
f(p1, . . . , pn) = n
X
i=1
A prova do lema consiste em encontrarmos o ponto de m´aximo daf na variedade ϕ−1(1), em que ϕ:Rn→R´e dada por ϕ(p1, . . . , pn) =
n
X
i=1 pi.
Utilizando a t´ecnica dos multiplicadores de Lagrange, basta procurarmos os pon-tos que satisfazem a igualdade ∇f =λ∇ϕ, para algumλ.
∇f =λ∇ϕ⇐⇒(a1−1−logp1, . . . , an−1−logpn) =λ(1, . . . ,1).
Logo,
(ai−1−logpi) = λ⇐⇒pi =eai−1−λ, ∀i∈ {1, . . . , n}.
Como
n
X
i=1
pi = 1, obtemos e−1−λ =
1 Pn
i=1eai
e portanto pi =
eai
Pn i=1eai
´e o ´unico ponto de
m´aximo da f.
c.q.d.
Demonstremos o teorema.
Demonstra¸c˜ao: Mostraremos primeiro queP(φ) ´e maior que o supremo indicado acima. Dadaµ∈ M(X, T), aplicando o lema anterior para pA =µ(A) e aA = (Snφ)A obtemos,
1 n
X
A∈An
pA(Snφ)A+
1
nHµ(An)≤ 1 nlog
X
A∈An
e(Snφ)C
!
Devido `a invariˆancia de µ,
X
A∈An
pA(Snφ)A≥ n−1 X
k=0 Z
X
(φ◦Tk)(x)dµ=
n−1 X
k=0 Z
X
φdµ=n Z
X
φdµ.
Portanto,
1
nHµ(An) + Z
X
φdµ≤ 1
nlog X
A∈An
e(Snφ)C
! .
Tomando o limite em n∈N, obtemos a desigualdade esperada.
A prova da desigualdade contr´aria ser´a obtida no cap´ıtulo 3, proposi¸c˜ao 3.2.6, onde garantimos a existˆencia de uma medidaν satisfazendo P(φ) =hν(T) +
Z
X
φdν. c.q.d.
Observamos que o sup{hµ(T) +
R
Xφ dµ;µ ∈ M(X, T)} ´e atingido por medidas
erg´odicas pois, como vimos no cap´ıtulo 1, toda medida deM(X, T) ´e combina¸c˜ao convexa destas.
2.3
O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman
Aqui apresentaremos o conceito de entropia m´etrica, para uma transforma¸c˜ao que preserva medida, baseado no teorema de Shannon-McMillan-Breiman. Observamos que a defini¸c˜ao de entropia m´etrica que demos, no in´ıcio deste cap´ıtulo, foi restrita a uma medida invariante no shift.
Sejam (X,A, µ) um espa¸co de probabilidade e T :X ←֓ uma transforma¸c˜ao que preserva a medida µ. Se P ´e uma parti¸c˜ao de (X,A, µ) denotaremos por P(x) o ´atomo da parti¸c˜ao deP que cont´emx e por Pn(x) o conjunto dosy∈X tais que Tj(y) e Tj(x)
pertencem ao mesmo ´atomo deP para todo 0≤j ≤n. Ou seja:
Pn(x) ={y|Tj(y)∈ P(Tj(x)), 0≤j ≤n}
Equivalentemente,
Pn(x) = n
\
j=0
T−j(Pj(Tj(y)))
O conceito de entropia de uma parti¸c˜ao P est´a vinculado com a velocidade a que µ(Pn(x)) converge a zero, um resultado fundamental a este respeito ´e o seguinte teorema
Teorema 2.3.1. (Shannon-McMillan-Breiman) Sejam (X,A, µ) um espa¸co de probabili-dade eT :X ←֓ uma aplica¸c˜ao mensur´avel que preserva a medida µ. Dada uma parti¸c˜ao
P de X tal que
Hµ(P) =−
X
P∈P
µ(P) logµ(P)<+∞,
ent˜ao o limite
hµ(T,P, x) =− lim n→+∞
1
nlogµ(Pn(x))
existe para µ -quase todo ponto x ∈ X e a sequˆencia x → n−1logµ(P
n(x)) converge em
L1(µ).
