Introdu¸c˜ao `a probabilidade e estat´ıstica I

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Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e estat´ıstica I

Vari´aveis Aleat´orias

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Probabilidade

Daqui por diante utilizaremos a seguinte defini¸c˜ao de probabilidade.

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidade. Ent˜ao, 1. P(∅) = 0,P(Ω) = 1

2. Se A1,A2, . . .∈ Asão conjuntos (mensuráveis tais que a união também é mensurável) disjuntos então

P

[

i≥1

A_i

=X

i≥1

P(A_i)

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Fun¸c˜ oes do espa¸co amostral

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidade eX : Ω→Ruma fun¸cão real. A fim de introduzir os conceitos, considere que Ω é enumerável eA= 2^Ω (o conjunto das partes de Ω)

SejamA∈ Ae B⊆R, ent˜ao definimos

X(A) ={X(ω)∈R: ω∈A} e X⁻¹(B) ={ω∈Ω : X(ω)∈B}.

O conjunto de valores queX pode assumir (conjunto imagem) ´e definido porX =X(Ω).

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Exemplos

Seja Ω um conjunto de pessoas, ent˜ao para cadaω∈Ω, temos as seguintes fun¸c˜oes:

1. X(ω) = “peso do indiv´ıduoω”

2. Y(ω) = “n´umero de filhos deω”

3. W(ω) = “sal´ario do indiv´ıduoω”

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Vari´ avel aleat´ oria

Seja (Ω,A,P) um modelo de probabilidade eX : Ω→Ruma fun¸c˜ao real de Ω.

A fun¸cãoX será uma variável aleatória sempre que existir uma medida de probabilidade para o evento

X⁻¹ (−∞,a]

para todoa∈R. Lembre que:

X⁻¹(A) ={ω∈Ω : X(ω)∈A}.

e queP :A →[0,1], portanto verificar se existe uma probabilidade para um eventoX⁻¹(A) ´e equivalente a verificar se X⁻¹(A)∈ A.

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Probabilidade para a Vari´ avel aleat´ oria

SejaB um subconjunto dos reais, denotaremos a probabilidade de X ∈B por

PX(X ∈B)≡P(X⁻¹(B)) =P({ω∈Ω : X(ω)∈B}) sempre que existir tal probabilidade (ou seja, sempreB for mensur´avel).

quandoB ={b} denotaremos por

P_X(X =b)≡P(X⁻¹({b})) =P({ω ∈Ω : X(ω) =b}).

Quando n˜ao houver conflitos de nota¸c˜ao utilizaremos P_X ≡P

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Exemplo 1

Seja Ω ={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} com P({ω}) = ¹₄ para ω∈Ω (ou seja, todos os elementos de A= 2^Ω tem probabilidades bem definidas).

DefinimosX(ω) = 1 se ω∈ {(c,c),(c,k)} e zero caso contr´ario.

Quais os poss´ıveis valores queX pode assumir?

A fun¸cãoX é uma variável aleatória?

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Verificando se X ´ e uma v.a.

Para os conjuntos da formaA= (−∞,a] temos que:

1. sea<0,

X⁻¹(A) =∅ e P(X⁻¹(A)) = 0.

2. se 0≤a<1 ent˜ao

X⁻¹(A) ={(k,c),(k,k)} e P(X⁻¹(A)) = 1/2.

3. sea≥1 ent˜ao

X⁻¹(A) = Ω e P(X⁻¹(A)) = 1.

Portanto: X é de fato uma variável aleatória e note que P(X = 0) = 1

2 e P(X = 1) = 1 2.

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Exemplo 2

Seja Ω ={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} com P({ω}) = ¹₄ para ω∈Ω (ou seja, todos os elementos de A= 2^Ω tem probabilidades bem definidas).

DefinimosY(ω) = n´umero de caras deω.

Quais os valores poss´ıveis paraY?

Y é uma variável aleatória?

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Verificando se Y ´ e uma v.a.

Para os conjuntos da formaA= (−∞,a] temos que:

1. sea<0, ent˜ao

Y⁻¹(A) =∅ e P(Y⁻¹(A)) = 0.

2. se 0≤a<1, ent˜ao

Y⁻¹(A) ={(k,k)} e P(Y⁻¹(A)) = 1/4.

3. se 1≤a<2, ent˜ao

Y⁻¹(A) ={(c,k),(k,c),(k,k)} eP(Y⁻¹(A)) = 3/4.

4. sea≥2 ent˜ao

Y⁻¹(A) = Ω e P(Y⁻¹(A)) = 1.

PortantoY é uma variável aleatória

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Suporte de uma vari´ avel aleat´ oria

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidade eX uma vari´avel aleat´oria.

