RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS

RACIOCÍNIO LÓGICO

PARA CONCURSOS

BLOCO 1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Podemos dizer que um conjunto é sem dúvida um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo dessa forma o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Basicamente, um conjunto é uma coleção de elementos, ou seja, dados agrupados que não levam em conspiração a ordem. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos de um conjunto A, podemos dizer que x pertence ao conjunto A.

Como veremos a segui, além de relacionarmos elemento e conjunto, também é fundamental relacionar conjuntos entre si.

NOMENCLATURA BÁSICA

 - conjunto vazio;

 - símbolo de união entre dois conjuntos;

 - símbolo de intersecção entre dois conjuntos;

 - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto

 - símbolo de inclusão entre dois conjuntos;

 - para todo ou qualquer que seja;

 - existe pelo menos um.

R - conjunto dos números reais;

Q - conjunto dos números racionais;

Z - conjunto dos números inteiros;

N - conjunto dos números naturais;

QUANTIFICADORES

São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições.

Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.

TIPOS DE QUANTIFICADORES a) Quantificador existencial:

É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.

É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”.

EXEMPLO:

(p) xR / x  3

(q) Existe dia em que não chove.

b) Quantificador universal:

É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição dada para que esta seja considerada verdadeira.

É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”.

EXEMPLO:

(m) xR  x  5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”) (n) Qualquer que seja o dia, não choverá.

UNIÃO (  )

União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao conjunto B ou a ambos.

INTERSEÇÃO (  )

Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a ambos os conjuntos dados.

DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR

Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que falta para B completar o conjunto A.

COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO

O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao conjunto A.

DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO

A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B.

EX.: “Pessoas que são atletas (A), mas não são

baianos (B)”

EX.: “Pessoas que são atletas (A) ou baianos (B)”

(o “ou” não é excludente, portanto isso significa que o

conjunto união abrange os elementos que fazem parte de pelo menos um dos conjuntos)

EX.: “Pessoas que são atletas (A) e são

baianos (B)”

B A

A  B A  B

B A

A – B

B A

EX.: “Pessoas que não são atletas (A)”

(Dentre todos os envolvidos, podendo ser, ou não,

baianos)

EX.: “Pessoas que ou são atletas (A), ou são baianos (B)”

(O “ou...ou” é excludente) B

A

C

= A

B A

1^o. A  B = B  A 2^o A   = A 3^o A  A = A

4^o (A  B)  C = A  (B  C) 5^o n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

LINK:

1^o A  B = B  A 2^o A   =  3^o A  A = A

4^o (A  B)  C = A  (B  C)

LINK:

EXEMPLOS

01. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que:

• 40 tem aulas presenciais;

• 70 assistem vídeo-aulas;

• 20 utilizam os dois métodos;

• 10 estudam sozinhos;

Determine o total de alunos do grupo.

a) 80 b) 90 c) 100 d) 120

1ª SOLUÇÃO:

O preenchimento deve ser feito a partir do centro.

Sendo n(P  V) = 20, temos:

Se n(P) = 40, então 20 estão somente em P.

Se n(V) = 70, então 50 estão somente em V.

Como 10 não estão nem P, nem V, temos N = 20+20+50+10 = 100.

Observe como representar em três diagramas, alguns termos muito usados em provas:

LINK:

2ª SOLUÇÃO:

Sabendo que

n(PV) = n(P) + n(V) – n(PV) Temos

n(PV) = 40 + 70 – 20 n(PV) = 90

Como 10 não estão nem P, nem V, temos N = 90 + 10 = 100

02. Dentre um grupo de 100 alunos, que estudam para concursos, sabe-se que:

 40 tem aulas presenciais;

 70 assistem vídeo-aulas;

 10 estudam sozinhos, sem aulas;

Determine o número de alunos que utilizam os dois métodos.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 SOLUÇÃO:

Assim como foi feito na questão anterior, o preenchimento dos diagramas deve ser feito a partir do centro, mas nesse caso, o valor da interseção é justamente o que se pede na questão. Dessa forma, atribuiremos uma variável

“x” para a interseção.

n(PV) = x Logo, temos:

Se n(P) = 40, então 40-x estão somente em P e como

Se n(V) = 70, então 70-x estão somente em V.

Como 10 não estão nem P, nem V, temos

Sendo o total de alunos igual a 100, temos:

40-x + x + 70-x + 10 = 100 Portanto

(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol.

03. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol.

JULGAMENTO: CERTO Do enunciado, temos:

 n(IE) = 64

 n(I) = 42

 n(E) = 46 Sabendo que

n(IE) = n(I) + n(E) – n(IE) então

64 = 42 + 46 – n(IE) n(IE) = 88 – 64 n(IE) = 24

04. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês.

JULGAMENTO: CERTO

Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E.

Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês.

05. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que:

a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.

b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis.

c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais.

d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.

e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis.

SOLUÇÃO:

Sejam

A – grupo dos que têm uma idéia original ; B – grupo dos que têm uma idéia comercializável;

Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos:

Sabendo que

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 100% = 60% + 50% – x

x = 10%

portanto

10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis Resposta: B

I E

22 24 18

A B

x 50% – x 60% – x

SENTENÇA

É uma frase declarativa (afirmativa ou negativa), podendo ser classificada como sentença aberta ou sentença fechada. Quando a sentença for fechada, ganhará o nome de proposição.

 SENTENÇA ABERTA: É aquela frase declarativa na qual não é possível atribuir valor lógico (V ou F), por não termos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.

EXEMPLO:

“X é um número par” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)

“O irmão do meu irmão é meu irmão” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO)

 SENTENÇA FECHADA: É aquela frase declarativa que é possível atribuir a ela um valor lógico (V ou F), pois temos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa.

