O Princípio da Não Contradição Pode Ser Teorema?

O Princípio da Não Contradição Pode Ser Teorema?

Rafael Tavares Juliani* – Mestrado/HCTE/UFRJ – rafaeljuliani@gmail.com, Ana Rieger Schmidt - Mestrado/Filosofia/UFRGS – ana.rieger@gmail.com, Ricardo Silva Kubrusly – Doutor/IM/UFRJ – riskuby@gmail.com.

Palavras Chave: princípio da não contradição, teorema, lógica, Aristóteles

Introdução

A presente comunicação propõe debater as razões pelas quais o principio da não contradição (PNC) poderia ser apresentado como um teorema, a despeito da alegação aristotélica de que qualquer tentativa de demonstração desse princípio é circular. Em suma, o que, nas estruturas da ciência do ser enquanto ser e da lógica matemática, tornaria legítimo um tratamento tão diferente do princípio em questão?

Resultados e Discussão

Segundo Aristóteles, há dois tipos de princípios: aqueles que se referem a um gênero determinado e aqueles que são comuns a todos os gêneros e que têm um papel de base nas demonstrações¹. Embora tais princípios sejam utilizados nas ciências particulares (como na matemática ou na física), estas não investigam a sua verdade, mas os pressupõem. Como o conhecimento mais seguro de uma ciência é aquele que decorre da identificação do seu princípio mais seguro, cabe ao filósofo, aquele que investiga o ser enquanto ser, identificar o princípio mais seguro de todos.

Antes mesmo de enunciar qual seja esse princípio, apenas do fato de que o princípio mais fundamental da ciência suprema deva ser o mais seguro de todos, podemos dizer que ele deve satisfazer algumas condições: em primeiro lugar, ele deve ser tal que ninguém possa se enganar a seu respeito, pois isso seria incompatível com um conhecimento seguro do ser enquanto ser. Em segundo lugar, e pela mesma razão, o primeiro princípio não pode ser hipotético, pois só se toma algo como uma hipótese quando ainda não se tem um conhecimento seguro. Além disso, por ser o princípio primeiro, não haveria nada a que poderíamos recorrer para comprová-lo. A terceira condição acarreta que ele não é adquirido por demonstração, mas naturalmente conhecido. Dito isso, o primeiro princípio é enunciado: “é impossível que o mesmo atributo pertença e não pertença ao mesmo sujeito sob o mesmo aspecto”². Tal formulação ficou conhecida como o Princípio de Não- Contradição (PNC).

É claro para Aristóteles que o PNC não exige prova, mas apesar de possuir as características acima descritas, há quem o negue por confusão ou falta de educação. No primeiro grupo, podemos identificar os filósofos da natureza, como Heráclito, Anaxágoras e Demócrito, cuja explicação dos fenômenos sensíveis envolve a negação do princípio. No segundo grupo, podemos colocar os sofistas, os quais exigem demonstração de tudo e entram em um debate apenas com o intuito de vencê-lo. Assim, Aristóteles tem dois alvos: o primeiro caracteriza os adversários movidos por dificuldades de raciocínio, o segundo caracteriza aqueles que querem vencer a discussão por insolência.

Ora, se temos dois tipos de adversários com motivações diferentes para negar o PNC, cada qual exige uma estratégia diferenciada de refutação. É fácil fazer com que o primeiro grupo de adversários perceba o seu engano e para isto basta mostrar os inconvenientes que se seguem de suas posições. Porém, o segundo grupo apresenta uma dificuldade maior de ser refutado e exige uma prova à altura.

Porém, tal prova não pode ser feita, por exemplo, por redução ao absurdo, pois esse tipo de prova supõe o que se deve demonstrar. Além disso, uma simples redução ao absurdo seria inútil contra o adversário insolente, pois ele abraçaria qualquer contradição de bom grado, dado que é justamente isso que ele sustenta.