Definimos o suporte de uma vari´avel aleat´oriaX como o menor conjuntoS_X ⊆Rtal que

P(X ∈S_X) = 1.

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Tipos de vari´ aveis aleat´ orias

Variáveis aleatórias discretas: Uma variável aleatóriaX : Ω→R cujo suporteS_X é um conjunto enumerável é dita ser discreta (ex:

S_X ={0,1},S_X ={1,2,3}).

Variáveis aleatórias cont´ınuas: Uma variável aleatória

X : Ω→Rcujo suporteSX é um conjunto não-enumerável é dita ser cont´ınua (ex: S_X = (0,1), S_X = (3,5), S_X = (0,∞),S_X =R).

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Exemplos

Seja Ω um conjunto de pessoas, ent˜ao para cadaω∈Ω, temos as seguintes fun¸c˜oes:

Vari´aveis cont´ınuas:

X(ω) = “peso do indiv´ıduoω”

W(ω) = “sal´ario do indiv´ıduoω”

M(ω) = “tempo de vida do indiv´ıduo ω”

Vari´aveis discretas:

Y(ω) = “n´umero de filhos deω”

Z(ω) = “n´umero de irm˜aos de ω”

K(ω) = “n´umero de empregos de ω”

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Vari´ aveis aleat´ orias discretas

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilide eX uma vari´avel aleat´oria.

SeSX é enumerável então podemos escrevê-lo da seguinte forma SX ={x₁,x2, . . .} tal que

P(X =k)>0 sek ∈S_X, P(X =k) = 0 sek 6∈SX

Note tamb´em que:

Observe que{x₁},{x₂}, . . . formam uma parti¸c˜ao de S_X.

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Vari´ aveis aleat´ orias discretas

Como{x₁},{x₂}, . . . formam uma parti¸c˜ao deSX, temos que:

∞

X

i=1

P(X =xi) = 1

A probabilidade deX ∈B com B ⊆S_X ´e calculada por P(X ∈B) =X

k∈B

P(X =k)

O conjuntoS_X e a medida de probabilidadeP nos dão toda a informa¸cão sobre a variávelX. Podemos, neste caso, esquecer do espa¸co original (Ω,A,P) e trabalhar apenas com S_X e P.

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Esperan¸ca

SejaX uma vari´avel aleat´oria discreta com suporteS_X e medida de probabilidadeP.

A Esperan¸ca matem´atica deX ´e definida por E(X) = X

k∈S_X

kP(X =k)

Sejag uma fun¸cão real, a Esperan¸ca matemática deg(X) é definida por

E(g(X)) = X

k∈S_X

g(k)P(X =k)

A esperan¸ca matem´atica nos informa o valor central dos valores de X utilizando a pondera¸c˜ao de suas respectivas probabildiades.

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Esperan¸ca - Propriedades

SejaX uma v.a. discreta com suporte S_X e fun¸c˜ao de probabilidadeP.

I Se a∈R´e uma constante, ent˜aoE(a) =a;

I Se a∈R´e uma constante, ent˜aoE(aX) =aE(X);

I Se a,b ∈R s˜ao constantes, ent˜aoE(aX +b) =aE(X) +b;

Prove as propriedades acima. Calcule a esperan¸ca matem´atica para alguns dos exemplos estudados em sala.

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Variˆ ancia

A variˆancia de X ´e definida por

VAR(X) = X

k∈S_X

[k−E(X)]²P(X =k) A variˆancia nos informa o grau de variabilidade de X.

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Variˆ ancia - Propriedades

SejaX uma v.a. discreta com fun¸c˜ao de probabilidade P.

I Se a∈R´e uma constante, ent˜ao Var(a) = 0;

I Se a∈R´e uma constante, ent˜ao Var(aX) =a²Var(X);

I Se a,b ∈R s˜ao constantes, ent˜ao Var(aX +b) =a²Var(X);

I Var(X) =E(X²)−[E(X)]². Prove as propriedades acima.

Calcule a variˆancia para os exemplos estudados em sala.

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Fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao acumulada

A distribui¸c˜ao acumulada deX ´e definida por F(t) =P(X ≤t)

parat ∈R. Calcule a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para todos os exemplos dados em sala.

Observe que: seF é uma fun¸cão de distribui¸cão acumulada então F é não decrescente e:

x→−∞lim F(x) = 0, lim

x→+∞F(x) = 1.

Al´em disso: P(X =x) =F(x⁺)−F(x⁻), em que F(x⁺) = lim

y→x⁺F(y) e F(x⁻) = lim

y→x⁻F(y)

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Exemplo

ConsidereX uma vari´avel discreta com suporte SX ={1,2,3}e P(X =i) =p_i para i = 1,2,3. SejaB ={2,3}.