EXEMPLO:

“4 é um número par” (VERDADEIRO)

“Pelé jogou futebol no Flamengo” (FALSO)

No Português existem vários tipos de frases cuja entoação é mais ou menos previsível, de acordo com o sentido que transmitem. Embora só nos interessem para o raciocínio lógico apenas as frases declarativas, vale a pena distingui-las.

LINK:

DECLARATIVA

Esse tipo de frase informa ou declara alguma coisa, podendo ser afirmativas ou negativas.

“Fortaleza é uma cidade grande.” (AFIRMATIVA)

“Salvador não é a capital do Brasil.” (NEGATIVA) INTERROGATIVA

São aquelas que exprimem uma pergunta, podendo ser divididas em direta ou indireta.

“Quantos anos você tem?” (DIRETA)

“Diga qual é a sua idade.” (INDIRETA) EXCLAMATIVA

São frases que exprimem uma emoção, apresentando entoação ligeiramente prolongada.

“Que prova difícil!” (ADMIRAÇÃO)

“Você aqui na cidade?!” (SURPRESA)

IMPERATIVA

Contém uma ordem, um conselho ou faz um pedido, utilizando o verbo no modo imperativo.

“Vá estudar agora!” (ORDEM)

“Por favor, vá estudar.” (PEDIDO) OPTATIVA

Essa classificação menos conhecida, ocorre quando se exprime um bom desejo.

“Vá com Deus!”

“Tenha um dia feliz.”

IMPRECATIVA

Ainda menos conhecida que a optativa, esse tipo de frase exprime um mau desejo.

“Vai te lascar!”

“Eu quero mais é que ela morra!”

PROPOSIÇÃO SIMPLES

É uma sentença fechada, pois a ela pode ser atribuído um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F).

EXEMPLO:

A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO)

EQUIVALÊNCIA

Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lógico, ou seja, dizemos que A equivale a B, no caso de A ser verdade, B também é verdade, assim como se A é falso, B também é falso. Além disso, temos que A implica em B e que B implica em A ao mesmo tempo.

EXEMPLO:

A: “João é culpado”

B: “João não é inocente”

NEGAÇÃO

Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico contrário, ou seja, dizemos que A é negação de B, se A é verdade, então B é falso e se A é falso, então B é verdade.

EXEMPLO:

AFIRMAÇÕES: NEGAÇÕES:

A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) ~A: “Fortaleza não é a capital do Ceará” (FALSO) B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO) ~B: “O Brasil não é um país da Europa” (VERDADE)

CUIDADO!

Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, por isso é bom prestar atenção.

ALGUM

Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos.

NEM TODOS

Significa que pelo menos um, mas não todos.

LINK:

DIAGRAMAS LÓGICOS

Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam pronomes indefinidos, tais como: “Nenhum”, “Algum” ou “Todo”.

NENHUM (~)

Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”.

EX.:

A: “Nenhum advogado é bancário”

ALGUM ()

Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”.

EX.:

B: “Algum advogado é bancário”

NEGAÇÕES:

~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário”

~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário”

~A: “Algum advogado é bancário”

ADVOGADOS BANCÁRIOS

ADVOGADOS BANCÁRIOS

EQUIVALÊNCIAS:

A: “Não existe advogado que seja bancário”

A: “Todo advogado não é bancário”

A: “Se ele é advogado, então não é bancário”

NEGAÇÕES:

~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário”

~B: “Não existe um advogado que seja bancário”

~B: “Nenhum advogado é bancário”

EQUIVALÊNCIAS:

B: “Pelo menos um advogado é bancário”

B: “Existe advogado que é bancário”

B: “Há um advogado que seja bancário”

TODO ()

Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A.

EX.:

C: “Todo advogado e bancário”

LINK:

CERTEZA

100% de chance de acontecer o fato.

PROVÁVEL

Possível e com grande chance de acontecer.

POSSÍVEL

Existe alguma chance de acontecer, seja pequena, média ou grande.

IMPROVÁVEL

Possível, mas com pequena chance de acontecer.

IMPOSSÍVEL

0% de chance de acontecer o fato.

BANCÁRIOS ADVOGADOS

NEGAÇÕES:

~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário”

~C: “Existe pelo menos um advogado que não é bancário”

~C: “Algum advogado não é bancário”

EQUIVALÊNCIAS:

C: “Nenhum advogado não é bancário”

C: “Não existe advogado que não seja bancário”

C: “Se ele é advogado, então é bancário”

EXERCÍCIOS

01. A equivalência de “Nenhum bandido é honesto” é:

a) Ninguém é honesto.

b) Todos os bandidos são desonestos.

c) Todas as pessoas são honestas.

d) Todo bandido é honesto.

e) Nenhum cidadão de bem é desonesto.

02. Qual a equivalência de “Todo comerciante é rico”?

a) Todo rico é comerciante.

b) Todo comerciante não é rico.

c) Nenhum comerciante é pobre.

d) Algum comerciante não é rico.

e) Nenhum comerciante não é rico.

03. Qual a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa”?

a) Alguma lâmpada não está acesa.

b) Nenhuma lâmpada não está acesa.

c) Nenhuma lâmpada está apagada.

d) Todas as lâmpadas estão apagadas.

04. Aponte a negação de “Nenhuma cadeira está quebrada”.

a) Todas as cadeiras estão quebradas.

b) Todas as cadeiras estão concertadas.

c) Alguma cadeira está quebrada.

d) Alguma cadeira não está quebrada.

05. Qual das proposições a seguir é necessariamente verdadeira, sempre que a proposição P: “Nenhuma porta está aberta” for falsa?

a) Todas as portas estão fechadas.

b) Todas as portas estão abertas.

c) Alguma porta está aberta.

d) Alguma porta está fechada.

06. Aponte a negação da proposição “Alguma vela está acesa”.

a) Alguma vela não está acesa.

b) Alguma vela está apagada.

c) Nenhuma vela não está acesa.

d) Nenhuma vela está apagada.

e) Todas as velas estão apagadas.

