Conjuntos Numéricos
1
Conjunto dos Números Naturais
•
Chama-se conjunto dos números naturais, ,o
conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ....
2
{
}
= 0 1 2 3
, , , ,...
ℕ
ℕ
Propriedades
As duas operações fundamentais , a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades (a,b e c ): • A.1) Associativa da adição:
• A.2) Comutativa da adição: • A.3) Elemento neutro da adição: • M.1) Associativa da multiplicação: • M.2) Comutativa da multiplicação: • M.3) Elemento neutro da multiplicação:
• D) Distributiva da multiplicação relativamente à adição:
3 (a+ + = + +b) c a (b c) a+ = +b b a a+ =0 a ( )a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅a ( )b c a b⋅ = ⋅b a a 1⋅ =a ( ) a⋅ + =b c ab ac+ ∈ℕ
Conjunto dos Números Inteiros
•
Chama-se conjunto dos números inteiros, ,o
conjunto formado pelos números
4
{
}
=
...,
− − −
3 2
,
,
1 0 1 2 3
, , , , , ...
ℤ
ℤ
Subconjunto dos Números Inteiros
•
Conjunto dos inteiros não negativos:
•
Conjunto dos inteiros não positivos:
•
Conjunto dos inteiros não nulos:
{
}
= 0 1 2 3
, , , ,...
+=
ℤ
ℕ
{
}
= 0
,
1 2
,
,
3
, ...
−− − −
ℤ
{
}
=
3 2
1 1 2 3
*...,
− − −
,
,
, , , ,...
ℤ
Propriedades
• Noconjunto são definidas também todas as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A.1], [A.2], [A.3], [M.1], [M.2], [M.3] e [D], a propriedade:
• A.4) simétrico ou oposto para a adição:
–Devido a propriedade [A.4], pode-se definir em a operação de subtração, estabelecendo que para todo
( )
a+ − =a 0. ℤ ( ) a− = + −b a b a,b∈ℤ.Conjunto dos Números Racionais
• Chama-se o conjunto dos números racionais, , o
conjunto dos pares ordenados (ou frações) , em que e , para os quais adotam as seguintes
definições: 1ª) Igualdade: 2ª) Adição: 3ª) Multiplicação: 7 ℚ a b a∈ℤ b∈ℤ* a c ad bc b= ⇔d = a c ad + bc b+ =d bd a c ac b d⋅ =bd
Subconjunto dos Números Racionais
•
= Conjunto dos racionais não negativos.
•
= Conjunto dos racionais não positivos.
•
= Conjunto dos racionais não nulos.
8 +
ℚ
−ℚ
*ℚ
Propriedades
As duas operações fundamentais , a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades (a,b e c ):
A.1) A.2) A.3) A.4) M.1) M.2) M.3) D) 9 a c e a c e b d f b d f + + = + + ∈ℕ a c c a b+ = +d d b a 0 a b+ =b a a 0 b b + − = a c e a c e b d f b d f ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ a c c a b d⋅ = ⋅d b a a 1 b⋅ =b a c e a c a e b d f b d b f ⋅ + = ⋅ + ⋅
Propriedades
• M.4) simétrico ou inverso para a multiplicação:
–Devido a propriedade [M.4], pode-se definir em a operação de divisão, estabelecendo que para
racionais quaisquer não nulos.
10
a a b a b
e 0 existe tal que 1
b b , a b a . ∀ ∈ℚ ≠ ∈ℚ ⋅ = * ℚ a c a d b d: = ⋅b c a c e b d
Representação decimal
•
Decimal exata:
•
Dízima periódica:
3 1 1 27 3 0 5 0 05 0 027 1= 2= , 20= , 1000= ,(
)
1 0 333 0 3 período 3 3= , …= ,(
)
2 0 285714285714 0 285714 período 285714 7= , …= ,(
)
11 1 8333 1 83 período 3 6= , …= ,•
Quando a decimal é uma dízima periódica.
Devemos procurar sua geratriz.
Exemplo 1:
0 777 7 10 7 9 10 7 777 , ... , ... x x x x x = ⇒ − = ⇒ = = 0 777, ...Exemplo 2:
Exemplo 3:
13 6 4343 637 100 637 99 100 643 4343 , ... , ... x x x x x = ⇒ − = ⇒ = = 6 4343, ... 2 57919191, ... 2 579191 25534 100 257 919191 10000 100 25534 9900 10000 25791 9191 , ... , ... , ... x x x x x x = = ⇒ − = ⇒ = = Conjunto dos Números Irracionais
• Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Por exemplo, o número decimal 0,1010010001... é não periódico. Ele representa um número não racional. Ele representa um número irracional.
