Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Funções de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia

(1)

C´ alculo III

Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸c˜ oes de V´ arias Vari´ aveis, Vetor Gradiente e

Regra da Cadeia

Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni

Departamento de Matem´atica - ICENE/UFTM

(2)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia

Sum´ ario

Derivadas parciais de fun¸cão de duas variáveis reais a valores reais Interpreta¸cão geométrica das derivadas parciais de fun¸cão de duas variáveis reais a valores reais

Derivadas parciais de fun¸c˜ao com n (n>2) vari´aveis reais a valores reais Vetor Gradiente

Regra da Cadeia Bibliografia

(3)

Derivada parcial com rela¸c˜ ao a primeira vari´ avel de uma fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis reais a valores reais: defini¸c˜ oes

Considere uma fun¸c˜ao de duas vari´aveisf :U⊂R²→R.e um ponto

(x0,y0)∈U.Dizemos que f tem derivada parcial de 1^aordem de f com rela¸c˜ao ax em (x0,y0) se existir o limite:

∂f

∂x(x0,y0) = lim

h→0

f(x0+h,y0)−f(x0,y0)

h .

No caso de existˆencia do limite acima, o valor real ∂f

∂x(x0,y0) ´e chamado de derivada parcial de f com rela¸c˜ao ax em (x0,y0).

Definimos a fun¸cão derivada parcial de 1âordem de f com rela¸cão ax por:

∂f

∂x(x,y) = lim

h→0

f(x+h,y)−f(x,y)

h ,

para todo (x,y)∈B⊂UondeB= (

(x,y)∈U

∃∂f

∂x(x,y) )

(4)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Derivadas parciais de fun¸cão de duas variáveis reais a valores reais

Derivada parcial com rela¸c˜ ao a segunda vari´ avel de uma fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis reais a valores reais: defini¸c˜ oes

Considere uma fun¸c˜ao de duas vari´aveisf :U⊂R²→R.e um ponto

(x0,y0)∈U.Dizemos que f tem derivada parcial de 1^aordem de f com rela¸c˜ao ay em (x0,y0) se existir o limite:

∂f

∂y(x0,y0) = lim

k→0

f(x0,y0+k)−f(x0,y0)

k .

No caso de existˆencia do limite acima, o valor real ∂f

∂y(x0,y0) ´e chamado de derivada parcial de f com rela¸c˜ao ay em (x0,y0).

Definimos a fun¸cão derivada parcial de 1âordem de f com rela¸cão ay por:

∂f

∂y(x,y) = lim

k→0

f(x,y+k)−f(x,y)

k ,

para todo (x,y)∈B⊂UondeB= (

(x,y)∈U

∃∂f

∂y(x,y) )

(5)

Exerc´ıcio 1

Calcule, pela defini¸c˜ ao, as derivadas parciais das fun¸ c˜ ao abaixo:

f (x, y) = a(x)b(y) + c (x) + d (y),

onde a, b, c, d s˜ ao fun¸c˜ ao deriv´ aveis em todos os pontos de

R

.

(6)

Resolu¸c˜ ao do Exerc´ıcio 1

Note que

∂f

∂x (x, y ) = lim

h→0

f (x + h, y )

−

f (x, y)

h =

=

h→0

lim

a(x + h)b(y) + c (x + h) + d (y)

−

[a(x)b(y ) + c (x) + d (y)]

h =

= lim

h→0

b(y )[a(x + h)

−

a(x)] + c (x + h)

−

c (x) + d (y)

−

d (y)]

h =

= b(y) lim

h→0

a(x + h)

−

a(x)

h + lim

h→0

c (x + h)

−

c (x )

h =

= b(y)a

⁰

(x) + c

⁰

(x) Assim f

x

(x, y) = ∂f

∂x (x, y) = b(y)a

⁰

(x) + c

⁰

(x)

(7)

Continua¸c˜ ao da Resolu¸c˜ ao do Exerc´ıcio 1

Note que

∂f

∂y (x, y) = lim

k→0

f (x, y + k)

−

f (x, y )

k =

=

k→0

lim

a(x)b(y + k) + c (x) + d (y + k)

−

[a(x)b(y) + c(x) + d (y)]

k =

=

k→0

lim

a(x)[b(y + k )

−

b(y )] + c (x)

−

c (x) + [d (y + k )

−

d (y )]

k =

= a(x) lim

k→0

b(y + k)

−

b(y)

k + lim

k→0

d (y + k)

−

d (y)

k =

= a(x)b

⁰

(y) + d

⁰

(y) Assim f

_y

(x, y) = ∂f

∂y (x, y) = a(x )b

⁰

(y) + d

⁰

(y)

(8)

Obten¸c˜ ao pr´ atica das derivadas parciais de uma fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis reais a valores reais

Na pr´ atica, podemos obter as derivadas parciais mais facilmente, usando as regras de deriva¸ c˜ ao das fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel. Nesse caso, para calcular ∂f

∂x mantemos y constante e, para calcular ∂f

∂y ,

x ´ e mantido constante.