Considerep1 =p2=p3 = ¹₃ e depois fa¸ca para o caso geral os pontos abaixo

I Calcule P(X ∈B),

I Calcule E(X) eE(√ X),

I Calcule VAR(X),

I Calcule a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumuladaF(t) para todo t ∈R.

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Representa¸c˜ ao em tabelas

SejaX uma vari´avel aleat´oria,S_X ={x₁,x₂, . . . ,x_n} seu suporte com medida de probabilidade defrinida porP(X =xi) =pi para i = 1,2, . . . ,n.

Um representa¸c˜ao para a distribui¸c˜ao de probabilidades de X pode ser

X x1 x2 . . . xn

P p1 p2 . . . pn

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Principais vari´ aveis aleat´ orias discretas

I Vari´avel Uniforme

I Vari´avel de Bernoulli

I Vari´avel Binomial

I Vari´avel geom´etrica

I Vari´avel de Poisson

I Vari´avel hipergeom´etrica

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Vari´ avel Uniforme

SejaX uma vari´avel aleat´oria discreta com suporte

S_X ={x₁, . . . ,x_n}. Dizemos queX ´e uma vari´avel uniforme quando

P(X =k) = 1 n para todo ok ∈S_X sempre que n<∞.

Exemplo: sejaX uma v.a. discreta comS_X ={1,2,3,4}e P(X = 1) =P(X = 2) =P(X = 3) =P(X = 4) = 1

4 Calcule a esperan¸ca, variância e fun¸cão distribui¸cão acumulada.

Ver exemplo da Mega-Sena.

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Vari´ avel de Bernoulli

Suponha que um experimento cujo resultado pode ser classificado como sucesso ou fracasso ´e executado (experimento de Bernoulli).

SejaX = 1 se o resultado for sucesso e X = 0 se for fracasso.

Dizemos queX é uma variável aleatória de Bernoulli e sua fun¸cão de probabilidade é definida por

P(X = 1) =p, P(X = 0) = 1−p e P(X 6∈ {0,1}) = 0 em quep∈(0,1) ´e um valor fixo e conhecido.

Mostre queE(X) =p, VAR(X) =p(1−p) e calcule F(t) para todo ot∈R.

Utilizaremos a nota¸cãoX ∼B(p) para denotar queX é uma variável de Bernoulli.

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Vari´ avel de Bernoulli

Note que a variável de Bernoulli é discreta pois o suporte S_X ={0,1}é enumerável.

O experimento “lan¸car uma moeda e verificar se a face voltada para cima ´e cara” ´e um experimento de Bernoulli.

A variávelX, tal que X = 1 se o lado voltado para cima for cara e X = 0 caso contrário, é uma variável aleatória de Bernoulli.

Ver exemplo da Mega-Sena: definaX = 1 se o número apostado na megasena é o número sorteado e zero caso contrário. Qual a esperan¸ca e variância de X?

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Vari´ avel Binomial

Suponha quen experimentos independentes de Bernoulli s˜ao executados (probabilidade de sucesso igual ap).

SejaX o número de sucessos que ocorrem nosn experimentos, então X é dita ser uma variável aleatória binomial. Nota¸cão:

X ∼Bin(n,p).

Pode-se mostrar que sua fun¸c˜ao de probabilidade ´e dada por P(X =k) =

n k

p^k(1−p)^n−k

parak = 0,1,2, . . . ,n e P(X =k) = 0 para k 6∈ {0,1,2, . . . ,n}.

O suporte ´eSX ={0,1,2, . . . ,n}.

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Vari´ avel Binomial

SejaX ∼Bin(n,p).

Mostre que a esperan¸ca éE(X) =np e a variância é VAR(X) =np(1−p).

Calcule a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao acumulada.

Dica: use o binˆomio de Newton (a+b)ⁿ=Pn i=0

n i

aⁱbⁿ⁻ⁱ. Derive em rela¸c˜ao a a.

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Vari´ avel Binomial – Exemplo

Um gerente de banco autorizou um empréstimo para 10 pessoas cujos perfis indicam que a probabilidade de pagar o empréstimo é 95% para cada uma. Assuma que os pagamentos ocorrem de maneira independente.

DefinaX como o n´umero de pessoas que efetuar´a o pagamento.

Calcule as probabilidadesP(X =k) parak = 0,1,2, . . . ,10 e a esperan¸ca deX.

