Contribuição à análise modal de sistemas estruturais reticulados planos a partir de modelagem computacional / Contribution to modal analysis of structural plane frames from computational modelling

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761

Contribuição à análise modal de sistemas estruturais reticulados planos a partir

de modelagem computacional

Contribution to modal analysis of structural plane frames from computational

modelling

DOI:10.34117/bjdv6n7-634

Recebimento dos originais: 18/06/2020 Aceitação para publicação: 23/07/2020

Thiago Carlos Rabelo

Graduando em Engenharia Civil

Instituição: Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas

Endereço: Av. Afonso Vaz de Melo 1200 - Barreiro, Belo Horizonte - MG, Brasil. CEP 30640-070 E-mail: [email protected]

Tatiane Caetano Fernandes de Lima

Guilherme Augusto Corrêa Rabelo

Endreço: Av. Afonso Vaz de Melo 1200 - Barreiro, Belo Horizonte - MG, Brasil. CEP 30640-070 E-mail: [email protected]

Brenner Matheus Lara Barbosa

William Luiz Fernandes

Mestre em Construção Metálica pela Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Engenharia Civil - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – PUC Minas

RESUMO

Neste trabalho foi realizado a modelagem computacional no software SAP2000© de três exemplos de estruturas, uma treliça plana, um Shear Building de 6 andares e uma viga contínua com diferentes vinculações, para analisar as frequências naturais de vibração. Foram obtidos via software os modos de vibração das estruturas e as tabelas contendo autovalores e as frequências naturais para cada modo de vibração. As modelagens foram validadas com os exemplos de literatura, sendo o terceiro exemplo inédito.

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ABSTRACT

In this work the computational modeling was performed in the SAP2000© software of three examples of structures: a plane truss, a Six Story Shear Building, and a continuous beam with different boundary conditions, to analyze the natural frequencies of vibration. From the software were obtained the vibration modes of the structures and also generated tables containing eigenvalues and natural frequencies for each vibration mode. The models were validated with examples from the literature, and the third example is unpublished.

Keywords:modal analysis, SAP2000©, vibration frequencies, vibration modes.

1 INTRODUÇÃO

Segundo Salgado (2012) análise modal é um estudo das propriedades dinâmicas sob excitação por vibração. Através deste estudo possibilita-se a construção de modelo matemático representativo, a fim de determinar parâmetros modais, tais como: frequências naturais, modos de vibração e fatores de amortecimento modal. Segundo Passos (2016) os parâmetros obtidos contribuem para que na fase de projeto sejam conhecidas as excitações dinâmicas comprometedoras à integridade da estrutura, além de que, as frequências e os modos de vibração são necessários na aplicação do Método de Superposição Modal como técnica de análise do tempo em que a estrutura mantém o comportamento linear.

Trabalhos recentes merecem notoriedade sobre o assunto. Santos (2019) realizou um estudo de análise modal em estruturas metálicas com variação de amortecedores de massa sintonizados nos pavimentos das estruturas. Nascimento (2019) elaborou um estudo com relação a estruturas metálicas tensionadas com cobertura, obtendo resultados de frequências e modos de vibração através de dispositivos eletrônicos, com intuito diferente dos trabalhos citados, Silva (2018) faz levantamento numérico de análise modal utilizando softwares computacionais como forma de detectar danos em estruturas de concreto.

Outras literaturas com enfoque diferente aos já citados, podem ser destacadas. Brandão, F, et al (2018) trabalhou com análise modal em edificação histórica do século XIX, de forma analisar as frequências que tais estruturas apresentam e fazer sua devida monitorização. Ribeiro (2017) utilizou carregamento senoidal para realização da análise modal de um Shear Building, por fim, Passos (2016) estimou a vida de uma estrutura que sofre fadiga devido análise dinâmica.

O presente trabalho tem por objetivo contribuir com a análise dinâmica, especificamente análise modal, de sistemas estruturais reticulados planos a partir de modelagem computacional utilizando o programa SAP2000©. Serão apresentados três exemplos, dos quais dois são de literaturas renomadas, para efeito de validação da sistemática de modelagem, e um é original.

