28/Fev/2018 Aula Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito 4.2 Força de arrastamento Exemplos.

(1)

28/Fev/2018 – Aula 4

5/Mar/2018 – Aula 5

5.1 Movimento circular

5.1.1 Movimento circular uniforme 5.1.2 Velocidade angular

5.1.3 Força e aceleração centrípetas 5.1.4 Aceleração tangencial

5.1.5 Coordenadas radial e tangencial

4. Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito

4.2 Força de arrastamento

Exemplos

(2)

5.1.1 Movimento circular uniforme

Trajetória circular. O vetor velocidade tem sempre o mesmo módulo, mas a sua direção muda constantemente. Para que o vetor velocidade mude, é necessário que exista uma aceleração.

O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula efetue uma rotação

completa.

Movimento curvo Simulação

(3)

s = r q _; q ₌ s/r

A posição angular q (em radianos) da

partícula, relativamente ao eixo x, é q ₌ s/r _,

em que s é o comprimento do arco definido pela trajetória da partícula, entre o eixo x e a sua posição em cada instante, com 0 £ | q | £ 2p .

1 ° = ( p /180 ° ) rad = 0,0174533 rad;

1 rad = 180 ° / p = 57,296 °

5.1.1 Movimento circular uniforme

(4)

Por convenção, q é positivo se aumentar no sentido anti- horário.

Se w descrever uma rotação no sentido anti-horário, é positiva.

5.1.2 Velocidade angular

A velocidade angular w (em radianos/s = rad/s) mede a rapidez com que o ângulo q varia, ao longo da trajetória da partícula.

ω= θ

_f

−θ

_i

t

f

−t

i

= d θ d t

v = s

_f

− s

_i

t

_f

− t

_i

= d s

d t = r θ

_f

− r θ

_i

t

_f

− t

_i

=r ω ω= v

r

(5)

A força (e a aceleração) apontam para o centro da circunferência

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

Para que um objeto se mova com velocidade constante ao longo de uma circunferência, é preciso que exista uma força a agir sobre ele. Se não, mover-se-ia ao longo de uma linha reta.

Movimento circular Simulação

(6)

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

(7)

A força centrípeta pode ser criada pela tensão numa corda, pela força normal, pelo atrito, etc.

Exemplo: um carro, de massa m = 1200 k g, efetua uma trajetória circular, de raio r = 45 m. Se m

_k

= 0,82, qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para não derrapar?

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

(8)

Exemplo: se uma curva tiver uma inclinação de ângulo q , é possível que um carro a descreva sem derrapar e sem que exista atrito. Se a curva tiver um raio r = 85 m e o carro tiver m = 900 k g e se deslocar a 20,5 m/s, qual deve ser o valor de q para que o carro não derrape?

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

(9)

5.1.4 Aceleração tangencial

Se o módulo da velocidade não for constante, existe uma aceleração no sentido do movimento. Nesse caso, trata-se de uma aceleração tangencial (tangente à trajetória).

A aceleração total será a soma vetorial das duas acelerações.

Centrípeta

Velocidade tangencial:

(10)

5.1.5 Coordenadas radial e tangencial

O eixo r (radial) é definido do centro de rotação para a posição da partícula.

O eixo t (tangencial) é a tangente à circunferência, no sentido anti-horário.

O eixo z (axial) é a a perpendicular ao plano de rotação.

Componentes

radial e tangencial animação

(11)

2/Maio/2018 – Aula 15

7Maio/2018 – Aula 16

16 Movimento periódico

16.1 Movimento harmónico simples (MHS)

(12)

Um objeto que esteja ligado a uma mola, por exemplo, e que seja

desviado da sua posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição: a mola exerce uma força de restituição, o que causa um movimento periódico (oscilação).

16. Movimento periódico

Massa-mola

simulação

(13)

Características do movimento periódico:

1. o movimento é realizado em torno de uma posição de equilíbrio;

2. o movimento repete-se em cada ciclo.

Amplitude ( A ): valor mais afastado da posição de equilíbrio.

Período ( T ): tempo necessário para completar um ciclo.

Frequência ( f ): número de oscilações (ciclos) por unidade de tempo.

Frequência angular ( w _): w _{= 2} p f .

16. Movimento periódico

(14)

Quando a força de restituição é diretamente proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio, como no caso de molas ideais, tem-se um movimento harmónico simples (MHS).