Outros exemplos de números irracionais:
–1,23456789101112...
–6,202002000...
–34,5678910....
14
Conjunto dos Números Reais
• Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas números irracionais). Dessa forma, todo número racional é real, ou seja:
15 ℝ
.
⊂
ℚ
ℝ
Conjunto dos Números Reais
• Além dos racionais, estão em números como: chamados números irracionais.
= Conjunto dos reais não negativos. = Conjunto dos reais não positivos. = Conjunto dos reais não nulos.
16
ℝ
2=1 4142136, ... π=3 1415926, ... a=1 010010001, ... +ℝ
−ℝ
*ℝ
Relação de inclusão entre conjuntos
ℝ
ℚℤ
ℕ−
ℝ ℚExercício1:
• Indique V(verdadeiro) ou F(falso) as seguintes sentenças:
V V V F V V F V F F V F V V F V F V V F F V V F V V V F V V F V F F V F V V F V F V F F V V F V V
Exercício 2:
Classifique os seguintes conjuntos em vazios ou unitários. a ) (Vazio) b ) (Unitár.) c ) (Unitár.) d ) (Vazio ) e ) (Vazio) f ) (Unitár.) g ) (Unitár.) h ) (Vazio ) 19
{
x∈ℕ x3= −8}
{
x x4 16}
− ∈ℝ = 1 2 5 3 x x ∈ − ≤ ≤ ℤ {
}
2 0 x∈ℝ x <{
x∈ℝ x= −4}
{
x∈ℚ x5=0}
1 2 x x ∈ = ℚ 3 1 8 x x ∈ = ℤ Exercício 3:
Classifique cada número real seguinte como racional ou irracional. a ) ( ) b ) ( ) c ) ( ) d ) ( ) e ) ( ) f ) ( ) g ) ( ) h ) ( ) i ) ( ) j ) ( ) k ) ( ) 20 50 72 1 2+ π
(
3 1+)
2 20 80 0 25 0 25, ÷ ,( )
2 0 3,(
2 1+ ⋅) (
2 1−)
3⋅ 5 2+ 7 2 7+ − ℝ ℚ ℚ − ℝ ℚ ℝ−ℚ ℚ ℚ ℚ ℚ − ℝ ℚ ℝ−ℚ ℚExercício4:
21Coloque os números reais a, b, c e d abaixo em
ordem crescente:
- a é o inverso de ;
- b é oposto de ;
- c é o dobro de ;
- d
.
3 5 − 4 3 2 3 − = − −1 5 1 6 3 , a ⇒ = − = − 4 1 3 3 , b ⇒ = − = − 2 2 2 2 1 3 3 c ⇒ = ⋅ − = − > − ⇒d= − − = −1 1 Solução: a< < <b d cIntervalos
22Representação de subconjuntos por intervalos
ℕ
Exercício 1:
Sejam os conjuntos numéricos e . Determine:
{
}
A= ∈ − ≤ ≤x ℝ 3 x 2{
}
B= ∈x ℝ0< ≤x 8 a) A B b) A B c) A B d) B A ∪ ∩ − −Exercício 2:
Se , e
, determine o conjunto que representa
25
{
}
A= ∈x ℝ x<1 B= ∈ − < ≤{
x ℝ 1 x 3}
{
}
C= ∈x ℝ x≥0(
A∩B)
−C.Exercício 3:
Dados os conjuntos , e , determine o conjunto . 26{
}
M= ∈x ℝ x>1 e x<4{
}
N= ∈x ℝ x< −2 ou x>6 O= ∈{
x ℝ x< −1}
(
M∪N)
−OExercício 4:
Determine e dados: 27{
}
{
}
a) A= ∈ − < <x ℝ 3 x 7 e B= ∈x ℝ 2≤ <x 5 A∪B, A∩B, A−B B A−[
[
]
[
b) A= −1 6 e B, = +∞1,{
}
[
)
c) A= ∈ − ≤ ≤x ℝ 3 x 1 e B= 2 5,Exercício 5:
O comprimento da circunferência de raio é , e a área do círculo de raio é . Dessa maneira, determine, o intervalo a que pertencem os números que representam: o comprimento da circunferência de raio
e a área do círculo determinado por essa circunferência. 28 2 r
π
r rπ
r2 0 5, r= ] [0 1 32 1 10 ) , ) , a b ] ] 99 3 100 1 4 ) , ) , c d −Exercício 6:
Classifique cada uma das afirmações em verdadeira ou falsa. a) ( V ) b) ( F ) c) ( F ) d)
