Fernanda Rocha Gomes da Silva
Equilíbrio Geral com Default, Bancarrota e Colateral em
uma Economia Empresarial
Tese apresentada ao departamento de Economia da Uni-versidade Católica de Brasília como parte dos requesitos necessários para obtenção do grau de Doutor em Econo-mia de Empresas
Orientador: Prof. Dr. Jaime Jose Orrillo Carhuajulca
Brasília
Agradeço primeiro a Deus, sem ele nada seria possível.
A minha minha família por tudo, principalmente aos meus pais pelo apoio, carinho, amor e sacríficios. Aos meus irmãos Avelar Filho, Karina e Taisa pela convivência maravilhosa e por apesar das diferenças manter nossa família sempre unida. Aos meus sobrinhos Gabriel e Nicole por me dar muitas alegrias e também não esquecendo dos dois novos sobrinhos.
A minha filha Alana por nunca reclamar e entender que todas as horas dedicadas ao estudo eram para dar uma vida melhor a ela. Agradeço a ela pelo sorriso, abraço e carinho, eles me deram força para seguir em frente e por me fazer tão feliz.
Ao Franklin e a Janete por terem me apoiado e me ajudado em todos os momentos.
Aos meus colegas de doutorado pelas horas de estudo e pelas palavras amigas, em especial ao Oscar, também agradeço a Andrea, ao João José, ao Jolivê e a todos os outros pelo tempo de convivência.
Aos professores do departamento de economia por sua contribuição com o saber.
Agradeço muito ao professor Jaime, por sua disposição, tempo, dedicação, paciência, ensi-namentos e palavras de incentivo.
Neste trabalho constrói-se um modelo de equilíbrio geral com mercados incompletos e produção. Ele lida apenas com as empresas que têm um único proprietário (empresa individual). Os indi-víduos, nesta economia, são permitidos serem inadimplentes e as empresas irem à falência. Por cada ativo vendido (empréstimos), os indivíduos e as empresas são obrigadas a constituir colat-eral para que os credores sejam protegidos. Mostra-se a existência de equilíbrio nesta economia sob as hipóteses usuais das utilidades, dotações iniciais dos consumidores e as tecnologias das firmas. Finalmente, na economia financeira, associada à economia subjacente acima, mostra-se uma versão do Teorema de Modigliani-Miller.
Palavras Chave: Equilíbrio geral. Mercados incompletos. Default. Bancarrota.
This work builds a general equilibrium model with incomplete markets and production. This work deals only with firms that have a single owner (sole proprietorship). The individuals, in this economy, are allowed to default and the firms go to bankruptcy. In order to sell assets (borrowing) both individuals and firms are required to constitute collateral so that the lenders are protected. It is shown existence of equilibrium in this economy under usual assumption on utilities, initial endowments and technologies. Finally, in the financial economy associated to the underlying economy above, it is shown a version of Modigliani-Miller’s Theorem for sole proprietorship.
Keywords: General equilibrium. Incomplete markets. Probability of default.
1 INTRODUÇÃO 9
1.1 LITERATURA RELACIONADA . . . 11
2 EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO COM DEFAULT, BANCARROTA E CO-LATERAL 13 2.1 O MODELO . . . 13
2.1.1 Tempo e Incerteza . . . 13
2.1.2 Consumidores e Empresários . . . 13
2.1.3 A Estrutura Financeira . . . 13
2.1.4 O Problema do Indivíduo . . . 14
2.1.5 Definição de Equilíbrio . . . 16
2.2 EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO . . . 16
2.2.1 Demonstração da Existência do Equilíbrio . . . 17
2.2.2 Economia Abstrata . . . 17
2.3 EQUILÍBRIO ASSINTÓTICO TRUNCADO . . . 20
3 O TEOREMA DE MODIGLIANI-MILLER EM UMA FIRMA EMPRESAR-IAL 23 3.1 INTRODUÇÃO . . . 23
3.2 ECONOMIA EMPRESARIAL COM COLATERAL, BANCARROTA E DE-FAULT . . . 23
3.3 MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO . . . 27
3.3.1 Fator de desconto e maximização de lucro . . . 27
3.3.2 Separação entre Consumidores e Empreendedores . . . 29
3.4 EQUILÍBRIO EMPRESARIAL NA FORMA ESTENDIDA . . . 31
3.4.1 Contas Financeiras da Empresa . . . 31
3.4.2 Contas Financeiras do Consumidor . . . 32
4 CONCLUSÕES 36
1 INTRODUÇÃO
A modelagem das firmas num contexto de equilíbrio geral com mercados incompletos é problemática devido ao seu objetivo, a maximização de lucro, não ser bem definido. Quando os mercados são completos esse problema não existe, pois, nesse contexto toda a estrutura da firma, seja ela interna (gerentes, donos, etc.) ou externa (credores, acionistas, etc.), atua sincronizadamente, de maneira que não existe nenhum conflito, nem problemas de incentivos de maneira que a maximização de lucro prevalece como objetivo da firma independente de quem a dirige, quem são seus donos, seus credores, etc.
Por outro lado, quando os mercados são incompletos independente da fonte dessa incompleti-tude (assimetrias de informação, custos de transação, etc.) deve-se definir com muita clareza e exatidão os mecanismos para determinar os objetivos da firma. Na realidade o objetivo da firma neste cenário (mercados incompletos) é muito problemático e tem sido assunto de muitos autores, tais como De Marzo (1988). Foi Dreze (1974) quem propôs um objetivo alternativo para a firma, sendo modificado por Grossman e Hart (1979).
As firmas podem ser classificadas usando vários critérios, dependendo do sistema econômico onde o estudo esta se referindo. Neste trabalho levaremos em conta a classificação segundo a estrutura de propriedade. Mas especificamente estaremos interessados em firmas com um só proprietário, chamado de empresário. A quantidade de firmas individuais tem crescido muito nas economias do mundo. Por exemplo, de acordo com "The Internal Revenue Service"em sua edição "Statistics of Income Bulletin"de 2009, nos Estados Unidos houveram 23.1 milhões de firmas individuais ( não agrícolas), um aumento considerável em relação a década de 90, registrado em Magil e Quinzee (1995). Por outro lado, no Brasil segundo o Sebrae, a evolução no número de empreendedores individuais (EI) é expressiva, tendo crescido 283% nos últimos doze meses.
Deve-se se salientar que firmas indivíduas financiam seus projetos tomando empréstimos em instituições como bancos, financeiras, etc. o que não ocorre em relação às corporações que são de capital aberto. As firmas individuais assim como seus donos podem não honrar seus compromissos financeiros, a quantidade de inadimplência no mercado é muito grande, ver Geanakoplos e Zame (2010) exigindo que os empréstimos tenham alguma forma de garantia.