07. Qual a negação da sentença P: “Todos os alunos estão de branco”?

a) Todos os alunos não estão de branco b) Todos os alunos estão de preto c) Nenhum aluno está de branco d) Algum aluno está de preto e) Algum aluno não está de branco

08. Qual a negação da sentença Q: “Nenhum carro está na garagem”?

a) Todos os carros estão na garagem b) Todos os carros não estão na garagem c) Nenhum carro não está na garagem d) Existe carro na garagem

e) Algum carro não está na garagem

09. (CESPE) Assinale a opção que apresenta uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição

“Todo ser humano é responsável pelo bem que não faz”.

a) Todo ser humano não é responsável pelo bem que não faz.

b) Algum ser humano não é responsável pelo bem que não faz.

c) Todo ser humano é responsável pelo bem que faz.

d) Todo ser humano é responsável pelo mal que não faz.

e) Algum ser humano não é responsável pelo bem que faz.

10. Das premissas:

A: “Nenhum herói é covarde”

B: “Alguns soldados são covardes”

Pode-se corretamente concluir que:

a) Alguns heróis são soldados.

b) Alguns soldados são heróis.

c) Nenhum herói é soldado.

d) Nenhum soldado é herói.

e) Alguns soldados não são heróis.

GABARITO 01.B 02.E

03.D 04.C

05.C 06.E

07.E 08.D

09.B 10.E

BLOCO 2

INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração.

Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das ideias de George Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.

LÓGICA MATEMÁTICA

A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

 PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa.

 PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas (0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras (1 ou V ).

As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas.

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", “Que horas são?”,

“x é um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

 A: "Fortaleza é a capital do Ceará” (V)

 B: “O Brasil é um país da Europa” (F)

 C: "3 + 5 = 2" (F)

 D: "7 + 5 = 12" (V)

 E: "O Sol é um planeta" (F)

 F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F)

SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico EX.:

“X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar.

SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F.

EX.:

“O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V)

“A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)

SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

CONECTIVOS E QUALIFICADORES

 NÃO

 E

 OU

 OU ... OU

 SE ... ENTÃO

 SE E SOMENTE SE

 TAL QUE

 IMPLICA

 EQUIVALENTE

 EXISTE

 NÃO EXISTE

  EXISTE UM E SOMENTE UM

 QUALQUER QUE SEJA

O MODIFICADOR NEGAÇÃO

Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou p. (Lê-se "não p" ).

EXEMPLOS:

p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V)

~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F)

q: “João é magro”

~q: “João não é magro”

~q: “Não é verdade que João é magro”

s: “Fernando é honesto”

s: “Fernando não é honesto”

s: “Não é verdade que Fernando é honesto”

s: “Fernando é desonesto”

OBS.:

Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.

p: “Diego dirige bem”

~p: “Diego não dirige bem”

~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem”

LINK:

IMPORTANTE:

Afirmação e negação sempre possuem valores

lógicos contrários!

 Se A é V, então ~A é F

 Se A é F, então ~A é V A ~A

V F F V

ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , ,  e , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: pq, pq, pq, pq.

Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir:

 CONJUNÇÃO:

p q (lê-se "p e q" )

 DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE:

p q (lê-se "p ou q")

 DISJUNÇÃO EXCLUDENTE:

p q (lê-se "ou p, ou q")

 CONDICIONAL:

p  q (lê-se "se p então q")

 BI-CONDICIONAL:

p q (lê-se "p se e somente se q")

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

TABELA VERDADE

A tabela verdade mostra o valor lógico de proposições compostas, com base em todas as possíveis combinações dos valores lógicos para as proposições simples que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou não) da proposição composta, mediante todas combinações de V e F das proposições simples envolvidas.

O número de linhas da tabela verdade depende do número de proposições, como cada proposição simples pode assumir duas possíveis valorações (V ou F), temos então:

LINK:

FÓRMULA

n^o de linhas da tabela = 2(nº de proposições simples)

LINK:

CONJUNÇÃO (E)

A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa.

EXEMPLO:

Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina e à Bolívia”.

A: “Pedro vai à Argentina”

B: “Pedro vai à Bolívia”

TABELA VERDADE

A B A  B

V V V

V F F

F V F

F F F

CONCLUSÕES:

 Só existe uma possibilidade de essa proposição composta ser verdadeira, que é no caso de Pedro realmente ir aos dois países.

Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

A  B (lê-se “Premissa A e premissa B”)

LINK:

A  B

“Premissa A e premissa B”

DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)

 PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa que pelo menos uma das premissas é verdadeira.

EXEMPLO:

Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina ou à Bolívia”.

A: “Pedro vai à Argentina”

B: “Pedro vai à Bolívia”

TABELA VERDADE

A B A  B

V V V

V F V

F V V

F F F

CONCLUSÕES:

 Sabendo que Pedro foi à Argentina, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Bolívia.

 Sabendo que ele não foi à Argentina, conclui-se que certamente foi à Bolívia.

 Sabendo que ele foi à Bolívia, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Argentina.

 Sabendo que ele não foi à Bolívia, conclui-se que certamente foi à Argentina.

Observe que, nesse caso, o “ou” significa que Pedro vai a “pelo menos” um desses lugares (nada impede que ele vá aos dois países).

LINK:

A v B

“Premissa A ou premissa B”

A  B (lê-se “Premissa A ou premissa B”)

DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)

Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes.

 PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o

“ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, devemos entender que se trata de disjunção excludente.

EXEMPLO:

Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”.

A: “Felipe nasceu em Fortaleza”

B: “Felipe nasceu em São Paulo”

TABELA VERDADE

A B A  B

V V F

V F V

F V V

F F F

CONCLUSÕES:

 Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo.

 Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo.

 Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza.

 Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza.

Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.

LINK:

A v B

“Ou premissa A, ou premissa B”

(Premissas excludentes)

A  B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”)

CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)

Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira.