Demonstra¸c˜ao: Escrevendo 1
nlogµ(Pn(x)) = 1 nlog
µ(Pn(x))
µ(Pn−1(x))
· · ·µ(P1(T
n−1(x))) µ(P(Tn(x))) µ(P(T
n(x))
= 1 n
n−1 X
j=0 log
µ(Pn−j(Tj(x)))
µ(Pn−j−1(Tj+1(x)))
+ 1
n logµ(P(T
n(x))
Mostraremos primeiro que a ´ultima parcela acima converge em µ-q.t.p e em L1(µ) para zero. Note que logµ(P(x)) ´e integr´avel pois, −RXlogµ(P(x))dµ = H(P) < +∞. Apli-cando o teorema de Birkhoff (ver [8]), conclu´ımos que
1
nlogµ(P(T
n(x))) = n+ 1
n 1 n+ 1
n
X
j=0
logµ(P(Tj(x)))− 1
n
n−1 X
j=0
converge a zero tanto em L1(µ) quanto µ-qtp.
Com isto, o teorema reduz-se a prova de que a sequˆencia
1 n
n−1 X
j=0
Fn−j◦Tj
em que
Fn(x) := log
µ(Pn(x)
µ(Pn−1(T(x))) converge em µ-qtp e em L1(µ).
Por corol´ario do teorema de Birkhoff (ver [8]), ´e suficiente verificar que as fun¸c˜oes Fn s˜ao integr´aveis e que convergem em µ−qtp e em L1(µ). Para tal, considerando a
fun¸c˜ao
G(x) := sup
n≥1
|Fn(x)|
mostraremos que dado ε >0,∃A∈ A tal que G|A ∈ L1(µ) e
Z
Ac
|Fn|dµ≤ε,∀n≥1.
Se garantirmos a existˆencia deste conjunto A imediatamente teremos a integra-bilidade dasFn
Z
X
|Fn|dµ =
Z
A
|Fn|dµ+
Z
Ac
|Fn|dµ
≤
Z
A
Gdµ+ε <+∞
Al´em disso, por corol´ario do teorema de Radon-Nikodym (ver [8]), temos que a seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
x7→ µ(Pn(x))
µ(Pn−1(T(x)))
= µ(P(x))∩(T −1P
n−1)(x) µ((T−1P
n−1)(x)) ,
em que (T−1P
n)(x) denota o ´atomo da parti¸c˜aoT−1Pn que cont´em x, converge em µ-qtp
x∈X a
X
P∈P (χP)Pb
onde
b
P := _
n≥1
T−1Pn−1 = ∞ _
j=1
T−j(P).
E portanto, a seq¨uˆencia (Fn) converge em µ-qtp x ∈ X. Da´ı, considerando
novamente o conjunto A, teremos: lim
n,m→∞sup Z
X
|Fn−Fm|dµ ≤ lim n→∞sup
Z
A
|Fn−Fm|dµ+ lim n→∞sup
Z
Ac
|Fn−Fm|dµ
≤ lim
n→∞sup Z
A
|Fn−Fm|dµ+ 2ǫ.
Aplicando o teorema da convergˆencia dominada, segue que (Fn) ´e de Cauchy em L1(µ) e
Encontremos ent˜ao este conjunto A.
Denotemos por P1, P2, . . . os ´atomos deP. Como por hip´otese H(P) = −X
j
µ(Pj) log(µ(Pj))<+∞,
dadoǫ >0,∃N ∈Ntal que −X
j≥N
µ(Pj) log(µ(Pj))≤ǫ. Seja A:= N
X
j=1 Pj.
Para ver a integrabilidade G|A, comecemos por definir a fun¸c˜ao
Φ(c) := µ({x∈A;G(x)> c}).
Pela defini¸c˜ao de G, para cada x ∈ X tal que G(x) > c, existe um primeiro nx ∈N tal que |Fnx(x)|> c, isto ´e,
µ(P(x)∩(T−1Pnx−1)(x))≤e
−cµ((T−1P
nx−1)(x))).
Note que sey∈ P(x)∩(T−1Pnx−1)(x) =Pnx(x), vale queG(y)> ce vale a mesma
desigualdade acima para o y. Com isso, pela minimalidade do nx, segue que ny = nx,
ou seja, se y ∈ Pnx(x) ent˜ao Pnx(x) = Pny(y). Em outras palavras, {Pnx(x), x ∈ X}
constitui uma parti¸c˜ao deG−1((c,+∞)). Denotando por S
k os elementos desta parti¸c˜ao,
obtemos que para cada P ∈ P vale
µ(Sk∩P)≤e−cµ(Sk)
Deste modo,
µ(G−1((c,+∞))∩P) =µ([
k
Sk∩P)≤e−cµ(
[
k
Sk) = e−c
X
Sk⊂P
µ(Sk)≤e−c
Finalmente, somando emP ⊂A, obtemos Φ(c) =
N
X
j=1
µ(Pj ∩G−1((c,+∞))≤N e−c.
Portanto, G|A´e integr´avel. Resta-nos mostrar que
Z
A
|Fn|dµ≤ǫ,∀n≥1.