Como refutar um adversário nessas condições sui generis? Aristóteles é levado a formular uma estratégia diferenciada para defender o PNC, que aqui chamaremos de prova elênctica. Ele não demonstra o PNC em sentido estrito – mostrando que é impossível que proposições contraditórias sejam simultaneamente verdadeiras. Ele operará uma inversão na ordem da demonstração: não se mostra ao adversário algo que ele não conhece, mas, pelo contrário, mostra-se precisamente que ele

de certa forma já “conhece” o princípio em questão. Isso se segue se apenas o adversário “significar algo”, ou seja, se disser algo com sentido.

Primeiramente, Aristóteles tem de trazer o adversário para o debate, fazendo com que ele concorde em dizer algo significativo. Esta é a primeira coisa que o adversário tem de fazer se não quiser ser comparado a uma planta, pois quem nada diz assemelha-se a um vegetal e é inútil discutir com ele. Exatamente o quê o adversário dirá não tem importância, desde que “signifique algo para ele mesmo e para o outro”, ou seja, que signifique algo para ambos os interlocutores, para que eles possam se entender durante o debate. Porém, Aristóteles não pode exigir que o adversário diga que algo é ou que algo não é (e não ambos), ou seja, que ele forneça uma proposição, pois nesse caso, o adversário poderia acusar Aristóteles de petição de princípio.

A estratégia aristotélica consiste em garantir que o argumento a ser apresentado, mesmo que se pretenda encontrar nele a força de uma prova, não corresponde a uma demonstração usual.

Antes, ela estabelece que i) depende somente que o adversário fale algo e ii) que ao falar algo ele esteja comprometido com falar algo de determinado. Se algo tem significado, diz Aristóteles, deve ser possível fornecer uma definição sua. Uma vez que ele tenha dito algo com significado, resta mostrar, basicamente, que esse “algo” significado não inclui a sua negação, ou seja, que seu significado é x e que isso não inclui não–x.

Com efeito, é importante que o argumento seja em forma de diálogo, pois a estratégia consiste fundamentalmente em mostrar ao adversário que se ele quiser falar algo com significado, ele deve admitir o princípio em questão. Portanto, se há uma petição de princípio cometida na defesa do primeiro princípio, essa é atribuída ao próprio adversário do PNC. É importante notar que o método dialético adquire, nesse caso, uma característica muito forte a seu favor: ele não pressupõe nenhuma crença particular que possa faltar ao interlocutor. O adversário não pode simplesmente abrir mão da condição inicial de significar algo quando ele percebe as suas conseqüências. Ele não pode fazer isso sem negar que ele signifique algo e sem ser comparado a um vegetal.

Uma vez apresentada a estratégia, a discussão começa a partir de um caso particular, um exemplo paradigmático: o nome “homem”. No que concerne ao argumento, podemos identificar três etapas: a primeira tem como resultado que um nome não pode significar infinitamente, mas deve significar algo uno; a segunda, que “significar algo” não é o mesmo que “significar de algo”, ou seja, deve-se distinguir entre definição e cópula e, nesse sentido, “homem” não significa o mesmo que

“não-homem”. A terceira e última tem como resultado que “não ser homem” não significa o mesmo que “ser homem”. Se qualquer uma dessas etapas não for concedida pelo adversário, a conseqüência é que o seu discurso não é, afinal, significativo, tal como havia sido concordado no início da argumentação. O núcleo da argumentação consiste em mostrar que se alguém pretende significar algo através de um nome qualquer, mas ao fazer isso inclui em sua definição o seu complemento, então o nome em questão significa tudo ao mesmo tempo. Mas isso não é significar, pois nesse caso é impossível compreender o que o nome designa naquele discurso particular.

Uma Tentativa de Demonstração

George Boole escreveu o livro “An investigation of the laws of thought”³ (1854), no qual faz uma demonstração do PNC (Propotision IV), que é encarado por ele como um princípio metafísico.