Trabalhos com empréstimos sem garantias foram estudados por Carvalho, Divino e Orrillo (2011) no caso de empresários, Batista, Divino e Orrillo (2011) para o caso de empréstimos hipotecários e Lima, Divino e Orrillo (2000) para o caso de financiamento de consumo sem nenhuma garantia.
Neste trabalho nos concentramos exclusivamente em empréstimos que exigem garantias e construímos um modelo de equilíbrio geral com mercados incompletos para incorporar firmas que vão a bancarrota e seus proprietários a defaul. Colateral é um mecanismo que protege os credores e ao mesmo tempo proporciona utilidade ao tomador caso este seja usado por ele no caso de uma hipoteca. Mas especificamente estaremos focados com contratos financeiros colaterizados (com garantias reais ou bens duráveis).
Este trabalho tem duas contribuições, ambas teóricas, na literatura de equilíbrio geral com mercados incompletos onde os agentes (firmas e consumidores) não honram seus compromissos financeiros. O primeiro é a construção de um modelo de equilíbrio geral com mercados incomple-tos, onde os donos das firmas individuais colocam como garantia bens duráveis para empréstimos destinados ao financiamento do consumo ou de projetos de investimento produtivos. Neste mod-elo provamos a existência de equilíbrio usando como metodologia jogos generalizados usados por Arrow-Debreu (1954). A segunda contribuição é a prova do Teorema de Modigliani-Miller para o caso de uma economia empresarial onde há bancarrota. A chave é que os empresários in-corporam nos seus fatores de desconto não só a taxa marginal de substituição eles também incorporam a expectativa da taxa de bancarrota obtida pelas condições de primeira ordem do problema do empresário na forma reduzida.
1.1 LITERATURA RELACIONADA
Modigliani e Miller (1958) desenvolveram um modelo composto de duas proposições, em uma realidade hipoteticamente sem impostos. Na primeira, eles demonstraram que a escolha de uma política de financiamento feita por uma empresa não pode afetar seu valor de mercado, desde que ela mantenha sua distribuição de fluxos de caixa. Os autores também afirmavam que duas empresas similares devem ser avaliadas pelo mesmo valor, independente da forma como são financiadas. A segunda proposição afirma que o custo de capital próprio aumenta quando a alavancagem da empresa aumenta, com base nesta afirmação, o valor de mercado de uma empresa não se alterará em função de sua estrutura de capital.
Hellwig (1981) foi o primeiro a trabalhar com um modelo teórico de colateral e default em um cenário de mercado incompletos, o foco de seu trabalho estava na possibilidade de que o teorema de irrelevância dos dividendos de Modigliani-Miller (1954) continuaria sendo válido mesmo sobre a possibilidade de inadimplência. Para mostrar a equivalência, eles construíram um sistema de derivativos para completar o mercado.
Na literatura teórica sobre modelos de equilíbrio geral com mercados incompletos e pos-sibilidade de default, destacam-se os trabalhos de Dubey, Geanakoplos e Shubik (1990) eles propuseram a extensão da modelagem de equilíbrio geral com mercados incompletos para in-cluir a ocorrência de default. Em seu trabalho eles consideraram penalidades na função de utilidade, observam-se possíveis desvantagens nos modelos com esta característica, dentre elas redução na propensão a emprestar pelos credores.
Zame (1993) atribuiu ao default a elevação da eficiência econômica, pois este permite a entrada no mercado de indivíduos que possuem elevada probabilidade, mas com certo grau de incerteza de não honrar os compromissos financeiros assumidos.
Dubey, Geanakoplos e Zame (1995) propuseram um modelo de equilíbrio geral em um mer-cado financeiro incompleto com colateral, onde a venda dos ativos foi colateralizada por bens duráveis, há perda do colateral em caso de default e obrigação de amortizar a dívida ao longo do tempo. Em seu teorema, sob as hipóteses usuais na função utilidade e nas dotações iniciais, o equilíbrio com colateral e default sempre existirá independentemente da natureza dos ativos, sejam eles, reais ou nominais. Neste contexto, podemos mostrar a existência do equilíbrio para as economias com horizonte infinito, sem impor qualquer restrições adicionais, seja na forma de restrições de dívida ou na forma de condições de transversalidade.
Em caso de inadimplência, os tomadores perdem o colateral, que é repartido entre os em-prestadores. Além de perder o colateral, os tomadores inadimplentes sofrem uma penalidade diretamente em termos de utilidade, que os obriga a pagar mais do que o mínimo entre a dívida corrigida pelos juros e o colateral depreciado. Isto para o caso de empréstimos financeiros. No caso de ações, a comparação é feita entre o rendimento futuro e o colateral depreciado
Segundo Geanakoplos e Zame (2002), os agentes têm que dispor de bens duráveis como garantia quando querem tomar empréstimos nos mercados financeiros. Agentes econômicos podem ir a default em suas dívidas, mas neste caso, os colaterais associados são apreendidos e distribuídos entre os credores. Assim podemos oferecer proteção ao emprestador, exigindo que o tomador de empréstimos adquira a cesta de colateral como garantia ao portfólio de ativos vendidos, pois, no caso de não pagamento, as perdas são reduzidas pelo recebimento de tais garantias, as quais são automaticamente transferidas do tomador para o emprestador.
2 EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO COM DEFAULT,
BAN-CARROTA E COLATERAL
2.1 O MODELO
2.1.1 Tempo e Incerteza
O modelo possui dois períodos, t = 0,1. No primeiro período não existe incerteza, já no segundo período há um conjunto finito de estados da natureza, S = {1,2, ..., s}. Na economia existem L bens no estado 0 e um bem em cada estado da natureza. O sistema de preços dos
bens é p= (p0, ps)∈RL+(S+1), onde ps = (p1, . . . , ps)∈R(+LS).
2.1.2 Consumidores e Empresários
Na economia há F firmas e H consumidores. Assumimos que o número de consumidores H seja maior que o número de firmas F, isto é, F ≤ H. Cada firma f ∈ F possui um único proprietárioh∈H, tal que, a função de propriedade é dada porh:F →H, ou seja, cada firma f está associada ao seu proprietário h(f): Podemos também considerar uma função f :H →F para associar cada consumidor h a sua firmaf(h).
Cada consumidor h ∈H caracteriza-se por sua função de utilidade Uh :
RL+(S+1) →R e um
vetor de dotações iniciais wh ∈
RL++(S+1), e cada empresário f(h) ∈ F da firma F tem à sua
disposição uma variedade de projetos de investimentos os quais são resumidos no seu conjunto de produção, Yf(h).