EXEMPLO:

Analise a afirmação: “Se Pedro receber dinheiro na sexta-feira então irá à praia no fim de semana”.

A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira”

B:”Pedro vai à praia no fim de semana”

TABELA VERDADE

A B A  B

V V V

V F F

F V V

F F V

CONCLUSÕES:

 Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que necessariamente ele foi à praia.

 Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, então ele pode ter ido ou não à praia.

 Sabendo que Pedro foi à praia, então ele pode ter recebido ou não o dinheiro.

 Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que ele necessariamente não recebeu o dinheiro.

Observe que a afirmação só será falsa, se Pedro receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia.

LINK:

A  B

“Se premissa A, então premissa B”

Do quadro acima podemos concluir que A  B é equivalente a

~B  ~A

“Se não for verdadeira a premissa B, então não será verdadeira a premissa A”

A  B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”)

BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)

Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser.

EXEMPLO:

Analise a afirmação: “Pedro irá à praia no fim de semana, se e somente se ele receber dinheiro na sexta-feira”.

A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira”

B:”Pedro vai à praia no fim de semana”

TABELA VERDADE

A B A  B

V V V

F V F

F F V

V F F

CONCLUSÕES:

 Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que certamente foi à praia.

 Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, conclui-se que ele não foi à praia.

 Sabendo que Pedro foi à praia, conclui-se que é porque ele recebeu o dinheiro.

 Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que certamente ele não recebeu o dinheiro.

Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.

LINK:

A  ^B

“Premissa A, se e somente se Premissa B”

Do quadro acima podemos concluir que A  B é equivalente a

~A  ^~B

“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B”

OBS.:

 A é condição necessária e suficiente para que B ocorra

 B é condição necessária e suficiente para que A ocorra

A  B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”)

NECESSÁRIO x SUFICIENTE

CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)

CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)

Para um condicional (A  B), temos:

 A é condição suficiente para que B ocorra

 B é condição necessária para que A ocorra

 ~B é condição suficiente para que ~A ocorra

 ~A é condição necessária para que ~B ocorra

RESUMINDO:

Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.

Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.

OBSERVAÇÃO:

No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente.

A  B ~B  ~A

A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~A

A  B ~B  ~A

B é NECESSÁRIO para A ~A é NECESSÁRIO para ~B

A  B

A é NECESSÁRIO e SUFICIENTE para B

A é SUFICIENTE para B

(A  B)  (B  A)

A é NECESSÁRIO para B

TABELA VERDADE

Podemos resumir em uma única tabela verdade todos os conectivos vistos. Dadas as proposições simples A e B, cujos valores lógicos representaremos por (F) quando falsa e (V) quando verdadeira, temos a tabela simplificada:

TABELA VERDADE

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

 a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.

 a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.

 a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.

 a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.

EQUIVALÊNCIAS

Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. Na tabela ao lado, quando A é verdade (V) temos que B também é verdade (V) e quando A é falso (F) temos que B também é falso (F), logo A e B são equivalentes.

O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no entanto, dizer B:“João não é pobre”

não implica em dizer que A:“João é rico”, portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A implica em B (A  B). Por outro lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é desonesto” e de forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q são equivalentes pois uma proposição implica na outra (P  Q).

Observe das principais equivalências para proposições compostas:

A B = ~B  ~A

EXEMPLOS:

A  P: “Se João está armado, então será preso”.

~P  ~A: “Se João não foi preso, então ele não está armado”

R  V: “Se Pedro receber dinheiro, então ele viaja”

~V  ~R: “Se Pedro não viajou, então ele não recebeu dinheiro”

~S  C: “Caso não faça sol, ficarei em casa”

~C  S: “Caso não fique em casa, fez sol”

A B A  B A  B A  B A  B A  B

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

A B = ~A  B

EXEMPLOS:

A  P: “Se João está armado, então será preso”.

~A  P: “João não está armado ou será preso”

~S  C: “Caso não faça sol, ficarei em casa”

S  C: “Faz sol ou fico em casa”

A B = B  A = (A B)  (B  A)

EXEMPLOS:

S  P: “Se e somente se fizer sol, então irei à praia”

P  S: “Se e somente se for à praia, então fez sol”

(S  P)(P  S): “Se fizer sol, irei à praia e se for a praia, fez sol”

V  R: “Viajo se e somente se receber dinheiro”

(R  V)(V  R): “Se receber dinheiro, viajo e se viajar, recebi”

P  E: “Passo se e somente se estudar”

LINK:

EQUIVALÊNCIAS:

Algumas formas equivalentes de escrever uma proposição composta condicional.

S  P

“Se fizer sol então vou à praia”

“Se fizer sol, vou à praia”

“Fazer sol implica em ir à praia”

“Fazendo sol, vou à praia”

“Quando fizer sol, vou à praia”

“Sempre que faz sol, vou à praia”

“Toda vez que faz sol, vou à praia”

“Caso faça sol, irei à praia”

“Irei à praia, caso faça sol”

“Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia”

“Ir à praia é condição necessária para ter feito sol”

S  P  ~P  ~S

“Se não for à praia então não fez sol”

“Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol”

“Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia”

A  B = (A  B)  (~A  ~B)

EXEMPLOS:

V  R: “Viajo se e somente se receber dinheiro”

(R  V)(~R  ~V): “Ou recebo dinheiro e viajo, ou não recebo e não viajo”

P  E: “Passo se e somente se estudar”

(E  P)(~E  ~P): “Ou estudo e passo, ou não estudo e não passo”

NEGAÇÕES (~) ou ()

A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é verdadeiro. Observe na tabela ao lado que as proposições A e B possuem sempre valores lógicos contrários, pois sempre que A é verdade (V) temos que B será falso (F) e quando A é falso (F) temos que B será verdadeiro (V), logo A é a negação de B.

É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por

exemplo, “rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não for rico não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em que o antônimo é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros.