Boole procurou estruturar a lógica através de uma linguagem algébrica. Em sua notação, a multiplicação representa a conjunção, a igualdade representa a cópula, os valores de verdade “falso”

e “verdadeiro” são representados por “0” e “1” respectivamente; já para a negação de uma classe “x”

ele usa “1 – x”. A sua demonstração do PNC é uma simples manipulação algébrica que tem como premissa o princípio de que a intercessão de classes iguais (conjuntos iguais) é igual à própria classe,

x

x²  , o que ele chama de lei fundamental do pensamento. Subtraindox²dos dois lados da igualdade, tem-se:

0xx2^ouxx^2, colocando x em evidência

0 ) 1 ( x 

x ;

essas operações são justificadas por ele. Com essa prova, Boole diz que o axioma fundamental da metafísica é nada mais do que uma conseqüência da lei fundamental do pensamento. No entanto, ele não tenta defender que sua demonstração não é circular em resposta a Aristóteles e nem sua axiomática apresenta mudanças que possam rebater o estagirita.

As Mudanças Necessárias

Um pouco antes de Boole, surgem as geometrias não euclidianas. A partir das discussões sobre essas geometrias, a concepção clássica de sistemas axiomáticos sofreu alterações, surgindo os sistemas formais. Essa concepção clássica de sistemas axiomáticos, embora diferente da axiomática aristotélica como afirma Árpád Szabó⁴, mantinha a necessidade aristotélica de que os axiomas fossem evidentes em si. A discussão sobre o quinto postulado euclidiano era se ele era ou não era evidente em si. Com as geometrias não euclidianas, essa necessidade começa a se perder, pois começam a existir geometrias com a negação do quinto postulado, mas para isso, os conceitos envolvidos no quinto postulado não podiam ser interpretados como eram usualmente, pois seriam evidentemente falsos, portanto, esses conceitos, termos primitivos, não tinham qualquer relação com o mundo, apenas suas relações interessavam, era um jogo sintático. Essas mudanças nas teorias axiomáticas começaram a se sedimentar com os trabalhos de Peano⁵, Hilbert⁶ e Russell⁷.

Além de novas geometrias, também surgiram diferentes axiomatizações para a geometria euclidiana. Em certas teorias, uma sentença aparecia como teorema, já em outras como um axioma e vice-versa, no entanto, não há razões para se escolher uma teoria em detrimento da outra a não ser por conveniência, com isso, a idéia aristotélica de uma única axiomatização desaparece. Dentre essas axiomatizações, a de maior destaque foi a de Hilbert⁶, embora as de Oswald Veblen e E. V.

Huntington sejam mais elegantes por usarem menos termos primitivos⁸. Também merece destaque a axiomatização de Birkhoff⁹, ele introduz um sistema de axiomas contendo axiomas sobre números reais para a medição de segmentos e ângulos.

Críticas à Primazia do PNC

Bertrand Russell diz que não há razão alguma para o PNC ser superior aos outros princípios e que a prova da incoerência da contradição de uma proposição precisa de princípios que não estão no PNC¹⁰. Newton da Costa corrobora esta afirmação de Russel quando afirma que sem a idéia de espaço e tempo, por exemplo, duas sentenças como "está chovendo" e "não está chovendo" podem ser verdadeiras. Uma teoria do tempo e do espaço precisa de uma lógica, assim o PNC não seria o mais fundamental da lógica ou se estaria num círculo vicioso¹¹.

Poderia-se objetar que as alegações de Russel e da Costa seriam referentes à lógica e Aristóteles se refere a um princípio metafísico, da ciência do ser enquanto ser; e como Aristóteles, segundo Lukasiewicz¹², também formula o princípio com uma forma lógica “... proposições contraditórias não são simultaneamente verdadeiras”, então o PNC poderia ser rejeitado como o mais fundamental apenas na lógica, no entanto, permaneceria com a primazia na metafísica. A alegação, porém, de da Costa de que nem todas contradições trivializam um sistema, o que ele mostra na sua lógica paraconsistente, indica que o PNC não é um princípio comum a todos os gêneros. Além disso, a afirmação de Russell se aplica também à metafísica.