16.1 Movimento harmónico simples

(15)

Solução da equação diferencial de 2ª ordem

d é a fase do movimento e

16.1 Movimento harmónico simples

(16)

16.1 Movimento harmónico simples

Massa-mola

simulação

d é a fase do movimento:

d d

d

Solução da equação

diferencial de 2ª ordem

(17)

16.1 Movimento harmónico simples

(18)

16.1 Movimento harmónico simples

(19)

16.1 Movimento harmónico simples

(20)

16.1 Movimento harmónico simples

Se se mudar os valores de m _, A _ou k , a posição x(t) também muda:

(21)

16.1 Movimento harmónico simples

Se se mudar os valores de m _ou k , o período T também muda:

(22)

16.1 Movimento harmónico simples

Mas se se mudar o valor da amplitude A , o período T _{não muda:}

Massa-mola dupla

simulação

(23)

Um objeto em movimento harmónico simples tem o mesmo movimento de uma das componentes de um objeto com movimento circular uniforme:

Uma partícula roda no sentido anti-horário, com o ângulo f a aumentar linearmente com o tempo:

Como

16.1 Movimento harmónico simples

(24)

Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples:

16.1 Movimento harmónico simples

(25)

Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples:

16.1 Movimento harmónico simples

(26)

E se o ângulo inicial ( t = 0) não for igual a zero?

16.1 Movimento harmónico simples

No instante t _{= 0:}

(27)

Exemplo

O bloco da figura tem massa m = 2 k g e a constante da mola é k = 196 N/m. O bloco é afastado 0,05 m da posição de equilíbrio e largado, no instante t _{= 0.}

a) Determine a frequência angular w , a frequência f e o período T _.

b) Escreva a equação x(t) _.

a)

b)

(28)

7/Maio/2018 – Aula 16

9/Maio/2018 – Aula 17

17 Movimentos oscilatórios, amortecidos e forçados 17.1 Movimento na vertical

17.2 Pêndulo simples 17.3 Pêndulo físico

17.4 Oscilações amortecidas 17.5 Oscilações forçadas

16 Movimento periódico

16.1 Movimento harmónico simples (MHS)

16.2 Conservação da energia no MHS

(29)

Exemplo

O bloco da figura é afastado 0,2 m da posição de equilíbrio e largado, no instante t = 0. Efetua 15 oscilações completas em 10 s. Determine:

a) o período T ; b) a velocidade máxima; c) a posição e a velocidade em t _{= 0,8s.}

a)

b)

c)

(30)

Quando um objeto se encontra pendurado na extremidade de uma mola vertical, fica sujeito ao seu peso, para além da força de restituição da mola.

17.1 Movimento oscilatório na vertical

Se o sistema estiver em equilíbrio:

Se se deslocar o sistema ligeiramente para fora do

equilíbrio:

(31)

O chamado pêndulo simples (ou matemático) consiste numa massa m , de dimensões desprezáveis, suspensa na extremidade de uma corda ou de uma barra, de comprimento L e massa desprezável.

17.2 Pêndulo simples

O ângulo q que o pêndulo faz com a vertical varia, no tempo,

como um seno ou um cosseno.

(32)

No pêndulo simples, a força de restituição é proporcional a sen q , enquanto no sistema massa-mola essa força é proporcional ao deslocamento ( q , neste caso):

17.2 Pêndulo simples

Para ângulos q suficientemente pequenos, o seno é

aproximadamente igual ao próprio ângulo:

(33)

Na aproximação dos ângulos pequenos, , tem-se

17.2 Pêndulo simples

Nestas condições, a força de restituição é proporcional ao deslocamento, pelo que

Pêndulo vs M.Mola

simulação

(34)

Para ângulos de oscilação grandes, o período já depende do ângulo inicial:

17.2 Pêndulo simples

(35)

17.3 Pêndulo físico

O pêndulo físico consiste num objeto que pode rodar em torno de um eixo que não passa pelo centro de massa.

No exemplo da figura, o momento da força gravítica, em relação ao eixo de rotação, é

(na aproximação dos ângulos pequenos)

O período de oscilação depende do momento de inércia I _{e da}

distância L entre o eixo de rotação e o centro de massa:

(36)

17.4 Oscilações amortecidas

Na maior parte dos sistemas físicos reais, existem forças não-conservativas que tendem a dissipar a energia. No caso dos movimentos oscilatórios, a presença dessas forças é visível na diminuição da amplitude das oscilações.

Por exemplo, no caso de atrito viscoso, essas forças (ditas de arrastamento), são proporcionais à velocidade:

Então, a força total sobre o objeto será a soma da força de restituição com a força de arrastamento:

M.Mola amortecida

simulação

(37)

17.4 Oscilações amortecidas

A resolução desta equação diferencial conduz a uma solução do tipo

com

(38)

17.4 Oscilações amortecidas

A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:

M.Mola amortecida

simulação

e a energia mecânica (total) também:

(39)

17.4 Oscilações amortecidas

A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:

Valor crítico da constante de amortecimento:

(40)

17.4 Oscilações amortecidas

A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo:

(41)

17.5 Oscilações forçadas

Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força

exterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próxima da frequência própria

do sistema ( w

₀

):

(42)

17.5 Oscilações forçadas

Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força exterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próxima da frequência própria do sistema ( w

₀

):

