MODELOS E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS AULA 7

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 26 de Setembro 2013

MODELOS E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

AULA 7

2

Teoria de Filas - Resumo

Chegada A

A Supõe a chegada de apenas um usuário por instante. O tempo para ocorrer uma chegada é função de prob.

Atendimento C1

C Pode ter servidores em paralelo (C2) ou em série (C1). O tempo de serviço é associado a função de distrib.

C2

C Fila

B

(2)

3

Teoria de Filas - Resumo

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1 Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial. 2 Natureza do processo de serviço. Ex.: M – variáveis_{aleatórias iid como função de distribuição exponencial.}

Notação de Kendall- Lee

3 Número de servidores em paralelo.

4 Organização da fila: FCFS – Primeiro a entrar, primeiro a sair (First come, first served), p. ex. 5 Número máximo de clientes no sistema (totalizando _{clientes na fila e em atendimento).} 6 Tamanho da população de clientes.

4

Teoria de Filas - Resumo

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

1 2 3 4 5 6

1 Natureza do processo de chegada. Ex.: M – variáveis aleatórias iid como função de distribuição exponencial. Notação de Kendall- Lee

Seja t_io tempo que o i-ésimo cliente chega e T_i= t_i+1– t_i o i-ésimo intervalo entre chegadas tal como abaixo:

(3)

5

Na maioria das aplicações uma questão importante é Escolher A de modo a refletir a realidade, mas ainda ser

Computacional tratável. A escolha mais comum para A é a função de distribuição exponencial, ou seja:

Teoria de Filas - Resumo

Onde: λλλλ- é a taxa de chegada (no. chegadas/hora, p.ex.).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

a

(t

)=λ

e

-λ

t

Gráfico de a(t)=λe-λt para λ = 0.5

O principal motivo para escolha da exponencial é devido a propriedade de que ela não tem memória. Ou seja:

P(A > t + h | A ≥≥≥≥t) = P (A > h)

6

Teoria de Filas - Resumo

P(A > t + h | A ≥≥≥≥t) = P (A > h)

(A ≥≥≥≥t) – Não ocorreu nenhuma chegada até o tempo t.

2 1

1

(A > t + h) – Não ocorrerá nenhuma chegada nas próximas h horas.

2

(A > h) – Tempo até ocorrer a próxima chegada. 3

3

(4)

7

Teoria de Filas - Resumo

A maioria dos sistemas de filas com tempos exponenciais de intervalos de chegadas e tempos de serviço podem ser

modelados por processo de nascimento e morte.

A propriedade de ausência de memória da exponencial garante que a probabilidade de ocorrer uma chegada no intervalo [t, t+∆∆∆∆t] não depende de há quanto tempo o sistema

está no estado j e só depende da taxa λλλλ. Idem p/ serviço.

8

Processos de Nascimento-Morte:

Para problemas de filas ππππ_j pode ser entendido como:

TEORIA DE FILAS

(1)A probabilidade de que existam j clientes no sistema.

Tempo t = 0 i

Tempo t j

P_ij(n) = ππππ_j

(5)

9

(2)A fração de tempo na qual j clientes estão no sistema.

Fração ππππ_i i

Fração ππππ_j j

TEORIA DE FILAS

T sistema

10

Teoria de Filas - Resumo

A partir das considerações anteriores é possível construir as equações de balanço do processo de morte e nascimento e a partir delas derivar as probabilidades de regime

permanente e assim obter:

L Número médio de clientes presentes no sistema. L_q Número médio de clientes esperando na fila. L_s Número médio de clientes em serviço.

(6)

11

Teoria de Filas - Resumo

Para o Sistema de Filas M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞

L = λλλλ/(µµµµ-λλλλ) L_q = λλλλ2_/_µµµµ₍_µµµµ_-_λλλλ₎

L_s = ρρρρ2_{/(1 -}ρρρρ_{), onde:}ρρρρ₌λλλλ_/µµµµ

12

Teoria de Filas - Resumo

Exemplo 1: Drive-in Banking. Uma média de 10 carros por hora chegam a um drive-in tipo servidor simples. Assumir que o tempo médio de serviço para cada cliente é de 4 minutos e tanto os tempos entre as chegadas e o tempos de serviço são exponenciais. Responder as perguntas:

(1) Qual a média de número de carros esperando na fila? (um carro em atendimento não é considerado na fila)

L_q = λλλλ2_/µµµµ₍µµµµ_-λλλλ_{) = (100)/(15(15-10)) = 4/3 clientes} Por hipótese, a taxa de chegada λλλλ= 10 e a taxa de atendimento é de µµµµ= 60/4 = 15.

