*
FUNDAÇÃO
GETÚLIO
VARGAS
RISCO DE CREDITO E SPREAD' NUM MODELO DE
EQUILÍBRIO
GERAL
COM
MERCADOS
INCOMPLETOS
E POSSIBILIDADE
DE
INADIMPLÊNCIA
DISSERTAÇÃO
SUBMETIDA
À
CONGREGAÇÃO
DA
ESCOLA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ECONOMIA
(EPGE)
PARA
OBTENÇÃO
DO
GRAU
DE
MESTRE EM ECONOMIA
LUÍS
HENRIQUE
BERTOLINO
BRAIDO
RIO DE JANEIRO, RJ
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos os amigos e professores da EPGE cujas discussões
foram de extrema valia para minha formação como economista.
Em particular gostaria de lembrar dos professores Marcos de Barros Lisboa.
Afonso Arinos de Melo Franco Neto, João Victor Issler e Getúlio Borges da Silveira
pelos comentários e considerações de extrema valia na elaboração desta dissertação.
Agradeço ainda ao Prof. Aloísio Pessoa de Araújo pelo acompanhamento deste
trabalho e pelos inúmeros conselhos e elucidações dados no decorrer desta trajetória.
Por fim. uostaria de agradecer aos amiízos e familiares pelo incentivo moral, ao
Banco BBM pelo incentivo financeiro dado através de premiação e ao Conselho
Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo financiamento
inteizral deste trabalho.
DEDICATÓRIA
Dedico esta dissertação a meus pais (lsaías e Denise) e a Mariana pelo apoio,
fundamental na decisão de realizar o mestrado na EPGE, e pela compreensão ao
ÍNDICE
INTRODUÇÃO 02
CAPÍTULO
I:
EQUILÍBRIO GERAL COM MERCADOS INCOMPLETOS 03
CAPÍTULO II:
MODELOS
COM
INADIMPLÊNCIA
EM
EQUILÍBRIO
GERAL
14
CAPÍTULO III:
MODELOS COM INADIMPLÊNCIA EM FINANÇAS 22
CAPÍTULO
IV:
"SPREAD" e RISCO DE CRÉDITO: Um Exercício Empírico 31
CONCLUSÃO 43
INTRODUÇÃO
Na última década, um dos campos mais férteis em teoria econômica tem sido na
área de equilíbrio geral com mercados incompletos e suas aplicações em teoria de
finanças.
Em particular, muito tem sido pesquisado a respeito de economias que
incorporem a possibilidade dos agentes não receberem parte ou o todo de suas
aplicações em ativos, isto é. há uma tentativa nas pesquisas mais recentes em
equilibno geral de incorporar na decisão do agente o risco de inadimplência.
Paralelamente a isto, tem-se desenvolvido uma ampla gama de modelos em
teoria de finanças, com o objetivo de precificar ativos que tenham risco de
inadimplência.
Desta forma, objetiva-se nesta dissertação de mestrado:
primeiramente, elaborar uma revisão bibliográfica a respeito de toda
literatura na área de equilíbrio geral com mercados incompletos (condições de
existência e unicidade do equilíbrio, otimalidade de pareto);
o segundo capítulo, destinar-se-á a discutir modelos de equilíbrio geral que
incorporem a possibilidade de inadimplência, isto é. permitam que agentes não
honrem os ativos vendidos;
posteriormente, pretende-se estabelecer uma relação entre esta teoria e os
modelos de precificação de ativos sujeitos ao risco de inadimplência, amplamente
estudados em teoria de finanças;
por fim. apôs todo o corpo teórico estar completamente solidificado,
pretende-se desenvolver modelos para cômputo de risco de crédito e "spread" em
CAPITULO I
EQUILÍBRIO
GERAL
COM
MERCADOS
INCOMPLETOS
LI - Introdução
Entende-se
por uma economia clássica, como sendo uma representação domundo com o intuito de explicar a coordenação de mercados num
ambiente com um grande número de indivíduos agindo independentemente de
acordo com seu próprio interesse. A primeira formalização deste pensamento deu-se
com Walras (1874) que descreveu uma economia de mercado com bens de capital e
moeda. Uma contribuição no campo da ciência normativa, foi dada por Pareto
(1896-97, 1909) que introduziu o critério de eficiência de Pareto e as primeiras
versões do primeiro e segundo teoremas de bem estar.
A síntese mais elegante do pensamento econômico nos últimos duzentos anos
neste assunto, é conhecida como teoria de equilíbrio geral de
Arrow-Debreu-Mackenzie desenvolvida separadamente pelos três autores na década de 50. Para
tanto, utilizaram-se das contribuições de Wald (1936). Von Neumann (1937) e Nash
(1950).
A principal mensagem desta escola do pensamento econômico é que quando há
mercados e preços para todos os bens e serviços na economia, não existe
externalidades. nem bens públicos (bens de consumo não excludente). nem
assimetria de informação, nem poder de mercado, então, a alocação de recursos
determinada pelo mercado é eficiente. Se além disto, os bens forem substitutos
brutos, tal alocação é única.
Como a atividade econômica (produção, troca e consumo) ocorre ao longo do
tempo, existe um grau significativo de risco. Este caso foi descrito pelo modelo
unidade do equivalente de conta caso um particular estado ocorra). Neste caso. o
instrumental analítico de equilíbrio geral Walrasiano (sob certeza) é aplicável sem
readaptações.
Porém, muitos autores (Arrow 1970. Radner 1970) classificaram tais modelos
como irrealistas. Radner. demonstrou a equivalência (se e somente se) do equilíbrio
de uma economia Arrow-Debreu com o equilíbrio em uma economia em que
existiam S estados possíveis e S ativos não redundantes que pagavam em unidades
de um determinado bem e onde existiria mercado spot para cada bem no segundo
período, após realizar-se o estado da natureza.
Desenvolveu-se também, a partir de então, uma grande literatura a respeito de
equilíbrio geral com mercados incompletos. As primeiras formulações foram
desenvolvidas baseadas nas teorias de "portfólio" de Média-Variância. Na década
de 70, os modelos multiperiódicos em tempo discreto foram muito desenvolvidos,
tanto na linha de consumidor representativo (Rubinsteim 1976. Lucas 1978). quanto
na linha de mercados incompletos (Bewley 1982. Mankiw 1986).
Discutiremos, nas próximas páginas, o equilíbrio e suas propriedades no modelo
clássico de dois períodos e mercados incompletos.
1.2 - Existência de Equilíbrio com Mercados Incompletos
A existência de equilíbrio em economias com mercados incompletos nem sempre
é garantida. O primeiro exemplo de não existência é devido a Hart (1975). Em
Magi 11 e Shafer (1990) encontramos outro exemplo, quando existem dois agentes
dois bens e dois estados da natureza.
Nesta seção deste capítulo, discutiremos algumas condições suficientes para a
existência de equilíbrio geral numa economia com um numero finito de bens.
ativos, agentes, estados da natureza e com mercados incompletos. A demonstração
de tal equilíbrio é uma variante (pouca coisa mais complicada) da demonstração
tradicional do equilíbrio Arrow-Debreu.
com ativos financeiros. Aqui. optou-se (devido a uma maior generalidade) por
apresentar a demonstração de Geanakoplos e Polemarcakis (1986) para modelos
com um numerário real. uma vez que um equilíbrio com um bem real
desempenhando o papel de numerário na estrutura de retorno dos ativos é também
um equilíbrio de mercado financeiro. Uma distinção bem clara entre os dois casos e
encontrada em Geanakoplos e Mas-Colell (1985).
Descrição do Modelo:
O modelo aqui tratado consiste numa economia de dois períodos onde no
segundo período existem S estados da natureza possíveis. O agente maximiza seu
bem estar, escolhendo uma cesta entre os C+l bens desta economia (C bens de
consumo e um numerário real) para ser consumida no primeiro período e em cada
um dos S estados do segundo período (xeR," llíSh um vetor linha de dimensão
1,(C+1)(S+1)). Para tanto, pode usar suas dotações iniciais a cada estado da natureza
(e'(s)eR ), e pode montar uma carteira com os J ativos existentes (aeR1 um vetor
coluna
de
dimensão
J,1).
O preço
de
tais
ativos
é dado
pelo
vetor
linha
qeRJ
e seus
retornos dados pela matriz R de dimensão S+1 x J. onde cada coluna desta matriz
representa o retorno de um atuo no primeiro período e nos S estados do segundo
período, pagos em unidades do bem numerário (denominado de bem 0).
Desta forma os agentes compõem suas carteiras com o intuito de transferir
unidades do bem numerário para o segundo período e lá transacionarem no mercado
à vista de forma a auferirem a cesta desejada.
Em tal mercado à vista, vigora o nível de preços dado pelo vetor linha p(s) (uma
aplicação do espaço dos estados da natureza no R"""'. onde s=0,1...S e s=0
representa o primeiro período).
Hipóteses:
i) as preferências são completas, transitivas. contínuas, monótonas e convexas.