Sejam T1, T2, . . . os ´atomos de T−1P
n−1. Observe que, para quaisquer x, y ∈ Pj∩Tk temos Fn(x) =Fn(y). Assim:
Z
Ac
|Fn|dµ = −
X
j>N
X
k
µ(Pj ∩Tk) log
µ(Pj∩Tk)
µ(Tk)
= X
j>N
−X
k
µ(Tk)
µ(Pj ∩Tk)
µ(Tk)
log
µ(Pj∩Tk)
µ(Tk)
Pela convexidade da fun¸c˜aox7→xlogx eX
j
µ(Tj) = 1, segue que
Z
Ac
|Fn|dµ≤ −
X
j>N
(X
k
µ(Pj∩Tk) log(
X
k
µ(Pj ∩Tk)) =−
X
j>N
µ(Pj) log(µ(Pj))< ε.
c.q.d.
Motivados por este teorema definimos a entropia de T no ponto x com respeito `a parti¸c˜aoP como
hµ(T,P, x) =− lim n→+∞
1
nlogµ(Pn(x)) quando esse limite existe.
Desta forma, torna-se natural definirmos a entropia de T com respeito `a parti¸c˜ao
P por
hµ(T,P) =
Z
X
hµ(T,P, x)dµ(x)
A partir desta, temos a
Defini¸c˜ao 2.3.2. A entropia m´etrica, hµ(T), de uma transforma¸c˜ao T que preserva
me-dida de um espa¸co de probabilidade (X,A, µ) ´e o
hµ(T) = sup{hµ(T,P) ; −
X
P∈P
µ(P) logµ(P)<+∞}
ConsiderandoX um espa¸co m´etrico compacto eT :X ←֓uma aplica¸c˜ao cont´ınua que preserva medida µ, uma interessante vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon-McMillan-Breiman foi dada por Brin e Katok. Nesta vers˜ao, em vez de parti¸c˜oes do espa¸coX, eles trabalharam com as bolas dinˆamicas . Por defini¸c˜ao, dado ε >0,x∈X e n≥0, a bola dinˆamica centrada no ponto x∈X ´e dada por:
Bε(n, x) = {y∈X ; d(Tj(y), Tj(x))≤ε, 0≤j ≤n}.
Note que essa bola representa o conjunto dos pontos que ε-acompanham x pelo menos at´e o seun-´esimo iterado. A velocidade com que a medidaµdesta bola tende a zero pode ser estudada pelas express˜oes:
h+µ(T, x, ε) =− lim
n→+∞sup 1
nlogµ(Bε(n, x))
h−µ(T, x, ε) =− lim
n→+∞inf 1
Brin e Katok mostraram que lim
ε→0h +
µ(T, x, ε) = limε→0h−µ(T, x, ε) em µ-qtp x e,
de-notando por hµ(T, x) o valor comum destes limites vale que
hµ(T) =
Z
X
hµ(T, x)dµ(x)
Como X = AN
´e um espa¸co compacto e a aplica¸c˜ao shift ´e cont´ınua, pode-mos aplicar a vers˜ao topol´ogica do teorema de Shannon-McMillan-Breiman e obter a equivalˆencia das defini¸c˜oes de entropia m´etrica para o shift.
hµ(T) =
Z
X
hµ(T, x)dµ(x)
= −
Z
X
lim
n→+∞ 1
nlog(µ(x1x2. . . xn))dµ(x) = − lim
n→+∞ 1 n
X
A∈An
µ(A) log(µ(A))
= lim
n→+∞
Hµ(An)
Formalismo Termodinˆ
amico
Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio s˜ao probabilidades invariantes que revelam interessantes propriedades erg´odicas de sistemas uniformemente expansores. Enquanto os estados Gibbs s˜ao definidos localmente e fornecem um controle uniforme da medida de to-dos os cilindros em termo da varia¸c˜ao local de seu potencialφ, os estados de equil´ıbrio s˜ao definidos globalmente, pelo princ´ıpio variacional, e maximizam a press˜ao de um sistema sob a a¸c˜ao deφ.A teoria dos estados de equil´ıbrio e medidas Gibbs ´e o que chamamos de
Formalismo Termodinˆamico.
O teorema de Perron-Frobenius-Ruelle, que ser´a demonstrado na pr´oxima se¸c˜ao, al´em de ser uma generaliza¸c˜ao do cl´assico teorema de Perron-Frobenius para matrizes irredut´ıveis, ´e a principal ferramenta do formalismo termodinˆamico para a constru¸c˜ao destas medidas.
