Cesec – Centro Estadual de Educação Continuada Rua Padre Pedro Pinto 775, Venda Nova
Belo Horizonte / M.G.
Matemática
(Módulo III)
Matemática Comercial
Prof. Carlos Roberto Lacerda
Razões e proporções
Definimos a razão entre dois números, dados numa certa ordem, como o resultado da divisão do primeiro número pelo segundo ( sendo o segundo número diferente de zero ). Observe:
A razão entre os números 4 e 14 é 4
=
214 7
Logo vemos que a razão entre dois números é obtida dividindo-se o primeiro número pelo segundo. Assim, num estádio onde existem 5 homens para cada 2 mulheres, a razão é de : 5 .
2 Exemplos:
razão entre 6 e 3 é 6
=
23
razão entre 7 e 2 é 7 2
razão entre 4 e 14 é 4
=
214 7
Vejamos agora alguns conceitos importantes. Para isso, considere a razão abaixo:
a
antecedente ou 1o termob
conseqüente ou 2o termoO valor de uma razão não se altera se multiplicarmos ou dividirmos seus dois A razão entre dois números pode ser um número
inteiro ou um número fracionário.
Exemplos:
9
=
3 ( dividindo-se ambos os termos por 3 ) 6 2 1
=
2 ( multiplicando-se ambos os termos por 2 ) 5 10Já as razões 3 e 7 são ditas razões inversas porque o antecedente de 7 3
uma razão é o conseqüente da outra e vice-versa.
Veja o exemplo a seguir:
meios 4
=
86 12
extremos
Na proporção anterior, temos que 4 e 12 são chamados extremos e que 6 e 8 são chamados meios. É uma proporção porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Veja:
4
=
8 4 . 12 = 6 . 8 48 = 48 6 12Outro exemplo de proporção: 2
=
4 2 . 6 = 3 . 4 12 = 12 3 6Agora um exemplo de razões que não representam uma proporção:
4
=
8 4 . 10 6 . 8 40 48 6 10Logo não é uma proporção.
Definição de proporção: dizemos que duas razões
formam uma proporção quando podemos aplicar a estas
razões a propriedade fundamental que diz que o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exercícios:
1) Verifique se as razões abaixo formam uma proporção:
a) 8
=
6 b) 5=
20 c) 8=
34 3 2 8 5 2
Vejamos agora como calcular o termo faltoso de uma proporção:
Seja dada a proporção abaixo com um meio faltoso:
5
=
x7 56
Aplicando a propriedade fundamental, temos que:
5
=
x 7 . x = 5 . 56 7 56 7 . x = 280x
=
2807
o meio faltoso é 40
Vejamos outro exemplo de como calcular o termo faltoso de uma proporção:
Seja dada a proporção abaixo com um extremo faltoso:
x
=
54 10
Aplicando a propriedade fundamental, temos que:
x
=
5 10 . x = 4 . 5 4 10 10 . x = 20x
=
2010
o extremo faltoso é 2 x = 40
x = 2
Exercícios:
1) Descubra o termo faltoso:
a) 3
=
x b) 21=
x c) x=
2 d) 4=
65 20 14 2 35 7 8 x
e) 2
=
4 f) x=
58 x 12 6
Números proporcionais
Considere as seguintes razões: 2
=
6=
103 9 15
Estas razões constituem uma sucessão de razões iguais, pois, consideradas duas a duas separadamente formam proporções. Veja:
2
=
6 2 . 9 = 6 . 3 = 18 3 92
=
10 2 . 15 = 3 . 10 = 30 3 156
=
10 6 . 15 = 9 . 10 = 90 9 15Obs.: O termo faltoso também é conhecido como quarto proporcional.
Se simplificarmos a razão 6 obteremos 2 ( basta dividir o numerador 9 3 e o denominador por 3 ).
Se simplificarmos a razão 10 obteremos 2 ( basta dividir o numerador 15 3 e o denominador por 5 ).