Conseqüentemente,
existe
uma
função
V':R.t('
' "s'''>R,
contínua,
monótona
e
quase còncava que as represente, (note que um caso particular, é quando V(\)
n)
A
matriz
de
retomo
dos
ativos
(R's
'')
tem
posto
pleno
igual
a J<S.
(mercados são incompletos).
in) e1 » 0.
iv) Quando os ativos são livres, há arbitragem. Ie. se q^O 3 aeR' tq R.a>0.
v) V é uma função monótona no bem numerário em todos os estados da
natureza.
Definição 1.1: Seja AcR" e o conjunto fechado Y<zRm, a correspondência
F:A»Y é dita hemi contínua superiormente se tiver gráfico fechado (ie. p/ toda
seqüência x,,»xeA e y,,»y com xneA e yneF(xn)eY Vn. tem-se yeY). e a
imagem de qualquer conjunto compacto for limitada (ie, V BcrA compacto, o
conjunto F(B) = {yeY; yeF(x) p/ algum xeBJ é limitado).
Lema 1.1: Definindo a correspondência de demanda individual truncada em K
por:
d'(q.p.K) = {(a'.x')eargmaxY'(x) sa q.a1 = 0 e p(s).[x'(s) - e'(s)] = p().r(s).a' Vs<S},
onde a' representa a quantidade de ativos, r(s) a s-ésima linha da matriz R.
peR'c"(Sr|)
e qeR1.
e Kç
R.íC
I|(S
" x R'
é um
retângulo
fechado
com
centro
na
origem. Tem-se que. sob as hipóteses i. iii e v. d'(q.p.K) é não vazia, compacta,
valorada num convexo. e hemi contínua superiormente.
Prova:
A continuidade de V'(x) e a compacidade das restrições garantem, por Weierstrass.
que d'(q,p,K) é não vazio.
A concavidade de V'(x) garante que d'(q,p,K) assuma valores num convexo.
Por fim resta provar que tal correspondência seja compacta e hemi continua
superiormente.
Suponha que não. Tome uma seqüência de (qn,p,,)>(q,p) e (a'n,x'n) >(a',x') onde
(aUV^dK.Pn.K) e (a',x')^d>(q,pK): ie, 3 (x^.a'*),^'1^") / q.a"=0 e p(s).[x"(s) -el(s)] =
Tome agora 0<t<1 suficientemente grande para que V(tx'*)>V(x'); por continuidade,
segue-se que para n suficientemente grande tem-se V(tx'*)>V(x'n) e tomando
aVargminí/a1* - a1/; q,,.a'=0} tem-se a'*n->a'* e pfsMtx^s) - e'(s)] - po.r(s).ta'*n < 0 Vs<S o
que implica (a'n , x'n )ed'(q,p,K) para n suficientemente grande, pois (ta'*n,tx'*)>- (a'n,x'n) e é
factível. Contradição}
q. c. d.
Como a soma finita de correspondências não vazias, compactas, valorada num
convexo e hemi contínua superiormente, é ainda uma correspondência com tais
propriedades, podemos definir a conespondência de demanda agregada tiuncada em
K como sendo d(q.p.K)= I, id'(q.p.K.) a qual continua sendo não vazia, compacta,
valorada num convexo e hemi contínua superiormente.
Para usarmos um argumento tradicional de ponto fixo. precisamos construir uma
conespondência que vai de um compacto convexo num compacto convexo.
Portanto, convém aqui provarmos estas propriedades para os espaços em que
definimos nossa conespondência de demanda agregada truncada.
d(q.p.K):QxAC(s nxK-^K.
(x.a)eK que é por definição um retângulo convexo e compacto.
peACls
n que
é o simplex
o qual
sabidamente
satisfaz
tais
propriedades,
onde
ACV]l=XsAceAc=
jp(s)
e R.lC
"/1..,,,
p.(s)
= 1}.
Portanto, resta-nos mostrar que o espaço dos preços dos ativos é compacto e
convexo. Para tanto utilizamo-nos da hipótese li e iv (curiosamente, precisamos de
uma hipótese de arbitragem para garantirmos um equilíbrio sem esta).
Definição 1.2: Diz-se que qeQ respeita a condição de não arbitragem se e
somente
se não
existe
aeR1
tal
que
q.a
< 0 e R.a
> 0.
Lema
1.2:
Sob
ii e iv,
o conjunto
Q - Jq
e R.1
/ q :- R\v.
ve
R.lS"j
e um
cone
fechado e convexo. Além disto, q e intQ se e somente se q respeita a condição de
não arbitragem.
Prova:
Q e por construção um cone finito. Todo cone finito é convexo e fechado.
=> primeiramente, queremos provar que se qeintQ então q satisfaz a condição de não
arbitragem. Tome qéintQ (sabemos que intQ^0, pois, para v>>0 q=R'v e intQ, uma vez
que R tem colunas linearmente independentes e, portanto, 3 5>0; qq q'eB(q,Ô) pode ser
gerado à partir das colunas de R). e. portanto, para £>0 suficientemente pequeno, tem-se
que (q - í.a) e intQ, o que implica R'v = q - ç.a para algum v>0. Suponha que q.a < 0, isto
implica que (vR).a=q.a - Ç.a.a < 0. Tomando v'=v+5 onde ò>0 e suficientemente pequeno,
tem-se v'>>0 e v'Ra < 0, o que implica a não ocorrência Ra>0 e, portanto, prova-se que
todo qeintQ satisfaz a condição de não arbitragem.
<= Agora temos que provar que para todo q que satisfaz a condição de não
arbitragem, tem-se que q e intQ. Para isto, provaremos que se q e intQ então q não
satisfaz a condição de não arbitragem.
Pela hipótese iv, temos que se q=0 3 aeRJ tq R.a > 0 e, portanto, pelo que foi acima
demonstrado, OgintQ.
Tome agora q#eRJ e q*eintQ Como Q é convexo, podemos, pelo teorema do
hiperplano de separação, podemos encontrar um hiperplano não trivial (a#^0) Ha#={qeRJ ;
q.a# = q#.a#}, tal que, para todo qeQ temos q.a* i q#.a#. Como OeQ. q#.a#<0<q.a# V qeQ.
Como a#=0 e R tem colunas linearmente independentes (hip. ii), temos que Ra#>0, e.
portanto, q# é um preço de arbitragem.
q. e. d.
Definição 1.3: Seja Ç={(^ ), ú eeRUlS ''; AeRj(S ''} uma economia competitiva,
diz-se
que
o vetor
(x*;a*;p*;q*)
sRcllS'"
x
R."
x
RC(S
" x
Rj
representa
um
equilíbrio competitivo com um numerário real se (x*.a*) soluciona o problema do
consumidor aos preços (p*.q*). [íe. (a*.x*)ed(q*,p*)]. e é factível [ie.
(x*.a*)=(e.O)].
Teorema 1.1: Sob as hipóteses i a iv. existe um equilíbrio competitivo com um
numerário real.
Prova:
Considere que o retângulo K contenha (0 , 2.L e1) e RJ+1 x R<c-1)<Sf1'.
Define-se a correspondência <|)K : Q x AC(sf1> x K > Q x ac<s"1' x K que vai de um
compacto convexo num compacto convexo, de tal forma que (|>K(q,p,a.c) = ((^ . <|>2 , <|>3 ).
onde (|),(q,p,a,z) = {q o; argmax q.a ; q^Q} ; <|>2(q,p.a,z) = {p-A^(S"1) / - s>--S+1.
Como Q e aC(s+1) são compactos e convexos, é trivial verificar que ^ e <\>2 são hemi
contínua superiormente, não vazia, compactas e valorada num convexo. Pelo lema 1.1
tem-se que <j)3 é também uma correspondência hemi contínua superiormente, não vazia,
compacta e valorada num convexo.
Pelo teorema do ponto fixo de Kakutani (Eilenberg-Montgomery, 1946), tem-se que 3
(q*, p*, a*, z*)e<j)K(q*,p*,a*,z*) tal que:
Proposição 1: Note que como (a*,x*)ed(q*,p*,K), tem-se q*.a*=0. e como q*e {q e
argmax q.a ; qeQ} , tem-se que não existe qsQ tal que q.a*>q*.a*. Portanto, R.a*£0, pois
se para algum s, r(s).a*>0, bastaria tomarmos q=q* + (0, 0, ... , 1, 0. ... , 0).R para que
q.a*>0, e como para algum À>0 À.q e Q, isto contradiria o fato de q*e {q e argmax q.a ;
qeQ}.
Proposição 2;Pela lei de Walras, p*(s).z*(s)<0 v s. Isto implica z*c(s) < 0 para todo s
e C. pois caso contrário existiria p(s)tAc tal que para algum s teríamos
p(s).z(s)>0>p*(s).z*(s), contradizendo o fato de p*e<|)2(q,p,a,z) = {peAC(S+1) / 7 seS+1.
p(s)eargmax p'(s).z}.