EXEMPLOS DE NEGAÇÕES

 A: “Aline é bonita”  ~A: ”Aline não é bonita”

(o fato dela “não ser bonita” não significa que “ela é feia”)

 B: “Kleyton é alto”  ~B: ”Kleyton não é alto”

(o fato dele “não ser alto” não significa que “ele é baixo”)

 C: “Daniel é magro”  ~C: “Daniel não é magro”

(o fato dele “não ser magro” não significa que “ele é gordo”)

 E: “Carol foi aprovada”  ~D: “Carol foi reprovada”

(nesse caso, reprovado significa não aprovado)

 F: “Lia é culpada”  ~F: “Lia é inocente”

(nesse caso, inocente significa não culpado)

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN

Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.

~(A  B) = ~A  ~B

A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (A  B) é por que pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas).

TABELA VERDADE

A B A  B ~(A  B) ~A ~B ~A  ~B

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

EXEMPLO:

Qual a negação da proposição "Carol estuda e aprende"?

A negação é "Carol não estuda ou não aprende".

EXEMPLO:

Qual a equivalência de “Não é verdade que Ribamar é cearense e é bancário”?

Equivale a “Ribamar não é cearense ou não é bancário”.

~(A  B) = ~A  ~B

A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se não é verdade (A  B) é por que as proposições têm que ser falsas.

TABELA VERDADE

A B A  B ~(A  B) ~A ~B ~A  ~B

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

EXEMPLO:

Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"?

A negação é "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".

EXEMPLO:

Qual a equivalência de “Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema”?

Equivale a “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema”

~(A  B) = A  ~B

O condicional (A  B) só é falso se A for verdade e que B for falso, portanto se não é verdade (A  B) é por que as proposições A e ~B têm que ser verdadeiras.

TABELA VERDADE

A B A  B ~(A  B) A ~B A  ~B

V V V F V F F

V F F V V V V

F V V F F F F

F F V F F V F

EXEMPLO:

Qual a negação da proposição: "Se Maria estuda então aprende"?

A negação procurada é: "Maria estuda e não aprende"

EXEMPLO:

Qual a equivalência de “Não é verdade que se Milena receber dinheiro então viajará”?

Equivale a “Milena recebe dinheiro e não viaja”.

TAUTOLOGIA

Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando é inevitavelmente verdadeira, ou seja, quando tem sempre o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas na sua elaboração.

Para provar que essa proposição é uma tautologia podemos usar dois métodos:

 construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre verdade (V) para todas as combinações de V e F das proposições simples usadas na sua elaboração;

 tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta se torne falsa (F), caso isso não seja possível deduz-se que é uma tautologia e portanto inevitavelmente verdadeira (V).

EXEMPLO:

P  ~P: “João está de preto ou não está de preto”

(Obrigatoriamente VERDADEIRA) EXEMPLO:

P  ~P: “Ou Daniel é culpado, ou Daniel é inocente”

(Obrigatoriamente VERDADEIRO) EXEMPLO:

P  P: “Se todas as lâmpadas estão acesas, então nenhuma lâmpada está apagada”

(Obviamente é inevitavelmente VERDADEIRA)

EQUIVALÊNCIAS

A  B = (A  B) v (~A  ~B) A  B = (A  B)  (B  A) A  B = B  A

A  B = ~B  ~A

A  B = ~(A  ~B) = ~A v B A = ~(~A)

NEGAÇÕES

~(A  B) = ~A v ~B

~(A v B) = ~A  ~B

~(A v B) = (A  B) v (~A  ~B)

~(A v B) = A  B

~(A  B) = A v B

~(A  B) = A  ~B

LINK:

LINK:

EXEMPLO

Uma forma de provar que a proposição composta (AB)  (AB) é uma tautologia é construindo sua tabela verdade e verificando que não importam os valores lógicos atribuídos as proposições simples A e B, a última coluna da tabela-verdade só possui valor verdade (V).

A B AB AB (AB)  (AB)

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F V V

CONTRADIÇÃO

Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente falsa, ou seja, quando tem sempre o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas na sua elaboração.

Para provar que essa proposição é uma contradição podemos usar dois métodos:

 construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre falsa (F) para todas as combinações de V e F das proposições simples usadas na sua elaboração;

 tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta se torne verdadeira (V), caso isso não seja possível deduz-se que é uma contradição e portanto inevitavelmente falsa (F).

EXEMPLO:

P  ~P: “Maria é culpada, mas é inocente”

(Obrigatoriamente FALSO) EXEMPLO:

P  ~P: “O gato está é preto, se e somente se o gato não for preto”

(Obrigatoriamente FALSO) EXEMPLO

Uma forma de provar que a proposição composta (AB)  (AB) é uma contradição é construindo sua tabela verdade e verificando que não importam os valores lógicos atribuídos as proposições simples A e B, a última coluna da tabela-verdade só possui valor falso (F).

A B AB AB (AB)  (AB)

V V F V F

V F V F F

F V V F F

F F F V F

CONTINGÊNCIA

Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando depende do contingente de informações envolvidas nas proposições simples para que possa ser verdadeira (V) ou falsa (F), ou seja, a tabela verdade de uma contingência teremos resultados de valores lógico verdadeiro, quanto falso.

