Introdu¸c˜ao `a probabilidade e estat´ıstica I

Introdu¸c˜ ao ` a probabilidade e estat´ıstica I

Probabilidade

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

Contagem

Estudamos os princ´ıpios de contagem:

I Princ´ıpio aditivo

I Princ´ıpio da exclus˜ao-inclus˜ao

I Princ´ıpio multiplicativo A partir deles estudamos:

I Permuta¸c˜oes simples,

I Permuta¸c˜oes com elementos repetidos,

I Combina¸c˜oes simples.

Probabilidade via contagem

A probabilidade de um evento pode ser definida como o n´umero de casos favor´aveis a ele dividido pelo n´umero de casos totais.

Ou seja, se Ω ´e n˜ao vazio e finito eA⊆Ω, ent˜ao definimos a probabilidade de ocorrer o eventoApor

P(A) = #(A)

#(Ω) Mostre que:

I P(Ω) = 1, P(∅) = 0

I Se A,B ⊆Ω s˜ao disjuntos, ent˜ao P(A∪B) =P(A) +P(B)

I Para quaisquer A,B ⊆Ω, ent˜ao P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

I seA⊆B ⊆Ω, ent˜ao P(B∩A^c) =P(B)−P(A)

Probabilidade via contagem

Esta forma de definir probabilidade ´e v´alida quando selecionamos os elementos de Ω de forma equiprov´avel.

Por exemplo:

I se lan¸camos um dado honesto em uma superf´ıcie plana e observamos a face voltada para cima, temos

Ω ={1,2,3,4,5,6}. CalculeP({i}) para i = 1, . . . ,6.

I considere a palavra ESTATISTICA e todos os seus poss´ıveis anagramas. Qual seria a probabilidade de escolhermos ao acaso um anagrama que inicie com E e termine com A?

Probabilidade Geral – Elementos b´ asicos

Em casos mais gerais podemos definir probabilidades diferentes para cada elemento de Ω.

Para isso definimos a medida de probabilidade de forma axiom´atica que pode ser aplicada a casos mais gerais.

Nos casos gerais precisamos definir uma fam´ıliaA que cont´em subconjuntos de Ω que estamos interessados em medir a probabilidade.

Seja Ω ={C,K} o conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um experimento (lan¸car uma moeda). Exemplos de fam´ılias de subconjuntos de Ω s˜ao:

I A={∅,Ω}

I A={∅,Ω,{C}}

I A={∅,Ω,{C},{K}}= 2^Ω (conjunto das partes de Ω)

Sigma-´ Algebra de subconjuntos de Ω

SejaAuma fam´ılia de subconjuntos de Ω.

Se satisfizer:

I ∅∈ A

I A∈ A ⇒A^c∈ A

I A,B ∈ A ⇒A∪B ∈ A

dizemos queA´e uma ´algebra de subconjuntos de Ω.

Se satisfizer:

I ∅∈ A

I A∈ A ⇒A^c∈ A

I A₁,A₂, . . .∈ A ⇒S

i≥1A_i ∈ A

dizemos queA´e uma σ-´algebra de subconjuntos de Ω.

Note que todaσ-´agebra ´e tamb´em uma ´algebra.

Sigma-´ Algebra de subconjuntos de Ω – Exemplos

Seja Ω ={1,2,3,4, . . .} o conjunto dos naturais.

Verifique se as seguintes fam´ılias de subconjuntos de Ω s˜ao σ-´algebras ou ´algebras.

I A₁ ={∅,Ω},

I A₂ ={∅,Ω,{1},{2},{1,2}},

I A₃ ={∅,Ω,{1},{2,3,4, . . .}}

I A₄ ´e a fam´ılia de todos os subconjuntos de Ω que s˜ao finitos ou tem complemento finito. (obs: criar o conjunto de pares ou

´ımpares por uni˜ao infinita para mostrar que n˜ao ´eσ-´algebra) O conjunto que cont´em todos os subconjuntos de Ω ´e denotado por 2^Ω e ´e chamado de conjunto das partes de Ω (conjunto potˆencia).

Cardinalidade de conjuntos - Generaliza¸c˜ ao do conceito de contagem

Diz-se que dois conjuntosAe B tem o mesmo cardinal se existe uma aplica¸c˜ao bijetiva deApara B.

Diz-se queA tem cardinal menor ou igual aB se existe uma aplica¸c˜ao injectiva de Apara B (e vice-versa).