2.1.3 A Estrutura Financeira
Assim como em Geanakoplos e Zame (2010) a estrutura financeira consiste de uma família finita de ativos colaterizados, {(Aj, C
j) :j ∈J}, onde Aj ∈RS+ será o payoff e Cj ∈RS+ o
colat-eral para protegê-lo. Temos também a função de depreciação,K, que representa a durabilidade do colateral. Segundo os autores acima, adquirir uma garantia é o único meio das promessas serem executadas, por isso, se os agentes são racionais1, o empréstimo será efetivamente pago desde que seja menor que o colateral.
No modelo, supomos que no primeiro período são transacionados J ativos no mercado fi-nanceiro, já no segundo período cada ativo é caracterizado por seu payoff Aj ∈
RS×J
+ em cada
estado s∈ S. Em geral, a aquisição de cada ativo, tanto para os consumidores quanto para os empresários terão preços diferentes, no entanto, por simplicidade, vamos assumir que são iguais e vamos denotar por π ∈RJ
+ os preços dos ativos negociados.
Qualquer indivíduo, seja ele empresário ou consumidor, que pretenda vender2 um título, terá que segurá-lo através de Cj, no período 0, e caso a dívida não seja paga, em t=1, o colateral
será confiscado.
2.1.4 O Problema do Indivíduo
Decisões
Tendo em conta os preços dos bens p e os preços dos ativos π, o consumidor h, no primeiro período, escolhe um plano de consumo xh ∈ RL(S+1)
+ , um vetor de compra, θh ∈ RJ+, e venda,
ϕh ∈RJ
+. No segundo período ele recebe os retornos do investimento e paga a dívida adquirida.
O investimento/pagamento dos ativos colaterizados no segundo período será representado por
Dj
s = min{psAjs, psK(Cj)}
Já o empresário f(h) da firma f escolhe um plano de produção yf(h) ∈ Yf(h) ⊂ RL(S+1),
onde cada plano yf(h) = (yf(h) 0 , y
f(h)
s ) ∈ −R+L×RLS+ consiste de um investimento inicial y0,
pago no primeiro período, e de uma produçãoys obtida no segundo período de acordo com cada
estado da natureza. Ao mesmo tempo, ele usa o mercado financeiro para emprestar (vender títulos), contendo responsabilidade ilimitada por qualquer dívida contraída por sua firma f. Vamos denotar por φf(h) ∈ RJ
+ o plano de financiamento do empresário para financiar a sua
produçãoy0f(h). Entretanto, o pagamento para cada portfólioφ, no segundo período, é um vetor ds(φ, ys) = min{psAsφ, psys+psK(Cj)φ}
Restrições Orçamentárias
Dados (π, p), cada agente h ∈ H escolhe (xh, θh, ϕh),(yf(h), φf(h))) ∈ RL(S+1)
+ ×Yf(h) ×RJ+×
RJ
+×RJ+ =:Rk,sujeito as seguintes restrições:
p0xh0 +πθh−p0y
f(h)
0 +p0C(ϕ+φf(h))≤p0ωh0 +π(ϕ+φf(h)) (1)
psxhs +Dsϕh+ds(φf(h), yfs(h))≤psωsh+Dsθh+psKs(C)(ϕh+φ) +psysf(h), s∈S (2)
Reescrevendo (1) e (2) temos
p0(x0+C(ϕ+φ)−y0−ω0h) +π(θ−(ϕ+φ))≤0 (1
′
)
ps(xhs −ω h
s)≤Rs(θh, ϕh) +Ts(yf−(oh), φ
f(h)), s∈S. (2′
)
com
Rs(θh, ϕh) = Dsθh+ [psKs(C)−psAs]+ϕh
e
Ts(y f(h)
−o , φf(h)) = [psysf(h)+psKs(C)φf(h)−psAsφf(h)]+
Observação 1. A restrição (1) refere-se ao primeiro período e estabelece que o consumo, o
investimento em títulos, o investimento produtivo e a aquisição do colateral (dos indivíduos e dos empresários), são financiados pela dotação inicial e pelos empréstimos (contraídos como consumidor e empresário).
Já a restrição (2) define que, em cada estado da natureza no segundo período, o consumo, pagamento de empréstimo (contraídos como consumidor e empresário), são financiados pela dotação, retornos financeiros de investimentos (como consumidor e empresário), o valor do co-lateral depreciado (do consumidor e do empresário), e pela produção.
O conjunto orçamentário para o indivíduo h∈H é definido
Bh(π, p) = {[(xh, θh, ϕh),(yf(h), φf(h))]∈Rk
+ : (1), (2) são satisfeitos}
O problema do consumidor h
Vamos definir vh(ξh, ψf(h))como uh(xh
0 +Cϕh, xhs). O problema do consumidorh é
max
(ξh,ψf(h))∈Bh(π,p)v
h(ξh, ψf(h)).
2.1.5 Definição de Equilíbrio
Definição 1. Uma alocação [(xh, θh, ϕh); (yf(h), φf(h))]
h∈H ∈ (R L(S+1)
+ ×RJ+×RJ+×R
L(S+1) + ×
RJ
+)H junto com um sistema de preços (π, p)∈ R
L(S+1)
+ ×RJ+ é um equilíbrio para a economia
empresarial com colateral, default e bancarrota se as seguintes condições são válidas:
1. As escolhas são ótimas. Isto é, para cada h∈H
zh := [(xh, θh, ϕh),(yh(f), φh(f))] maximiza vh(xh, θh, ϕ, yf(h), φf(h))
em Bh(π, p)
2. Mercados são Equilibrados:
X
H
xh0 +C(ϕ+φf(h))−ωh0 −y
f(h) 0
= 0
X
H
xhs −ω h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−yfs(h)
= 0, s∈S.
X
H
θh =X
h∈H
ϕh+φf(h)
.
Observação 2. O item 1 afirma que os agentes maximizam suas funções de utilidade em seus
conjuntos orçamentários e o item 2 que os mercados são equilibrados, ou seja, oferta igual a demanda.
Definição 2. Uma economia empresarial com default, bancarrota e colateral é definida por um
vetor
E = [(Uh, wh)
h∈H; (Yf)f∈F; (A, C), K]
que consiste em H agentes representados por sua função de utilidade e dotação inicial,F firmas representadas por sua tecnologia e uma estrutura financeira que consiste em uma matriz de payoffs, colateral e a durabilidade K.
2.2 EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO
Para provarmos a existência de equilíbrio, suponha os seguintes pressupostos:
H1 As dotações iniciais ωh ∈RL(S+1)
++ ;
H2 ∀h∈H, uh :RL
+×RLS+ →R é côncava, contínua e estritamente crescente;
H3 ∀v ∈RS++1, o conjunto(v+
P
h∈HY
f(h))∩RL(S+1)
H4 Cj ∈RL+\ {0}
As hipóteses 1 e 2 são padrões nos modelos de equilíbrio geral incompleto. Já H3 diz que a possibilidade de produção de toda a economia é limitada.