Proposição 3: Mas, se q*.a* = 0 e R.a* <: 0 então a* = X, a'* = 0. Se R.a* = 0 isto é
óbvio. Se R.a* < 0 então, como R tem colunas linearmente independentes, R.(-a*) > 0 e o
consumidor i estaria melhor demandando o portfólio a' = a'* + (-a*) [pois q*.a' =q*.a'* e R.a1
> R.a'*] o que contradiria a otimalidade de a'*.
Proposição 4: Além disto, se a* = X, a1* = 0, então p*(s).z*(s) = p*0(s).r(s).a* = 0 (lei de
Walras) e como z*(s) ^ 0 (prop. 2) temos que se p*c(s) > 0 então z*(s) = 0 V s.
Desta forma encontramos um ponto fixo em que (a'*,x'*) e d'(q,p.K) V i<l. e, portanto,
satisfaz a condição de maximização do agente, truncada no conjunto K; e satisfaz a
condição de factibilidade (z* = 0 . a* = 0).
Resta-nos então, provar que aumentando o tamanho do retângulo K, o ponto fixo que
caracteriza o equilíbrio, não muda, isto é. o equilíbrio de uma economia truncada é
também equilíbrio de uma economia não truncada.
Suponha que não. Isto é. (a'*.x'*)cd'(q.p:K) V i<l, mas (a'*,x'*)ed'(q,p) para algum i<l.
Neste caso existiria (a'',x'')>- (a'*.x'*) tal que q.a" = 0 e p(s).[x"(s) - e'(s)] < po.r(s).a" vs<S
e i<l}. Tomando (a'n,x'n)=(1-1/n).(al*,x1*) + (1/n). (a'',x'') e por convexidade das
preferências, teríamos (a''.x'')>- (a'n,x'n)>^ (a'*,x'*). Tomando n suficientemente grande,
obteríamos (a'n,x'n)c K uma vez que (a1*.x'*)fTÍntK. contradizendo assim o fato de
1.3 - Pareto Otimalidade Restrita
Como vimos, sob algumas hipóteses garante-se a existência de equilíbrio para
alguns tipos de modelos, perde-se, porém, neste caso, a propriedade notável de
otimalidade de Pareto. Na verdade, quando a estrutura de mercado é incompleta, é
muito fácil encontrar uma alocação pareto superior à de equilíbrio, uma vez que ao
consumidor só é permitir escolher entre cestas que estejam tio espaço de consumo
gerado pelos ativos e o critério de Pareto permite que a realocaçào esteja fora do
mesmo.
Portanto, o tal critério é muito exigente para economias com mercados
incompletos, e isto inscitou os economistas a procurarem um critério de eficiência
mais apropriado ao caso de mercados incompletos.
Grossman (1977) apresentou uma definição, conhecida como eficiência
fracamente restrita, que tenta expurgar estas possibilidades de realocações fora do
espaço de consumo gerado pelos ativos.
Definição 1.4: Seja ç=j(>-)li ; ee rU|SI) ; ;\eRl(Vl1 j uma economia
competitiva, diz-se que uma alocação ceCçzRU(S '' é fracamente eficiente no
sentido restrito para esta economia se:
a) I,(c's - e's) = 0. para todo seS
b) para todo seS, não existe cn, ç: Ru que seja factível (ie. I,(c'm - e'm)=0). e para
todo i<l tenhamos:
[(cV).-m, :c'm] > [(c's)seS] r íel ;
c)
Não
existem
transferências
de
bens
no
tempo
0. x<ie^Ru
com
S,x'o=0
e trocas
nos portfólios ae R" com I, a' = 0 tais que para todo í tenhamos:
[c'(, - x'o ; (c'< ~ A.a'),fi|i.S|] >- \c\, ; (cls),,|i.S|J
Com essa noção de eficiência, prova-se, para modelos de um bem (C-l) e dois
períodos, que todo equilíbrio de mercados incompletos é restritamente eficiente; e
que toda alocação restritamente eficiente é equilíbrio de mercados incompletos para
alguma redistribuiçào de dotações.
Um defeito deste critério é que ele não se reduz ao critério de Pareto quando os
mercados são completos. Outro, deve-se ao fato de que este resultado não se estende
para modelos com múltiplos bens.
Além disto, a busca de um critério de eficiência que nos garanta otimalidade para
economias com mercados incompletos é infrutífera, uma vez que já se conhece um
exemplo robusto (Hart 75) de uma economia em que e possível ordenar os
equilíbrios. Tal exemplo (abaixo apresentado) apresenta uma economia com dois
equilíbrios competitivos onde uma redução no número de ativos desta economia
gerava uma melhoria no sentido de Pareto.
1.3.A - EXEMPLO DE HART (75)
Tomemos uma economia em que I=C=S=2 e J=0, isto é uma economia sem ativos
com dois estados, dois agentes e dois bens. Tome ainda que a utilidade dos dois agentes
seja dada por: kuii,(cUi ,c\1: ) - ,-r,,», (cr. ,<;,,,)
Seja p,p'eR2 dois vetores de preços que equilibram cada um dos dois mercados à
vista. Como os mercados à vista são completos, temos pelo primeiro teorema do bem
estar que se V-,(p) > V-i(p') tem-se V2(p) > V2(p), para cada um dos dois mercados; onde
Vi() representa a utilidade indireta do agente i.
Uma vez que não existe possibilidade de transferência de riqueza entre os dois
estados, tem-se que na economia inicialmente descrita os vetores (p.p)eR4 e (p',p)eR4
são equilíbrio de Radner.
Define-se agora que o agente 1 preza mais o estado 1 relativamente ao estado 2 (ie,
l
7i]] >) e, portanto, preferirá o primeiro equilíbrio uma vez que
Kv)\(p) ~ rr^VAp' )> ,t,,/-',(//) ---,((/;). Analogamente, se o agente 2 preza mais o
l
estado 2 (ie, /t,, > ) este também preferirá o primeiro equilíbrio ao segundo. Portanto, o
equilíbrio 1 aos preços (p',p) pareto domina o equilíbrio (p.p').
caso em que um equilíbrio é Pareto dominado por outro onde o segundo está dentro
do "span" do primeiro.
Para entender o motivo pelo qual equilíbrio em mercados incompletos é
ineficiente, convém olhar com mais cuidado para a definição 1.4. A condição (c)
implica que só se possa escolher cestas que pertençam ao subespaço de consumo
gerado pelos ativos, a condição (b) impõe que para uma cesta ser ótimo fracamente
restrito, ela deve respeitar a condição de não haver incentivos aos agentes
transacionarem no mercado à vista no período 1. Assim tem-se os agentes
escolhendo poitfólios com o intuito de distribuir renda entre os estados, e uma
noção de eficiência que trata os ativos como instrumento de transferência de bens
para consumo. No caso de apenas um bem, não existe, obrigatoriamente, mercado à
vista e por isso, este caso escapa desta contradição.
O conceito de eficiência ideal para o caso de mercados incompletos vem sido
vastamente discutido desde então.
Tentando captar este efeito do mercado de ativos para o mercado à vista, Stiglitz
(1982) apresentou um conceito de eficiência restrita que foi posteriormente
estendido por Geanadoplos e Polemarchakis (1986). Tal conceito é em princípio
mais adequado para caracterizar eficiência restrita em mercados incompletos.
Definição
1.5:
ceC
é restritamente
eficiente
para
economia
(>:
;e1;aJ)i-[.,
i se:
a) I,(cs - es) = 0. para todo s<S.]
b) Não existe um portfolio a'eA nem um vetor de preços à vista p nem uma
cesta c'eC tal que c' >- c1 para todo i<l e ainda que (p. c'. a') seja um equilíbrio.
Tal conceito representa a possibilidade de uma alocação de equilíbrio ser
melhorada por um planejador que possa escolher cestas que estejam dentro do
Teorema 1.2: Uma economia com mercados incompletos e genericamente1
ineficiente no conceito restrito.
Prova: ver Geanakoplos e Polemarchakis 1986.
A intuição para tal fato é que uma realocação no poitíólio tem dois efeitos sobre
o agente: um direto advindo da transferência de renda entre os estados da natureza.
e um indireto sobre os preços relativos no mercado à vista de bens. Quando os
mercados são completos a realocação de renda causada pela mudança nos preços
relativos pode ser decomposta numa combinação de ativos que é implementável via
mercado. No caso de mercados incompletos, porém, tem-se que genericamente tal
alteração nos preços causa uma redistribuição na renda que não era diretamente
implementável.
CAPITULO II
MODELOS
COM
INADIMPLÊNCIA
EM
EQUILÍBRIO
GERAL
II. 1 - Introdução
Nos últimos dez anos, mercados incompletos vem sendo um dos mais ativos
campos em teoria de equilíbrio geral. Mais recentemente tem-se
desenvolvido modelos que levam em conta o risco de inadimplência. Em tais
modelos, procura-se incorporar a possibilidade do agente não honrar parte ou todos
seus compromissos oriundos de ativos vendidos. Obviamente, a possibilidade de
agentes não cumprindo todos os seus compromissos implica a possibilidade de
agentes não recebendo todos os seus créditos, e este risco deve ser incorporado em
sua decisão.
