Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

(1)

Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica

Matéria para a PRIMEIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro

“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

7 Trabalho e Energia Cin´etica 2

7.1 Quest˜oes . . . 2 7.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2

7.2.1 Trabalho: movimento com forc¸a constante . . . 2

7.2.2 Trabalho executado por força variável . . . 3 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4 7.2.4 Energia Cinética . . . 4 7.2.5 Potência . . . 5 7.2.6 Energia Cinética a Velocidades

Elevadas . . . 7

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex)

(2)

7 Trabalho e Energia Cin´etica

7.1 Quest˜oes

Q 7-13

As molas A e B s˜ao idˆenticas, exceto pelo fato de que A

é mais r´ıgida do que B, isto é . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendi- das por forças iguais.

(a) Temos e , onde

representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- tanto,

ou seja, .

(b) Agora temos e ^! ,

onde e representam os delocamentos provocados pela forc¸a idˆentica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude,

" #$ %

donte tiramos^& ^% . Portanto

(' )! *

,+

ou seja,

+

.

7.2 Problemas e Exerc´ıcios

7.2.1 Trabalho: movimento^- com forc¸a constan- te

E 7-2 (7-7/6^. edic¸˜ao)

Para empurrar um caixote de^/0 kg num piso sem atrito, um operário aplica uma força de ⁰ N, dirigida ⁰¹ acima da horizontal. Se o caixote se desloca de² m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário, (b) pelo peso do caixote e (c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?

(a) A força aplicada é constante e o trabalho feito por ela é

3 4&576

"98%:7;<>=

onde⁴ é a força,⁶ é o deslocamento do caixote, e⁼ é o ângulo entre a força⁴ e o deslocamento⁶ . Portanto,

3

?'@

0

*A' 2 *

:A;B<

0 1

/C0 J^D

(b) A força da gravidade aponta para baixo, perpendi- cular ao deslocamento do caixote. O ângulo entre esta força e o deslocamento é ^C0 ¹ e, como

:A;<

C0 1E 0 , o

trabalho feito pela forc¸a gravitacional ´e ZERO.

(c) A força normal exercida pelo piso também atua per- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o trabalho por ela realizado também é ZERO.

(d) As três forças acima mencionadas são as únicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total é dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das três forças, ou seja, o trabalho total é^/C0 J.

P 7-9 (???/6^. )

A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso^F . Suponha que o atrito seja desprez´ıvel e que as duas polias de baixo, às quais está presa a carga, pesem juntas ⁰ N. Uma carga de^GH0 N deve ser levantada m. (a) Qual a força m´ınima⁴ necessária para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela força⁴ para realizar esta tarefa?

(a) Supondo que o peso da corda é desprez´ıvel (isto é, que a massa da corda seja nula), a tensão nela é a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso

F ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma forc¸a

"

aplicada em quatro pontos, de modo que a força total para cima aplicada nas polias móveis é^H

"

. Se

"

for a forc¸a m´ınima para levantar a carga (com velocidade constante, i.e. sem acelera-la), ent˜ao a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter

H

"JILKJM

0

onde ^KJM representa o peso total da carga mais polias m´oveis, ou seja,^KJM ^N'^GHB0%O ⁰ ^* N. Assim, encontramos que

"

GP0

H

/ N^D

(3)

(b) O trabalho feito pela corda é ^H ^"98 ^KJMQ8 , onde⁸ é a distância de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda é

N' GP0 *7'

*R

02 0 J^D

(A resposta na tradução do livro está incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias di- minui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de^H metros. Portanto, no total a extremidade livre da corda move-se^'^H ^*A' ^*! ^HG m para baixo.

(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela extremidade livre ´e

"98

KJMQ8

H , onde

8

´e a distˆancia que a extremidade livre se move. Portanto,

N' GP0 *

HBG

H

02 0 J^D

Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que n˜ao ocorre com as respostas for- necidas no livro.

P 7-12 (???/6^. )

Um bloco de^2SDUT/ kg é puxado com velocidade constante por uma distância de^HD^0P m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma força de^TVD^PG N fazendo um ângulo de ^/1 acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o piso.

(a) A força na corda é constante, de modo que o traba- lho é dado por ^4$5W6 "98%:A;B<>=

, onde⁴ é a força exercida pela corda,⁶ é a distância do deslocamento, e

=

é o ângulo entre a força e o deslocamento. Portanto

N'TVDPG *7'HD0P *

:7;< / 1 20>D

J^D

(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forc¸as aplicadas.

Desenhe um ponto^X representando o bloco. Em^X , desenhe a força normal^Y apontando para cima, a força peso^ZE[ apontando para baixo. Apontando horizontal- mente para a esquerda desenhe a força^\ de atrito. Dese- nhe a força⁴ que puxa o bloco apontando para a direita e para cima, fazendo um ângulo⁼ com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equil´ıbrio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equações, respectivamente,

"$:A;<=]I_^

0

` O "

sen^=aI ^Z ^M ^0SD

A magnitude da forc¸a de atrito ´e dada por

^

bdc

`

ebdcV'Z

MfIL"

sen⁼ ^* onde o valor de

`

foi obtido da segunda equac¸˜ao acima.

