IFMG-Formiga
Lógica para
Ciência da Computação
Introdução
O que é Lógica?
É a formalização de linguagem e
raciocínio, além de meios para expressar (dar significado) a essas formalizações.
Mundo Sintático
História
Surgiu com o filósofo Aristóteles (Grécia 342 a.c.) que tentava descobrir com funcionava o raciocínio humano. Aristóteles
estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados.
História
Em meados do século XIX Boole trabalhou no que hoje é a base matemática para
“hardware” de computadores.
No início do século XX Frege tentou derivar toda a matemática através de princípios
lógicos (lógica de 2ª ordem).
Divisão da lógica
Lógica Formal
Lógica Formal clássica: lógica Dual de Aristóteles
Lógica Formal não clássica
Lógica Matemática
Lógica Matemática Simbólica clássica: lógica Dual de George Boole
Linguagens Formais
De maneira informal, podemos definir uma linguagem como sendo uma forma de
comunicação. Elaborando um pouco mais esta definição, podemos definir uma linguagem como sendo "um conjunto de elementos (símbolos) e um conjunto de métodos (regras) para combinar estes elementos, usado e entendido por uma
determinada comunidade".
São exemplos as “linguagens naturais” (ou idiomas), “linguagens de programação" e os "protocolos de rede"...
Capítulo 1
Fundamentos da lógica
Os itens básicos os quais a lógica lida são as proposições. As proposições são utilizadas para expressar crenças. Em linguagem
natural elas são representadas por
sentenças declarativas o qual pode ser
atribuído, sem ambiguidade, um dos valores
lógicos (v- verdadeiro ou f- falso).
Ex.:
Está frio hoje. 3+4
A rua está molhada. Tudo bem?
Introdução
Alfabeto da Lógica Proposicional
Definição 1.1 (alfabeto) O alfabeto da
Lógica Proposicional é constituído por:
símbolos de pontuação: ( );
símbolos de verdade: true, false; símbolos proposicionais:
P; Q; R; S; P1; Q1; R1; S1; P2; Q2; ...;
Fórmulas da Lógica Proposicional
Definição 1.2 (fórmula ou sentença) As fórmulas
são construídas, de forma indutiva, a partir dos
símbolos do alfabeto conforme as regras a seguir. O conjunto das fórmulas é o menor conjunto que
satisfaz as regras:
todo símbolo de verdade é uma fórmula; todo símbolo proposicional é uma fórmula;
se H é uma fórmula, então (¬H), a negação de H, é
uma fórmula; Ex.:
(H) O café está muito quente
Fórmulas da Lógica Proposicional
Definição 1.2 (fórmula ou sentença)
se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e G; dada por: (H ∨ G); é uma fórmula; Ex.:
(H) José vai estudar (G) José vai para a festa
Disjunção (H ∨ G): José vai estudar ou José vai a festa
se H e G são fórmulas, então a conjunção de H e G; dada por: (H ∧ G); é uma fórmula; Ex.:
Fórmulas da Lógica Proposicional
Definição 1.2 (fórmula ou sentença)
se H e G são fórmulas, então a implicação de H em G; dada por: (H → G); é uma fórmula. Nesse caso, H é o
antecedente e G o conseqüente da fórmula (H → G); Ex.:
(H) Eu como muito (G) Eu engordo
Implicação (H → G): Se eu como muito então eu engordo.
se H e G são fórmulas, então a bicondicional de H e G; dada por: (H ↔ G); é uma fórmula. Nesse caso, H é o lado
esquerdo e G o lado direito da fórmula (H ↔ G). Ex.:
(H) Um triângulo é retângulo
(G) Um triângulo tem ângulo reto
Bicondicional (H ↔ G): Um triângulo é retângulo
Fórmulas da Lógica Proposicional
Variações Estilísticas:
Negação Conjunção
Notação:
Os parênteses das fórmulas são omitidos quando não há problemas sobre a sua interpretação. Além disso, as
fórmulas podem ser escritas em várias linhas para uma melhor leitura. Assim, a fórmula:
(((P ∨ R) → true) ↔ (Q ∧ S))
pode ser escrita como
(P ∨ R) → true
↔
Q ∧ S
ou ainda como
((P ∨ R) → true) ↔ (Q ∧ S).
Ordem de Precedência
Definição 1.3 (ordem de precedência) Na
Lógica Proposicional, a ordem de
precedência dos conectivos proposicionais é definida por:
maior precedência: ¬;
precedência intermediária: → , ↔;
Elementos Sintáticos das Fórmulas
Definição 1.4 (comprimento de uma fórmula) Seja H uma fórmula da Lógica Proposicional. O comprimento de H, denotado por comp[H], é definido como se segue.
Se H = P ou é um símbolo de verdade, então comp[H] = 1;
Comp[¬H] = comp[H] + 1;
comp[H ∨ G] = comp[H] + comp[G] + 1;
comp[H ∧ G] = comp[H] + comp [G] + 1;
comp[H → G] = comp[H] + comp[G] + 1;
Definição 1.5 (subfórmula) Seja H uma fórmula da
Lógica Proposicional, então: H é uma subfórmula de H;
se H é uma fórmula do tipo (¬G),
então G é uma subfórmula de H;
se H é uma fórmula do tipo: (G ∨ E), (G ∧ E),
(G → E) ou (G ↔ E),
então G e E são subfórmulas de H;
se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G é subfórmula de H.
Exercícios
1)
Quais das concatenações de símbolos aseguir constituem sentenças bem formadas:
A) R10 if true then
B) true iff (P if true then) C) if (P or Q) then true
D) if (P and E) then false iff Q or S E) if (P and Q) then ((Q iff P) or R) F) not not P
Exercícios
2)Formalize as seguintes sentenças:
A)Fleming descobriu a penicilina ou não a descobriu.
P v¬P
B)Se eu não trabalho então não sou feliz.
¬P→¬Q
C)Jô Soares é artista se e somente se não é verdade que Jô Soares é artista.
P↔ ¬P
Exercícios
3)Qual o comprimento da sentença:
A) (if (P or Q)) then true)
P v Q → true
comp[H] = comp[P] + comp [Q] + 1= 3