Uma modelagem intermediária às com e sem risco de inadimplência, é a que
admite que os ativos que possuem risco de inadimplência, tenham uma garantia
previamente determinada(modelos com colateral).
Este capítulo destina-se a uma apresentação sucinta dos principais modelos e
resultados já desenvolvidos nesta linha.
II.2 - Modelo com Possibilidade de Inadimplência e sem
colateral
Vários autores (Zeme. Dubey, Geanakoplos, Diamond P.) estiveram preocupados
com o fenômeno da inadimplência e seus efeitos sobre o modelo de equilíbrio geral.
Vários modelos foram desenvolvidos com o intuito de captar este fenômeno.
Nesta seção apresentaremos um modelo em dimensão infinita, onde o agente
toma a decisão intertemporal de sua cesta de consumo, sua carteira de ativos e sua
inadimplência em cada estado da natureza datado.
A existência de equilíbrio em uma economia com risco de inadimplência, um
contínuo de estados da natureza, vários bens e dois períodos de planejamento foi
demonstrada por Araújo, Monteiro e Páscoa (1994). Os mesmos autores
demonstraram (1996) a existência de equilíbrio no caso do horizonte infinito,
mercados incompletos, vários bens, um contínuo de estados da natureza e risco de
inadimplência. Este segundo caso foi o escolhido para ser apresentado nesta seção
devido seu maior grau de generalidade.
Neste modelo, define-se uma economia {>, ;(elts)i<i,te(o,=o),SeSí(As,j)ses,j<.ii^}- na
qual a decisão do agente é caracterizada pelo seguinte problema:
Max
I p,1 J UyC^cWs)
- .<;
t-0 s,
sa
pt.s.(C'ts-e'ts)
= Ij {yt.;,.i.pt..s.As.I.0Vi,i
- D',.s.jí
- I, 7rUsO.(9\0
- (j)',.,)
V seS,
f(.) representando uma penalidade para o caso de inadimplência, cuja
representação matemática é:
p = I, I, ís X\s
(pt.sAs.,(j)Vi,
- D'l.s._j)+
d).it(s)
onde x+ = max{x,0} ; I\I - sup, sups. St >-'is < x ;
U'(.)
é uma
função
mensurável
e uniformemente
limitada
(supt
sups.
s, U'ts(-)<x).
e' = {e'ts} representa a dotação inicial do agente i. é uma seqüência de funções de forma
que a cada período tem-se uma função que descreve a dotação do agente em cada estado da
natureza
Pe(0,1) é o termo intertemporal de desconto.
p,s é o preço à vista dos C bens (nos quais os ativos pagam),
As j. representa o vetor de retorno no Rc do j-ésimo ativo, que é uma variável aleatória
contínua associada à medida de lebesgue (,is,
9',.j representa a quantidade de ativos j comprados pelo i-ésimo agente no período t,
(|>Vj representa a quantidade de ativos j vendidos pelo agente i no período t,
ti, s j o preço do ativo j no período t no estado s,
D',,s,j valor pago pelo agente títulos vendidos em t-1, 0 < D't,s,j < Pt.s.ASJ.^ e
y,s| a fração recebida pelo agente do título "j" que comprou.
Observe que a decisão do agente consiste em maximizar uma utilidade esperada
inteitemporal sujeita a uma restrição que lhe pennite gastar com consumo e compra
de ativos a cada estado da natureza de um determinado período, o valor que obter
com a venda de sua dotação, venda de ativos e ainda a diferença entre o que recebe
e paga de ativos negociados no período anterior. Neste problema o agente escolhe
ainda a cada estado datado o quanto irá pagar dos ativos que vendeu (sofrendo uma
punição pelo montante não pago). O fato de cada agente poder não pagar parte dos
títulos que vendeu, leva a cada um poder receber apenas uma fração (yts) dos ativos
que comprou.
Assim o equilíbrio é caracterizado por um vetor {p, n, C, y, (9',(J)',D')í<i} tal que:
A)
p = Jp,j,
p,:S,
-»RC
e k =
{nt},
7tt-St
>RJ
representam
vetores
de
preços spots para os C bens e para os J ativos desta economia para todos os períodos
de
tempo;
onde
p,:St
-^Rc
e 7it:
S,
>RJ,
representam
aplicações
mensuráveis
e
uniformemente limitadas que associam a cada estado da natureza s e St um vetor de
preços
em
Rc
e em
RJ
respectivamente.
B) y represente a taxa de solvência do mercado. yt:St >[0. \].
C)
C
=
{Ct},
C,:S,
>RU
representa
uma
seqüência
de
aplicações
mensuráveis e uniformemente limitadas para cada período de tempo . que associam
a cada estado da natureza um vetor de alocações para os C bens e l indivíduos; e
(G,,(j)HD,)eRJxRJ.xRj.,
tal
que
}C',.(0,,(|)í,Dj)j
i}
solucione
o
problema
de
maximização de cada consumidor aos preços (p, k) e à taxa (y).
D) {C\. (0j,c|)i,Dj)i ij sejam factíveis, ie:
X,;(C'(, - e't.) ; (8, - (t),)í -" {0;0j. VI es.
Como conseqüência, tem-se que existe um equilíbrio nesta economia no qual o
nível ótimo de inadimplência é positivo.
Este resultado é bastante intuitivo e verossímil. Mas o que há de mais
entusiástico nesta classe de modelos, é que na presença de mercados incompletos a
possibilidade de inadimplência é Pareto superior a um mundo em que todos os
ativos tenham que ser honrados. A explicação para tal fenômeno encontra-se no fato
de que a incompleteza a dos mercados impõe um custo de se levar renda para alguns
estados da natureza, isto é. como os ativos não geram todo o espaço de consumo,
não se consegue levar renda para um determinado estado da natureza sem que para
isto tenha-se que levar para algum outro. Portanto, neste ambiente, a disciplina
imposta por Arrow-Debreu (de que para todo ativo vendido o agente tenha que levar
renda para os estados em que tenha que pagá-lo) gera perda de bem estar. Tome o
exemplo abaixo como uma ilustração:
Imagine que eu compre um bem à prazo (ou seja. que eu venda um ativo me
comprometendo com o pagamento no próximo período qualquer que seja o estado
da natureza). Em um mundo Arrow-Debreu eu teria que levar renda para o próximo
período em todos os estados da natureza, mesmo àqueles que eu pondere com
probabilidade muito baixa (caso ocorra uma catástrofe e eu perca meu emprego e
todos os meus bens duráveis). Num modelo com mercados incompletos isto é
bastante custoso pois para levar renda para este estado eu teria que levar também
para alguns outros estados que porventura não me interessassem e. portanto, eu
prefiro poder vir a ser inadimplente no próximo período mesmo sujeito a uma
punição (a punição esperada é pequena pois eu atribuo probabilidade baixa a tais
eventos) e mesmo levando em conta o fato de que os ativos que eu comprar também
II.3 - Modelo com Possibilidade de Inadimplência e com
colateral
Uma grande quantidade de transações financeiras nas economias modernas são
garantidas por alguma forma de colateral. Este tipo de mercado vem ganhando
considerável atenção na literatura de finanças.
A existência de ativos com colateral numa economia com risco de inadimplência e
seus efeitos sobre o equilíbrio geral vêm sendo investigada por muitos autores. Sob
hipóteses gerais, a existência de equilíbrio é garantida neste tipo de economia.
Nesta seção, apresentamos o trabalho de Geanakoplos, J. ; Zame, B. and Dubey P.
1995. o qual apresenta um modelo de dois períodos. C bens, S estados da natureza
no segundo período. J ativos e 1 agentes.
A, e R , representa os retornos do ativo j pagos em unidades dos C bens, no 2o
período;
e1 e RlS |C . é o vetor de dotações do indivíduo i nos C bens,
U':RSI.
>R
representa
uma
função
contínua,
côncava
e estritamente
monótona;
es' e RL. c tal que es' ^ 0 p;' todo íel e seS;
Z, esc' > 0 p/ todo seS e ceC.
A primeira peculiaridade deste modelo advém do fato que os ativos, que podem
vir a inadimplência, são garantidos por um colateral. Assim, para todo A, e Rs. 3
um L, e RL. que será transferido ao proprietário do ativo j em caso de tal ativo vir a
inadimplência. Observe que tanto o ativo quanto o colateral pagam em unidades dos
C bens.
A segunda é que alguns dos bens são duráveis, enquanto, outros são perecíveis.
Portanto, os agentes não consomem estes bens e sim seus serviços, de forma que. no
segundo período, o agente poderá consumir não apenas suas dotações no estado da
natureza que se realizar, mas também os serviços dos bens duráveis que ele trouxe
no
primeiro
período.