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2 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MODAL EM SISTEMAS DE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

2.1 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA: FREQUÊNCIAS NATURAIS DE VIBRAÇÃO E MODOS DE VIBRAÇÃO

Segundo Chopra (2012), a equação 1, com p (t) = 0, ou seja, não contendo forças externas, define a vibração livre dos sistemas lineares de Múltiplos Graus de Liberdade (MDF) sem amortecimento, representando N (número de graus de liberdade) equações diferenciais homogêneas que são interligadas através da matriz de massa m, a matriz de rigidez k ou ambas as matrizes:

mü + ku = 0 (1)

Além do mais, é importante encontrar o deslocamento resultante da massa que varia com o tempo u (t) da equação acima que satisfaça as seguintes condições iniciais, em t = 0:

u = u (0) ů = ů (0) (2)

Para um ciclo do movimento harmônico simples em um desses modos naturais é necessário um período natural de vibração (Tn) de um sistema com múltiplos graus de liberdade.

Tn = 2π / ωn fn = 1 / Tn (3)

Na equação 3, ωn é a frequência circular de vibração e fn é a frequência cíclica natural da

vibração.

A vibração livre de um sistema não amortecido, em um de seus modos de vibração natural n (1≤ n ≤ N) para um sistema de N graus de liberdade, pode ser representado matematicamente por:

u (t) = qn (t) ϕn (4)

A variação temporal dos deslocamentos qn (t) é descrita pela função harmônica simples a

seguir, pois a forma desviada ϕn não varia com o tempo.

qn (t)=Ancosωnt + Bnsinωnt (5)

Na equação 5, An e Bn são constantes que podem ser definidas a partir das condições iniciais

do movimento. Associando as equações (4) e (5), obtém-se:

u (t) = ϕn(Ancosωnt + Bnsinωnt) (6)

No qual, ωn e ϕn são desconhecidos.

Substituindo a equação (6) na (1), obtemos:

[-ωn2mϕn + kϕn] qn (t) = 0 (7)

A equação acima pode satisfazer o qn (t) = 0, resultando em u (t) = 0 assim ocasionando

ausência de movimento do sistema (chamada de solução trivial), ou as frequências naturais (ωn e

modos de vibração ϕn devem atender à seguinte equação algébrica fornecendo uma condição útil:

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 A equação (8) é chamada de problema de autovalor da matriz ou, quando necessário, é chamada de problema de autovalor real para distingui-lo do complexo problema de autovalor para sistemas com amortecimento. As matrizes de rigidez (k) e massa (m) são conhecidas, a dificuldade reside em se definir o escalar ωn2 e o vetor ϕn.

Reescrevendo a equação (8) para indicar a solução formal, obtém-se: [k - ωn2m] ϕn = 0 (9)

A equação acima pode ser compreendida como um conjunto de N equações algébricas homogêneas para os elementos Nϕjn (j = 1, 2, ..., N). Entretanto este conjunto possui sempre a solução

trivial, o que não é útil pois resulta em ausência de movimento. Com isso, para possuir soluções não triviais, deve-se ter:

det [k - ωn2m] = 0 (10)

A equação (10) é conhecida como equação característica ou equação de frequência em que, quando o determinante é expandido, se obtêm um polinômio de ordem N em ωn2. Esta equação tem

N raízes reais e positivas para ωn2, pois as matrizes de massa estrutural e rigidez, m e k

respectivamente, são simétricas e positivas definidas. A matriz k, é utilizada para evitar o movimento do corpo rígido em estruturas, como as que são estudadas na engenharia civil, já a matriz m, é utilizada pois existem massas concentradas diferentes de zero retidos nos graus de liberdade, estes eliminados por condensação estática.

As raízes N equação 10 são demonstradas em forma crescente em geral. As N frequências naturais ωn(n = 1, 2, ..., N) de vibração são também conhecidas como valores próprios, valores

característicos ou valores normais. Assim quando o parâmetro anterior é obtido, é possível determinar o vetor ωn, não sendo necessário fixar valores exatos para esses vetores, apenas a forma como os

vetores se relacionam com os deslocamentos de N ωjn .