Teorema 1. (Existência)
Sob H1-H4, Toda Economia Empresarial E com Colateral tem um equilíbrio.
Provaremos esse teorema, analisando as propriedades assintóticas da sequência de economias truncadas, assim supomos que os portfólios e os consumos tendem para o infinito.
2.2.1 Demonstração da Existência do Equilíbrio
A fim de mostrar a existência de equilíbrio, usamos a seguinte metodologia: Truncaremos a economia E em relação às variáveis de escolha. Nós, então, definiremos a economia abstrata composta por H+ 1 +S indíviduos adicionais.
Economia truncada
Iremos truncar os conjuntos de escolha dos indivíduos. Para isso, vamos definir, para cada n∈ Z+inteiros positivos, dois conjuntos: Tn = [0, n]L(S+1)×[0, n]J×[0, n]JeKn= [−n, n]L(S+1)∩Yf(h)
×
[0, n]J ×[0, n]J. O primeiro é o conjunto de escolhas do indivíduo como consumidor ξh, e o
se-gundo como empresário ψf(h).
Nós consideramos uma sequência de economias {En}
n∈Z+, onde o conjunto orçamentário de cada indivíduo h∈H é
Bnh(π, p) = {(ξ h
, ψf(h))∈Tn×Kn: (1) e (2) }
Devido à homogeneidade do conjunto orçamentário definido, vamos supor que
(p0, π)∈ △L+J−1 e ps ∈ △L
−1, s∈S.
2.2.2 Economia Abstrata
Para cada n ∈ Z+, definimos a economia abstrata, Gn, possuindo H consumidores e 1 +S
indivíduos adicionais (leiloeiros), como segue abaixo:
1. Cada agente h∈H maximizavh
2. O leiloeiro do primeiro período escolhe (p0, π)∈ △L+J−1, a fim de maximizar p0 X H xh
0 −y
f(h)
0 +C(ϕ+φf(h))−ω0h
+πX
H
θh−(ϕ+φf(h))
3. O leiloeiro do estado s, no segundo período escolheps ∈ △L−1, a fim de maximizar
ps
X
H
xhs −ω h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−ysf(h)
Lema 1. A Economia Abstrata tem um equilíbrio em estratégias puras.
Demonstração:
A demonstração do Lema segue a metodologia utilizada por Arrow-Debreu (1952).
Em seguida definimos um equilíbrio free-disposal para a economia truncado En. Vamos omitir
todos os sub-índices n nas variáveis envolvidas, apenas nesta seção, a fim evitar o excesso de notação.
Definição 3. Um equilíbrio free-disposal para a economia En consiste de uma alocação
[(xh, θh, ϕh),(yf(h), φf(h))]
h∈H ∈ (Tn × Kn)H e um sistema de preço [(p0, π), ps] ∈ △J++L−1 ×
(△L−1
+ )S tal que:
1. As escolhas são ótimas. Isto é, para cada h∈H
zh := [(xh, θh, ϕh),(yh(f), φh(f))] maximiza vh(xh, θh, ϕ, yf(h), φf(h))
em Bh n(π, p)
Mercados equilibrados
X
H
xh
0 +C(ϕ+φf(h))−ωh0 −y
f(h) 0 = 0 X H xh s −ω
h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−yfs(h)
≤0, s ∈S.
X
H
θh =X
h∈H
ϕh+φf(h)
.
Lema 2. Um equilíbrio da Economia Abstrata Gn é um equilíbrio free-disposal para a economia
Demonstração: Seja (ξh, ψf(h))∈ T
n×Kn,(p0, π) ∈ △+L+J−1, p−o ∈ △L+−1 um equilíbrio em
estratégias puras paraGn.Pela definição de equilíbrio,(ξh, ψf(h))∈Bnh(p, π)e, portanto, satisfaz
as restrições orçamentárias (1) e (2) acima (ou seu equivalente (1’) e (2’)) com igualdade. Somando as restrições orçamentárias do primeiro e do segundo período, respectivamente, temos:
p0
X
H
(xh
0 +C(ϕ+φf(h))−y
f(h)
0 −ω0h) +π
X
H
[θh−(ϕh+φf(h))] = 0 (7)
ps
X
H
(xhs −ω h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−yfs(h)) =
X
H
Dsθh−Dsϕh−min{psysf(h)+psKs(C)φf(h), psAsφf(h)}
, s∈S. (8)
Agora, a condição de otimalidade do problema dos leiloeiros, em Gn, implica que
X
H
(xh0 +C(ϕ+φf(h))−yf0(h)−ωh0)≤0 (9)
X
H
[θh−(ϕh+φf(h))]≤0 (10)
X
H
xhs −ω h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−yfs(h)
≤0, s ∈S. (11)
Para n suficientemente grande, temos que p0 >> 0. Caso contrário, todos os consumidores
escolheriamxh
ol =n,para alguml ∈L, contrariado a igualdade (9). Mas quandop0 >>0temos
X
H
(xh
0 +C(ϕ+φf(h))−y
f(h)
0 −ωh0) = 0 (14)
O termoC(ϕ+φf(h))é limitada da equação acima, logoK
s(C)(ϕ+φf(h))também será. Isso
decorre de H3 e (9).
Similarmente, πj > 0,∀j ∈ J. Cado contrário, cada indivíduo escolheria θjh = n
con-tradizendo a igualdade (10) devido à existência de limites inferiores uniformes sobre vendas a descoberto dos empresários e consumidores. Mas se πj > 0,∀j ∈ J, teremos que a equação
(10) segue com igualdade. Isto é,
X
H
[θh−(ϕh+φf(h))] = 0 (15)
O lado direito da equação (8) é sempre menor ou igual a zero. Ou seja:
Ds
X
h∈H
(θh−ϕh)−X
h∈H
min{psysf(h)+psKs(C)φf(h), psAsφf(h)} ≤0
X
h∈H
Dsφf(h)−min{psysf(h)+psKs(C)φf(h), psAsφf(h)}
Como Dj
s é sempre menor ou igual a psAjs e psKs(Cj) simultaneamente, pela definição de Dsj,
temos que cada termo da expressão acima será menor que zero, independente se a empresa vai à bancarrota, ou não, e, portanto a equação (8) torna-se
ps
X
H
(xhs −ω h
s −Ks(C)(ϕ+φf(h))−yfs(h))≤0 (16)
Para n suficientemente grande, temos que ps >> 0. Caso contrário, todos os consumidores
escolheriam xh
sl=n, para algum l∈L, e assim teríamos uma contradição, pela equação (11).