Define-se
assim
uma
matriz
diagonal
Y,eRuc.
representando
o quanto de cada bem sobra para ser consumido em s e S. após seus serviços terem
s. ,«=j} na qual os agentes resolvem o seguinte
sido consumidos. Assim, o elemento da diagonal referente a um determinado bem.
assume valor zero caso o bem for perecível (Yscc = 0). e valor no intervalo aberto
em zero e fechado em um no caso do bem ser durável (0< YSLC<1).
O colateral pode ser pago em bens duráveis do primeiro ou segundo período e em
bens perecíveis do segundo período. Designando os bens duráveis com um
apóstrofo tem-se que: L, = L',i + L'|2 + L|2
Admite-se que em caso de inadimplência o agente além de pagar o colateral,
tenha uma perda de utilidade (pena de inadimplência). Como de costume nesta
literatura, define-se uma perda de utilidade X'S] > 0 para cada unidade (medido no
equivalente geral) de inadimplência do ativo j no estado seS.
Desta forma. define-se como sendo urna economia
jeuíYs^es^Aj.Lj.À',!),^. ,s. ,«=j}
problema:
MílX
I,6s
( U^CKC^-I.ejÀVpsfjAso-DVj]'
} ^'s
sa
p^Cr-eO + I, 171,(6', -fj-p^f, }< 0
ps(CV
- es')
+ I, (D\,
-6'jX,)
± Vp^YVíCY
+ fjL,)!
V seS
D's, > (|)', min[psA,, ; \\YX}] VseSeVjeJ
onde:
x* = max{x,0},
u's representa a distribuição subjetiva de probabilidade do agente "i",
p = (p-i ; (Ps)ses) ^ Rc+ x Rcs- representa os preços no mercado a termo,
0'j eR.a quantidade de ativos j comprados pelo i-ésimo agente no período 1.
(|)'j e R. a quantidade de ativos j vendidos pelo agente "i" no período 1,
ti, o preço do ativo j no período 1.
D'SiJc R, o valor pago (em unidades do bem numerário), no período 2 pelo agente "i"
pelos títulos vendidos em 1,
A,, valor esperado a ser recebido (em unidades do bem numerário), no estado s por
cada unidade comprada do ativo j.
A primeira restrição lhe impede de gastar com consumo, compra de ativos e seus
colaterais no primeiro período, mais do que o valor de sua dotação e o valor dos
ativos que vende neste período. As "S" seguintes, referem-se ao segundo período.
Tais restrições permitem-lhe consumir, a cada estado da natureza, o valor de sua
dotação no mesmo, mais o valor dos bens e dos colaterais que sobraram do primeiro
período, e a diferença entre o que receber e o que pagar dos ativos do período
anterior. Por fim. a última restrição lhe impõe transferir no mínimo os colaterais em
caso de inadimplência.
Caracterização do Equilíbrio:
O equilíbrio da economia í = {(U' . e');eI ; (Ys)seS : (Aj,Lj,À.'Sj)jei.ses.je.ii é dado por
E =
{p.
7i, A. (C\
eVIÀDV,}
tal
que:
A) peRC(S " e 7teRj representam vetores de preços para os C bens nos
S+l Estados e para os J ativos desta economia
B)
CeRcllS'n
representa
um
vetor
de
alocações
para
os
C bens
para
cada
estado da natureza e todos os 1 indivíduos; tal que jC^G^^D,), 1} solucione o
problema de maximização de cada consumidor aos preços (p. n) e ao nível A.
C)
{CeRU(S
]), (ei,<j)i.Di)i
,) sejam
factíveis,
ie:
y íc p1 ^ - v íh'v 1 '
~i^ 1 - e ij - ,(p , Lj
VseS
I,(t)'
= 10
Avl
-
IíDVj/I.íI)1,
seli^O.e
A,j i min[p,Asl ; p.YsL,]
Dois interessantes resultados são conhecidos nesta literatura: o primeiro
(Geanakoplos et aliil995). é que o equilíbrio com colateral é Pareto Superior a
= J(U',e'),ei ; (Ys)ses ; (A:,À'si),ei.ses.ie.il onde U é dado endogenamente. o nível ótimo
de colateral escolhido pelos agentes não elimina a inadimplência.
Estes resultados são também bastante intuitivos. Uma vez que é sabido que a
possibilidade de vir a ser inadimplente em alguns estados desejados gera uma
melhoria de Pareto. é de se esperar que a possibilidade de evitar a inadimplência
para consigo em alguns estados através do uso de colaterais também gera o mesmo
efeito.
O fato é que como os agentes ponderam diferentemente suas preferências entre
os estados da natureza, a oportunidade de negociar a inadimplência em cada um
CAPITULO III
MODELOS
COM
INADIMPLÊNCIA
EM
FINANÇAS
III. 1 - Introdução
Paralelamente a toda essa teoria de mercados incompletos, tem-se
desenvolvido em teoria de finanças modelos de precificação de títulos com
risco de inadimplência. Há invariavelmente uma ligação bastante estreita entre esses
modelos e a teoria de mercados incompletos com possibilidade de inadimplência
descrita no capítulo II, e é basicamente isto que este capítulo pretende explorar. A
teoria de finanças a este respeito, trata, basicamente, o risco de inadimplência como
sendo um evento probabilístico envolvendo uma súbita perda no valor de mercado
de uma companhia.
Apresentamos inicialmente um modelo de precificação de ativos com risco de
inadimplência tradicionalmente apresentado na literatura de finanças (ver Duffíe
andSingleton 1996 (b)).
Primeiramente, assume-se que os ativos com vencimento em T sejam
precificados em t de acordo com o valor esperado descontado de seu retorno (X,
dependente do estado e do tempo).
T
P,T = Et{Xt.exp.[-f,Rt.ds]}
onde P,T representa o preço do ativo que paga em T a variável aleatória XT dependente
do estado da natureza; Et simboliza o operador esperança condicionado em t; e Rt é a
taxa de juros ajustada à probabilidade de inadimplência.
Assim Rt é a soma da taxa de juros sem risco com um prêmio pelo risco de
inadimplência (Rt= rt + ht.Lt), onde ht simboliza a probabilidade de inadimplência e
L, a perda causada por tal.
Observe que no cálculo da taxa de juros ajustada, não levou-se em conta fatores
que determinam o "spread" não relacionados à possibilidade de inadimplência.
Apesar de normalmente ser tratado como "spread" de crédito, apenas parte desta
sobretaxa é devida a questões creditícias, boa parte dela advém de fatores
institucionais e "mercadológicos".
Tais fatores, porém, podem ter seus efeitos parcialmente acomodados neste
modelo com a introdução de um processo estocástico â, que os represente. Neste
caso temos que a taxa de juros "default-and-liquidity ajusted" seria: Rt= rt+ht.Lt.+ £,
Note que no acima exposto, ht é descrito por um processo estocástico exógeno.
Na construção de um modelo para tal processo, teríamos vários fatores ligados a
ditribuição de probabilidade do agente vir a inadimplência, entre os quais
destacam-se:
Alavancagem: a relação entre endividamento e o valor líquido da firma afeta
a probabilidade de inadimplência (não a função distribuição, mas o valor que esta
assume). A razão disto é óbvia, quanto maior o endividamento, maior a
probabilidade do valor de mercado da firma ir a zero.
Volatilidade: A volatilidade dos ganhos afeta a variância do valor de
mercado da firma e, consequentemente, afeta a distribuição de probabilidade de
inadimplência.
Reputação do tomador de empréstimo: A história de solvência do agente é
sem dúvida um fator fundamental na determinação da distribuição condicional de
probabilidade deste evento.
Outro enfoque bastante utilizado nesta área do conhecimento para mensuração do
risco de crédito, é através da análise das séries estatísticas referentes ao valor de
mercado da firma (fluxo de caixa esperado descontado).
Um dos processos mais comumente usados para descrever retorno de ativos é o
modelo normal independente e identicamente distribuído (iid), onde os retornos são
considerados temporalmente independente e possivelmente correlacionados em
dados de Cross-Section. O teorema central do limite é o arcabouço teórico que serve
de esteio para tais modelos.
Dado que a variação logarítimica de um preço é exatamente a taxa de retorno,
faz-se o uso distribuição lognormal para descrever o processo estocástico de um
preço (em particular do valor de mercado da firma).
Um processo estocástico V tem distribuição lognormal se ln(V) tem distribuição
normal. Portanto, a função densidade de probabilidade de V é dada por:
1
.exp[-r ('nv-//)2
1
2a~ v
E
a
função
geratriz
de
momentos:
E(Vm)
=
exp[m.ji
+
(m2a2/2)]
onde
Uma vez entendido qual o processo estocástico que descreve o comportamento
do valor acionário da firma, toma-se como medida de risco de inadimplência a
probabilidade de V cair abaixo do total de dívida da firma.