Números diretamente proporcionais
Considere as razões: 2
=
3=
4=
54 6 8 10
Se você simplificar cada uma destas frações ( divida o numerador e o denominador da primeira por 2 ; divida o numerador e o denominador da segunda por 3 ; divida o numerador e o denominador da terceira por 4 ; divida o numerador e o denominador da quarta por 5 ), todas estas frações se reduzirão à razão 1 , que é chamada de coeficiente de proporcionalidade. 2
Exemplos:
1) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais:
( 2 , 3 , x ) e ( 6 , y , 15 )
Considere as seguintes razões: 2
=
3=
x6 y 15
Pegamos a razão completa ( que não tem letra ) com uma das razões incompletas de cada vez. Veja o cálculo de y :
2
=
36 y
Pela propriedade fundamental, vem:
2 . y = 6 . 3 2 . y = 18 y = 18 2
Agora é a vez de calcular x : 2
=
x6 15 Pela propriedade fundamental, vem:
6 . x = 2 . 15 6 . x = 30 x = 30 6
2) Divida o número 96 em partes que sejam diretamente proporcionais aos números 4, 12 e 16.
Chamaremos de N o número 96.
Chamaremos de a o número 4.
Chamaremos de b o número 12.
Chamaremos de c o número 16.
Então teremos: N
=
96=
96=
3a + b + c 4 + 12 + 16 32 Logo a razão de proporcionalidade é 3 e as partes serão:
3 . a = 3 . 4 = 12 3 . b = 3 . 12 = 36 3 . c = 3 . 16 = 48
Resposta: 12, 36 e 48 y = 9
x = 5
Exercícios:
1) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais:
( x , 4 , 8 ) e ( 40 , 10 , y )
2) Divida o número 169 em partes que sejam diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 6.
Exemplo prático de grandezas diretamente proporcionais
Analise a seguinte situação:
Cláudia compra livros que custam R$ 20,00 cada.
Comprando 1 livro pagará R$ 20,00 Comprando 2 livros pagará R$ 40,00 Comprando 3 livros pagará R$ 60,00 Comprando 4 livros pagará R$ 80,00
Concluímos que à medida que Cláudia aumenta a quantidade de discos comprados, o preço aumenta sempre em uma mesma proporção ( para cada livro a mais, o preço aumenta R$ 20,00 ). Então dizemos que discos e preço neste caso representam um par de grandezas diretamente proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando- se uma delas, a outra aumenta também e sempre na mesma razão.
Exemplo prático de grandezas inversamente proporcionais
Médias
Média aritmética : para calcular a média aritmética de vários números, somamos todos eles e dividimos pela quantidade de números considerados.
Exemplo: Calcule a média aritmética dos números 3, 4, 5, 6 e 7
m a = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 5 5
Analise a seguinte situação:
Um automóvel faz uma viagem de B.H. à Juiz de Fora.
Se sua velocidade média é de 60 Km/h ele gasta 6 horas de viagem.
Se sua velocidade média é de 90 Km/h ele gasta 4 horas de viagem.
Se sua velocidade média é de 120 Km/h ele gasta 3 horas de viagem.
Concluímos que à medida que se aumenta a velocidade do automóvel, diminui-se o tempo da viagem. Então enquanto uma das grandezas aumenta, a outra diminui. Neste caso, dizemos que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando-se uma delas, a outra diminui e sempre na mesma razão.
m a = 5
Média ponderada : para calcular a média ponderada de vários números, multiplicamos os números considerados por seus respectivos pesos, somamos os resultados e depois dividimos pela soma dos pesos. O peso é um valor atribuído a um determinado número e exprime a maior ou menor importância deste número para a média calculada.
Exemplo: Calcule a média ponderada de um aluno que tirou nota 7 em Português, nota 8 em História e nota 9 em Matemática. Considere que os pesos das provas são 4 em Português, 2 em História e 4 em Matemática.
m p = ( 7 . 4 ) + ( 8 . 2 ) + ( 9 . 4 ) = 28 + 16 + 36 = 80 = 8 4 + 2 + 4 10 10
Exercícios:
1) Calcule a média aritmética dos números 10, 16, 20 e 24.
2) Calcule a média ponderada dos números 3, 5, 7 e 9 atribuindo-lhes os seguintes pesos 1, 2, 3 e 4 respectivamente.