Suponha que o empréstimo para cada pessoa foi de 10 mil reais e os juros na data do vencimento é de 2%. Assuma que os caloteiros não retornarão o pagamento em nenhuma data futura e

desconsidere a infla¸c˜ao do per´ıodo. Qual o lucro esperado que o gerente proporcionou ao banco? Qual o valor m´ınimo dos juros para que o lucro esperado seja positivo? Qual deveria ser a

probabilidade m´ınima de pagar o empr´estimo para que o Lucro seja positivo (usando um juros de 2%)?

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Vari´ avel Geom´ etrica

Considere ensaios de Bernoulli.

SejaX o número de ensaios de Bernoulli’s até que ocorra o primeiro sucesso. Dizemos queX tem distribui¸cão geométrica.

Nota¸c˜ao X ∼Geo(p).

Pode-se mostrar que as probabilidades s˜ao dadas por P(X =k) =p(1−p)^k−1

parak = 1,2, . . . e P(X =k) = 0 caso contr´ario. O suporte ent˜ao

´e dado porS_X ={1,2,3, . . .}.

Mostre queE(X) = _p¹,VAR(X) = ^(1−p)_p2 e calculeF(t) para todo ot ∈R .

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Vari´ avel Geom´ etrica – Exemplo

SejaX o número de liga¸cões recebidas por uma central telefônica até que ocorra a primeira reclama¸cão.

Assuma que a probabilidade de ocorrer uma liga¸cão com reclama¸cão é p= 0,1.

Calcule:

O número esperado de liga¸cões até receber a primeira reclama¸cão.

A probabilidade de que a primeira reclama¸cão ocorra após a quinta liga¸cão.

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Vari´ avel de Poisson

SejaX o n´umero de eventos que ocorreram de um certo tipo que ocorreram num intervalo de tempo (ou superf´ıcie ou volume) utilizamos a distribui¸c˜ao de Poisson.

Dizemos queX tem distribui¸c˜ao de Poisson quando P(X =k) = e^−λλ^k

k!

parak = 0,1,2, . . .e P(X =k) = 0 caso contr´ario. O suporte ´e dado porS_X ={0,1,2, . . .}

Aqui,λé a taxa média de ocorrência do evento no intervalo de tempo (ou superf´ıcie ou volume) especificado.

Nota¸c˜ao X ∼Pois(λ).

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Vari´ avel de Poisson

SejaX ∼Pois(λ).

Mostre queE(X) =λ, VAR(X) =λe calcule a fun¸c˜ao acumulada F(t) para todo o t ∈R

Note que:

I O evento “X =k” significa que o evento de interesse ocorreu k vezes no intervalo de tempo (ou superf´ıcie ou volume) especificado.

I Assume-se que a probabilidade de ocorrer o evento de interesse mais de uma vez num intervalo muito pequeno ´e desprez´ıvel.

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Exemplo – Poisson

Estamos interessados em estudar a variável X: o número de falhas de um computador numa semana de opera¸cão (cont´ınua). Assuma queX ∼Pois(λ)

Considere que a taxa m´edia de falhas por dia ´e de 0,5 falhas.

Calcule:

I A probabilidade de ocorrer mais de 3 falhas em uma semana de opera¸c˜ao.

I A m´edia.

I A variˆancia.

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Vari´ avel Hipergeom´ etrica

Suponha que estamos interessados em estudar dois atributosAeB de uma popula¸c˜ao com N elementos, sendo r com o atributo Ae N−r com o atributoB.

Retiramos uma amostra den elementos da popula¸cão. A variável hipergeométrica é o número de elementos que contém o atributoA.

Temos que

P(X =k) =

r k

_N−r

n−k

N n

para max(0,n−N+r)≤k ≤min(r,n).

Pode-se mostrar queE(X) =np,VAR(X) =np(1−p)^N−n_N−1 em quep = _N^r .

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Exemplo – Hipergeom´ etrica – Bussab e Morretin, Estat´ıstica B´ asica.

Em problemas de controle de qualidade, lotes comN itens são examinados. O número de itens com defeito (atributo A), r, é desconhecido. Colhemos uma amostra den itens e determinamos k.

Somente para ilustrar, suponha que num lote deN= 100 pe¸cas, r= 10 sejam defeituosas. Escolhendo n= 5 pe¸cas sem reposi¸c˜ao.

Calcule:

I a probabilidade de n˜ao se obter pe¸cas defeituosas,

I a probabilidade de obter exatamente 3 pe¸cas defeituosas,

I a probabilidade de obter pelo menos duas pe¸cas defeituosas

I a esperan¸ca matem´atica

I a variˆancia

I a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada

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Principais distribui¸c˜ oes discretas

Fonte: Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2012). Estat´ıstica B´asica.