EXEMPLO:

A  B: “João é rico e Maria é bonita”

(Dependendo da outras proposições pode ser VERDADE ou FALSO)

EXEMPLO

01. Dadas às proposições simples:

 A: “Sophia é arquiteta”

 B: “Sophia gosta de viajar”

 C: “Sophia é feliz”

Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com a simbologia.

a) ~A: “Sophia não é arquiteta”

b) ~(~A): “Não é verdade que Sophia não é arquiteta”

c) ~B: “Sophia não gosta de viajar”

d) A B: “Sophia é arquiteta e gosta de viajar”

e) A B: “Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”

f) A B: “Ou Sophia é arquiteta, ou Sophia gosta de viajar”

g) ~A B: “Sophia não é arquiteta ou gosta de viajar”

h) A ~B: “Sophia é arquiteta ou não gosta de viajar”

i) ~(A B): “Não é verdade que Sophia é arquiteta ou gosta de viajar”

j) A  B: “Se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”

k) A  B: “Se e somente se Sophia é arquiteta então gosta de viajar”

l) ~A  B: “Se Sophia não é arquiteta então gosta de viajar”

m) ~(A  B): “Não é verdade que se Sophia é arquiteta, gosta de viajar”

n) (A B)  C: “Se Sophia é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz”

o) A  (B C): “Se Sophia é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz”

p) ~A  (B C): “Se Sophia não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz”

02. Dadas às proposições simples:

 A: “Daniel é rico”

 B: “Daniel é honesto”

Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições compostas dadas a seguir.

a) “Daniel é rico, mas é honesto”: A  B b) “Daniel não é rico, mas é honesto”: ~A  B c) “Daniel é rico, mas é desonesto”: A  ~B

d) “Não é verdade que Daniel é rico e é honesto”: ~(A  B) e) “Daniel é rico ou é honesto”: A  B

f) “Daniel não é rico ou é honesto”: ~A  B

g) “Não é verdade que Daniel é rico ou é honesto”: ~(A  B) h) “Se Daniel é rico, então ele é honesto”: A  B

i) “Se Daniel é rico, então ele é desonesto”: A  ~B j) “Se Daniel não é rico, então ele é honesto”: ~A  B

k) “Não é verdade que se Daniel é rico, então ele é honesto”: ~(AB) l) “Daniel é rico se e somente se ele é honesto”: A  B

03. Dadas das proposições simples A: “Felipe é piloto” e B: “Diego é tenista”, responda as questões a seguir.

TABELA VERDADE

A B A  B A  B A  B A  B A  B

V V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

a) Qual uma proposição equivalente a A  B: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”?

RESPOSTA:

Existem várias formas de equivalência, dentre ela a mais usada é

~B~A: “Se Diego não é tenista, então Felipe não é piloto”

Mas também pode ser dada por

AB: “Felipe ser piloto é condição suficiente para Diego ser tenista”

Ou ainda

AB: “Diego ser tenista é condição necessária para Felipe ser piloto”

b) Qual uma possível negação de AB: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”?

RESPOSTA:

Uma possibilidade é

~(AB): “Não é verdade que se Felipe é piloto, então Diego é tenista”

Ou seja, como não é verdade, temos que

A~B: “Felipe é piloto, mas Diego não é tenista”

c) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto e Diego é tenista”?

RESPOSTA:

A negação pode ser dada por

~(AB): “Não é verdade que Felipe é piloto e Diego é tenista”

Ou ainda

(~A~B): “Felipe não é piloto ou Diego não é tenista”

d) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto ou Diego é tenista”?

RESPOSTA:

A negação pode ser dada por

~(AB): “Não é verdade que Felipe é piloto ou Diego é tenista”

Logo

(~A~B): “Felipe não é piloto e Diego não é tenista”

Ou ainda

(~A~B): “Nem Felipe é piloto, nem Diego é tenista”

e) Qual a negação de AB: “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”?

RESPOSTA:

A negação pode ser dada por

~(AB): “Não é verdade que ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”

Logo, para que AB não seja verdade, temos que:

(AB)(~A~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista”

f) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto, se e somente se Diego é tenista”?

RESPOSTA:

Lembre-se que o bi-condicional só é verdade quando as duas proposições forem verdade ou as duas forem falsas.

(AB)(~A~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista”

Logo, para que AB não seja verdade, temos que:

~(AB) = (AB): “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista

EXERCÍCIOS

LÓGICA SENTENCIAL

01. (CESPE) Considere as seguintes sentenças.

I. A ouvidoria da justiça recebe críticas e reclamações relacionadas ao Poder Judiciário do estado.

II. Nenhuma mulher exerceu a presidência do Brasil até o ano 2018.

III. Onde serão alocados os candidatos aprovados no concurso para técnico judiciário do TJ/PR?

Assinale a opção correta.

a) Apenas a sentença I é proposição.

b) Apenas a sentença III é proposição.

c) Apenas as sentenças I e II são proposições.

d) Apenas as sentenças II e III são proposições.

e) Todas as sentenças são proposições.

02. Qual dos itens a seguir pode representar a negação da conjunção (A  B)?

a) A  B b) ~A  ~B c) A  ~B d) ~A  ~B e) A  B

03. (CESPE) Qual a negação da frase “A ouvidoria recebe reclamações e o almoxarifado recebe mercadoria”?

a) A ouvidoria não recebe reclamações e o almoxarifado não recebe mercadoria b) A ouvidoria recebe reclamações ou o almoxarifado recebe mercadoria

c) Se ouvidoria não recebe reclamações, o almoxarifado não recebe mercadoria d) Nem a ouvidoria recebe reclamações, nem o almoxarifado recebe mercadoria e) A ouvidoria não recebe reclamações ou o almoxarifado não recebe mercadoria

04. (CESPE) A negação da proposição “O IPTU, eu pago parcelado; o IPVA, eu pago em parcela única” pode ser escrita como

a) “Eu não pago o IPTU parcelado e não pago o IPVA em parcela única”.

b) “Eu não pago o IPTU parcelado e pago o IPVA parcelado”.

c) “Eu não pago o IPTU parcelado ou não pago o IPVA em parcela única”

d) “Eu pago o IPTU em parcela única e pago o IPVA parcelado”.

e) “Eu pago o IPTU em parcela única ou pago o IPVA parcelado”.

