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AULA 21

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AULA 21

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Árvores com expressões

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r

* /

31 27 - not

10 11 True

+

dir esq esq dir

conteudo No

raiz

Dada uma expressão aritmética, como construir a árvore binária que representa esta expressão?

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Árvores com expressões

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r

* /

31 27 - not

10 11 True

+

dir esq esq dir

conteudo No

raiz

Dada uma expressão aritmética, como construir a árvore binária que representa esta expressão?

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AULA 22

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Tabela de símbolos

Uma tabela de símbolos (= symbol table =

dictionary) é um conjunto de objetos (itens), cada um dotado de uma chave (= key) e de um valor (= value).

As chaves podem ser números inteiros ou strings ou outro tipo de dados.

Uma tabela de símbolos está sujeita a dois tipos de operações:

I inserção: consiste em introduzir um objeto na tabela;

I busca: consiste em encontrar um elemento que tenha uma dada chave.

(6)

Problema

Problema: Organizar uma tabela de símbolos de maneira que as operações de inserção e busca sejam razoavelmente eficientes.

Em geral, uma organização que permite inserções rápidas impede buscas rápidas e vice-versa.

Já vimos como organizar tabelas de símbols através de vetores e lista encadeadas.

Hoje: mais uma maneira de organizar uma tabela de símbolos.

(7)

Árvores binárias de busca

Fonte: http://infosthetics.com/archives/

PF 15

http://www.ime.usp.br/˜pf/algoritmos/aulas/binst.html

(8)

Árvore binárias de busca

Considere uma árvore binária cujos nós têm um campo chave (como int ou String, por exemplo).

typedef struct celula Celula;

struct celula {

int conteudo; /* tipo devia ser Item*/

int chave; /* tipo devia ser Chave*/

Celula *esq;

Celula *dir;

};

typedef Celula No; typedef No *Arvore; No x, *p, *q, *r, *t;

(9)

Árvore binárias de busca

Considere uma árvore binária cujos nós têm um campo chave (como int ou String, por exemplo).

typedef struct celula Celula;

struct celula {

int conteudo; /* tipo devia ser Item*/

int chave; /* tipo devia ser Chave*/

Celula *esq;

Celula *dir;

};

typedef Celula No;

typedef No *Arvore;

No x, *p, *q, *r, *t;

(10)

Árvore binárias de busca

Uma árvore binária deste tipo é de busca (em relação ao campo chave) se para cada nó x x.chave é

1. maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore esquerda de x e

2. menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore direita de x.

Assim, se p é um nó qualquer então vale que q->chave <= p->chave e

p->chave <= t->chave

para todo nó q na subárvore esquerda de p e todo nó t na subárvore direita de p.

(11)

Árvore binárias de busca

Uma árvore binária deste tipo é de busca (em relação ao campo chave) se para cada nó x x.chave é

1. maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore esquerda de x e

2. menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore direita de x.

Assim, se p é um nó qualquer então vale que q->chave <= p->chave e

p->chave <= t->chave

para todo nó q na subárvore esquerda de p e todo nó t na subárvore direita de p.

(12)

Árvore binárias de busca

Uma árvore binária deste tipo é de busca (em relação ao campo chave) se para cada nó x x.chave é

1. maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore esquerda de x e

2. menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore direita de x.

Assim, se p é um nó qualquer então vale que q->chave <= p->chave e

p->chave <= t->chave

para todo nó q na subárvore esquerda de p e todo nó t na subárvore direita de p.

(13)

Árvore binárias de busca

Uma árvore binária deste tipo é de busca (em relação ao campo chave) se para cada nó x x.chave é

1. maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore esquerda de x e

2. menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore direita de x.

Assim, se p é um nó qualquer então vale que q->chave <= p->chave e

p->chave <= t->chave

para todo nó q na subárvore esquerda de p e todo nó t na subárvore direita de p.