A partir do fato de que o indivíduoHmaximiza sua função de utilidade em seu conjunto orça-mentário truncado e das equações (11), (14), e (15) segue-se que(ξh, ψf(h))∈T
n×Kn,(p0, π)∈
△L+J−1
+ , p−o ∈ △L
−1
+ é um equilíbrio free disposalda economia truncado En.
2.3
EQUILÍBRIO ASSINTÓTICO TRUNCADO
Seja {(ξh n, ψ
f(h)
n ) ∈ (Tn ×Kn),(pn0, πn) ∈ △J+J
−1
+ , pn−o ∈ (△ L−1
+ )S}n∈Z+ uma seqüência de equilíbriofree disposal correspondente aEn.Portanto, para cada n ∈Z
+,todas as condições da
definição 2.3 são satisfeitas.
Afirmação A: A seqüência {(ξh
n, ψf(h))}n∈Z+ é uniformemente limitada.
Demonstração: Pela equação (9) temos que
0≤X
H
(xh
on+C(ϕ h n+φ
f(h)
n )≤
X
H
(yf(h)
on +ω h
0) (17)
A hipótese H3 afirma que existe uma constante K0 ∈ RL++ independente de n de modo que o
lado direito da equação (17) é menor do que (como vector) K0. Assim
xhon≤K0 and φfn(h), ϕ h nj ≤
Kol
Cjl
,∀j ∈J. (19)
Por H3 e pela equação (17) também temos que -P
Hω h
0 ≤
R
Hy f(h)
0 ≤K0−PHω h
0 e, portanto,
P
Hω h
0 −K0 ≤PH −y f(h) 0 ≤
P
Hω h
0.Como −y
f(h)
0 ∈RL+,segue-se que
0≤ −yfon(h) ≤
X
H
−yonf(h) ≤
X
H
Como P
H ω h s +y
f(h)
s ≥0, segue-se, a partir de H3, que existe uma constante K ∈RLS++
independente de n tais que 0≤P
h∈H(y f(h)
s +ωsh)≤Ks∈RL++ o que implicando em
0≤ysnf(h)≤
X
H
yfsn(h) ≤Ks∈RL++. (21)
Por outro lado, a partir da equação (15) temos que
X
H
xhn ≤
X
H
ωsh+y f(h)
ns
+X
H
Ks(C)ϕhn
Assim,
xhns ≤Ks+β (22)
onde a constante β dependem do limite da desigualdade da equação (19) e do vector Ks(C).
Ambos independentes de n∈Z+.
Finalmente, usando a segunda parte da equação (19) e a equação (15) temos que θh n é
uniformemente limitado desde φfn(h) eϕhnj também sejam.
Como a seqüência da Afirmação A é uniformemente limitada, então existe uma subseqüência convergente, digamos
zh = ξh, ψf(h)
= xh, θh, ϕh, yf(h)
0 , y
f(h)
−o , ϑf(h), φf(h)
. Sem perda de generalidade, vamos de-notar que esta subsequência seja a sequência original. A sequência de preços também converge (passando para uma subsequência, se necessário) para (p, π)∈ △J+J−1
+ , pn−o ∈(△L
−1 + )S
Afirmação B: [(zh)
h∈H,(p, π)] é um equilíbrio paraE.
Demonstração: Provaremos esta afirmação em dois passos.
Passo 1: zh = xh, θh, ϕh, yf(h), φf(h)
maximizavh ξh, ψf(h)
dado os preçosqn = ((pon, πn), p−on)∈
△J+L−1
+ ×(△L
−1 + )S
zh é o orçamento factível dos preços (p
0, π, p−o) = limn→∞(pon, πn, p−on)(passando a uma
sub-sequência se necessário). Ao aplicar a semi continuidade inferior no conjunto orçamentário definido por Bh(p, π), mostramos que zh = xh, θh, ϕh, yf(h), φf(h)
maximiza vh ξh, ψf(h)
nos preços qn. De fato, suponha que não maximize, isto é, ∃zh ∈ Bh(p, π) tal que vh(zh)> vh(zh).
Então pelo Lema (0.3) no apêndice ∃zh
n ∈ Bh(pn, πn) zhn → zh. Agora, por n ≥ n0 temos que
zh
n∈Bnh(pn, πn). Comovh é contínuo, segue-se que
vh(zh n)> v
h(zh
n),∀n ≥n1
Portanto, para n ≥ max{n0, n1} znh não é máximo na economia truncada En, o que é uma
3 O TEOREMA DE MODIGLIANI-MILLER EM UMA
FIRMA EMPRESARIAL
3.1 INTRODUÇÃO
O artigo de Modigliani e Miller (1958) é conhecido como o marco inicial da moderna teoria de finanças. Eles defendem que a estrutura de capital da firma, seja por dívida ou capital próprio, não altera seu valor. Para desenvolvê-lo, eles estabeleceram um conjunto de pressupostos, entre os quais estavam a simetria de informações, a ausência de impostos, de custos de falência de custos de transação, e e capacidade ilimitada de financiamento para consumidores e firmas.
Eles demonstraram que a escolha de uma política de financiamento feita por uma empresa não pode afetar seu valor de mercado, desde que o fluxo de caixa futuro não seja alterado. Segundo os autores, mesmo que o capital de terceiros seja teoricamente mais barato, ao ser incorporado no financiamento da organização, existe uma contrapartida com o aumento da taxa de desconto do capital próprio, frente ao maior risco da alavancagem financeira.
Neste trabalho, apesar do mercado ser incompleto e haver possibilidade de default, ban-carrota e colateral, observa-se que a estrutura de capitais não foi preponderante para indicar diferença nas escolhas ótimas, o que corrobora a Teoria da Irrelevância de Modigliani e Miller.
3.2 ECONOMIA EMPRESARIAL COM COLATERAL,
BANCAR-ROTA E DEFAULT
Consideremos as mesmas características e propriedades do modelo descritas no capítulo 2, sendo o preço de equilíbrio, p∈R(+S+1), fixo. Como pé fixo, vamos suprimí-lo.
Sem perda de generalidade assumimos que x ∈ R(+S+1) e y ∈ R(+S+1) são os valores do consumo e produção, como y também representa os projetos disponíveis para o empresário, então ele satisfaz as premissas Ie I′, descritas a seguir.
Premissa I: A tecnologiaYf(h) tem as seguintes propriedades:
(1) Yf(h)∈R(S+1) é fechado;
(2) Yf(h) é convexo;
(3) Yf(h)⊃R(S+1)
−
(4) Yf(h)∩R(S+1)
(5) (wh+PH
h=1Y
f(h))∩RS+1
+ é compacto para todo wh ∈R (S+1) + .
