1PolinˆomiodeTaylorparafun¸c˜oesdeduasvari´aveis 1.1Pesquisar 1.2Aplica¸c˜aodosconceitos ObjetivodoRoteiro 5 RoteirodeAtividades:refor¸codaterceirapartedocursodeC´alculoII

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Roteiro de Atividades: refor¸ co da terceira parte do curso de C´ alculo II

Instituto de Astronomia e Geof´ısica

Objetivo do Roteiro

Pesquisa, Atividades e Exerc´ıcios:

Polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de duas vari´aveis. Classifica¸c˜ao dos pontos cr´ıticos.

M´aximos e m´ınimos locais. M´aximos e m´ınimos em conjunto compacto. Multipli- cadores de Lagrange

1 Polinˆ omio de Taylor para fun¸ c˜ oes de duas vari´ aveis

1.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar o teorema que define os polinˆomios de Taylor de ordem 2 e de ordem 2.

1.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 das fun¸c˜oes dadas, nos respectivos pontos.

1. f(x, y) = x² + (y − 1)² em (x0, y0);

2. f(x, y) = x²y³(6 − x − y) em (2,3);

3. f(x, y) = (x² + y²)e^−(x2+y2) em (0,0);

2. Obtenha o polinˆomio de Taylor de segunda ordem de f(x, y) = e^(x−y)sen(y − x) em torno de (0,0).

3. Obtenha o polinˆomio de Taylor de primeira ordem P1(x, y) e segunda ordem P2(x, y) de f(x, y) = xe^y em torno de (0,0). Avali-os e f(x, y) em (0,9,0,1). Fa¸ca os gr´aficos de P₁(x, y),P₂(x, y) e f(x, y).

1.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Determine o polinˆomio de Taylor de ordem 2 das fun¸c˜oes dadas em (x0, y0).

1. f(x, y) = sin(x) sin(y) sin(x + y), para 0≤x≤π e 0 ≤y≤π, em π 3,π

3 ; 2. f(x, y) = x − 2y + ln (p

x²+y²) + arctgy x

, parax6= 0, em (1,1);

3. f(x, y) = (5x + 7y − 25)e^{−(x2+xy+y2)}, em

− 1 26, 3

26

;

2. Obtenha o polinˆomio de Taylor de primeira ordemP1(x, y) e segunda ordemP2(x, y) de f(x, y) =e^(x2−y2) em torno de (0,0). Fa¸ca os gr´aficos de P₁(x, y),P₂(x, y) e f(x, y).

2 M´ aximos e m´ınimos

2.1 Pesquisar

Fazer um resumo sobre

1. defini¸c˜ao e classifica¸c˜ao dos pontos extremos;

2. condi¸c˜oes necess´arias para um ponto ser extremo;

3. condi¸c˜ao suficiente para umponto ser extremo: teste da segunda derivada;

4. pontos extremos em conjuntos compactos

2.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine e classifique os pontos cr´ıticos das fun¸c˜oes do exerc´ıcio 1 da se¸c˜ao 1,2.

Respostas:

1. (0,1) ponto de m´ınimo absoluto;

2. (0,6) e (x,0) pontos de sela para todo x; (0, y) pontos de m´ınimo relativo para todo 0< y <6; (2,3) e (0, y) pontos de m´aximo relativo para todo y <0 e y >6;

3. (0,0) ponto de m´ınimo absoluto; (x, y) pontos de m´aximo absoluto para x²+y² = 1;

2. Determine e classifique os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao f(x, y) = 10x²y−5x²−4y²−x⁴ −2y⁴

Usando um computador fa¸ca um esbo¸co (como abaixo) do gr´afico desta fun¸c˜ao.

Localize os pontos cr´ıticos da f no mapa de contorno abaixo.

3. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 1m³ de volume. O material utilizado na confec¸c˜ao do fundo custa o dobro que ser´a utilizado nas laterais. Determine as dimens˜oes da caixa que minimizam o custo do material.

Resposta: Cubo de aresta 1m

4. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 100cm² de papel˜ao. Determine as dimens˜oes da caixa que maximizam o volume da caixa.

Resposta: Cubo de aresta ^5√√₃²cm

5. Para as fun¸c˜oes de uma vari´avel, ´e imposs´ıvel para uma fun¸c˜ao cont´ınua ter dois pontos de m´aximo local e nenhum de m´ınimo local. Para fun¸c˜oes de duas vari´aveis tais fun¸c˜oes existem. Mostre que a fun¸c˜ao

f(x, y) = −(x²−1)²−(x²y−x−1)²

tem somente dois pontos cr´ıticos, ambos de m´aximo local. Utilize um computador para visualizar o gr´afico desta fun¸c˜ao.