3.1
O Teorema de Perron-Frobenius-Ruelle
A partir desta se¸c˜ao, X denotar´a o espa¸co topol´ogico compacto AN
, em que A={1, . . . , m}. Neste espa¸co, definimos a m´etrica
d(x, y) = 2−min{n≥0 ;xn6=yn}
Seja C(X) o espa¸co das fun¸c˜oes (uniformemente) cont´ınuas definidas em X. Dada f ∈
C(X), defina para cada k ≥0, a varia¸c˜ao def no cilindro de ordem k, ωk(f) = sup{|f(x)−f(y)|; d(x, y)≤2−k−1}
Note que
lim
k→+∞ωk(f) = 0
||f||B0 =
∞ X
k=0
ωk(f) +||f||∞ < ∞
Para exemplos de fun¸c˜oes em B0(X), considere o espa¸co Cα(X) das fun¸c˜oes que s˜ao H¨older cont´ınuas com expoenteα, isto ´e, as fun¸c˜oes f que
∃C >0, ∀x, y ∈X, |f(x)−f(y)| ≤C(d(x, y))α.
Considere agora φ uma fun¸c˜ao real cont´ınua definida em X. Associaremos a esta fun¸c˜ao, um operador Lφ em C(X), chamado operador de Ruelle ou operador de
transferˆencia, definido por
∀f ∈C(X), Lφ(f)(x) =
X
y∈T−1(x)
eφ(y)f(y) = X
i∈A
eφ(ix)f(ix).
Como C(X) ´e uma ´algebra com respeito as opera¸c˜oes pontuais de soma e mul-tiplica¸c˜ao, vemos que Lφ est´a bem definido e ´e um operador linear. Al´em disso, para
f ∈C(X)
|Lφ(f)(x)|=
X
y∈T−1(x)
eφ(y)f(y)
≤e||φ||∞(supx∈X#T−1(x))|f(x)| ≤m|f(x)|, ∀x∈X o que nos d´a
||Lφ(f)||∞≤C˜||f||∞
e portantoLφ´e cont´ınuo. Procedendo por indu¸c˜ao ´e f´acil ver que para todo n≥1
Lnφ(f)(x) = X
y∈T−n(x)
eSnφ(y)f(y)
em que Snφ ´e soma de BirkhoffSnφ = n−1 X
k=0
φ◦Tk.
Ap´os introduzir todas estas defini¸c˜oes, estamos prontos para demonstrar o teo-rema que intitula esta se¸c˜ao.
Teorema 3.1.1 (Perron-Frobenius-Ruelle). Para cada φ∈B0(X)
(PFR1) existe uma fun¸c˜ao h >0em C(X), autovetor do operadorLφ associada
a um autovalor simples β >0,
(PFR2) existe uma ´unica medida de probabilidade µ em X tal que L∗
φ(µ) =βµ
e para toda fun¸c˜aoψ ∈C(X), a sequˆencia β−nLn
φ(ψ)converge uniformemente em X para
hR ψdµ,
(PFR3) a press˜ao de φ ´e logβ.
Teorema 3.1.2. (Schauder-Tychonov) Sejam K um subconjunto convexo compacto de um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo e Φ uma fun¸c˜ao cont´ınua de K em K. Ent˜aoΦ possui ponto fixo.
Dado φ ∈ B0(X) considere o operador de transferˆencia Lφ. Como vimos no
cap´ıtulo 1, podemos identificar o espa¸co M(A) das medidas (com sinal) finitas definidas em X com o dual de C(X), isto ´e, (C(X))∗ ≃ M(A). Deste modo, o operador adjunto
L∗
φ deLφ age da seguinte maneira
L∗
φ: (C(X))∗ ≃ M(A) −→ (C(X))∗ ≃ M(A)
µ 7−→ L∗φ(µ) : C(X)−→R
f 7−→ L∗φ(µ)(f) = Z
X
f dL∗φ(µ) = Z
X
Lφ(f)dµ
Definindo a fun¸c˜ao Φ :M(A)←֓por Φ(µ) = L
∗
φ(µ)
R
XLφ(1)dµ
observamos que al´em de deixar invariante o subconjunto convexo compacto M(X) das medidas de probabilidades, Φ ´e cont´ınua emM(X), pois L∗
φ ´e cont´ınuo e
Lφ(1) =
X
i∈A
eφ(ix) ≥me−||φ||∞
=c >0
o que implica Z
X
Lφ(1)dµ≥c >0, ∀µ∈ M(X).
Aplicando o teorema de Schauder-Tychonov, existe µ ∈ M(X) ponto fixo de Φ, o que nos d´aL∗
φ(µ) = βµ em que β =
R
XLφ(1)dµ > 0.