05. Qual dos itens a seguir pode representar a negação da disjunção (A  B)?

a) A  B b) ~A  ~B c) A  ~B d) ~A  ~B e) A  B

06. (CESPE) Assinale a opção equivalente à negação da proposição “Comi feijoada com couve ou bebi vinho”.

a) Não comi nem feijoada nem couve.

b) Comi feijoada, mas não bebi vinho.

c) Nem comi feijoada com couve, nem bebi vinho.

d) Não comi feijoada ou não comi couve ou bebi vinho.

e) Comi couve e bebi vinho.

07. Qual dos itens a seguir pode representar a negação do condicional (A  B)?

a) B  A b) ~B  ~A

08. (CESPE) A negação da proposição: “Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por

a) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo".

b) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar".

c) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar".

d) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar".

e) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar".

09. (CESPE) Se P, Q e R são proposições simples, então a proposição~[P (QR)] é equivalente a a) (~P)QR.

b) PQ(~R).

c) ~P  (QR).

d) (RQ)  P e) (~P)  (~Q  ~R).

10. (CESPE) Assinale a opção que corresponde a uma negativa da seguinte proposição: “Se nas cidades medievais não havia lugares próprios para o teatro e as apresentações eram realizadas em igrejas e castelos, então a maior parte da população não era excluída dos espetáculos teatrais”.

a) Nas cidades medievais havia lugares próprios para o teatro ou as apresentações eram realizadas em igrejas e castelos e a maior parte da população era excluída dos espetáculos teatrais.

b) Se a maior parte da população das cidades medievais era excluída dos espetáculos teatrais, então havia lugares próprios para o teatro e as apresentações eram realizadas em igrejas e castelos.

c) Se nas cidades medievais havia lugares próprios para o teatro e as apresentações não eram realizadas em igrejas e castelos, então a maior parte da população era excluída dos espetáculos teatrais.

d) Se nas cidades medievais havia lugares próprios para o teatro ou as apresentações eram realizadas em igrejas e castelos, então a maior parte da população era excluída dos espetáculos teatrais.

e) Nas cidades medievais não havia lugares próprios para o teatro, as apresentações eram realizadas em igrejas e castelos e a maior parte da população era excluída dos espetáculos teatrais.

11. Qual dos itens a seguir pode representar a negação do bi-condicional (A  B)?

a) B  A b) ~A  ~B

c) (AB)  (~A~B) d) A  B

e) A  B

12. Considere a disjunção exclusiva “Ou Pedro vai ao supermercado, ou Pedro vai à farmácia”. Assinale a alternativa que identifica corretamente a negação lógica formal desta proposição.

a) Pedro vai ao supermercado, , se e somente se, Pedro vai à farmácia b) Ou Pedro não vai ao supermercado, ou Pedro não vai à farmácia c) Se Pedro vai ao supermercado, então vai à farmácia

d) Pedro vai ao supermercado e Pedro vai à farmácia e) Pedro não vai ao supermercado e não vai à farmácia 13. Observe as proposições compostas a seguir:

I. B  A II. ~B  ~A III. ~A  B IV. A  ~B

Com relação a equivalência do condicional (A  B), aponte o item correto.

a) Todos os itens são equivalentes b) Apenas o item II é equivalente c) Apenas o item IV é equivalente

d) Apenas os itens II e III são equivalentes e) Todos os itens estão errados

14. Considere a proposição composta “Se o mês tem 31 dias, então não é setembro”.

A proposição composta equivalente é a) “O mês tem 31 dias e não é setembro”.

b) “O mês tem 30 dias e é setembro”.

c) “Se é setembro, então o mês não tem 31 dias”.

d) “Se é setembro, então o mês tem 30 dias”.

e) “Se o mês não tem 31 dias, então não é setembro”.

15. (CESPE) Assinale a opção que apresenta a proposição lógica que é equivalente à seguinte proposição:

“Se Carlos foi aprovado no concurso, então Carlos possui o ensino médio completo.”

a) “Carlos não foi aprovado no concurso ou Carlos possui o ensino médio completo.”

b) “Se Carlos não foi aprovado no concurso, então Carlos não possui o ensino médio completo.”

c) “Carlos possuir o ensino médio completo é condição suficiente para que ele seja aprovado no concurso.”

d) “Carlos ser aprovado no concurso é condição necessária para que ele tenha o ensino médio completo.”

e) “Carlos possui o ensino médio completo e não foi aprovado no concurso.”

16. Se o sino da igreja toca e minha avó o escuta, então minha avó vai para a igreja. Uma afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, é:

a) Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta.

b) Se minha avó não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avó não vai para a igreja.

c) Minha avó não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avó vai para a igreja.

d) Se o sino da igreja toca e minha avó vai para a igreja, então minha avó o escuta.

e) Se o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta, então minha avó não vai para a igreja.

17. (CESPE) Considere as seguintes proposições para responder a questão.

 P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.

 P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.

 P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.

Assinale a opção que apresenta uma negação correta da proposição P1.

a) Se não há punição de criminosos, então não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito.

b) Há punição de criminosos, mas não há investigação nem o suspeito é flagrado cometendo delito.

c) Há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, mas não há punição de criminosos.

d) Se não há investigação ou o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.

e) Se não há investigação e o suspeito não é flagrado cometendo delito, então não há punição de criminosos.

18. (CESPE) Considere as seguintes proposições para responder a questão.

 P1: Se há investigação ou o suspeito é flagrado cometendo delito, então há punição de criminosos.

 P2: Se há punição de criminosos, os níveis de violência não tendem a aumentar.

 P3: Se os níveis de violência não tendem a aumentar, a população não faz justiça com as próprias mãos.

A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição P1 é igual a a) 32.

b) 2.

c) 4.

d) 8.

e) 16.

GABARITO 01. C 02. B 03. E

04. C 05. D 06. C

07. D 08. C 09. B

10. E 11. D 12. A

13. D 14. C 15. A

16. A 17. C 18. D

BLOCO 3

INTRODUÇÃO

A análise de um conjunto de proposições requer conhecimento da álgebra das proposições visto nas aulas anteriores, sobretudo os “links” apresentados para cada conectivo estudado: “ou” , “ou...ou” , “e” , “se...então”

 e “se e somente se” .