A primeira premissa afirma que a fronteira de Y pertence a Y, a segunda implica que a tecnologia de produção possui retornos decrescentes ou constantes de escala, já a terceira nos diz que a produção éfree disposal, sob a qual um montante extra de insumos (ou produtos) pode ser disponibilizado ou eliminado sem custo, a quarta refere-se a possibilidade de no free lunch, ou seja, não é factível produzir algum produto com uma quantidade zero de insumos e a última premissa revela que existe uma fronteira delimitando as possibilidades de produção da economia.
PremissaI′: Todo conjunto de produção
Yf(h) é representado pela função de transformação
Tf(h) :RS+1 →R
Yf(h) ={y∈RS+1/Tf(y)≤0}
Onde Tf(h)(·)é não-decrescente, quase-convexa e diferenciável, e Tf(h)(0) = 0.
Dada as premissas acima, o problema do empresário será escolher ((x, θ, ϕ),(y, φ)), a fim de maximizar uh(x
0+c0ϕ, xs)sujeito as restrições
x0+πθ+c0(ϕ+φ)−y0 ≤w0+π(ϕ+φ) (1)
xs ≤ws+Dsθ−Dsϕ+cs(ϕ+φ)−ds(φ, ys) +ys (2)
T(y0, ys)≤0 (3)
Reescrevendo as equações (1) e (2) acima, temos que:
csϕ−Dsϕ =csϕ−min{rs, cs}ϕ=
(cs−rs)ϕ, se rs ≤cs
0, se rs> cs
= max{cs−rs,0}ϕ= [cs−rs]+ϕ
e
ys−ds(φ, ys) =
ys−min{rsφ, ys+csφ}=
ys+csφ−rsφ, se rsφ≤ys+csφ
= max{ys+csφ−rsφ,0}= [ys+csφ−rsφ]+
Assim, as equações (1) e (2) serão:
x0+πθ+c0(ϕ+φ)−y0 ≤w0+π(ϕ+φ)
xs≤ws+Dsθ+ [cs−rs]+ϕ+ [ys+csφ−rsφ]+
T(y0, ys)≤0
Portanto podemos definir o equilíbrio na forma reduzida da seguinte forma:
Definição 4. Uma alocação [(xh, θh, ϕh); (yf(h), φf(h))]∈∈RL(S+1)
+ ×RJ+×RJ+×R
L(S+1) + ×R+J
é de equilíbrio reduzido se as seguintes condições são válidas:
1. As escolhas são ótimas. Isto é, para cada h∈H zh := [(xh, θh, ϕh),(yh(f), φh(f))]
maximiza vh(xh, θh, ϕ, yf(h), φf(h)) em Bh(π, p)
2. Mercados Equilibrados:
P
H
xh
0 +C(ϕ+φf(h))−ωh0 −y
f(h) 0 = 0 P H xh
s −ωhs −Cs(ϕ+φf(h))−y f(h)
s
= 0, s ∈S.
P
Hθh =
P
h∈H ϕh+φf(h)
.
Assim, o Lagrangeano para o problema do indivíduo é:
L(xh, yf(h), θh, ϕh, φf(h), αh, µf(h)) =uh(x
0+c0ϕ, xs)−αh0(x0+πθ+c0ϕ−y0 −w0−π(ϕ+
φ))−PS
s=1α
h
s(xs−ws−Dsθ−[cs−rs]+ϕ−[ys+csφ−rsφ]+)−µf(h)Tf(h)(y0, ys)
As condições de Kuhn-Tucker, são necessárias, devido ao conjunto da restrição orçamentária ser convexo, e suficientes, devido à função de utilidade ser concava, para o problema do indi-víduo ter solução, ou seja, existem multiplicadores αh ∈ R1+S
+ e µf(h) e supergradiente (g
f(h)
s ),
um para cada estado, de pagamentos, com gsf(h) ∈ [0,1] se sofreu bancarrota e gfs(h) = 1 caso
contrário.
valem com igualdade. Assim temos:
1) Condições de primeira ordem para xh
0
∂L(·)
∂x0 = 0
∂u(x0,xs)
∂x0 =α
h
0
2) Condições de primeira ordem para xh s ∂L(·)
∂xs = 0
∂u(x0,xs)
∂xs =α
h s
Portanto:
∇u(x0, xs) = αh (I)
3) Condições de primeira ordem para ϕj ∂L(·)
∂ϕj = 0
c0j∂u(∂xx00,xs) −αh0c0j+αh0πj +PSs=1αsh[csj −rsj]+ = 0
αh
0c0j +
PS
s=1αhs[csj−rsj]+ =αh0(c0j −πj)
Portanto:
c0j+ S X s=1 αh s αh 0
[csj −rsj]+ = (c0j −πj) (II)
4) Condições de primeira ordem para θj ∂L(·)
∂θj = 0 −αh
0πj +PSs=1αhsDsj = 0
Portanto:
πj = S X s=1 αh s αh 0
Dsj (III)
5) Condições de primeira ordem para y0
∂L(·)
∂y0 = 0 αh
0 −µf(h)
∂Tf(h)(y)
∂y0 = 0 αh
0 =µf(h)
∂Tf(h)(y)
∂y0
6) Condições de primeira ordem para ys ∂L(·)
∂ys = 0 αh
sg f(h)
s −µf(h)∂T
f(h)(y)
∂ys = 0 αh
sg f(h)
s =µf(h)∂T
f(h)(y)
∂ys com g
f(h)
s = 1 seys+csφ > rsφ e g f(h)
Defina ρh ∈Rs+1
+ tal que ρh = (α0, α1hg
f(h)
1 , ..., αhsg f(h)
s ).
Portanto:
ρh =µf(h)∇Tf(h)(y) (IV)
Onde ρh =αh sey
s+csφ > rsφ e ρh 6=αh caso contrário.
7) Condições de primeira ordem para φj ∂L(·)
∂φj = 0 −αh
0(c0j −πj) +
PS
s=1αhsg f(h)
s (csj −rjs) = 0 S X s=1 αh s αh 0
gf(h)
s (csj−rjs) = (c0j −πj) (V)
Onde ρh =αh sey
s+csφ > rsφ e ρh 6=αh caso contrário.
3.3 MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO
Observam que este conceito de equilíbrio empresarial na forma reduzida não distingue ex-plicitamente o papel do agente como empresário e como consumidor, porém, mostram que esta distinção pode ser feita reescrevendo o problema do agente como maximização de lucro.
Se quisermos separar as atividades dos indivíduos, devemos encontrar uma maneira de de-scontar as receitas futuras, a fim de maximizar os lucros.