(9)

Exerc´ıcio 2

Calcule as derivadas parciais de f , onde f (x, y ) ´ e dada abaixo:

a)

f (x, y ) = 2x

²

+ 3xy

²−

4x

b)

f (x, y ) = (x

²

+ xy + y

³

)

³ c)

f (x, y ) = sen(2x + y)

d)

f (x, y ) = xe

^y

+ ysen(x)

e)

f (x, y ) = x

²

x + y

f)

f (x, y ) = (x

³

+ y

³

).(x

−

y )

g)

f (x, y ) = 1

x

−

2 xy

h)

f (x, y ) = ln(xtg(y))

(10)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Interpreta¸cão geométrica das derivadas parciais de fun¸cão de duas variáveis reais a valores reais

Interpreta¸c˜ ao geom´ etrica das derivadas parciais de fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis reais a valores reais

Temos que tgα= ∂f

∂x(x₀,y₀) coeficiente angular da reta tangente a curvaC₁no pontoP= (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) tgβ=∂f

∂y(x₀,y₀) coeficiente angular da reta tangente a curvaC₂no pontoP= (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) C₁´e a interse¸c˜ao deGrfcom o planoy=y₀

C₂´e a interse¸c˜ao deGrfcom o planox=x₀

(11)

Exerc´ıcio 3

Calcule a inclina¸ c˜ ao (coeficiente angular) da tangente ` a curva

segundo a qual o plano y = 1 corta a superf´ıcie z = x

²

+ y

²

no

ponto (2, 1, 5)

(12)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Interpreta¸cão geométrica das derivadas parciais de fun¸cão de duas variáveis reais a valores reais

Exerc´ıcio 4

Seja f (x , y) = 6

−

x

²−

y

²

. Encontre a inclina¸ c˜ ao (coeficiente

angular) da reta tangente ` a curva interse¸c˜ ao de Grf com o plano

x = 2 no ponto (2,1,1).

(13)

Derivada parcial com rela¸c˜ ao a primeira vari´ avel de uma fun¸c˜ ao de n (n > 2) vari´ aveis reais a valores reais:

defini¸c˜ oes

Considere uma fun¸c˜ao de n (n>2) vari´aveisf :U⊂Rⁿ→R.

Definimos, para pontos onde existir, a fun¸cão derivada parcial de 1âordem de f com rela¸cão ax1por:

∂f

∂x1

(x1,x2, . . . ,xn) = lim

h₁→0

f(x1+h1,x2, . . . ,xn)−f(x1,x2, . . . ,xn) h1

, ..

.

Definimos, para pontos onde existir, a fun¸cão derivada parcial de 1âordem de f com rela¸cão axnpor:

∂f

∂xn

(x1,x2, . . . ,xn) = lim

hn→0

f(x1,x2, . . . ,xn+hn)−f(x1,x2, . . . ,xn) hn

.

(14)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Derivadas parciais de fun¸cão com n (n>2) variáveis reais a valores reais

Obten¸c˜ ao pr´ atica das derivadas parciais de uma fun¸c˜ ao de n (n > 2) vari´ aveis reais a valores reais

Na pr´ atica, podemos obter as derivadas parciais mais facilmente, usando as regras de deriva¸ c˜ ao das fun¸ c˜ oes de uma vari´ avel. Nesse caso para calcular ∂f

∂x

j

mantemos as vari´ aveis x = x

_i

, i

6=

j,

constantes.

(15)

Exerc´ıcio 5

Calcule as derivadas parciais de f , onde f ´ e dada abaixo:

a)

f (x, y , z ) = xe

^z−

ye

^z

+ ze

^−y b)

f (r , s, t) = r

²

e

^2s

cos(t)

c)

f (u, v, w , x) = ln(u.v .w .x)

d)

f (x, y , z ) = z

²

x + y

e)

f (x, y , z ) = x

^yz

f)

f (x, y , z ) = arcsen(xyz)

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Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Vetor Gradiente

Defini¸c˜ ao de Vetor Gradiente

Considere uma fun¸ c˜ ao de n vari´ aveis f : U

⊂Rⁿ→R

e um ponto (x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

)

∈

U, onde exista ∂f

∂x

_j

(x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

),

∀j ∈ {1, . . . ,

n}.

Definimos o vetor gradiente de f no ponto (x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

) por:

∇f

(x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

) = ∂f

∂x

₁

(x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

), . . . , ∂f

∂x

_n

(x

₁⁰

, . . . , x

_n⁰

)

!

(17)

Exerc´ıcio 1

Determine o vetor gradiente de cada fun¸ c˜ ao abaixo no ponto dado

a)

f (x, y ) = x

²

+ 1

2 y

²

, (1, 3)

b)

g (x, y) =

p

1

−

x

²−

y

²

, (0, 0)

c)

h(x, y, z ) = xe

^2yz

, (3, 0, 2)

(18)

Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Regra da Cadeia

Regra da Cadeia do C´ alculo 3

Considere uma fun¸c˜ao vetorial

γ(t) = x1(t), . . . ,xn(t)

!

,t∈I ⊂R e uma fun¸c˜ao n vari´aveisf :U⊂Rⁿ→R.

Suponha queγé derivável para todot∈I e quef tem todas derivadas parciais de 1âordem em todos os pontos deU.Suponha ainda queImγ⊂Df.Então a fun¸cãofoγ:I⊂R→Ré derivável para todot∈I e

d(foγ)

dt (t) =∇f x1(t), . . . ,xn(t)

! .(γ⁰(t)) ou seja

d(foγ)

dt (t) = ∂f

∂x1

(γ(t)).x1⁰(t) +· · ·+ ∂f

∂xn

(γ(t)).xn⁰(t)

(19)

Exerc´ıcio 2

Calcule dz

dt , onde z = f (x, y), com x = g (t) e y = h(t).

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Cálculo III Aula: Derivadas Parciais de Primeira Ordem de Fun¸cões de Várias Variáveis, Vetor Gradiente e Regra da Cadeia Bibliografia

Bibliografia

•

Paulo Cupertino de Lima, C´ alculo de V´ arias Vari´ aveis, 2009.

Livro dispon´ıvel em

https://www.matematicapremio.com.br/

30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/

•

Raimundo Merval Morais Gon¸calves, Notas de Aula de Fun¸c˜ oes de V´ arias Vari´ aveis, 2011. Material dispon´ıvel em http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/C%C3%