(7)

13

Modelo de Fila M/M/1/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

2 1 0 λλλλ µµµµ λλλλ µµµµ ••• ••• ••• ••• λλλλ µµµµ

Modelo de Fila M/M/1/GD/c/∞∞∞∞:

2 1 0 λλλλ µµµµ λλλλ µµµµ c c-1 λλλλ µµµµ λλλλ µµµµ ••• ••• ••• ••• λλλλ µµµµ

Teoria de Filas - Resumo

14

Modelo de Fila M/M/s/GD/∞∞∞∞/∞∞∞∞:

2 1 0 λλλλ 2µµµµ λλλλ µµµµ s+1 s λλλλ sµµµµ λλλλ sµµµµ ••• ••• ••• •••

Caso 1 Caso 2

••• •••••• •••

Modelo de Fila M/M/R/GD/K/K:

2 1 0 2µµµµ 5λλλλ µµµµ 4 3 2µµµµ 2µµµµ 5 2µµµµ

4λλλλ 3λλλλ 2λλλλ λλλλ

Caso 1 Caso 2

(8)

15

Fila x Simulação Discreta por Evento

Chegada

A _Atendimento

C1 C

Teoria de Filas

Função de distribuição de probabilidade Exponencial

012345678910 0 0.05 0. 1 0.15 0. 2 0.25 0. 3 0.35 0. 4 0.45 0. 5 a(t)= λ e-λ t t

Gráfico de a(t )=λe-λt para λ = 0.5

012345678910 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 a(t)= λ e-λ t t

Modelos M/M/1

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Filas x Simulação Discreta por Evento

Chegada

A _Atendimento

C1 C

Teoria de Filas

Função de distribuição de probabilidade empírica !!!

012345678910 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 a(t)= λ e-λ t t

Modelos M/M/1

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Ferramenta de Simulação

Duas mulheres operando o ENIAC (fotografia pertencente ao Exército

dos Estados Unidos (U.S. Army) em Fevereiro de 1946.

Alguns dados:

•Peso de cerca de 30 toneladas

•Ocupava 270m2

•Capacidade de processamento:

5x103_FLOPS/s

Alguns dados de um Laptop:

•Peso de cerca de 3 quilos

•Ocupa 30 cm2

•Capacidade de processamento:

8x109_FLOPS/s

18

Simulação Discreta por Evento

Eventos (mudam o estado) do Sistema – 1 servidor

Chegada Saída

Lista de Eventos

Evento | Tempo

Tempo em que cada evento ocorre

Variável Tempo do

(10)

19

Simulação Discreta por Evento

t = 0

Chegada

Tempo da simulação

Usar fluxograma 1

Chegada

Estado servidor Cliente entra

em serviço

Cliente entra na fila

Vazio Cheio

Fluxograma 1

20

Simulação Discreta por Evento

t = T₁ Saída

Tempo da simulação

Usar fluxograma 2

Partida

Fila Vazia? Remover cliente da fila

e começar serviço

Mudar estado p/ servidor ocioso

Não Sim

Fluxograma 2

(11)

21

Simulação Discreta por Evento

Lista de Eventos

Evento | Tempo

Chegada

Tempo Saída= Tempo relógio + tempo gerado serviço Saída

Tempo Chegada= Tempo relógio + tempo gerado chegada

Mecanismo de avanço do tempo por próximo evento !!!

22

Simulação Discreta por Evento

Mecanismo de avanço do tempo via próximo evento

Método de incremento fixo do tempo

No primeiro método o relógio do processo de simulação Avança até o tempo em que deverá ocorrer o próximo evento da lista de eventos. Esta abordagem é justificada,

(12)

23

Simulação Discreta por Evento

Inicializar as variáveis de estado 1

< ? 2

Processar uma chegada.