3.3.1 Fator de desconto e maximização de lucro
Nesta secão definiremos a taxa de desconto, para isso defina Defina βh = 1
αh 0ρ
h ∈ Rs+1 + tal
que βh = ρh
αh 0 = (1,
αh 1
α0g
f(h) 1 , ...,
αh s
α0g
f(h)
s ).
Assim de (IV), temos que:
βh = µf(h)
αh
0
∇Tf(h)(y) (IV′)
Logo, dado o vetor βh definido acima, a firma f irá escolher um plano de produçãoy∈RS+1, a
como o valor presente das receitas futuras menos o custo de produção,
X
s∈S
βh
sys+y0
e a restrição tecnológica é dada por
T(y0, ys)≤0
Em seguida, vamos definir o equilíbrio do indivíduo e do empreendedor que maximiza os lucros
Definição 5. O vetor [π; (xh, θh, ϕh); (yf(h), , φf(h))]
h∈H é dito um equilíbrio de maximização de
lucro se
1. Para cada h, (xh, θh, ϕh) maximiza
uh(x0+c0ϕ, xs)
sujeito ao seguinte conjunto orçamentárioBh(π, φf(h), yf(h))o qual é definido pelas mesmas
restrições que defineBh(π), onde tomaremos como dadoφf(h)eyf(h)para cada consumidor
h;
2. para cada f(h), (yf(h), φf(h)) maximiza
(π−c0)φ+y0
sujeito a
T(y)≤0
e
(rs−cs)φ =ys, s∈S.
3. Mercados em equilíbrio,
X
h
θh =X
h
(ϕh+φf(h)).
Observação 3. Usando o item (V) da maximização acima, escolha ótima, e o fato de que o retorno da carteiraφ é sempre positivo, temos que o item 2 da definição acima pode ser reescrita como
(π−c0)φ+y0 =
S
X
s=1
αh s
αh
0
gsf(h)(rs−cs)φ+y0 =
S
X
s=1
Portanto o problema será maximizar:
S
X
s=1
βshys+y0
Sujeito a
T(y0, ys) = 0
3.3.2 Separação entre Consumidores e Empreendedores
Na literatura econômica o equilíbrio na forma reduzida com produção e sem default ou ban-carrota é equivalente ao equilíbrio de maximização de lucro das empresas. Mais precisamente, temos o seguinte resultado.
Teorema 2. O Equilíbrio Empresarial na Forma Reduzida é equivalente ao Equilíbrio
Empre-sarial de Maximização de Lucro.
Para provarmos o Teorema, vamos resolver o problema de maximização de lucro e comparar os resultados obtidos com o problema anterior.
Demonstração:
No Problema de maximização de lucro, resolveremos primeiro o problema do consumidor e de-pois o problema do empreendedor.
Temos que cada consumidor, h, escolhe (xh, θh, ϕh) a fim de maximizar
uh(x0+c0ϕ, xs)
sujeito à
x0+πθ+c0ϕ =w0+πϕ
xs =ws+Dsθ−Dsϕ+csϕ
Pelos mesmos motivos do problema anterior supomos que as soluções são interiores e as condições de Kuhn-Tucker são necessárias e suficientes para o problema do indivíduo ter solução, ou seja, existem multiplicadoresηh ∈R1+S
+ tais que
L(xh, θh, ϕh, ηh) = uh(x
i) Condições de primeira ordem para xh
0
∂L(·)
∂x0 = 0
∂u(x0,xs)
∂x0 =η
h
0
ii) Condições de primeira ordem para xh s ∂L(·)
∂xs = 0
∂u(x0,xs)
∂xs =η
h
s Portanto:
∇u(x0, xs) = ηh (I′)
iii) Condições de primeira ordem para ϕj ∂L(·)
∂ϕj = 0 c0j
∂u(x0,xs)
∂x0 −η
h
0c0j+ηh0πj +
PS
s=1η
h
s[csj −rsj]+ = 0
ηh
0c0j +PSs=1ηhs[csj−rsj]+ =η0h(c0j−πj)
c0j+ S X s=1 ηh s ηh 0
[csj −rsj]+ = (c0j −πj) (II′)
iv) Condições de primeira ordem para θj ∂L(·)
∂θj = 0 −ηh
0πj +PSs=1ηhsDsj = 0
πj = S X s=1 ηh s ηh 0 Dj
s (III
′
)
Assimindo solução interior, temos que as condições (I),(II) e (III) do problema na forma
reduzida são equivalentes às condições(I′
),(II′
)e(III′
), respectivamente, do problema de
max-imização de lucro.
Em relação ao empresário, temos que ele escolhe (yf(h), φf(h)) a fim de maximizar
S
X
s=1
βshys+y0
Sujeito a
T(y0, ys) = 0
R+1+S tais que
L(yf0(h), φf(h), yf(h)
s , λf(h)) = PSs=1βshys+y0−λf(h)(T(y0, ys))
1) Condições de primeira ordem para y0
∂L(·)
∂y0 = 0
1−λf(h)∂Tf(h)(y 0,ys)
∂y0 = 0
1 =λf(h)∂Tf(h)(y 0,ys)
∂y0
2) Condições de primeira ordem para ys ∂L(·)
∂ys = 0 βh
s −λf(h)
∂Tf(h)(y0,ys)
∂ys = 0 βh
s =λf(h)
∂Tf(h)(y 0,ys)
∂ys Portanto:
βh =λf(h)∇Tf(h)(y0, ys) (IV∗)
Assim, temos que a equação (IV′) do problema anterior, forma reduzida, é equivalente a
equação (IV∗
) do problema atual.
Portanto o Equilíbrio na Forma Reduzida é equivalente ao Equilíbrio na Maximização de Lucro.
3.4 EQUILÍBRIO EMPRESARIAL NA FORMA ESTENDIDA
A fim de definir este equilíbrio vamos distinguir entre as contas financeiras da firma e as contas financeiras dos consumidores.
3.4.1 Contas Financeiras da Empresa
O empresário da firma F escolhe o plano de produção yf(h) ∈ Yf(h), o plano de portfólio
ψf(h) ∈ RJ e a política de dividendos ∆f(h) = (∆f(h) 0 ,∆
f(h) 1 , ...,∆
f(h)
s ), onde ∆f(h) são os fluxos
de dividendos da transferência de empresa para o empreendedor. Assim:
e
∆f s =y
f
s +csψf −ds(ysf, ψ
f), s∈S.