Estas metodologias de cálculo, comumente encontradas na literatura de finanças,
ignoram aspectos de equilíbrio geral fazendo uma análise baseada apenas na
situação contábil de cada firma isoladamente. Além disto, como tais cálculos
baseiam-se em dados que levam algum tempo para serem captados, obtém-se na
verdade uma medida da probalidade que a firma tinha de vir à falência no momento
da coleta dos dados.
A parte que se segue neste capítulo, visa propor uma metodologia de cálculo de
risco de crédito que não incorra nestes enos do equilíbrio parcial e que permita uma
análise mais atual da situação da firma.
III.2 - Risco de Crédito e o Preço de uma Ação
O que este capítulo pretende, é propor uma metodologia de cálculo do risco de
crédito de uma sociedade anônima baseado no valor da ação no mercado
secundário. Tal método estaria coerente com um raciocínio de equilíbrio geral, uma
vez que toda informação relevante sobre um ativo (no caso a S.A.), e portanto, o
que se refere a probabilidade desta vir a ser inadimplente, estaria implícita em seu
preço.
Conforme foi visto no capítulo II, a probabilidade de inadimplência de uma ativo
é intrinsicamente determinada no equilíbrio do mercado da economia. A partir de
tais condições de equilíbrio, obtém-se que as variáveis preço de um determinado
ativo (7Ttj) e a probabilidade de inadimplência deste (ytj.(s)) guardam intima relação.
A partir deste resultado, proporemos um modelo para calcular ytj. a partir da série
temporal de 7itJ. Tal modelo estaria condizente com o princípio de equilíbrio geral e
eliminaria o problema da defasagem temporal da coleta de dados uma vez que preço
de ativos tem cotação instantânea.
Antes de apresentar tal modelo, faremos uma análise das condições de equilíbrio
para verificar a referida relação entre % e y.
As condições de equilíbrio do modelo de equilíbrio geral com inadimplência e
sem colateral, são:
£i{yt.spt..sAs,j9Yi.j
- D't.s.j
} = 0 , Vt
e s, encontramos:
Da primeira igualdade do sistema de equilíbrio temos L + J equações a partir das
quais determinamos os preços dos L bens e dos J ativos.
Uma vez obtidos os preços desta economia, os substituímos nas aplicações de
demanda obtendo C'ts; 9i ; ^ e D'M.
Então, a partir da última equação do sistema de equilíbrio obtemos yts. Fica,
portanto, evidente a relação entre y e % uma vez que: yt.s = f(D'ts) e D't.s = g(Xj).
III.3 - Modelagem em Tempo Contínuo
Assim, como resultado do modelo de equilíbrio geral, vimos que o processo
estocástico do preço de uma ação está intimamente ligado ao processo estocástico
de uma variável que caracteriza probabilidade de inadimplência do ativo, ou vice
versa.
Desta forma, proporemos um modelo no qual objetiva-se obter a probabilidade
de inadimplência da firma a partir do preço de sua ação no mercado secundário.
Para tanto, admitiremos que o processo estocástico do preço da ação que caracterize
a a capacidade de pagamento da firma. De forma que o risco de inadimplência é
definido como a probabilidade do preço da ação assumir valores maiores ou igual a
zero.
Em tal modelagem o preço da ação de uma firma (A) segue um processo
estocástico contínuo. Observe que a firma paga ou não os ativos vendidos ao fim de
cada período de tempo (discreto), porém, pode vir a inadimplência dentro de um
intervalo contínuo. Este seria o conceito matematicamente e economicamente mais
completo de inadimplência.
Admitiremos que tal variável não observável assuma um processo estocástico do
tipo movimento Browniano (ver apêndice).
Assim, definindo nx (o preço da ação no mercado secundário) como a variável de
estado estocástica que caracteriza a capacidade de pagamento da firma, teremos:
A7i(t) = )Li.At + a.AX(t) onde AX(t) é um processo de Wiener,
ou ainda:
71 (t) = 7i(t-At)
+ ji.At
+ a.co(t)
onde
co(t)
~ N(0,
a2At)
Por fim, queremos calcular a probabilidade do tempo de primeira passagem do
processo 7r(t) estar num período de tempo no qual estamos interessados em estudar
o risco de crédito. Isto é qual a probabilidade de 7t(t) assumir valor inferior ou igual
a zero pelo menos uma vez entre ti e t2. Tal fórmula é encontrada no trabalho de
Ingersoll (1987 - pg353) e é dada por:
P{min(Y(t))<O,te(t,,t2)}
=N((-Y0-^.t,)/a.(t,)12)
+ío[N((-Yr)a.t1)/a.(t1)"2)
+
onde Yo é o valor corrente da variável de estado Y(t) que segue um movimento
browniano com média \i e desvio padrão a.
No caso específico em que ti = 0, tem-se:
P{mm(Y(t))<O,te(O,t2)}=N((-Y0-n.t2)/a.(t2)'2)+exp(-2|_iYo/a2).N((-Y0+^.t2)/a.(t2)"2)
(ver Claessens and Pennacchi, 1996 - pgl24)
Este exercício estatístico será o motivo do quarto capítulo desta dissertação.
Antes, porém, cabem ainda algumas considerações teóricas a respeito de desta
proposta de medir o risco de inadimplência.
III.4 - Default e o Teorema de Modigliani-Miller
Em um trabalho clássico. Franco Modigliani e Merton Miller mostraram que na
ausência de taxas e de custos de transação, o valor da firma não dependeria do grau
de alavancagem da mesma. Isto é, seria indiferente para uma firma financiar-se via
capital próprio ou via capital de terceiro. Joseph Stiglitz, em seu trabalho "A
Re-Examination of the Modigliani-Miller Theorem," em 1969, verificou a validade de
tal teorema sob condições mais genéricas.
Na verdade, duas conclusões distintas são devidas a tal teorema:
Na ausência de risco de inadimplência o valor de mercado de uma firma seria
igual independentemente da sua composição de capital.
Na ausência de risco de inadimplência o investidor preferirá medidas que
elevem o valor de mercado da firma.
Como corolário temos que um investidor seria indiferente entre os diferentes
tipos de financiamento para a firma.
David P. Baron, em dois trabalhos (1974 e 1976), verificou os efeitos do risco de
inadimplência sobre o teorema de M-M. Na verdade, em seu trabalho de 1974, ele
mostra, utilizando o conceito de dominância estocástica, que o valor de mercado de
duas firmas com mesma função distribuição de retornos brutos é independente da
estrutura de capital de cada uma delas. Isto é, mesmo na presença de inadimplência,
o valor de mercado de firmas na mesma classe de risco é o mesmo, independendo
do fato da firma financiar-se com capital próprio ou de terceiro.
Kare Hagen em um trabalho de 1976, faz uma observação ao trabalho de Baron
no que se refere a segunda versão do teorema de M-M. Em tal trabalho, apresenta
um exemplo em que na presença de risco de inadimplência o investidor não é
indiferente a composição do capital na firma.
O resultado apresentado nesta dissertação, atesta que a probabilidade de
inadimplência de uma firma com capital aberto, estaria expressa no processo
estocástico do preço de sua ação no mercado secundário. Se o valor acionário de
uma firma, na ausência de bolhas especulativas guarda intima relação com o valor
de mercado da mesma, e se este último independe do grau de alavancagem da firma;
é bastante esperado o resultado de que o probabilidade de inadimplência seja
independente do grau de alavancagem da firma. Apenas a primeira parte do teorema
de M-M na presença de risco de inadimplência nos é suficiente para tal afirmação.
Está é talvez a maior critica desta dissertação em relação aos modelos de finanças
que ao desconsiderar aspectos de equilíbrio geral, utilizam-se de dados de balanço
(como o grau de alavancagem) para o cômputo de medidas do risco de crédito.
Assim, feito a abordagem teórica que justifique o uso do valor da ação de uma
firma para cômputo do risco de inadimplência da mesma, dedicaremos o capítulo
seguinte a construção de um modelo estatístico para tal.
APÊNDICE
O QUE
É UM
MOVIMENTO
BROWNIANO
E PORQUE
USÁ-LO
Definição 3.1: Um processo estocástico é dito independente por incrementos
se a primeira diferença das variáveis aleatórias for independente.
le, X(tj) -X(t0), X(t2) -X(ti), ... , X(tn) -X(tn.,) for independente para todo n>0 e
0< t0 < ... < tp <qc
Definição 3.2: Um processo estocástico é dito independente por incrementos
estacionário se a distribuição da primeira diferença for independente, e além disto,
X(t) -X(s) depender apenas de t-s.
Definição 3.3: Um Movimento Browniano Padrão (ou Processo de Wiener) é
definido como um processo estocástico X, independente por incrementos
estacionário, e X(t)~N(0,t)
Definição 3.4: Um processo Y é dito um (p.,cr) Movimento Browniano se Y(t) =
Y(0) + \ú + üX(t) ; onde X é um processo de Wiener e Y(0) é independente de X.