Sim 3

Processar uma saída.

4

Tempo atual < Tempo Total?

Não

Sim

Imprima resultados e pare.

Não

5

24

Simulação Discreta por Evento

Atualizar relógio para o horário da próxima chegada (TM=AT);

Se o servidor está ocioso (SS = = 0)

Então

Marcar o servidor como ocupado (SS=1);

Gerar o tempo de serviço (ST);

Agendar a próxima saída (DT = TM + ST);

Senão

Atualizar o tamanho da fila (WL = WL + 1);

Fim se

Gerar o tamanho do intervalo da próxima chegada (IT);

Agendar a próxima chegada (AT = TM + IT); Processar uma chegada.

(13)

25

Simulação Discreta por Evento

Atualizar relógio para o horário da próxima saída (TM=DT);

Se o tamanho da fila é maior que zero (WL > 0)

Então

Atualizar o tamanho da fila (WL = WL-1);

Senão

Atualizar o estado do servidor (SS = 0);

Agendar uma saída fictícia (DT = 9999)

Fim se

4

26

Exemplo de Simulação

Tempo entre chegadas (min)

Probabilidade

1 0.20

2 0.30

3 0.35

4 0.15

Tempo de serviço (min)

Probabilidade

1 0.35

2 0.40

3 0.25

Cliente Tempo entre

chegadas (min)

Tempo de serviço

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

4 3 1

5 4 1

6 2 2

7 1 1

8 3 2

9 3

(14)

27

Exemplo de Simulação

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

Usa-se a tabela de tempo entre as chegadas e tempo de serviço para se obter a linha do tempo dos eventos.

28

Exemplo de Simulação

TM – Tempo da simulação (minutos). SS – servidor está ocioso (0) ou ocupado (1). WL – Tamanho da fila.

AT – Tempo agendado para a próxima chegada (minutos). DT – Tempo agendado para a próxima saída (minutos).

Cliente Variáveis do Sistema Lista de Eventos

Evento Cliente TM SS WL AT DT

(15)

29

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 1 0 4 6

Chegada 3 4 1 1 7 6

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

30

Simulação Discreta por Evento

Exercício 1: Usar as informações anteriores de chegadas e processamento, o fluxograma dado abaixo e a linha de tempo para preencher o com os valores das variáveis do

(16)

31

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

5

32

Exemplo de Simulação

0 1 2

3

4

...

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada

Saída

(17)

33

Exemplo de Simulação

0 1 2

3

4

...

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada

Saída

Chegada

34

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

(18)

35

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

3

36

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0

Chegada

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

3

4

(19)

37

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

3

38

Exemplo de Simulação

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

0 A₁

1 2

3

D₁

4

...

(20)

39

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 3

Chegada

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

3

4

...

D₁

40

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

(21)

41

Exemplo de Simulação

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

42

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

3

4

...

A₂

(22)

43

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

3

4

...

A₂

D₁

44

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

(23)

45

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

3

4

...

A₂

D₁

46

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

(24)

47

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

3

48

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 3

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4

(25)

49

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

3

50

Exemplo de Simulação

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

0 A₁

1 2

3

D₁

4

...

(26)

51

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

52

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída

Chegada

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

(27)

53

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

5

54

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3

Chegada

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

(28)

55

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

5

56

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

(29)

57

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 0

Chegada

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

58

Simulação Discreta por Evento

Então

Senão

Fim se

(30)

59

Exemplo de Simulação

(min)

1 - 3

2 2 3

3 2 2

0 A₁

1 2

3

D₁

4

...

A₂ A₃

60

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 1 0 4 6

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

(31)

61

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 1 0 4 6

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

62

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

(32)

63

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 1 0 4 6

Chegada 3 4

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

64

Simulação Discreta por Evento

≤ ?

2

Sim 3

4

Não

Sim

Não

(33)

65

Exemplo de Simulação

Inicia. - 0 0 0 0 9999

Chegada 1 0 1 0 2 3

Chegada 2 2 1 1 4 3

Saída 1 3 1 0 4 6

Chegada 3 4 1 1 7 6

0 A₁

1 2

A₂

3

D₁

4 A₃

...

66

(34)

67