Definimos o pagamento, não-linear, da carteira φ como sendo:
Wf(y, ψ) = −(c0 −π)ψf, csψf −ds(ysf, ψ f
)
Podemos escrever então as contas financeiras da empresa como:
∆f =y+W
f(yf, ψf) (4)
A equação (6) nos diz que o plano de políticas de dividendo da empresa financeira será equiva-lente ao seu plano de produção.
Referimo-nos a φ como a política financeira da empresa, pois dado um plano de produção, os fluxos de dividendos serão determinados assim que o plano de portfólio é escolhido. Note-se que no caso de bancarrota o ganho é sempre endógeno, ou seja, depende da produção da empresa.
Supondo que não há bancarrota e dado o plano de produção yf(h), e um plano de
portfólio-dividendos(ψf(h),∆f(h))a conta financeira da firma será:
∆f(h) =yf(h)+W
Fψ ⇔
∆f0(h)=y0−(c0−π)ψ
∆fs(h)=ys+ (cs−rs)ψ s= 1,2, ..., S
Onde WF =
−(c0−π)
cs−rs
(1+S)×J
3.4.2 Contas Financeiras do Consumidor
Agora vamos descrever a conta financeira do indivíduo como consumidor. Para o consum-idor, o indivíduo h recebe o fluxo de dividendos ∆f(h) gerado pela firma. Assim a renda do
indivíduo será dada por (∆f0(h)+wh
0,∆
f(h)
s +whs).
O indivíduo escolhe um plano de consumo xh ∈ Rs+1
+ e o plano de portfólio (a, b) ∈ RJ ×RJ
que equilibra suas contas financeiras como consumidor
xh =ωh+ ∆f +Wc(a, b) (6)
Onde Wc :RJ+×RJ+ →RS+1 é uma transformação linear representada pela matriz
Wc =
−π −(c0−π)
ds +(cs−ds)
Assim, conjunto orçamentário do consumidor h será
Bh(π,∆) ={(x, a, b) :xh =ωh+ ∆f +W
c(a, b)}
Definição 6. O vetor[π; (xh, ah, bh),(yf(h), ψf(h))
h∈H]é dito um equilíbrio empresarial na forma
estendida se
1. Para todo h, (xh, ah, bh) resolve o seguinte problema:
max
(xh,ah,bh)∈Bh(π,∆f)u
h
(xo+Cob, xs)
Com ∆f definido acima.
2. (yf(h), ψf(h)) Maximiza
S
X
s=0
βh∆f s
Sujeito à
∆f =yf +W
f(yf, ψf)
Tf(y)≤0
3. Mercados equilibrados,
X
h
ah−bh =X
h
ψf(h).
Observação 4. O item 2 é equivalente à
maxX
s∈S
βshy f s
Sujeito à
Tf(y)≤0 Teorema 3. (Modigliani-Miller)
1. Se
(xh, θh, ϕh, yf(h), φf(h)), π
é um equilíbrio empresarial na forma reduzida, então
[(xh, ah, bh),(yf(h), ψf(h))
h∈H, π]é um equilíbrio empresarial na forma estendida, para todo
[(ah, bh), ψf(h)]
h∈H satisfazendo
2. Se [(xh, ah, bh),(yf(h), ψf(h))
h∈H, π] é um equilíbrio empresarial na forma estendida,
en-tão
(xh, θh, ϕh, yf(h), φf(h)), π
é um equilíbrio empresarial na forma reduzida, para todo
[(θh, ϕh), φf(h)]
h∈H satisfazendo
θh−ϕh−φf(h) =ah−bh−ψf(h)
Demonstração:
1. Por hipótese (xh, θh, ϕh) satisfaz (I),(II) e (III); E (yf, φh) satisfaz (IV) e (V). Mas,
pela observação 3.2, o item 2 da definição é equivalente a yf satisfazer (IV∗
) para todo
φ satisfazendo yh
s = (rs−cs)φ. Isto significa que yf maximiza βhyf sujeito à Tf(y) ≤0.
Então existe ψh tal que (yf, ψf) maximiza S
X
s=0
βh∆f s
sujeito à
∆f =yf +W
f(yf, ψf)
Tf(y)≤0
Para todo (ah, bh)satisfazendo ah−bh =ψf, h= 1, . . . , H temos que
X
h
(ah−bh) = X
h
ψf(h).
Por outro lado, para cada h∈ H,o vetor (xh, ah, bh) maximizauh(x
0 +C0b, xs) sujeito à
xh =ωh+ ∆f +W c(a, b)
Suponhamos solução interior e como as condições de Kuhn-Tucker, são necessárias e su-ficientes para o problema do empresário ter solução, ou seja, existem multiplicadores δh ∈R1+S
+ tais que
L(x, θ, ϕ) =U(x0+C0b, xs)−δ0(x0−w0−∆0−(−πa−(c0−π)b)−Psδs(xs−ws−∆s+
dsa+ (cs−ds)b)
i) Condições de primeira ordem para x0
∂L(·)
∂x0 = 0
∂u(x0,xs)
ii) Condições de primeira ordem para xs ∂L(·)
∂xs = 0
∂u(x0,xs)
∂xs =δs
∇u(x0, xs) =δh (I′′)
iii) Condições de primeira ordem para bj ∂L(·)
∂bj = 0 c0j
∂u(x0,xs)
∂x0 −δ0c0j +δ0πj +
PS
s=1δs[csj −rsj]+ = 0
c0j + S
X
s=1
δh s
δh
0
[csj−rsj]
+ = (c
0j −πj) (II′′)
iv) Condições de primeira ordem para aj ∂L(·)
∂aj = 0 −δ0πj+
PS
s=1δsDjs = 0
πj = S
X
s=1
δs
δ0
Dsj (III
′′
)
Temos que as condições (I′
),(II′
) e (III′
) do problema de maximização de lucro são
equivalentes às condições (I′′
),(II′′
) e (III′′
), respectivamente, do problema na forma extendida.
2. O item 2 é provado de forma análoga.
4 CONCLUSÕES
Este trabalho teve por objetivo geral estender o modelo de equilíbrio geral com mercados in-completos, colateral, default e bancarrota para permitir que agentes sejam empresários, partindo de modelagens teóricas anteriores de Magill e Quinzii (1996) e de Dubey, Geanakoplos e Zame (2010).
Hoje em dia a utilização de colateral nos consumidores é frequente, mas seus efeitos têm recebido pouca atenção em relação às firmas, segundo o SEBRAE, a evolução no número de empreendedores individuais (EI) no Brasil é expressiva, mas a maioria dos empreendedores não buscam empréstimos e dos que buscam 57% não tem êxito em sua empreitada. Se os mercados de ativos fossem colaterizados, talvez este número de empréstimo pudesse aumentar, o que pos-sibilitaria um maior financiamento produtivo e consequentemente um maior desenvolvimento econômico.
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