Segue-se
imediatamente
da
definição
IV
que
Y(t+s)
- Y(t)
~ N(j.is
, a2s).
Uma visão infinitesimal de um movimento Browniano é que
dX(t)=l\xY\Y(t+h)-Y(t)pode ser visto como uma versão contínua de um ruído
branco. Neste sentido Y(t) pode ser entendido com um passeio aleatório contínuo.
Teorema 3.1 (Teorema de Wiener): Seja ç a a-álgebra de Borel definida em
C=C[0,co) e X o processo estocástico coordenado em C. Existe um única medida de
probabilidade P definida no espaço mensurável (C , ç) tal que o processo estocástico
X definido no espaço de medida (C , ç , P) seja um processo de Wiener.
Desta forma denominamos P como a medida de Wiener.
Lema de Itô: Seja Y(t) um movimento Browniano, e Z(t) = / (Y,t), onde Y(t) é
um
movimento
Browniano
de
média
|a e variância
a2
, tem-se
que
a o processo
estocástico Z é descrito por:
Teorema 3.2: Todo processo estocástico contínuo independente por
incrementos estacionário é um movimento Browniano.
Este teorema nos permite definir um movimento Browniano a partir da
continuidade e da estacionariedade por incrementos estacionários, sendo a
normalidade obtida como conseqüência. Portanto, este teorema dá grande
sustentação para o uso deste tipo de movimento para descrever o comportamento do
preço de um ativo.
CAPITULO IV
"SPREAD"
e RICO
DE
CRÉDITO:
Um
Exercício
Empírico
IV. 1 - Introdução
Escolher a técnica de estimação para a medida de risco de crédito foi sem dúvida
a tarefa mais difícil deste trabalho.
Os modelos binários do tipo logit/probit seriam a primeira resposta a quem
pretende estimar a probabilidade de ocorrência de um evento. Em um artigo.
Campbell e Dietrich (1983) utilizam-se de tal técnica para estudar a inadimplência
nos 'Tnsured Convencional Residential Mortgage Loans". Porém, tais modelos são
inadequados ao caso desta dissertação, uma vez que queremos calcular a
probabilidade de uma firma que possivelmente nunca foi inadimplente vir a ser. e
tais técnicas baseiam-se em amostras de ocorrência do evento.
Seguimos os passos de Claessens & Pennacchi (1996), definindo uma variável
estocástica não observável associada ao preço da ação para caracterizar o risco de
inadimplência, e utilizando a técnica do Filtro de Kalman Extendido para tal
còmputo. Os resultados foram bastante insatisfatórios.
Por fim. optamos (conforme já descrito no capítulo 111) por modelar o processo
estocástico que caracteriza o preço da ação e tomar como medida de risco de credito
a probabilidade da primeira passagem de tal processo estocástico pelo valor zero.
Uma opção a esta metodologia seria modelar o processo do preço dentro da
metodologia arima com correção garch . Tal exercício gerou resultados com baixo
poder explicativo (ver dois exemplos no Anexo 1). e além disto, representaria um
problema adicional neste exercício, uma vez que não se é conhecida a fórmula da
IV.2 - Modelo Analítico
Obteremos nesta seção, estimativas do seguinte modelo (já apresentado no
capítulo III) para algumas empresas brasileiras.
ti (t) = Ti(t-At)
+ jLi.At
~ a.co(t)
onde
co(t)
- N(0,
a2At).
Faremos a estimação aproximando este processo estocástico por:
ti, - 7Tt_i + jj. + st onde et - N(0. a")
Para fazer tal exercício, usaremos os preços trimestrais de fechamento das ações
na Bovespa. Uma vez obtidos estimadores para os valores de (|.i,a), usaremos como
medida de risco de crédito a probabilidade do preço da ação assumir valores
menores que zero. Tal probabilidade é dada pela expressão abaixo (conforme já
apresentado no capítulo 111):
P{min(7i(t))«).te(().t:)]=N((-7r,.-,u.t:)/a.(t;)i:)+c\p(-2(.i7T,i/cT:).N((-7r(1+n.t:)/c7.(t:)1')
Após realizado este exercício de mensuraçào do risco de crédito, utilizaremos
tais medidas para calcular "spread" em operações de crédito de seis meses de
duração. Para este segundo passo, seguiremos o modelo abaixo descrito.
IV.3
- O MÉTODO
ECONOMÉTRICO
DE
ESTIMAÇÃO
A teoria de finanças encontra vantagens em trabalhar com modelos teóricos em
tempo contínuo. Porém, tal tratamento nos trás um problema crucial na hora de
estimá-los uma vez que os dados são coletados sempre em intervalos discretos de
tempo. Na verdade, por mais freqüente que seja a coleta dos dados, e impossível
algo que se assemelhe ao tempo contínuo.
Utilizar de aproximações discretas de modelos em tempo contínuo para
1982). Tal prática na verdade, parte do princípio que para amostras infinitamente
grande esta aproximação não traria diferenças significativas e que. portanto, o
estimador encontrado por tal técnica seria consistente.
Isto. porém, só seria verdadeiro se mais dados significasse dados mais
freqüentes, o que em geral é falso. Por este motivo, este assunto ocupou a
preocupação de alguns pesquisadores nesta área nos últimos anos.
Em um artigo de 1995, Hansen e Scheinkman discutem condições suficientes
para um estimador para um modelo em tempo contínuo e baseado em dados
discretos ser consistente. Gallant e Tauchen (1995) propõem um estimador de
mínimo qui-quadrado para estimar um sistema estocástico de equações diferenciais
para retorno de ativos. Tal método, é um variante do método dos momentos
proposto por Duffie e Singleton (1993) e define como função momento a ser usada
na estimação, a esperança com relação á medida invariante do sistema.
Aít-Sahalia (1996) discute a perda da propriedade de consistência do estimador
de máxima verossimilhança, e propõe um procedimento não paramédico para
estimação de modelos estocásticos em tempo contínuo.
Em fim. esta dissertação, cujo interesse não é econométrico. vai seguir a vertente
mais comum em teoria de finanças e utilizar o modelo em tempo discreto como
sendo a discrição do processo estocástico dos preços das ações. Não sem antes.
entretanto, tomar o cuidado de apontar discussão acima mencionada.
IV.4
- MODELO
PARA
CÁLCULO
DE
"SPREAD"
Outra área fértil em teoria de finanças é a de cálculo de medidas de "spread" para
empréstimos sujeitos a risco de inadimplência. Tais desenvolvimentos visam
modelar qual o risco e qual o prêmio a ser cobrado por este risco num ambiente em
que há possibilidade do agente vir a tornar-se inadimplente.
A análise abaixo descrita, propõe-se a explorar tais fatos num ambiente onde as
instituições financeiras visam obter rendimentos no mercado com risco no mínimo
raciocínio é de que as firmas sejam não propensas ao risco. Tal fato é expresso na
seguinte equação:
onde E representa o operador esperança, r a taxa de juros livre de risco, s o spread cobrado
pela instituição, Do o valor da operação e T a duração da mesma.
Portanto:
(l-p).[(l+
r f s)T.D0]
+ p.L
> (1+
r)TD0
onde p = P{min(7r(t))<0,te(0,t:)} e L o colateral no caso de inadimplência.
Com uma ligeira manipulação algébrica, obtém-se a seguinte expressão para o
"spread":
s > [((hr)rD,,
- p.L)
/ (1-p)
D,,]1
' - (1-r)
Esta expressão será satisfeita com igualdade no caso da firma ser neutra ao risco
e com desigualdade estrita no caso de ser aversa.
IV.5
- MENSURAÇAO
EMPÍRICA
Conforme já descrito, usaremos neste exercício os preços trimestrais de
fechamento da ação de oito empresas escolhidas aleatoriamente na Bovespa. Tais
empresas são: Banespa. Bradesco, Banco do Brasil, Cesp, Eletrobrás. Petrobrás.
Pirelli e Telebrás. Em tal exercício, trataremos de empréstimos sem garantia (L=0).
de
uma
financeira
neutra
ao
risco.
Neste
caso temos;
s = [((1-
r)'
/(1-p)]1
' - (1 - r)
, de forma que ficamos livres de ter que especificar o valor da dívida (Do). Alem disto,
faremos os cálculos semestralmente (T=l) e usaremos r=10% ao semestre.
Por fim, é conveniente comentar que foram feitos os testes de raiz unitária para todas as
ações usadas, tendo sido aceita a hipótese nula em todos os casos (ver dois exemplos no
Anexo 1).