Tudo consiste em organizar as proposições (de preferência usando linguagem simbólica), localizar um ponto de partida através de uma proposição simples dada (ou de uma hipótese) e a partir daí, através de um

“efeito dominó”, deduzir todos os valores lógicos (V ou F) das outras proposições simples, admitindo que todas as proposições compostas são verdadeiras.

INFERÊNCIA

A Inferência vem do latim inferre. Inferir é o mesmo que deduzir. Na lógica de argumentação, inferência é a passagem, através de regras válidas, do antecedente ao consequente de um argumento.

Portanto, a inferência é um processo pelo qual se chega a uma proposição conclusiva, a partir de uma ou outras mais proposições consideradas verdadeiras.

PREMISSA

As premissas são proposições (simples ou composta) que tomadas como verdadeiras, levam a uma conclusão. Numa raciocínio lógico válido, as premissas são os juízos que precedem à conclusão e dos quais ela decorre como consequente necessária - antecedentes - de que se infere a consequência.

Nas premissas, o termo maior (predicado da conclusão) e o menor (sujeito da conclusão) são comparados com o termo médio e assim temos premissa maior e premissa menor segundo a extensão dos seus termos.

O silogismo é estruturado do seguinte modo:

 Todo homem é mortal (premissa maior)

– homem é o sujeito lógico, e fica à frente da cópula;

– é representa a cópula, isto é, o verbo que exprime a relação entre sujeito e predicado;

– mortal é o predicado lógico, e fica após a cópula.

 Pitágoras é homem (premissa menor)

 Pitágoras é mortal (conclusão)

Podemos então dizer que as premissas são as proposições que, em uma argumentação, precedem a conclusão.

CONCLUSÃO

A conclusão de um argumento válido é aquela que se chega a partir de proposições dadas nesse argumento. Essas outras proposições que antecedem a conclusão, que são tomadas como verdadeiras para afirmar a conclusão, são as premissas desse argumento.

É possível partir de premissas falsas e se concluir algo falso, pois na argumentação devemos tomar as proposições dadas como verdade, mesmo que não sejam, e isso nos leva a uma conclusão, que até pode ser uma mentira, mas não invalida o argumento.

ARGUMENTO VÁLIDO

Argumento é uma linha de raciocínio utilizada em um debate para defesa de um ponto de vista. O argumento é o elemento básico para a fundamentação de uma teoria.

Um argumento envolve, no mínimo, duas proposições: uma premissa (ou mais) e uma conclusão. Para se distinguir um argumento válido de um inválido é preciso, antes de mais, reconhecer quando os argumentos ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões.

Um argumento é dito válido quando tomadas como verdadeiras as premissas, chega-se a uma conclusão.

Mas sem criar contradições ou declarações erradas.

EXEMPLO:

“Todo homem é mortal”

“João é um homem”

“João é mortal”

EXEMPLO:

“Se eu receber dinheiro, viajo”

“Se eu viajar, fico feliz”

“Recebi dinheiro”

“Então estou feliz”

PREMISSAS CONCLUSÃO

ARGUMENTO VÁLIDO

PREMISSAS

CONCLUSÃO

ARGUMENTO VÁLIDO

EXEMPLO:

“Leo é arquiteto ou bancário”

“Leo não é bancário”

“Leo é arquiteto”

EXEMPLO:

“Recebendo o seguro, compro a moto”

“Comprando a moto, viajo”

“Se receber o seguro, então viajo”

ARGUMENTO INVÁLIDO

Um argumento é dito inválido quando tomadas como verdadeiras as premissas cria-se uma contradição ou declara-se um conclusão errada.

EXEMPLO:

“Física é uma ciência exata”

“Matemática é uma ciência exata”

“Então a Matemática é um ramo da Física”

EXEMPLO:

“Se fizer sol, irei à praia”

“Fui à praia”

“Então fez sol”

PREMISSAS CONCLUSÃO ERRADA

PREMISSAS CONCLUSÃO ERRADA PREMISSAS

CONCLUSÃO

ARGUMENTO VÁLIDO

PREMISSAS

CONCLUSÃO

EXEMPLO:

“Todo homem é mortal”

“João é mortal”

“João é um homem”

EXEMPLO:

“Se João é honesto, ele é inocente”

“João é honesto, mas é culpado”

“Então João é culpado e inocente”

DEDUÇÃO

Raciocinar dedutivamente, é partir de premissas gerais, em busca de uma verdade particular.

Exemplo:

 O Ser humano é imperfeito;

 Eu sou um ser humano;

 Logo, eu sou imperfeito;

Exemplo:

 Todo mamífero tem um coração;

 Todos os cavalos são mamíferos;

 Logo, todos os cavalos têm coração;

INDUÇÃO

Os “indutivistas” acreditavam que as explicações para os fenômenos advinham unicamente da observação dos fatos. Então, raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma lei geral, universal.

EXEMPLO:

Sabe-se que:

 O ferro conduz eletricidade

 O ferro é metal

 O ouro conduz eletricidade

 O ouro é metal

 O cobre conduz eletricidade

 O cobre é metal

Logo os metais conduzem eletricidade.

EXEMPLO:

 Todos os cavalos até hoje observados tinham um coração;

 Logo, todos os cavalos tem um coração;

O princípio de indução não pode ser uma verdade lógica pura, tal como uma tautologia ou um enunciado analítico, pois se houvesse um princípio puramente lógico de indução, simplesmente não haveria problema de indução, uma vez, que neste caso todas as inferências indutivas teriam de ser tomadas como transformações lógicas ou tautológicas, exatamente como as inferências no campo da Lógica Dedutiva.

CONTRADIÇÃO PREMISSAS PREMISSAS CONCLUSÃO ERRADA