Comecemos a provar (PFR1). Parax, y ∈X defina C(x, y) = sup
k≥1 sup
B∈Ak
(Skφ(Bx)−Skφ(By))
Note queC(x, y)≤
+∞ X
k=1
ωk(φ) em particular, sed(x, y)≤2−n−1ent˜aoC(x, y)≤
+∞ X
k=n+1 ωk(φ)
e portanto a fun¸c˜ao C ´e limitada e tende a zero quando x, y tornam-se suficientemente pr´oximos. Esta fun¸c˜ao tamb´em satisfaz
sup
a∈A
(φ(ax)−φ(ay) +C(ax, ay))≤C(x, y). Considere agora o conjunto
Λ ={g ∈C(X) ; g ≥0, Z
X
e a fun¸c˜ao Γ :C(X)←֓ dada por
Γ(f) = β−1Lφ(f)
Mostraremos que Λ ´e um subconjunto convexo compacto de C(X) e Γ(Λ) ⊂ Λ. A convexidade de Λ ´e clara. Para obter a compacidade ´e suficiente, pelo teorema de Ascoli-Arzela, mostrar que Λ ´e uma fam´ılia equicont´ınua e uniformemente limitada.
Dado g ∈Λ, como RXgdµ= 1 existe y0 ∈X tal que g(y0)≤1. Para todo x∈X vale
g(x)≤eC(x,y0)g(y0)≤e
P+∞
k=1ωk(φ) (3.1)
o que implica||g||∞ ≤e||φ||B0, ∀g ∈Λ, provando a limita¸c˜ao uniforme de Λ.
A desigualdade (3.1) ainda nos d´a
|g(x)−g(y)| ≤emax{C(x,y),C(y,x)}−1, ∀x, y ∈X logo, a equicontinuidade segue do fato de C tender a 0 com a d(x, y).
Para ver que Γ(Λ)⊂Λ, primeiro observe que, Z
X
β−1Lφ(g)dµ=
Z
X
β−1gd(L∗φµ) = Z
X
gdµ= 1.
em seguida, se g ∈Λ ent˜ao, das propriedades deφ β(Γg)(x) = Lφ(g)(x) =
X
a∈A
eφ(ax)g(ax)
≤ X
a∈A
eφ(ay)g(ay)eφ(ax)−φ(ay)+C(ax,ay)
≤ Lφ(g)(y)eC(x,y) =βeC(x,y)(Γg)(y)
Aplicando novamente o teorema de Schauder-Tychonov, a fun¸c˜ao Γ admite ponto fixo em Λ. Isto ´e equivalente ao operadorLφ possuir uma autofun¸c˜aoh∈Λ associada ao
autovalor β >0. Note que, por propriedade dos elementos de Λ,h >0.
O autovalor β ´e de fato um autovalor simples. Para confirmar isto seja g uma outra autofun¸c˜ao associada aβ. Fixe x∈X tal que g(x)>0 e tome
t= sup{s≥0 ; h−sg≥0}
Temos que h−tg ≥ 0 e existe y ∈ X com h(y)−tg(y) = 0. Por outro lado, para todo n∈N, temos
βn(h−tg)(y) = X
z∈T−n(y)
da´ı, (h−tg)(z) = 0 para todo z ∈ T−n(y). No entanto, [ n≥0
T−n(y) ´e denso em X, o que
imp˜oeh(x) = tg(x) para todo x∈X.
At´e aqui mostramos (PRF1) e a existˆencia da medidaµem (PFR2). Antes de continuarmos com a segunda parte, sejamh e β como acima e defina
g =φ−logh◦T + logh−logβ. Como
eg =β−1eφ h h◦T ,
denotando por Mh o operador de multiplica¸c˜ao por h, obtemos
Lg =β−1Mh−1LφMh.
Al´em disso, Lg(1) = 1, o que mostra que 1 ´e autovalor simples de Lg. Estabeleceremos
dois fatos:
(i) Existe uma ´unica probabilidade ν tal que L∗
g(ν) = ν
(ii) Para cada ψ ∈ C(X), a sequˆencia Ln
g(ψ) tende para
R
Xψdν uniformemente
em X.
Com estes dois fatos provamos (PFR2). De fato, se (i) acontece, ent˜ao para toda f ∈
C(X)
L∗φ(ν
h)(hf) = Z
X
Lφ(hf)
h dν =β Z
X
Lg(f)dν =β
Z
X
f d(L∗gν) = β Z X f dν e portanto L∗ φ( ν
h) =β( ν h)
implica na unicidade de µcom ν =hµ. Se (ii) ´e verdade conclu´ımos
β−nLn
φ(ψ) =hLng(
ψ
h)−→h Z
X
ψ
hdν =h Z
X
ψ
hd(hµ) = h Z
X
ψdµ
uniformemente em X.
Concentremo-nos nas provas de (i) e (ii).