BANESPA
LS // Dcpcndcnt Vanable is BANESPA
Dale: 05/07/98 Time: 15:32
Sample(adjusted): 2 50
Included observations: 49 after adjusting endpoints
BANESPA = BANESPA(-l) + C(l)
Cocfficient
C(l) 0.001520
R-squared
Adjusted R-squarcd SE. ofregression
Suni squared resid
Lcm likelihood Std. Error 0.001038 0.794345 0.794345 0.007264 0.002533 172.2933 t-Statistic Prob. 1.465142 0.1494
Mean dependem var
S.D. dependem var
Akaike info criterion Schwarz criterion Durbin-Watson stat 0.005793 0.016018 -9.829440 -9.790831 2.164302
Este modelo tem bom poder explicativo (79.4%), e ao nível de signifícância de
5% aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
x=2
Zo = 0,075 f.i = 0,000 a= 0,016
(-Zo -í.d1)/(rr.(t1)A0,5) = -3,289
-Zo +(.it1)/(fT.(t1)A0,5) = -3,289
P{min zt<0, 0<t<x} = 0,10%
spread = 0,11% ao semestre
BRADESCO
LS // Dependent Vanable is BRADESCO
Date: 05/07/98 Time: 15:34
Sample(adjusted): 2 50
Included observations: 49 after adjusting endpoints
BRADESCO = BRADESCO(-l) + C(l)
Cocfficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(l) 0.000204
R-squarcd
Adjuslcd R-squared SE. of regressiou
Sum squared resid
Lo" likelihood 9.29E-Or> 0.96962 3 0.969623 0.000650 2.O3E-O5 290.556 1
2 197379 0.0329
Mcan dependem var
S.D. dcpcndcnt var
Akaike info criterion Sclnvarz crilenon Durbin-Watson stat 0.002475 O.OO37.3O -14.65649 -14.61789 1.420683
Este modelo tem ótimo poder explicativo (97°-o). e ao nível de signifícância de
x=2
Zo = 0,010
yl= 0,000
n= 0,004
(-Zo-nt1)/(a.(t1)A0,5) = -1,973
;-Zo+(.Lt1)/(a,(t1)A0,5) =-1,818
P{min zt<0, 0<t<x} = 5,00%
spread = 5,79% ao semestre
BANCO DO BRASIL
LS // Dependent Variable is BRASIL
Date: 05/07/98 Time: 15:35
Sample(adjusted): 2 50
Includcd observations: 49 after adjusting endpoiiils
BRASIL = BRASIL(-l) + C(l)
Coefficicnt Std. Error t-Slalistic Prob.
C(l) 0.000244
R-squared
Adjusted R-squared
SE. ofrcgrcssion
Suni squarcd rcsid
Lou likclihood 0.00027^ 0.869542 0.869542 0.001924 O.OOO178 237.3876 0.887222 0.3794
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaikc info crilenon
Schwar/. criterion Durbin-Watson stal 0.003926 0.005327 -12.48635 -12.44774 1 521935
Este modelo tem bom poder explicativo (87%). e ao nível de signifícância de 5%
aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
T= 2
Zo = 0,012
j.l = 0,000 a = 0,004
(-Zo-nt1)/(a.(t1)A0,5) = -2,240
(-Zo+).it1)/(cT.(t1)A0.5) = -2,064
P{min zt<0, 0<t<x} = 2,59%
spread = 2,92% ao semestre
CESP
LS // Dependent Variable is CESP
Date: 05/07/98 Time: 15:38
Sample(adjusled): 2 50
Coefficient
C(l) 0.001081
R-squarcd
Adjusted R-squared
S.E. of regrcssion
Suni squared rcsid
Log likelihood Std. Error 0.000980 0.914041 0.914041 0.006860 0.002259 175.0952 t-Statistic Prob. 1.103446 0.2753
Mcan dependem var
S.D. dependem var
Akaikc inío critenon
Sclnvarz crilenon Durbin-Walson stat ().() 15903 0.023399 -9.943803 -9.905194 1.3S249O
Este modelo tem ótimo poder explicativo (91,4%). e ao nível de signifícància de
5% aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
Zo = 0,053
(.1 = 0,000
a= 0,023
(t1)A0,5) = -1,601
;-Zo+).it1)/(a.(t1)A0,5) = -1,601
P{min zt<0, 0<t<x} = 10,93%
spread = 13,50% ao semestre
ELETROBRAS
LS // Dependem Vanable is ELETROBRAS
Dale: 05/07/98 Time: 15:44
Samplc(adjustcd): 2 24
Includcd observations: 23 atter adjusting cndpoints
ELETROBRAS = ELETROBRAS(-l) + C(l)
Cocfficicnt Std. Error t-Statistic
C( 0.001782
R-squarcd
Adjusted R-squared
S.E. of regrcssion
Sum squared rcsid
Loa likelihood 0.001418 0.861669 0.861669 0.006801 0.001017 82 66255 1.256603 Prob. 0.2221
Mcan dependem var
S.D. dependent var
Akaikc info critenon
Sclnvarz enterion Durbm-Watson stat 0.025391 0.018285 -9.938968 -9.889599 1.423640
Este modelo tem bom poder explicatixo (86.2%). e ao nível de signifícància de
5% aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
T= 2
Zo = 0.041
n = o.ooo rr = 0,018
(-Zo-ut1)/(r7.(t1)A0.5) = -1,586
;-Zo+Mt1)/(fT.(t1)A0,5) = -1,586
P{min zt<0, 0<t<x} = 11,28%
PETROBRAS
LS // Dcpendent Vanable is PETROBRAS
Date: 05/07/98 Time: 15:43
Sample(adjustcd): 2 50
Includcd observations: 49 aíler adjusting cndpoinls
PETROBRAS = PETROBRAS(-l) + C(l)
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(l) 0.005571
R-squared
Adjusted R-squared
SE. of regression
Sum squared resid
Loa likelihood 0.003412 0.932157 0.932157 0.023883 0.027380 113.9711 1.632929 0.1090
Mean dcpendent var
S.D. dependem var
Akaike info criterion
Schwar/. criterion Durbin-Watson stat 0.056880 0.091695 -7 448941 -7.41033? 1.537038
Este modelo tem ótimo poder explicativo (93.2%), e ao nível de signifícância de
5% aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
T=2
Zo = 0,273
1!= 0,000
n= 0,092
(-Zo-(.it1)/(a.(t1)A0.5) = -2,105
(-Zo +).it1)/(a.(t1)A0,5) = -2,105
P{min zt<0, 0<t<x} = 3,53%
spread = 4,02% ao semestre
PIRELLI
LS // Dcpendent Vanablc is PIRELLI
Date: 05/07/98 Time: 15:4!
Sample(adjustcd): 2 40
Includcd observations: 39 aftcr adjusting cndpoints
PIRELLI = PIRELLI(-l) + C(l)
Cocllicient
C(l) 0.064103
R-squarcd
Adjusted R-squarcd
S.E. ot" regression
Sum squarcd resid
Lou likelihood Std. Error 0.062550 0.8?3f)5S 0.833058 0.390622 5.798255 -18.17151 t-Statistic Prob.
1.024828 0 3 119
Mean dependem var
S.D dependeu! var
Akaike info criterion
Schwar/. criterion Durbin-Watson slal 0.731400 0.956036 -1.854723 -1.812067 2.566909
Este modelo tem bom poder explicativo (83.3%). e ao nível de signillcància de
5% aceita-se a hipótese nula de C( 1) - 0. Portanto, temos:
Zo = 2,500 (.1 = 0,000 rr = 0,956
(-Zo-(.it1)/(a.(t1)A0,5) = -1,849
(-Zo+|.it1)/(c7.(t1)A0,5) = -1,849
P{min zt<0, 0<t<x} = 6,44%
spread = 7,58% ao semestre
TELEBRAS
LS // Dependem Variablc is TELEBRAS
Date: 05/07/98 Time: 15:24
Sample(adjusted): 2 37
Includcd observations: 36 after adjusting endpoinls
TELEBRAS = TELEBRAS(-l) + C(l)
Coefficient
C(l) 0.003667
R-squarcd
Adjusted R-squarcd
SE. of regression
Sum squared rcsid
Lotz likclihood Std. Error O.OO23O8 0.924671 0.924671 0.013850 0.006714 103.4857 t-Stalistic Prob. 1.588424 0.1212
Mean dcpendent var
S.D. dependem var
Akaikc info critenon
Sclnvar/. criterion Durbin-Watson stat 0.037946 0.050463 -8.531526 -8.487540 1.845212
Este modelo tem ótimo poder explicativo (92.5%). e ao nível de significância de
5° o aceita-se a hipótese nula de C( 1) = 0. Portanto, temos:
T=2
Zo = 0,132
I.i = 0,000 rr = 0.050
(-Zo-ut1)/(a.(t1)A0,5) = -1,850
(-Zo+ut1)/(a.(t1)A0,5) = -1,850
P{min zt<0, 0<t<t} = 6,44%
spread = 7,57% ao semestre
COMENTÁRIOS ECONOMETRICOS
Uma observação de extrema relevância, e a de que se observarmos a estatística
de Durbin Watson para boa parte dos estimadores, perceberemos a existência de
autocorrelaçào serial, o que implica na perda da propriedade de eficiência deste
estitnador. e pode implicar na inconsistência dos parâmetros estimados, se tal
autocorrelaçào for devida a um erro de especificação no modelo. A solução para