Então, a força total sobre o objeto será a soma da

força de restituição com a força de arrastamento,

com a força que obriga a que o movimento se

mantenha:

(43)

Equação diferencial do movimento:

17.5 Oscilações forçadas

Amplitude das oscilações:

(44)

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5.1 Movimento circular

5.1.1 Movimento circular uniforme 5.1.2 Velocidade angular

5.1.3 Força e aceleração centrípetas 5.1.4 Aceleração tangencial

5.1.5 Coordenadas radial e tangencial

4. Aplicações das leis de Newton do movimento 4.1 Força de atrito

4.2 Força de arrastamento

Exemplos

5.1.1 Movimento circular uniforme

Trajetória circular. O vetor velocidade tem sempre o mesmo módulo, mas a sua direção muda constantemente. Para que o vetor velocidade mude, é necessário que exista uma aceleração.

O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula efetue uma rotação

completa.

Movimento curvo Simulação

s = r q ; q = s/r

A posição angular q (em radianos) da

partícula, relativamente ao eixo x, é q = s/r ,

em que s é o comprimento do arco definido pela trajetória da partícula, entre o eixo x e a sua posição em cada instante, com 0 £ | q | £ 2p .

1 ° = ( p /180 ° ) rad = 0,0174533 rad;

1 rad = 180 ° / p = 57,296 °

5.1.1 Movimento circular uniforme

Por convenção, q é positivo se aumentar no sentido anti- horário.

Se w descrever uma rotação no sentido anti-horário, é positiva.

5.1.2 Velocidade angular

A velocidade angular w (em radianos/s = rad/s) mede a rapidez com que o ângulo q varia, ao longo da trajetória da partícula.

ω= θ

−θ

t

−t

= d θ d t

v = s

− s

t

− t

= d s

d t = r θ

− r θ

t

− t

=r ω ω= v

r

A força (e a aceleração) apontam para o centro da circunferência

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

Para que um objeto se mova com velocidade constante ao longo de uma circunferência, é preciso que exista uma força a agir sobre ele. Se não, mover-se-ia ao longo de uma linha reta.

Movimento circular Simulação

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

A força centrípeta pode ser criada pela tensão numa corda, pela força normal, pelo atrito, etc.

Exemplo: um carro, de massa m = 1200 k g, efetua uma trajetória circular, de raio r = 45 m. Se m

= 0,82, qual é a velocidade máxima que o carro pode ter para não derrapar?

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

Exemplo: se uma curva tiver uma inclinação de ângulo q , é possível que um carro a descreva sem derrapar e sem que exista atrito. Se a curva tiver um raio r = 85 m e o carro tiver m = 900 k g e se deslocar a 20,5 m/s, qual deve ser o valor de q para que o carro não derrape?

5.1.3 Força e aceleração centrípeta

5.1.4 Aceleração tangencial

Se o módulo da velocidade não for constante, existe uma aceleração no sentido do movimento. Nesse caso, trata-se de uma aceleração tangencial (tangente à trajetória).

A aceleração total será a soma vetorial das duas acelerações.

Centrípeta

Velocidade tangencial:

5.1.5 Coordenadas radial e tangencial

O eixo r (radial) é definido do centro de rotação para a posição da partícula.

O eixo t (tangencial) é a tangente à circunferência, no sentido anti-horário.

O eixo z (axial) é a a perpendicular ao plano de rotação.

Componentes

radial e tangencial animação

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16 Movimento periódico

16.1 Movimento harmónico simples (MHS)

Um objeto que esteja ligado a uma mola, por exemplo, e que seja

desviado da sua posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição: a mola exerce uma força de restituição, o que causa um movimento periódico (oscilação).

16. Movimento periódico

Massa-mola

simulação

Características do movimento periódico:

1. o movimento é realizado em torno de uma posição de equilíbrio;

2. o movimento repete-se em cada ciclo.

Amplitude ( A ): valor mais afastado da posição de equilíbrio.

Período ( T ): tempo necessário para completar um ciclo.

Frequência ( f ): número de oscilações (ciclos) por unidade de tempo.

Frequência angular ( w ): w = 2 p f .

s = r q _; q ₌ s/r

partícula, relativamente ao eixo x, é q ₌ s/r _,

Frequência angular ( w _): w _{= 2} p f .

Se se mudar os valores de m _, A _ou k , a posição x(t) também muda:

Se se mudar os valores de m _ou k , o período T também muda:

Mas se se mudar o valor da amplitude A , o período T _{não muda:}

No instante t _{= 0:}

O bloco da figura tem massa m = 2 k g e a constante da mola é k = 196 N/m. O bloco é afastado 0,05 m da posição de equilíbrio e largado, no instante t _{= 0.}

a) Determine a frequência angular w , a frequência f e o período T _.

b) Escreva a equação x(t) _.

a) o período T ; b) a velocidade máxima; c) a posição e a velocidade em t _{= 0,8s.}