3 SAP2000 APLICADO A ANÁLISE MODAL DE TRELIÇAS E PÓRTICOS PLANOS

3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS E INTERFACE DO PROGRAMA

O SAP2000© é um programa desenvolvido pela CSI (Computer and Structures, Inc) que utiliza o Método dos Elementos Finitos para modelagem, análise e dimensionamento estrutural. Possui uma interface gráfica para projetos, além de uma ampla flexibilidade quanto ao tipo de estrutura passível de análise (CSI, 2020). A Figura 1 mostra a interface do programa com o usuário.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 1- Interface do programa

Fonte: Elaborado pelos autores

Códigos para projetos integrados podem gerar automaticamente cargas de vento, ondas sísmicas e esforços em pontes, com verificações automáticas de dimensionamento. O programa também oferece um banco de dados referente a materiais e seções transversais parametrizados por normas americanas, canadenses e outras referências internacionais (GOMES, A. O, et. al. 2019). Ademais, pode-se importar bancos de dados externos que abrangem grupos específicos de materiais e formatos.

Segundo Melo (2016), tal como Gomes, A. O, et. al. (2019), o SAP2000© apresenta grande poder de cálculo e confiabilidade dos resultados possibilitando analisar diferentes tipos de ações e carregamentos em elementos estruturais constituídos de materiais comuns à engenharia como aço e concreto. Outra importante característica do software é a possibilidade de análise das condições de contorno que regem a estrutura e suas implicações, o que permite explorar meios mais eficientes de utilização daquela estrutura. Por esse motivo, torna-se rápido e viável a utilização do programa para análises estáticas e dinâmicas.

Ainda que haja softwares mais completos que também utilizam o Método dos Elementos Finitos, o SAP2000© apresenta interface simplificada o que torna a modelagem mais intuitiva ao usuário. Por esse motivo, é muito difundido e aplicado ao ensino das análises estruturais para Engenharia Civil (MELO, 2016). Mesmo com sua flexibilidade, o SAP2000© demanda um conhecimento técnico mínimo para sua utilização.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 3.2 MODELAGEM PARA ANÁLISE MODAL

Para realizar a análise modal dos exemplos apresentados neste artigo, levantou-se informações essenciais, tais como: Definir o material a ser utilizado, área da seção, momento de inércia, condições de contorno e por fim, a escolha de qual análise (plana, espacial, etc) a ser realizado na estrutura pelo SAP2000©.

Com relação à definição do material, é necessário conhecer o módulo de elasticidade longitudinal do elemento, coeficiente de Poisson, sua densidade e entre outros aspectos. O programa utilizado, possibilita ao profissional declarar o tipo de material que será associado à estrutura e suas características físicas, conforme a Figura 2.

Figura 2- Definição do tipo de material

Na definição das seções de cada elemento composto na estrutura, o responsável pelo projeto deve declarar o valor da área e seu momento de inércia, de acordo com a Figura 3.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 3- Seção do material

Após a determinação das propriedades físicas da estrutura, o usuário deve determinar o tipo de apoio a ser utilizado, de forma que a mesma obedeça às condições de equilíbrio, como demonstra a Figura 4.

Figura 4- Condições de Contorno

Fonte: Elaborado pelos autores

Conclui-se a etapa de pré-processamento no programa, após solicitar ao mesmo que calcule o tipo de análise escolhida previamente pelo usuário. Neste trabalho somente a análise modal foi realizada, e o tipo de análise estrutural definido foi o plano, demonstrado pela Figura 5.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 5- Definição de casos de carga a serem processados

Após a etapa de pré-processamento, o software permite o modo deformado que se deseja avaliar indicado pela numeração, conforme Figura 6, sendo 1 o que tem maior possibilidade de ocorrência, em geral.

Figura 6 – Escolha do modo de vibração da estrutura

Contudo, além de mostrar visualmente os modos e vibração, o SAP2000© também gera uma tabela com dados de sua escolha como demonstrado na Figura 7.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 7 – Tabela de resultados

4 EXEMPLOS

Os três exemplos a seguir visam validar a forma de modelagem utilizada e, consequentemente, mostrar a eficiência do software para este tipo de análise.