Alguém ainda poderia dizer que as contradições que não trivializam o sistema não são contradições verdadeiras, pois são introduzidos níveis de negação. A contradição que envolvesse a negação caracterizada pelos opostos contraditórios seria a legítima, pois é a utilizada por Aristóteles.

Mas, por quê? O PNC, por si só, não define o sentido da negação e como disse Russell: a incoerência da contradição é externa. Então é necessário uma definição da negação, no entanto, isso não é uma tarefa simples.

Uma definição como normalmente é dada para a negação nos cursos de lógica através da tabela verdade – p é verdadeira se, e somente se, não–p é falsa e vice-versa – não é suficiente, pois se vale do valor de verdade de uma proposição, mas nas axiomatizações abstratas as sentenças

visão abstrata fica assim: dados quaisquer dois distintos P, existe uma R com a qual cada um dos P mantém a relação B. Essa sentença só terá valor de verdade mediante uma interpretação dos termos primitivos P, B e R. Como a definição da negação dada a cima se vale do valor de verdade da sentença, não poderíamos construir uma negação do primeiro postulado de Euclides na sua formulação abstrata. Para se definir todos os usos da negação, é necessário introduzir a definição de verdade formulada por Tarski¹³, a qual não é um procedimento semântico simples que instaura diferentes níveis de linguagem, ou por meio de um método sintático com axiomas e regras de inferência. Por isso, a negação aparece normalmente como um termo primitivo e, como todo termo primitivo, sua interpretação fica determinada pelos axiomas e as definições que a contém.

A Demonstração feita no Principia Mathematica de Russell e Whitehead

O objetivo de Russell e Whitehead era mostrar que a matemática era uma lógica desenvolvida e para isso escreveram o “Principia Mathematica”, no qual também apresentam a teoria dos tipos, usada para não permitir a trivialização causada pelo axioma da separação. Por algumas razões, que fogem ao tema dessa comunicação, a tese logicista não foi considerada válida¹⁴. No entanto, para alcançar tal objetivo, eles construíram uma lógica com o PNC como teorema.

A negação aparece como um termo indefinido é representada por “~” (til). A disjunção, também um termo primitivo, é simbolizada por “v”. A implicação e a equivalência, porém, são definidas pelos termos primitivos citados e são representadas por “



^{“ e “≡} “, respectivamente.

Assim,

p  q

fica definido por ~p v q e a equivalência p≡q por

p  q

_e

q  p

. A demonstração¹⁵ do PNC é feita usando dois teoremas do sistema: o princípio do terceiro excluído (p v ~p); e uma parte de uma das leis de De Morgan¹⁶ ~p v ~q



^{~( p eq} ). Partindo-se do terceiro excluído e substituindo p por ~p, obtém-se:

~p v ~(~p), com a lei de De Morgan citada, usando q como ~p

~(p e ~p);

a demonstração é aparentemente simples, mas esconde os princípios que estão na dedução dos teoremas envolvidos. A demonstração do terceiro excluído, por exemplo, também não é complicada, mas envolve um princípio de funções proposicionais, o qual, segundo Russell e Whitehead, expressa no simbolismo um resultado vindo da teoria dos tipos¹⁷. O princípio é: quando Φx pode ser afirmado, onde x é uma variável real, e Φx



Ψx pode ser afirmado, onde x é uma variável real, então Ψx pode ser afirmado, onde x é uma variável real.

Segundo Aristóteles, essa demonstração seria circular, pois, por exemplo, quando defino

q

p 

= ~p v q, não estou querendo dizer que a negação disso também faz parte da definição, portanto eu já estaria admitindo ~(p e ~p). Contudo, a negação dessa definição só teria sentido dentro do sistema, mas não de uma forma isolada e, considerando todo o sistema, tenho o PNC como teorema, logo, a negação dessa definição não seria permitida. Parece meio estranho, mas a negação da definição de implicação, sequer pode ser considerada contraditória com a definição de implicação sem levar em conta todo o sistema. Quando se faz uma definição, a veracidade dela é garantida, mas só mediante todo o sistema é que o uso da negação, a existência de contradição e o valor de verdade da negação da definição são determinados.