Verifique seAe B tem a mesma cardinalidade:

I A={1,2,3,4}e B ={7,9,10,34}

I A={1,2,3,4}e B ={1,2,5,7,9}

I A={2,4,6,8, . . .} eB ={1,2,3,4, . . .}=N

I A=Ne B =Q

I A=Ne B =R

I A eB = 2^A

Dizemos que um conjunto ´e numer´avel se ele tiver o mesmo cardinal dos naturais. Ser´a dito ser enumer´avel se ´e finito ou numer´avel. Caso contr´ario, dizemos que o conjunto ´e n˜ao-enumer´avel.

Probabilidade Geral

Seja Ω o conjunto contendo todos os poss´ıveis resultados de um experimento (espa¸co amostral) eA uma σ-´algebra de

subconjuntos de Ω.

Probabilidade ´e uma fun¸c˜ao P :A →[0,1] que satisfaz as seguintes propriedades:

1. P(∅) = 0,P(Ω) = 1

2. (additividade finita) SeA,B∈ As˜ao conjuntos disjuntos, ent˜ao

P(A∪B) =P(A) +P(B)

2’. (additividade infinita) Se A₁,A₂, . . .∈ As˜ao conjuntos disjuntos, ent˜ao

P

[

i≥1

A_i

=X

i≥1

P(A₁)

A trinca (Ω,A,P) ´e dita ser o espa¸co de probabilidade, ou modelo probabil´ıstico.

Probabilidade definida sobre A = 2

Podemos sempre definir uma medida de probabilidade para todo o subconjunto de Ω?

I Quando Ω ´e enumer´avel podemos definir uma medida de probabilidade sobre 2^Ω.

I Quando Ω n˜ao for enumer´avel, a medida de probabilidade n˜ao pode ser definida de forma consistente para todos os

elementos de 2^Ω.

Detalhes destes problemas s˜ao abordados em um curso de teoria da medida ou probabilidade avan¸cada.

Propriedades da probabilidade

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidade. Mostre que:

I Para A∈ A, temos 0≤P(A)≤1.

I Se A∈ A, ent˜aoP(A^c) = 1−P(A).

I Se A⊆B, A,B ∈ A, ent˜aoP(B∩A^c) =P(B)−P(A)

I Se A,B ∈ A, ent˜ao P(B) =P(B∩A^c) +P(B∩A)

I Se A₁,A₂,A₃ ∈ Aformam uma parti¸c˜ao de A∈ A, ent˜ao P(A) =P(A1) +P(A2) +P(A3). Mostre que vale para uma parti¸c˜ao formada porn conjuntos.

I Se A,B ∈ A, ent˜ao P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

I Se A₁, . . . ,A_n∈ As˜ao conjuntos disjuntos, ent˜ao P(

n

[

i=1

A_i) =

n

X

i=1

P(A_i).

Exerc´ıcio

Seja (Ω,A,P) um espa¸co de probabilidade. Assuma que

Ω ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A= 2^Ω e considere P :A →[0,1]

uma medida de probabilidade tal que P({i}) = i

55 para i = 1,2, . . . ,10.

Calcule:

I P({1}),P({2,3,4,5,6,7,8,9,10})

I P({2,3,4}),P({2,3,4}^c)

I P({2,3,4,5,6} ∩ {5}^c)

Exemplo Geral

Seja Ω ={x₁,x2,x3, . . . ,xn} e A= 2^Ω. SejaP :A →[0,1] uma medida de probabilidade tal que

P({x_i}) =pi

parai = 1, . . . ,n e

I Quais restri¸c˜oes os valores p1,p2, . . . ,pn devem satisfazer?

I Se A={x₁}, calculeP(A) e P(A^c)

I Se A={x₁,x₂}, calculeP(A) e P(A^c)

I Se A⊆Ω ´e um subconjunto qualquer, calcule P(A) eP(A^c)

Probabilidade

Suponha que temos interesse no evento:

A=“congestionamento na Avenida Vital Brasil”.

Como computamos a probabilidade de ocorrer o eventoA?

1. Podemos observar o n´umero de dias que que ocorreu o eventoA em um ano.

2. Se n˜ao conseguirmos fazer o estudo anterior, podemos utilizar informa¸c˜oes de moradores dessa avenida que podem, ou n˜ao, ser baseadas em frequˆencias.

3. Caso n˜ao tenhamos informa¸c˜oes suficientes, podemos utilizar informa¸c˜oes pessoais para criar uma probabilidade sobre a ocorrˆencia do evento A.