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Ilustração de uma árvore binária de busca

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r

dir esq esq dir

No p

conteudo raiz

chave

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filho dir p filho esq p

in-ordem (e-r-d): -6 -1 3 7 10 11 12 25 31 42

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Ilustração de uma árvore binária de busca

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r

dir esq esq dir

No p

conteudo raiz

chave

-6

-1

7

25

31

10 12

42 11

3

filho dir p filho esq p

in-ordem (e-r-d): -6 -1 3 7 10 11 12 25 31 42

(16)

Busca

Recebe um inteiro k e uma árvore de busca r e retorna um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, retorna NULL.

No *busca(Arvore r, int k) {

if (r == NULL || r->chave == k) return r;

if (r->chave > k)

return busca(r->esq, k); return busca(r->dir, k); }

(17)

Busca

Recebe um inteiro k e uma árvore de busca r e retorna um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, retorna NULL.

No *busca(Arvore r, int k) {

if (r == NULL || r->chave == k) return r;

if (r->chave > k)

return busca(r->esq, k);

return busca(r->dir, k);

}

(18)

Busca versão iterativa

Recebe um inteiro k e uma árvore de busca r e retorna um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, retorna NULL.

No *busca(Arvore r, int k) {

while (r != NULL && r->chave != k) if (r->chave > k)

r = r->esq; else

r = r->dir; return r;

}

(19)

Busca versão iterativa

Recebe um inteiro k e uma árvore de busca r e retorna um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, retorna NULL.

No *busca(Arvore r, int k) {

while (r != NULL && r->chave != k) if (r->chave > k)

r = r->esq;

else

r = r->dir;

return r;

}

(20)

Inserção

Recebe uma árvore de busca r e um nó novo.

Insere o nó no lugar correto da árvore de modo que a árvore continue sendo de busca e retorna o endereço da nova árvore.

No *

new(int chave,int conteudo,No *esq,No*dir) {

No *novo = mallocSafe(sizeof *novo); novo->chave= chave;

novo->conteudo = conteudo; novo->esq = esq;

novo->dir = dir; return novo; }

(21)

Inserção

Recebe uma árvore de busca r e um nó novo.

Insere o nó no lugar correto da árvore de modo que a árvore continue sendo de busca e retorna o endereço da nova árvore.

No *

new(int chave,int conteudo,No *esq,No*dir) {

No *novo = mallocSafe(sizeof *novo);

novo->chave= chave;

novo->conteudo = conteudo;

novo->esq = esq;

novo->dir = dir;

return novo;

}

(22)

Inserção

Arvore insere(Arvore r, No *novo) { No *f, /* filho de p */

No *p; /* pai de f */

if (r == NULL) return novo;

f = r;

while (f != NULL) { p = f;

if (f->chave > novo->chave) f = f->esq;

else

f = f->dir;

}

(23)

Inserção

/* novo sera uma folha novo sera filho de p */

if (p->chave > novo->chave) p->esq = novo;

else

p->dir = novo;

return r;

}

(24)

Remoção

Recebe uma árvore de busca não vazia r. Remove a sua raiz e rearranja a árvore de modo que continue sendo de busca e retorna o endereço da nova árvore.

(25)

Remoção

Arvore removeRaiz(Arvore r) { No *p, *q;

if (r->esq == NULL) {

q = r->dir; free(r); return q;

}

/* encontre na subarvore r->esq o nó q com maior valor */

p = r; q = r->esq;

while (q->dir != NULL) { p = q;

q = q->dir;

}

(26)

Remoção

/* q é o nó anterior a r na ordem e-r-d p é o pai de q*/

if (p != r) {

p->dir = q->esq;

q->esq = r->esq;

}

q->dir = r->dir; free(r); return q;

}

(27)

Consumo de tempo

O consumo de tempo das funções busca, insere e removeRaiz é, no pior caso,

proporcional à altura da árvore.

Conclusão: interessa trabalhar com árvores

balanceadas: árvores AVL, árvores rubro-negras, treaps . . .

Referências

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