4.1 TRELIÇA PLANA

O primeiro exemplo trata da análise modal de uma treliça simétrica, conforme Figura 8, com apoios fixos situados nos nós superior e inferior das extremidades esquerda e direita, composta por 49 barras, 26 nós e cada quadro da treliça possui 3 metros na sua direção horizontal e 2 metros na direção vertical. O material utilizado para as barras foi o alumínio cujo módulo de elasticidade longitudinal (E) tem o valor de 69 GPa com massa específica de 2700 kg/m³. Ademais, a seção transversal apresenta momento de inércia (I) igual a 349x10-8 m4 e área de 21,2x10-4 m².

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 8 – Treliça simétrica plana

Tabela 1 – Comparativo entre autovalores

Com os resultados da Tabela 1, é possível fazer uma análise dos valores obtidos através da modelagem no software SAP2000© feitos pelos autores e dos valores apresentado em Craig (2006). Pode-se observar que houve uma menor variação percentual nos modos de vibração de 1 a 4, com uma variação percentual mínima de 0,15%, já a partir do modo de vibração 5, é notório uma maior discrepância dos valores, chegando a uma variação percentual máxima de 60,29%.

A Figura 9 apresenta os primeiros 4 modos de vibração da treliça plana modelada. Modo de

vibração

Craig (2006) Presente trabalho

Variação Percentual ω (rad/sec) Autovalores (rad2/sec2) ω (rad/sec) Autovalores (rad2/sec2)

1 _5,44E+01 2,960E+03 _5,44E+01 2,956E+03 0,15%

2 _1,25E+02 1,564E+04 _1,25E+02 1,561E+04 0,16%

3 _2,09E+02 4,372E+04 _2,11E+02 4,433E+04 1,37%

4 _2,89E+02 8,374E+04 _2,99E+02 8,966E+04 6,61%

5 _3,12E+02 9,718E+04 _3,33E+02 1,111E+05 12,56%

6 _3,39E+02 1,1473E+05 _3,95E+02 1,5622E+05 26,56%

7 _3,41E+02 1,1608E+05 _4,83E+02 2,3361E+05 50,31%

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 9 – Primeiros modos de vibração para a treliça em estudo: (a) 1º modo – ω1=XXrad/s; (b) 2º modo – ω2=XXrad/s; (c) 3º modo – ω3=XXrad/s; (d) 4º modo – ω4=XXrad/s

(a)

(b)

(c)

(d)

4.2 SHEAR BUILDING DE 6 ANDARES

O segundo exemplo trata de um Shear Building, conforme Figura 10 e consiste em um pórtico engastado em suas bases com 1 baia e 6 andares. Os pavimentos foram modelados considerando a inércia como infinita e as colunas com flexão na maior inércia. Como elementos de colunas, utilizou-se o perfil W14x82, apreutilizou-sentando massa específica nula e módulo de elasticidade longitudinal de 206,84 GPa. Aos nós da extremidade esquerda, aplicou-se massas concentradas com 11786,3 Ns²/m.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 10 – Shear Building de 6 andares

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Tabela 2 – Comparativo entre frequências

Modo de vibração

Paz e Leigh (2004) Presente trabalho

Variação Percentual ω (rad/sec) ω (rad/sec) 1 9,19 9,18 0,16% 2 25,67 26,99 5,13% 3 38,69 43,21 11,68% 4 48,71 56,90 16,82%

Analisando os resultados da Tabela 2, é possível fazer um comparativo entre as frequências obtidas na modelagem do presente trabalho e os valores de Paz e Leigh (2004). Houve uma diferença percentual mínima no modo de vibração 1 de 0,16%, já no modo de vibração 4, é possível notar uma variação máxima de 16,82%.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 11 – Primeiros modos de vibração para o pórtico plano em estudo: (a) 1º modo – ω1=9,18rad/s; (b) 2º modo – ω2=26,99rad/s; (c) 3º modo – ω3 =43,21rad/s; (d) 4º modo – ω4=56,90rad/s

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(c) (d)

Fonte: SAP2000©

4.3 VIGA CONTÍNUA COM DIFERENTES VINCULAÇÕES

O terceiro exemplo se consiste em vigas contínuas com variações nas suas vinculações e uma viga Gerber, com 3 vãos com tamanho respectivos de 4m, 6m e 4m. As vigas foram modeladas utilizando perfil C 12x20.70, padrão Americano, utilizando aço A36 com modulo de elasticidade longitudinal de 199GPa.