Seja ψ ∈C(X). Como Lg(1) = 1 ent˜ao Lng(1) = 1 e, portanto a sequˆencia Lng(ψ)
´e equilimitada.
Denotando por Cg a fun¸c˜ao an´aloga a C, definida anteriormente, a qual
deno-taremos agora porCφ, isto ´e,
Cg(x, y) = sup k≥1
sup
B∈Ak
e
Cφ(x, y) = sup k≥1
sup
B∈Ak
(Skφ(Bx)−Skφ(By))
temos queCg(x, y)≤Cφ(x, y) +ωn(h) se d(x, y)≤2−n−1. Al´em disso,
Ln
g(ψ)(x)− Lng(ψ)(y)
≤ X
B∈An
eSng(Bx)(ψ(Bx)−ψ(By))
(3.2) + X
B∈An
ψ(By)(eSng(Bx)−eSng(By))
Mas, se d(x, y)≤2−n−1 ent˜ao
X
B∈An
eSng(Bx)(ψ(Bx)−ψ(By))
≤ωn+k(ψ)
X
B∈An
eSng(Bx)
| {z } Ln
g(1)=1
= ωn+k(ψ)
e X
B∈An
ψ(By)(eSng(Bx)−eSng(By))
≤ ||ψ||∞ X
B∈An
eSng(By) X
B∈An
1−esupB∈An(Sng(Bx)−Sng(By))
≤ ||ψ||∞
eCg(x,y)−1
estabelecendo a equicontinuidade de Ln
g(ψ). Por Ascoli-Arzel`a, existe (nk) tal que a
subsequˆenciaLnk
g (ψ) converge uniformemente para alguma fun¸c˜ao ˆψ. ComoLg tem norma
limitada por 1, temos
sup(ψ)≥sup(Lg(ψ))≥. . .≥sup(Lng(ψ))≥. . .≥sup( ˆψ).
Por outro lado, ˆψ ≥ Lnk
g (ψ)−εk com εk→0. Logo, para todoN encontramos
sup(LN
g ( ˆψ))≥sup( ˆψ)−εk, ∀k
obrigando
sup(LNg ( ˆψ))≥sup( ˆψ) = r.
Expandindo esta desigualdade vemos que ˆψ = r em T−n(x) quando ˆψ(x) = r. Por
continuidade de ˆψ e densidade do conjunto T−n(x) conclu´ımos que ˆψ ´e constante.
Para obtermos (ii) ainda ´e preciso mostrar que toda subsequˆencia convergente tem o mesmo limite constante r. Seja (nj) outra sequˆencia para qual Lngj(ψ) converge.
Da mesma an´alise acima, o limite ´e constante. Esta constante tamb´em ´e o limite de sup(Lnj
g (ψ)), que por sua vez ´e uma subsequˆencia de sup(Lng(ψ)) que possue um ´unico
ponto de acumula¸c˜ao r.
Para provar (i), note primeiramente que L∗
g preserva M(X) pois
Z
X
d(L∗gµ) = Z
X
Mais uma vez pelo teorema de Schauder-Tychonov existe uma probabilidadeν ponto fixo deL∗
g (veremos na proposi¸c˜ao 3.2.2. que ν ´e invariante).
Garantida a existˆencia de ν ponto fixo de L∗
g podemos concluir que r =
R
Xψdν
j´a que Z
X
ψdν= Z
X
ψd((L∗
g)nν) =
Z
X
Ln
g(ψ)dν −→
Z
X
rdν =r
A unicidade de ν segue da unicidade do limite anterior.
Finalmente, para mostrar que P(φ) = logβ aplicaremos (PFR2) com ψ ≡1. P(φ)−logβ = lim
n→+∞ 1 nlog
X
B∈An
e(Snφ)B −logβ
= lim
n→+∞ 1 nlogβ
−nsup x∈X
X
B∈An
eSnφ(Bx)
= sup
x∈X
lim
n→+∞ 1 nlogβ
−n X B∈An
eSnφ(Bx)
| {z }
β−nLn φ(1)−→h
= 0
c.q.d.
Observe que ´unica propriedade especial que utilizamos do shift foi a densidade do conjunto [
n≥0
T−n(y), que ´e equivalente ao fato do shift ser topologicamente mixing.
Desta forma, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle continua sendo v´alido no caso de um subshift de tipo finito associado a uma matriz aperi´odica.
