PESQUISA OPERACIONAL
PROF. AMADO LEITE
Outro aspecto que merece atenção é a resolução de sistemas.
As técnicas serão revistas por meio de exemplos:
Exemplo: 1º resolva por adição (ou cancelamento) o
sistema:
A técnica consiste em igualar numericamente os coeficientes de uma mesma incógnita, mas com sinais diferentes, para que, no processo de adição, essa incógnita seja cancelada. Veja:
(1) A incógnita y tem coeficiente “2” nas duas equações, ambos positivos; para cancelá-lo é só multiplicar uma das equações por “-1”.
Somando cada lado da igualdade (2), reduz-se o sistema a uma equação cuja solução é:
Revendo Alguns Conceitos Básicos
Calculado o valor de x, é só calcular o valor de y, utilizando qualquer uma das equações do sistema:
Em x + 2y = 3 é só fazer:
A resposta para esse sistema é
Representar graficamente o sistema e sua solução significa desenhar as duas retas e mostrar o ponto de interseção, veja:
2º Resolvendo por substituição:
O próprio nome diz que se deve substituir uma das equações, então, em:
Isolando “x” na equação (I) e substituindo o “x” da equação (II) pelo resultado encontrado:
12 – 8y + 2y = 6
- 6y = - 6
Y = 1 Se y = 1 então,
X = 3 – 2y Logo...
X = 1
Veja com atenção: trata-se da mesma resposta encontrada pelo método de adição ou cancelamento.
Além da resolução de sistemas lineares ou sistemas de
equações, é necessário que você reveja a resolução de inequações.
Uma inequação é uma desigualdade: maior, menor, menor ou igual, maior ou igual (>, <, ≥, ≤).
Um dos fatores que diferenciam uma equação (igualdade) de uma inequação (desigualdade) é o fato de a primeira possuir um número finito de respostas ao passo que a segunda possui um número infinito delas.
Veja o exemplo:
Equação (número finito de respostas): X + 3 = 0
X = -3
Inequação (número infinito de respostas): X + 3 > 0
X > -3
Inequações do Primeiro Grau:
É toda expressão determinada por uma desigualdade: ≤, ≥, <, >
Inequações Simples:
Neste caso, basta isolar x.
Veja o exemplo:
Resolver a inequação 2x + 4 > 0
X > -2
Inequações Simultâneas:
Neste caso, devem-se resolver as inequações “separadamente”, de duas em duas e efetuar a intersecção das respostas, operando em forma de intervalo:
Veja o exemplo:
Resolver a inequação: x ≤ 3x – 2 < x + 5
Primeiramente:
x ≤ 3x – 2 x ≥ 1
Em seguida:
3x – 2 < x + 5 x < 3,5
Construindo os intervalos:
Logo, os valores de x que satisfazem x ≤ 3x – 2 < x + 5 são dados por {x ∈ R| 1≤ x < 3,5 }
Introdução à Pesquisa Operacional
Um dos maiores desafios do ser
humano é tomar decisões corretas.
Administrador
•
intuição gerencial
Pesquisa Operacional - PO
•
Surgiu par a auxiliar o processo da
análise e tomada de decisão.
•
Método científico para organizar um
sistema:
• Modelo matemático;
Formulação do Problema
Administrador/responsável deverá:
• apresentar o problema de maneira clara e coerente;
• definir os objetivos a serem alcançados; • levantar as limitações técnicas do
sis-tema.
“É muito difícil encontrar uma
solução certa para um
Construção do Modelo do Sistema
Modelo é uma representação simplificada de
uma situação da vida real.
Construção do Modelo do Sistema
Os modelos em PO são formados por um
conjunto de equações e inequações:
• Função Objetivo: serve para medir a eficiência do modelo
Cálculo da Solução
Teste do Modelo e da Solução
• Pode-se usar dados empíricos;• Para dados históricos para testar e comparar com o desempenho observado;
Tomada de Decisão
Após teste satisfatório é possível definir o
sistema de apoio à decisão.
Implementação e Acompanhamento
Deve ser acompanhado para observar o comportamento do sistema;
Modelo de Programação Linear
Passos a executar :
• conversão do problema proposto num modelo matemático: elementos essenciais;
• exploração das diferentes soluções do problema;
cálculo da solução MAIS
Componentes do Modelo
Uma FUNÇÃO OBJETIVO para Maximizar ou Minimizar .
Exemplo:
• Minimizar custos, espaços
usados, tempo de produção.
• Maximizar lucro, receita,
Componentes do Modelo
Um conjunto de variáveis reais VARIÁVEIS DE DECISÃO.
Exemplo:
• Níveis de produção.
Componentes do Modelo
Um conjunto de restrições Técnicas e Lógicas.
Exemplo:
• Não utilizar mais do que 500 horas de trabalho.
ROTEIRO - CONSTRUÇÃO DO MODELO
Como formular um problema?
Respondendo 3 per guntas básicas:
1. Qual é o objetivo do problema?
2. Quais são as variáveis de decisão?
Formulando um problema
Ex. 1
Exemplo 1
Qual o objetivo do problema?
Maximizar o Lucro
Quais são as variáveis de decisão do problema?
Quantidade diária a ser produzida de mesas (x1);
Exemplo 1
Quais as restrições (limitações técnicas) do problema?
Madeira: limitação diária de 12 m³
Exemplo 2
O açougue de um bairro de Campo Grande prepara tradicionalmente suas almôndegas misturando carne bovina magra e carne suína. A carne bovina contem 80% de carne e 20% de gordura e custa R$ 0,80 cada 100 gramas. A carne suína contem 68% de carne e 32% de gordura e custa R$ 0,60 cada 100 gramas. Quanto de carne bovina e quanto de carne suína o açougue deve utilizar por 100 gramas de almôndegas se desejar MINIMIZAR SEU CUSTO e
Exemplo 2
Qual o objetivo do problema?
Minimizar o custo.
Quais são as variáveis de decisão do problema?
Quantidade de carne bovina a ser utilizadas por 100
gramas de almôndega (x1);
Quantidade de carne suína a ser utilizadas por
Exemplo 2
Quais as restrições (limitações técnicas) do problema?
Teor de gordura: menor de 25% em cada100 gramas de almôndegas;
Exemplo 3
Exemplo 3
Qual o objetivo do problema?
Maximizar o Lucro
Quais são as variáveis de decisão do problema?
Quantidade de biombos do modelo ALPHA que o carpinteiro deve montar semanalmente (x1);
Quantidade de biombos do modelo BETHA
que o carpinteiro deve montar
Exemplo 3
Quais as restrições (limitações técnicas)
do problema?
• Peças de madeira: 6 peças por semana;