Para a primeira modelagem foram atribuídos engastes nas bordas e apoios moveis nos vãos centrais, conforme a Figura 12.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 12 – Viga com engaste nas bordas e apoios moveis nos vãos centrais

Fonte: elaborados pelos autores

A Tabela 3 demonstra os modos de vibração e suas respectivas frequências da viga modelada.

Tabela 3 – Modos de vibração e suas frequências

Modo de vibração Frequência (rad/sec) 1 1128,59 2 1723,95

A Figura 13, apresenta os 2 primeiros modos de vibração e suas deformações. Como os valores de frequência foram relativamente altos, os modos de vibração não são perceptíveis nesta escala.

Figura 13 – Primeiros modos de vibração para a viga contínua em estudo: (a) 1º modo – ω1=1128,59rad/s; (b) 2º modo – ω2=1723,95rad/s

(a)

(b)

Fonte: SAP2000©

Na segunda modelagem, foram utilizados apoios móveis nas extremidades e apoio móvel e fixo na região central, conforme a Figura 14.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 14 – Viga com apoio fixos nas bordas e apoios moveis nos vãos centrais

A Tabela 4 demonstra os modos de vibração e suas respectivas frequências da segunda viga modelada.

Modo de vibração Frequência (rad/sec) 1 755,58 2 1784,45 3 2176,30

A Figura 15, apresenta os 2 primeiros modos de vibração e suas deformações para a segunda viga modelada. Novamente, os altos valores de frequência não permitiram, na escala utilizada, perceber os modos de vibração associados.

Figura 15 – Primeiros modos de vibração para a segunda viga contínua em estudo: (a) 1º modo – ω1=755,58rad/s; (b) 2º modo – ω2=1784,45rad/s

(a)

(b)

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Por fim, na modelagem da viga Gerber foram utilizados apoios móveis nas extremidades e apoio fixo na região central. As rótulas presentes na viga encontram-se a 1 metro antes do apoio fixo central e 1 metro a frente do apoio móvel do mesmo vão, de acordo com a Figura 16.

Figura 16 – Viga Gerber

A Tabela 5 demonstra os modos de vibração e suas respectivas frequências da viga Gerber modelada.

Modo de vibração Frequência (rad/sec) 1 226,35 2 350,58 3 752,77 4 1957,84 5 2526,22 6 4337,11 7 4918,00

Observa-se que na modelagem da viga Gerber, apresenta uma quantidade de modos de vibração superiores aos outros tipos de vigas e seus dois primeiros modos de vibração são apresentados na Figura 17.

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Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 7, p. 50548-50568 jul. 2020. ISSN 2525-8761 Figura 17 – Primeiros modos de vibração para viga Gerber em estudo: (a) 1º modo – ω1=226,35rad/s; (b) 2º modo – ω2=350,58rad/s

(a)

(b)

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho promoveu o estudo de sistemas estruturais reticulados planos a partir de modelagem computacional. Utilizou-se o SAP2000© para a obtenção dos modos de vibração de três elementos convencionais à engenharia. A fim de corroborar as análises feitas, foram utilizados dois exemplos de literatura e um inédito.

Considerando-se estas modelagens, foram obtidos adequadamente os modos de vibração das estruturas, com resultados muito próximos aos das respectivas literaturas. Ademais, como parâmetro de comparação, conseguiu-se deformadas próximas às esperadas. Para trabalhos futuros, propõe-se novas experimentações dos números obtidos, uma vez que há variação de parte dos resultados diante da literatura base.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG), à Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (Campus Barreiro) e às Ligas Acadêmicas da Engenharia Civil (LAEC), em especial à Liga Acadêmica de Estruturas (LAE), pelo apoio e incentivo.

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