Probabilidade condicional

Algumas vezes temos informa¸c˜oes relevantes que podem modificar o nosso conhecimento sobre o evento de interesse.

Se dizemos que:

I ´e uma sexta-feira chuvosa e o hor´ario ´e 18 horas, ent˜ao a probabilidade de ocorrer congestionamento ´e alta.

I ´e uma sexta-feira de feriado e o hor´ario ´e 18 horas, ent˜ao a probabilidade de ocorrer congestionamento ´e baixa.

I ´e um domingo ensolarado, ent˜ao a probabilidade de ocorrer um congestionamento ´e baixa.

Ou seja, dependendo da informa¸c˜ao dispon´ıvel a probabilidade de ocorrer um evento pode ser alterada.

Probabilidade condicional

Utilizamos a probabilidade condicional quanto temos informa¸c˜ao adicional.

A probabilidade de ocorrer o eventoA dado que ocorreu o evento B (ambos subconjuntos de Ω) ´e definida por

P(A|B) = P(A∩B) P(B) sempre queP(B)>0.

Probabilidade condicional - Exemplo

Suponha uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas, todas de mesmo tamanho.

O experimento consiste em retirar duas bolas aleatoriamente (sem preferˆencias) sem reposi¸c˜ao.

Qual a probabilidade de retirarmos uma bola branca na segunda retirada (utilizando o princ´ıpio fundamental da contagem)?

Qual a probabilidade de retirarmos uma bola branca na segunda, dado que retiramos uma bola branca na primeira?

Probabilidade condicional - Solu¸c˜ ao

SejaA_i o evento “retirar uma bola branca nai-´esima retirada”.

Note que, pelos princ´ıpios aditivo e multiplicativo, temos:

P(A1) = 3

5, P(A^c₁) = 2 5 P(A1∩A2) = 3·2

5·4 = 3

10, P(A^c₁∩A2) = 2·3 5·4 = 3

10 Sabemos queP(A₂) =P(A₁∩A₂) +P(A^c₁∩A₂) = ₁₀³ +₁₀³ = ³₅. Aplicando a defini¸c˜ao, temosP(A2|A₁) = ^P(A_P(A^2∩A1)

1) = ^3/10_3/5 = ¹₂ Calcule a probabilidade de retirarmos uma bola preta na segunda retirada e a probabilidade de retirarmos uma bola preta na segunda retirada dado que retiramos uma branca na primeira retirada.

Probabilidade condicional

SeP ´e uma medida de probabilidade tal queP(B)>0, mostre que a fun¸c˜aoP(·|B) ´e uma medida de probabilidade, ou seja, mostre que:

I P(∅|B) = 0 eP(Ω|B) = 1

I Se A1,A2 s˜ao conjuntos disjuntos, ent˜ao P(A₁∪A₂|B) =P(A₁|B) +P(A₂|B) Dica: use a defini¸c˜ao.

Ou seja, todas as propriedades de probabilidades s˜ao v´alidas para probabilidades condicionais.

Independˆ encia

Dois eventosA e B s˜ao ditos independentes sempre que P(A∩B) =P(A)P(B).

SeP(B)>0, a independˆencia pode ser definida por P(A|B) =P(A).

Independˆ encia - Propriedades

Assuma queP ´e uma medida de probabilidade:

I Se Ae B s˜ao independentes, mostre queAe B^c s˜ao independentes.

I Verifique em que situa¸c˜aoA eA^c s˜ao independentes.

I Mostre que eventos disjuntos (com probabilidades

estritamente maiores que zero) s˜ao altamente dependentes.

Exemplo de independˆ encia

Considere o experimento de lan¸car uma moeda duas vezes e observar a face voltada para cima. Considerando que todos os elementos de Ω tem probabilidades iguais.

SejamAo evento “sair cara no primeiro lan¸camento” eB o evento

“sair coroa no segundo lan¸camento”.

Qual a probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu?

Verifique se os eventosA eB s˜ao independentes.

Exemplo de independˆ encia

Seja Ω ={1,2,3,4} e considereP uma medida de probabilidade de subconjuntos de Ω tal que

P({i}) = 1 4

para todoi = 1,2,3,4.SejamA={1,2},B ={1,3},C ={3,2}

1. Verifique seA´e independente de B 2. Verifique seB ´e independente deC 3. Verifique seC ´e independente deA

Independˆ encia para mais de dois eventos

Os eventosA₁,A₂, . . . ,A_n s˜ao ditos mutuamente independentes (independentes dois-a-dois) quando

P(A_i ∩A_j) =P(A_i)P(A_j) para todoi 6=j.