3) Calcule a média ponderada de 5, 20 e 10 sendo 4, 2 e 3 os respectivos pesos.
m p = 8
Regra de três
Definimos como regra de três a um conjunto de operações que nos permite calcular um valor desconhecido entre grandezas proporcionais. A regra de três é simples quando apresenta apenas 2 grandezas relacionadas e será uma regra de três composta quando apresentar 3 ou mais grandezas.
Veja os exemplos a seguir:
Problemas com regra de três simples
1) Para fazer 50 vestidos iguais foram gastos 120 metros de tecido. Quanto se gastará de tecido para fazer 1200 vestidos do mesmo tipo ?
Resolução:
Vestidos tecido
50 120 m 1200 x
analisando o problema vemos que aumentando o número de vestidos, aumentamos a quantidade de tecidos. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais e não invertemos nenhuma delas.
50 = 120 m 50 . x = 120 . 1200 1200 x 50 . x = 144000
x = 144000 50
x = 2880
Resposta: Para se fazer 1200 vestidos precisaremos de 2880 metros de tecido.
2) Se 15 operários levam 10 dias para fazer uma casa, quantos operários serão necessários para fazer esta mesma casa em 6 dias ?
Resolução:
operários dias 15 10 x 6
analisando o problema vemos que aumentando o número de operários, diminuímos a quantidade de dias trabalhados. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais e invertemos uma das grandezas.
15 = 6 6 . x = 15 . 10 x 10 6 . x = 150
x = 150 6
Problemas com regra de três composta
3) Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias trabalhando 8 horas por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 14 dias trabalhando 10 horas por dia ?
Resolução:
operários dias horas 35 24 8 x 14 10
analisando o problema vemos que aumentando o número de dias trabalhados, diminuímos a quantidade de operários. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais e invertemos a grandeza dias.
x = 25
Resposta: Para se fazer a casa em 6 dias serão necessários 25 operários.
analisando novamente o problema vemos que aumentando o número de horas trabalhadas por dia, também diminuímos a quantidade de operários. Logo, as grandezas são inversamente e invertemos a grandeza horas.
35 = 14 = 10 35 = 14 . 10 35 = 140 x 24 8 x 24 . 8 x 192
140 . x = 35 . 192 140 . x = 6720 x = 6720
140
4) Para alimentar 50 coelhos durante 15 dias são necessários 90 Kg de ração.
Quantos coelhos é possível alimentar por 20 dias com 240 Kg de ração ? Resolução:
coelhos dias ração 50 15 90 x 20 240
analisando o problema vemos que aumentando o número de dias para alimentar os coelhos, diminuímos a quantidade de coelhos que poderemos alimentar. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais e invertemos a grandeza dias.
analisando novamente o problema vemos que aumentando o número de ração, também aumentamos a quantidade de coelhos que poderemos alimentar.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais e não invertemos a grandeza ração.
x = 48
Resposta: Para se fazer a casa em 14 dias trabalhando 10 horas por dia precisaremos de 48 operários.
50 = 20 = 90 50 = 20 . 90 50 = 1800 x 15 240 x 15 . 240 x 3600
1800 . x = 50 . 3600 1800 . x = 180000 x = 180000
1800
Exercícios:
1) Se 3 pedreiros levaram 90 dias para construir uma casa. Quantos dias levariam 5 pedreiros para construir uma casa igual à primeira ?
2) Se com 12 toneladas de cana são fabricados 840 litros de álcool, quantos litros de álcool produzirão 23 toneladas de cana ?
3) Se 5 máquinas fizeram 2000 peças num certo tempo. Quantas peças seriam feitas neste mesmo tempo por 8 máquinas ?
4) 100 gramas de leite integral contém 5 gramas de carboidratos. Que quantidade de leite conterá 450 gramas de carboidratos ?
5) Um automóvel gasta 3 horas para fazer um percurso com a velocidade média de 60 Km/h. Para fazer o mesmo trajeto em 2 horas que velocidade média deverá desenvolver ?