6. Se uma fun¸c˜ao de uma vari´avel ´e cont´ınua em um intervalo e tem apenas um ponto cr´ıtico, ent˜ao, se este for um m´aximo (ou m´ınimo) local, obrigatoriamente ser´a um pon

to de m´aximo (ou m´ınimo) global. Isto, por´em, n˜ao ser´a verdade para fun¸c˜oes de duas vari´aveis. Mostre que a fun¸c˜ao

f(x, y) = 3xe^y − x³−e^3y

tem exatamente um ponto cr´ıtico que ´e um m´aximo local mas que n˜ao ´e um m´aximo global.

Utilize um computador para visualizar o gr´afico desta fun¸c˜ao.

7. Determine os valores de m´aximo e minimo absolutos da fun¸c˜ao

f(x, y) = x² − 5xy + 2y no retˆangulo

D = {(x, y)/0≤x≤3, 0≤y≤2} .

2.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. Determine a menor distˆancia entre o ponto (1,0,−2) e o planox+ 2y+z = 4.

2. Determine e classifique os pontos cr´ıticos das fun¸c˜oes do exerc´ıcio 1 da se¸c˜ao 1,2.

Respostas:

1. (π/3, π/3) ponto de m´aximo absoluto; (2π/3,2π/3) ponto de m´ınimo absoluto; (0,0) ponto de m´ınimo relativo; (π, π) ponto de m´aximo relativo; (0, π) e (π,0) pontos de sela;

2. (1,1) ponto de sela;

3. (−1/26,−1/26) ponto de m´ınimo absoluto; (1.3) ponto de m´aximo absoluto;

3. Trˆes alelos (vers˜oes alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO), e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a propor¸c˜ao de indiv´ıduos em uma popula¸c˜ao que carregam dois alelos diferentes ´e

P(p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq ,

onde p, q e r s˜ao as propor¸c˜oes de sangue tipo A, B e O na popula¸c˜ao. Usar o fato que p+q+r= 1 para mostrar que ´e no m´aximo 2/3.

4. Suponha que um cientista tenha raz˜ao para acreditar que duas quantidades xey sejam, pelo menos aproximadamente, linearmente relacionadas, ou seja,

y = ax + b , para algum valor de a eb.

O cientista realiza um experimento e coleta os dados na forma de pontos

(x₁, y₁),(x₂, y₂), . . . ,(xn, yn) ,

que s˜ao colocados num gr´afico. Os pontos n˜ao est˜ao todos alinhados, de modo que o ci- entista quer encontrar as constanteaebpara que a reta y = ax+b se ”ajuste”aos pontos da melhor forma poss´ıvel.

Seja

di = yi−(axi + b)

o desvio vertical do ponto (x1, y1) da reta. Om´etodo dos m´ınimos quadradosdetermina a e b de modo a minimizar

n

X

i=1

d²_i =

n

X

i=1

(yi−(axi + b))² ,

a soma dos quadrados dos desvios. Mostrar que, segundo este m´etodo, a reta que melhor se ajusta aos ´e pontos obtida quando

m

n

X

i=1

xi + bn =

n

X

i=1

yi , m

n

X

i=1

x²_i + b

n

X

i=1

xi =

n

X

i=1

xiyi .

Assim, a reta ´e determinada resolvendo esse sistema linear de duas incognitas, a e b. (Veja aplica¸c˜oes do m´etodo dos m´ınimos quadrados.)

3 Multiplicadores de Lagrange

3.1 Pesquisar

Fazer um resumo e/ou pesquisar

1. teorema que define procedimento para localizar extremantes de uma fun¸c˜ao f(x, y) condicionados uma restri¸c˜ao definida por uma segunda fun¸c˜ao g(x, y) = k;

2. generaliza¸c˜ao deste procedimento para o caso dos extremantes da fun¸c˜ao f(x, y, z) estarem condiciona- dos por restri¸c˜oes definidas por fun¸c˜oes g(x, y, z) =k e h(x, y, z) = c;

3.2 Aplica¸ c˜ ao dos conceitos

1. Determine o valor m´aximo da fun¸c˜ao f(x, y, z) =x+ 2y+ 3z, na curva obtida pela intersec¸c˜ao do plano x −y +z = 1 com o cil´ındro x²+y² = 1.

2. PART´ICULA DENTRO DE UMA

CAIXA: Como exemplo da utiliza¸c˜ao de mul- tiplicadores de Lagrange, considere o prob- lema da Mec˜anica Quˆantica de uma part´ıcula (massa m) dentro de uma caixa. A caixa ´e um paralelep´ıpedo retangular com lados a, b e c.