3.2
Medidas Gibbs e Estados de Equil´ıbrio
Iniciemos por definir os principais objetos da se¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja φ ∈ C(X). Uma medida de probabilidade µ ´e chamada uma medida Gibbs com respeito a φ se existem constantes K >0, C ∈R tais que
∀x∈X, ∀n ∈N, K−1 ≤ µ(x1. . . xn)
eSn(φ)+Cn ≤ K
Revisitando o Princ´ıpio Variacional, diremos que uma medida invariante µ´e um estado de equil´ıbrio para a fun¸c˜aoφ se
P(φ) =hµ(T) +
Z
X
φ dµ
som´avel. Em acr´escimo, mostraremos que este estado de equil´ıbrio tamb´em ´e uma medida Gibbs.
Sejaµuma medida de probabilidade emX. Dizemos que µ´e quase-invariante se T∗µ ≪ µeµ ≪ T∗µ. Definindo o jacobianoJ
µpara tais medidas, o que ´e poss´ıvel devido
ao teorema de Radon-Nikodym, temos a seguinte f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis.
Proposi¸c˜ao 3.2.2. Para toda fun¸c˜ao g ∈C(X) vale
m X i=1 Z X g(ix) 1 Jµ(ix)
dµ = Z
X
g dµ.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente note que T∗(gµ) ≪ µ pois, se µ(E) = 0 a quasi-invariˆancia de µimplica
|T∗(gµ)(E)|= Z
T−1(E)
g dµ≤ ||g||∞T∗µ(E) = 0 Pelo teorema de Radon-Nikodym,∃G∈ L1(µ) definida por
G(x) = lim
n→+∞
T∗(gµ)(x
1. . . xn)
µ(x1. . . xn)
µ−qtp x∈X tal que T∗(gµ) =Gµ. Por outro lado,
T∗(gµ)(x1. . . xn) = m
X
i=1 Z
ix1...xn
g dµ=
m
X
i=1
g(ix)µ(ix1. . . xn) +εn
com |εn| ≤ωn+1(g)T∗µ(x1. . . xn). Logo,
G(x) =
m
X
i=1
g(ix) 1 Jµ(ix)
Para concluir a proposi¸c˜ao basta observar a identidade
T∗(gµ)(X) = 1 = Z
X
d(T∗(gµ)) = Z
X
Gdµ.
c.q.d.
Como aplica¸c˜ao, considere a fun¸c˜ao φ(x) = −log(Jµ(x)). O operador de Ruelle
fica
Lφ(g)(x) =
X
y∈T−1(x)
eφ(y)g(y) =
m
X
i=1
g(ix) 1 Jµ(ix)
∀g ∈C(X) Pela f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis obtemos
L∗
φ(µ) = µ
Em particular, seφ ´e H¨older cont´ınua ent˜ao µ´e o ´unico ponto fixo do operador L∗
φ.
Mais geralmente, se φ∈B0(X) est´a normalizada, isto ´e,
∀x∈X,
m
X
i=1
eφ(ix)= 1
o operador de Ruelle associado aφ possue norma 1, e portanto existe uma ´unica medida de probabilidadeν tal que L∗
Proposi¸c˜ao 3.2.3. ν ´e T-invariante.
Demonstra¸c˜ao: Para cada f ∈C(X), temos Z
X
f◦T dν = Z
X
f◦T d(L∗
φ(ν)) =
Z
X
Lφ(f◦T)dν =
Z X f m X i=1
eφ(ix)dν = Z
X
f dν.
Aplicando o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz-Markov (ver [2]), ν(T−1(A)) = ν(A), para todoA boreleano.
c.q.d.
Proposi¸c˜ao 3.2.4. Para todo x∈X e todo n≥0, temos
e−ωn(φ) ≤ ν(x1. . . xn)e
−φ(x) ν(x2. . . xn)
≤ eωn(φ)
Em particular, φ=−log(Jν)
Demonstra¸c˜ao: Note que Z
X
e−φχx1...xndν =
Z
X
e−φχx1...xnd(L
∗
φ(ν))
= Z
X
Lφ(e−φχx1...xn)dν
= Z
X
( X
y∈T−1(x)
χx1...xn(y))dν(y)
= Z
X
χx2...xndν
= ν(x2. . . xn)
e pela defini¸c˜ao deωn(φ), verificamos o resultado.
Tomando o limite em n concluimos queφ =−log(Jν).
c.q.d.