6) Se 3 torneiras enchem um tanque em 12 horas, quantas torneiras serão necessárias para encher o mesmo tanque em 9 horas ?
x = 100
Resposta: Será possível alimentar 100 coelhos durante 20 dias com 240 Kg de ração.
Porcentagem
O símbolo % quer nos dizer em 100 partes ou por cento. Assim, se dissermos que 60% dos alunos são do sexo feminino, significa dizer que em cada 100 alunos teremos 60 do sexo feminino. Se no supermercado você vê escrito 30% de desconto no preço da mercadoria, isto significa que para cada R$ 100,00 do preço você terá R$ 30,00 de abatimento. Assim:
30% = 30 e 60% = 60 100 100
Resumindo : 30% e 60% indicam taxas centesimais ou porcentagens, pois expressam a razão entre um dado número e o número de referência 100.
As porcentagens podem ser calculadas usando a regra de três simples. Veja nos exemplos a seguir:
1) Em um hospital, 2 dos funcionários são enfermeiros. Qual é a taxa centesimal 5
de enfermeiros ?
Resolução: procuremos a razão equivalente à fração dada cujo denominador seja 100.
2 = x 5 . x = 2 . 100 5 100% 5 . x = 200
x = 200 5
x = 40%
Resposta: A taxa centesimal de enfermeiros é de 40%.
2) Em uma cidade, 1 dos habitantes são estrangeiros. Qual é a taxa centesimal dos 25
estrangeiros ?
Resolução: procuremos a razão equivalente à fração dada cujo denominador seja 100.
1 = x 25 . x = 1 . 100 25 100% 25 . x = 100
x = 100 25
3) Uma cidade tem uma população de 30.000 habitantes. Se neste ano a cidade terá um aumento de 10% em sua população, quantos habitantes terá após esta aumento ?
Resolução:
30.000 = 100% 100 . x = 30000 . 110 x 110 % 100 . x = 3300000
x = 3300000
100 x = 4 %
x = 33000
Resposta: A população será de 33000 habitantes.
Resposta: A taxa centesimal dos estrangeiros é de 4%
4) Uma motocicleta foi vendida com um lucro de 20% por R$ 3.000,00 . Calcule o preço de custo desta motocicleta ?
Resolução:
3.000,00 = 120% ( custo + lucro ) x 100% ( custo )
120 . x = 100 . 3000,00 120 . x = 300000
x = 300000
120
5) Uma roda de carro foi vendida por R$ 40,00 com prejuízo de 20%. Qual foi o preço de custo da roda ?
Resolução: preço porcentagem
40,00 = 80% ( custo – prejuízo ) x 100% ( custo )
80 . x = 40,00 . 100 80 . x = 4000
x = 4000
80 x = 2.500,00
x = 50,00
Resposta: O preço de custo da roda foi de R$ 50,00
Resposta: O preço de custo da motocicleta foi de R$ 2.500,00
6) Um objeto foi vendido por R$ 600,00 com um lucro de 20%. Qual é o valor de custo do objeto ?
Resolução: preço porcentagem
600,00 = 120% ( custo + lucro ) x 100% ( custo )
120 . x = 100 . 600,00 120 . x = 60000,00
x = 60000
120
Exercícios:
Resolva os problemas que se seguem
1) No ano passado a população de uma cidade era de 18.000 habitantes.
Considerando que a taxa de crescimento foi de 40 % ao ano, quantos habitantes terá essa cidade no final deste ano ?
2) Um alfaiate vendeu um corte de fazenda por R$ 36,80 com um prejuízo de 20%. Qual era o preço de custo do corte ?
3) Uma mercadoria foi vendida à vista com um desconto de 15% por R$ 46,15.
Qual era o preço normal de venda desta mercadoria ?
4) Na compra de um televisor à vista, Sérgio pagou R$ 200,00 obtendo com este valor um desconto de 20% . Qual é o preço do televisor sem desconto ?
5) Uma geladeira foi vendida por R$ 935,00 obtendo-se 10% de lucro nesta transação. Qual é o preço de custo desta geladeira ?
6) Um carro usado foi vendido com 20% de desconto por R$ 1.480,00. Sem o x = 500,00
Resposta: O lucro obtido foi de R$ 500,00