A energia do estado fundamental da part´ıcula ´e dada por E = ~²

8m 1

a² + 1 b² + 1

c²

.

Procuramos o formato da caixa que minimizar´a a energia E, sujeito `a restri¸c˜ao de que o volume seja constante,

V(a, b, c) =abc =k.

Dica: Usar f(a, b, c) = E(a, b, c) e ϕ(a, b, c) =abc−k = 0 Resposta: A solu¸c˜ao ´e a=b =c (cubo).

3. REATOR NUCLEAR CIL´INDRICO: Um outro exemplo ´e dado pela teoria do reator nuclear. Suponha que um reator nuclear (t´ermico) deva o ter a forma de um cilindro circular de raio R e alturaH. A teoria da difus˜ao de nˆeutrons fornece uma restri¸c˜ao:

ϕ(R, H) =

2,4048 R

2

+ π H

2

= const . Queremos minimizar o volume do vaso do reator,

f(R, H) = πR²H . Resposta: A solu¸c˜ao ´e H= 1,847R.

3.3 Exerc´ıcios de consolida¸ c˜ ao

1. A energia de estado fundamental de uma part´ıcula quˆantica de massa m dentro de uma pastilha (cilindro circular reto) ´e dada por

E = ~² 2m

(2,4048)²

R² + π² H²

,

na qual R ´e o raio e H a altura da caixa. Ache a raz˜ao entre R e H que minimizar´a a energia para um volume fixo.

2. Ache a raz˜ao entre R (raio) e H (altura) que minimizar´a a ´area da superf´ıcie total de um cilindro circular reto de volume fixo.

3. Um reator nuclear t´ermico est´a sujeito `a restri¸c˜ao ϕ(a, b, c) = π

a 2

+ π b

2

+ π c

2

= B², uma constante.

Ache as raz˜oes entre os lados de um reator na forma de um paralelep´ıpedo regular de volume m´ınimo.

Resposta: a=b =c, cubo.

4. Para uma lente de comprimento focalf, a distˆancia do objetope a distˆancia da imagem q est˜ao relacionadas por

1 p + 1

q = 1 f .

Ache a m´ınima distˆancia objeto-imagem (p + q) para f fixo. Admita objeto e imagem reais (p eq positivas).

5. Dada uma elipse

x a

2

+ y b

2

= 1 ,

ache o ret˜angulo inscrito de ´area m´axima. Mostre que a raz˜ao entre a ´area do retˆangulo de

´area m´axima e a ´area da elipse ´e 2/π = 0,6366.

6. Um paralelep´ıpedo retangular est´a inscrito em um elips´oide com semi-eixos a, b e c.

Maximize o volume do paralelep´ıpedo retangular inscrito. Mostre que a raz˜ao entre o m´aximo volume e o volume do elips´oide ´e 2/π√

3 = 0,367.

7. Um pent´agono ´e formado colocando-se um triˆangulo is´osceles sobre um retˆangulo. Se o pent´agono tem per´ımetro fixo l, determine os comprimentos dos lados do pent´agono que maximizam sua ´area.

Resposta: Comprimentos: l(2−√

3),l(3−

√3)/6 e l(2√

3 − 3)/3.

8. Determine o valor de m´aximo e m´ınimo das fun¸c˜oes nos respectivos conjuntos.

1. f(x, y) = xy(1 − x² − y²) em A = {(x, y)/ −1≤x≤1 e −1≤y ≤1};

Resposta: M´aximo absoluto valendo 1 nos pontos (1,−1) e (−1,1); M´ınimo absoluto valendo −1 nos pontos (1,1) e (−1,−1).

2. f(x, y) = x²y³(6 − x − y) em A = {(x, y)/ −1≤x≤1 e −1≤y ≤1}; 3. f(x, y) = x² − y² em A = {(x, y)/ x² + y² ≤4};

Resposta: M´aximo absoluto valendo 4 nos pontos (0,2) e (0,−2); M´ınimo absoluto valendo −4 nos pontos (0,2) e (−2,0).

Referˆ encias

[1] Apostol, Tom M:C´alculo II, 2^a edi¸c˜ao, Editorial Revert´e, 2010.

[2] Arfken, George & Weber, Hans: F´ısica matem´atica: m´etodos matem´aticos para engenharia e f´ısica, 6^a edi¸c˜ao, Elsevier, 2007.

[3] Guidorizzi, Hamilton: Um curso de C´alculo, Vol. 2, 5^a edi¸c˜ao, Livros T´ecnicos e Cient´ıficos, 2010.

[4] Stewart, James, Calculus: C´alculo, Vol. 2, 6^a edi¸c˜ao, Thomson Learning Inc., 2010.