Os eventosA1,A2, . . . ,An s˜ao ditos completamente independentes (ou simplesmente independentes) quando

P

\

i∈I

A_i

=Y

i∈I

P(A_i) para todoI ⊆ {1,2, . . . ,n} e #(I)≥2.

Exemplo de independˆ encia

Seja Ω ={1,2,3,4} e considereP uma medida de probabilidade de subconjuntos de Ω tal que

P({i}) = 1 4

para todoi = 1,2,3,4.SejamA={1,2},B ={1,3},C ={3,2}

Verifique seA,B eC s˜ao (completamente) independentes.

Exerc´ıcio de independˆ encia

Considere o experimento de lan¸car dois dados diferentes e observar as faces voltadas para cima. Conside que o elementos de Ω tem probabilidades iguais de ocorrˆencia. Sejam os eventos:

A= “face ´ımpar no primeiro dado”.

B = “face par no segundo dado”.

C = “soma das duas faces ´e ´ımpar”.

Verifique se os eventos s˜ao independentes dois-a-dois e se s˜ao completamente independentes.

Atualiza¸c˜ ao de probabilidades

Suponha que conhecemosa priorias seguintes probabilidades P(A^c),P(A), P(B|A) e P(B|A^c).

Suponha que o eventoB ocorreu, um interesse seria calcular P(A|B).

Como fazemos isso?

Atualiza¸c˜ ao de probabilidades

Sabemos que:

P(A|B) = P(A∩B) P(B) e que

P(B) =P(A∩B) +P(A^c∩B) =P(A)P(B|A) +P(A^c)P(B|A^c).

Portanto:

P(A|B) = P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A) +P(A^c)P(B|A^c) A regra acima ´e dita ser a Regra de Bayes.

Exemplo: Magalh˜ aoes e Lima (No¸c˜ oes de Probabilidade e Estat´ıstica)

Acredita-se que numa certa popula¸c˜ao, 20% de seus habitantes sofrem com algum tipo de alergia e s˜ao classificados como al´ergicos.

Sendo al´ergico, a probabilidade de ter rea¸c˜ao positiva a um certo antibi´otico ´e de 0,5. Para os n˜ao al´ergicos essa probabilidade ´e de apenas 0,05.

Uma pessoa dessa popula¸c˜ao teve rea¸c˜ao positiva ao ingerir o antibi´otico. Qual a probabilidade da pessoa: 1. ser do grupo de al´ergicos? 2. N˜ao ser do grupo de al´ergicos?

Generaliza¸c˜ ao da Regra de Bayes

Suponha queB₁,B₂, . . . ,B_n formam uma parti¸c˜ao de C e que A⊆C, ent˜ao

A=

n

[

i=1

(A∩Bi) comoB₁,B₂, . . .B_n s˜ao disjuntos temos que

A∩B1,A∩B2, . . . ,A∩Bn

tamb´em s˜ao, portanto pela aditividade da medida temos P(A) =

n

X

i=1

P(A∩Bi)

usando a defini¸c˜ao de probabilidade condicional chegamos a P(A) =

n

X

i=1

P(B_i)P(A|B_i)

Regra de Bayes geral

A regra de Bayes ´e uma ferramenta que nos ajuda a atualizar a probabilidade deB_i dado um eventoA:

P(Bi|A) = P(Bi)P(A|B_i) Pn

i=1P(B_i)P(A|B_i) para todoi = 1, . . . ,n.

Exemplo: Magalh˜ aoes e Lima (No¸c˜ oes de Probabilidade e Estat´ıstica)

Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% do leite utilizado de uma fazendaF1, 30% de uma fazenda F2 e 50% de outra fazendaF₃.

Um ´org˜ao de fiscaliza¸c˜ao inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido porF₁ estava adulterado, enquanto que paraF₂ e F₃ essa propor¸c˜ao era de 5% e 2%, respectivamente.

Na ind´ustria de sorvetes os gal˜oes de leite s˜ao armazanados em um refrigerador sem a identifica¸c˜ao das fazendas.

Foi verificado, em um gal˜ao escolhido ao acaso, que o leite estava adulterado. Qual a probabilidade de ser da fazendaF1?