Como consequˆencia desta proposi¸c˜ao podemos concluir ν ´e uma medida Gibbs. De fato,
e−ωn(φ) ≤ ν(x1. . . xn)e
−φ(x) ν(x2. . . xn)
≤ eωn(φ)
por recorrˆencia,
ν(xn)e
Pn−2
j=0φ◦Tj e−ω2(φ)−...−ωn(φ) ≤ ν(x
1. . . xn)
≤ ν(xn)e
Pn−2 j=0φ◦T
j
eω2(φ)+...+ωn(φ)
aplicando novamente,
e−Pnj=0ωj(φ) ≤ ν(x1. . . xn)
eSn(φ) ≤ e
Pn
tomando K =ePnj=0ωj(φ) eC = 0 vem
K−1 ≤ ν(x1. . . xn)
eSn(φ) ≤ K ∀n ≥0
A medidaν tamb´em satisfaz:
Proposi¸c˜ao 3.2.5. A medida ν ´e a ´unica probabilidade T-invariante com a propriedade
P(φ) = hν(T) +
Z
X
φ dν = 0
Demonstra¸c˜ao: Se µ∈ M(X, T) ´e uma medida invariante ent˜ao
m
X
i=1 1 Jµ(ix)
= lim
n→+∞
m
X
i=1
µ(ix1. . . xn)
µ(x1. . . xn)
= lim
n→+∞
µ(T−1(x1. . . x
n))
µ(x1. . . xn)
= 1
Aplicando o lema 2.2.5. obtemos a desigualdade
m
X
i=1 1 Jµ(ix)
log(Jµ(ix)) + m
X
i=1
φ(ix) Jµ(ix)
≤ 0, ∀x∈X com igualdade se, e somente se,Jµ(ix) =e−φ(ix).
Integrando esta desigualdade com respeito `a medida µ,
m X i=1 Z X 1 Jµ(ix)
log(Jµ(ix))dµ+ m X i=1 Z X φ(ix) Jµ(ix)
dµ ≤ 0 aplicando as f´ormulas para mudan¸ca de vari´aveis e de Rohlin tem-se
hµ(T) +
Z
X
φdµ ≤ 0 com igualdade se, e somente se,Jµ=e−φ.
A proposi¸c˜ao 3.2.3. mostrou que a medida ν satisfaz a propriedade em quest˜ao. Esta ´e ´unica pois, se outra medida µ´e tal que Jµ = e−φ ent˜ao, pelo que j´a observamos,
L∗
φ(µ) = µ. No entanto, o teorema de Perron-Frobenius-Ruelle guarante a unicidade do
ponto fixo de L∗
φ quando φ ∈ B0(X) est´a normalizada. Note que neste caso, β = 1 e
portanto, P(φ) = 0.
c.q.d.
Ressaltamos que log(Jµ) ´e o limite dominado da sequˆencia log(Jn) desta forma,
seµ´e uma medida invariante ent˜ao o teorema da convergˆencia dominada (ver [2]) garante a extens˜ao da f´ormula para mudan¸ca de vari´aveis `a fun¸c˜ao log(Jµ).
Agora que j´a observamos algumas das propriedades da medida ν, ponto fixo do operadorL∗
φ, em queφ∈B0(X) est´a normalizada, podemos mostrar o principal resultado
Teorema 3.2.6. Sejamφ ∈B0(X) e h, µcomo no teorema de Perron-Frobenius-Ruelle. Ent˜aoν =hµ´e o ´unico estado de equil´ıbrio para φ. Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs.
Demonstra¸c˜ao: Seja φ ∈ B0(X). O caso φ normalizada, isto ´e, Lφ(1) = 1 j´a foi
estabelecido. Como vimos durante a demonstra¸c˜ao do teorema de Perron-Frobenius-Ruelle podemos reduzir caso geral a este definindog =φ−log(h◦T) + logh−logβ.
Seja ν = hµ a ´unica probabilidade invariante fixada por L∗
g. Para toda m ∈
M(X, T), da proposi¸c˜ao 3.2.5. temos que hm(T) +
Z
X
gdm ≤ hν(T) +
Z
X
gdν = 0.
Escrevendo g em fun¸c˜ao de φ e utilizando a T-invariˆancia das medidas m e ν obtemos
hm(T) +
Z
X
gdm ≤ hν(T) +
Z
X
gdν = 0
hm(T) +
Z
X
log h
h◦Tdm+ Z
X
φdm−logβ ≤ hν(T) +
Z
X
log h
(h◦T)dν+ Z
X
φdν −logβ = 0 hm(T) +
Z
X
φdm ≤ hν(T) +
Z
X
φdν = logβ = P(φ)
e portantoν ´e o ´unico estado de equil´ıbrio para φ.
Al´em disso, ν ´e uma medida Gibbs com o coeficientes K e C iguais a ePnj=0ωj(φ)
e−logβ respectivamente. Com efeito, se L∗
φ(ν) =βν a proposi¸c˜ao 3.2.3. torna-se
e−ωn(φ) ≤ βν(x1. . . xn)e
−φ(x) ν(x2. . . xn)
≤ eωn(φ)
Logo,
e−Pnj=0ωj(φ) ≤ ν(x1. . . xn)
eSn(φ)−logβ ≤ e
Pn j=0ωj(φ)