Conclusões

Devido à possibilidade de diversas axiomatizações para um mesmo assunto, a primazia de qualquer axioma seria contestada, até mesmo a do PNC. Isso somado às demais alterações nas teorias axiomáticas tornaram possível uma demonstração do PNC na sua formulação lógica, assim como se pode estender semelhante linha de raciocínio à sua formulação metafísica.

Aristóteles relega ao PNC a tarefa de dar sentido a um discurso, pois, segundo ele, qualquer discurso significativo, até mesmo qualquer palavra com sentido, já faz uso do PNC. Aquele que não quiser ser comparado a um vegetal se vale do PNC. Com isso, podemos dizer que o intuito de

Aristóteles era a não trivialização do discurso. A não trivialização de um sistema é um desejo de qualquer lógico ou cientista, pois ninguém quer um sistema em que tudo é teorema, tudo é verdade.

Quando se prova um teorema, apenas se desvela, se ressalta, o que já, de antemão, se encontra nos axiomas do sistema. Não há lugar para emergências estranhas nas lógicas que se querem inferentes. O desejo de não trivialização do sistema lógico impõe alguma restrição quanto à possibilidade de existirem contradições, quer seja pela imposição de algum PNC como axioma quer seja por meio de outros axiomas que permitam o aparecimento do PNC como teorema.

Referências e Notas

1Aristóteles, Segundos Analíticos, I, 11, 77a 26. In: The Complete Works of Aristotle: The revised Oxford Translation. (ed. J. Barnes). 2 vols. Princeton: Oxford University Press, An. Post., I, 11, 77a 26, 1984.

2Idem a 1, Metafísica., Gama, 1005b19-20.

3Boole, G. An Investigation of The Laws of Thought (1854), www.gutenberg.net, 2005.

4Raggio, A. A Evolução da Noção de Sistema Axiomático. Trad.: Sanz, W. C. e Stival, S. D.;

Philósophos - UnB/UFG, Vol. 8, N. 1, p. 96, 2003.

5Peano, G., Arithmetices Principia Novo Methodo Exposita. Turin, 1889. Re-editadod in van Heijenoort, From Frege to Gödel, Cambridge, p. 83 a 97, 1967.

6Hilbert, D., Foundations of Geometry.Trad.: Unger, L., Illinois: Open Court, 1988.

7Whitehead, A. N.; Russel, B., Principia Mathematica, Vol. I. Cambridge:Cambridge University Press, 1910.

8Barker, S. F. Filosofia da Matemática. Trad.: Hegenberg, L. e da Mota, O. S.; Rio de Janeiro: Zahar Editores, p. 38,1969.

9Bongiovani, V., Euclides, Hilbert e Birkhoff: História da Geometria e do seu Ensino. Livro de Anais do VII Seminário Nacional de História da Matemática. p. 29 e 30. Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO. Guarapuava – PR, 2007.

10Russell, B. Introdução à Filosofia Matemática. Trad.: Borges, M. l. X.; Rio de Janeiro: Zahar, p. 240, 2007.

11Da Costa, N. C. A., Ensaio Sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo: HUCITEC, p. 116 e 147, 2008.

12Idem a da costa, p. 121.

13Idem a da costa, p. 46.

14Nagel, E.; Newman, J. R. A Prova de Gödel. Trad.:Guinsburg, G. K.; São Paulo: Perspectiva, p. 42 a 44, 2003.

15Idem a 7, p. 117.

16Lei de De Morgan: ~p v ~q≡~(p eq), na notação do Pincipia Mathematica, a conjunção é representada por “.” (ponto).

17Idem a 7, p. 99.