Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Proposição
Uma frase é uma proposição apenas quando
admite um dos dois valores lógicos: Falso
(F) ou Verdadeiro (V).
Proposição
Frases que não são proposições
Pare!
Quer uma chávena de café? Feliz Natal!
Frases que são proposições
A Lua é o único satélite do planeta terra (V)
A cidade do Porto é a capital da região de Madeira (F) O número 712 é ímpar (F)
Algumas leis fundamentais
Lei do Meio Excluído: Uma proposição ou é falsa (F) ou é verdadeira (V): não há meio termo.
Lei da Contradição: Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F.
Lei da Funcionalidade: O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pêlos valores lógicos de suas proposições constituintes.
Composição de Proposições
É a construção de proposições a partir de proposições já existentes.
Suponha que tenhamos duas proposições, 1. p = "Maria tem 23 anos"
2. q = "Maria é menor
Composição de Proposições
"Maria não tem 23 anos" (não A) "Maria não é menor” (não B)
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não A e B) "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não B) Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A então B)
Conectivos
Definimos os conectivos como aquelas
expressões lógicas que permitem ligar entre
si várias proposições simples, obtendo
proposições complexas cuja verdade ou
falsidade estarão dependentes da verdade ou
falsidade das proposições iniciais e da
Sintaxe
Alfabeto:
Variáveis proposicionais: p, q, r, ..., p’, q’,... Constantes ⊤, ⊥ Conectivos lógicos: ~, ∧, ∨, →, ↔ símbolos auxiliais: ( , )Sintaxe
Definição: Uma fórmula (proposicional)
atómica é:
1. Uma variável proposicional,
2.
⊤
ou
Sintaxe
Definição Indutiva:
1. Toda fórmula atómica é uma fbf.
2. Se F é uma fbf, então ~F é uma fbf.
3. Se F e G são fbf, então F
∧G, F
∨G, F
→
G, F
↔G são fbf .
4. O conjunto de todas as fbf é gerado por as
regras 1 – 3.
Precedência de conectivos
1. ~
2.
∧ ∨3.
→ ↔ Então ((p →(q ∨r)) ∧((~ q) ↔(1 ∨p)))pode ser escrita como
(p →q ∨r) ∧(~ q ↔ 1 ∨p)
Mais
p ∧q ∨r
Semântica:
Podemos definir o valores de verdade como o conjunto Tr = {verdadeiro (v), falso (f)}
Uma interpretação consiste em atribuir um valor de verdade a cada fórmula atómica.
Para obter o valor de verdade de uma fórmula bem formada arbitraria é necessário dar
significado aos conectivos lógicos.
Tabelas de verdade
Desse modo, atribuindo valores de verdade
as variáveis proposicionais podemos obter o
valor de verdade duma fórmula.
Tabelas de verdade
Sejam p e q proposições. Então temos a tabela:
f f v f f v v v q p
Observe que o número de linhas da tabela depende do número de proposições, e pode-se obter fazendo 2n ( onde n é a quantidade de proposições)
Tabelas de verdade
Negação
A negação é o único conectivo unário
v
f
f
Tabelas de verdade
Dada qualquer fórmula F, podemos construir sua tabela de verdade a partir do valor de verdade das sub-fórmulas: Exemplo: (p ∨q) →(p ↔q) f v v v p ∨q vf f v → f f v v p f f f v v f v v p ↔ q q
Interpretação e Modelo
Cada fila de uma tabela de verdade representa uma interpretação na qual cada variável proposicional toma o valor correspondente a ela na tabela
Uma interpretação I é um modelo para uma fbf F se F e verdadeira em I .
Fórmulas Equivalentes
Duas fórmulas F e G são logicamente
equivalentes se têm os mesmos modelos,
isto é se têm a mesma tabela de verdade
Notação: Se duas fórmulas F e G são
Algumas Equivalências (3)
(p →q) ∧(q →p) ≈ p ↔q ⊤ ≈ p ↔p ~ q →~ p ≈ p →q disjunção material ~ p ∨ q ≈ p →qTautologias
Tautologias
...
v
v
FTautologia
Teorema: Duas fórmulas F e G são
equivalentes se e somente se F
↔G é uma
Contradição
Uma fórmula F é uma contradição se é
falsa em toda interpretação.
Contradição
...
f
f
Contingente
Uma fórmula F é uma contradição se é
falsa em algumas interpretações e
Regra de Substituição 1
Teorema da substituição 2
Exemplo:
Se substituímos a segunda aparição de p ∨q na
fórmula F
(p ∨q ) →(r ↔(p ∨q ) )
pela fórmula equivalente q ∨p, obtemos a fórmula
F´ (p ∨q ) →(r ↔(p ∨q ) )
F resulta equivalente a F´
Teorema da substituição 2
Sejam F(P), X, Y fórmulas Teorema (parte 1):Se v(X) = v(Y), então v(F(X)) =v( F(Y)) Teorema (parte 2):
Relação dos conectivos.
Um conjunto de conectivos é adequado se para toda fórmula proposicional existe uma fórmula
equivalente formada só por os conectivos do conjunto dado.
Proposição:
{~, ∧} , {~, ∨,} {~, →} são conjuntos adequados de
conectivos.
Conjuntos adequados de conectivos.
Proposição:
{~, ↔} , não é um conjunto adequados de
conectivos.