Substituindo o valor de

^

na primeira das equac¸˜oes acima e resolvendo-a para^b ^c encontramos sem problemas que

b c

"$:A;B<>=

Z

MgI$"

sen

=

'TQDPG *

:7;< / 1

'

2>D/BT

*7' CSDG * I '

TQDPG

* sen ^/ ¹ ^0>D ^D

7.2.2 Trabalho executado por forc¸a vari´avel

P 7-16 (???/6^. )

A forc¸a exercida num objeto ´e ^" ^'hi*j ^"lk ^'mi ^k9I ^*. Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de

n 0 at´e ^&o ^k (a) fazendo um gr´afico de^" ^'hi* e

determinando a ´area sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente.

(a) A expressão de^" ^'hi* diz-nos que a força varia li- nearmente com . Supondo ^k ^p0 , escolhemos dois pontos convenientes para, através deles, desenhar uma linha reta.

Para^q ⁰ temos^" Îr" ^k enquanto que para^sJ ^k temos^" ^" ^k , ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos ^'⁰ Îr" ^k ^* e^'@ ^k ^" ^k ^*. Faça a figura!

Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de

E 0 até^q ^k , o outro indo deÊe ^k até^q ^k . Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é ZERO.

(b) Analiticamente, a integral nos diz que

t

vuw

k " kyx

1 I -z 8

"

k{x

k I

z}|

||

vu w

k 0SD

(4)

7.2.3 Trabalho realizado por uma mola

E 7-18 (7-21/6^. )

Uma mola com uma constante de mola de ^/ N/cm está presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola é distendida de^TVD^P mm em relação ao seu estado relaxa- do? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela é distendida por mais^TQD^P mm?

(a) Quando a gaiola move-se de^Eey~ para^E

o trabalho feito pela mola ´e dado por

t

u-

u

'I i*

8 I |||u

u

I

'h

I ~ *

onde ´e a constante de forc¸a da mola. Substituindo

~ 0 m e

TQDP

0S# m encontramos

I

'

/00 *7'TVDP 0

i

* I

0SD0HB2 J^D (b) Agora basta substituir-se ^y~ ^TVD^PL ^0S# m e

/QD

0S# m na express˜ao para o trabalho:

I '

/00 *>@'

/QD* I ' TVDP * ' 0

i

*

I

0SD 2 J^D

Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho realizado é mais do que o dobro do trabalho feito no primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idêntico em ambos intervalos, a força é maior durante o segundo intervalo.

7.2.4 Energia Cin´etica

E 7-21 (7-???/6^. )

Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo acoplada tem uma massa total de ^D^C] ⁰ kg e atinge uma velociade de ^D km/s, qual a sua energia cin´etica neste instante?

Usando a definição de energia conética temos que

Zs

'@ DC

0

*A'

D 0 *

DT/f

0 ~ J^D

E 7-22 (7-1/6^. )

Um elétron de condução (massa^Z ^CSD ^0S# ^~ kg) do cobre, numa temperatura pr óxima do zero absoluto, tem uma energia cinética de^P>DT( ^0Q ^~ J. Qual a velocidade do elétron?

A energia cinética é dada por ^Zq , onde^Z é a massa do elétron e a sua velocidade. Portanto

Z

S'PSDUTf

0

~

*

C>D

0

#

~ D

0 m/s^D

E 7-29 (???/6^. )

Um carro de ⁰⁰⁰ kg está viajando a^P0 km/h numa es- trada plana. Os freios são aplicados por um tempo sufi- ciente para reduzir a energia cinética do carro de^/0 kJ.

(a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a redução adicional de energia cinética necessária para fazê-lo parar?

(a) A energia cin´etica inicial do carro ´e

]

Zs

,

onde^Z ´e a massa do carro e

P0 km/h ^P0f

0

2P00

PSDUT m/s

´e a sua velocidade inicial. Isto nos fornece

N'

000 *7'

P>DT *

D2C

0 J^D Ap´os reduzir em^/0 kJ a energia cin´etica teremos

a

D2C

0 I

/0

0 GSDC

0 J^D Com isto, a velocidade final do carro ser´a

a

Z

S' GSDC

0 *

000

2>D2 m/s

HVTQDG km/h^D

(b) Como ao parar a energia cin´etica final do carro ser´a ZERO, teremos que ainda remover^GSD^C! ⁰ J para faze- lo parar.

P 7-35 (7-17/6^. )

Um helic´optero levanta verticalmente um astronauta de

T kg até ^/ m de altura acima do oceano com o aux´ılio de um cabo. A aceleração do astronauta é^M ⁰ . Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo he- licóptero e (b) pelo seu pr óprio peso? Quais são (c) a energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no mo- mento em que chega ao helicóptero?

(5)

(a) Chame de^" a magnitude da força exercida pelo cabo no astronauta. A força do cabo aponta para cima e o peso^Z ^M do astronauta aponta para baixo. Além disto, a aceleração do astronauta é^M ⁰ , para cima. De acordo com a segunda lei de Newton,

"JI

Z M Z M 0

de modo que^" ^Z ^M ⁰ . Como a força⁴ e o deslocamento⁶ estão na mesma direção, o trabalho feito pela força⁴ é

3

"98

Z M

0 8

'T *A'CSDG *A' / *

0

D

P

0 J^D

(b) O peso tem magnitude^Z ^M e aponta na direc¸˜ao opos- ta do deslocamento. Ele executa um trabalho

I Z

MV8

I 'T *7'CSDG *7'

/ *)

I D0Pg

0 J^D (c) O trabalho total feito ´e

P00

I

0P00

000 J^D

Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cin´etica final dever´a ser igual a

(d) Como

Zq , a velocidade final do astronauta ser´a

Z

>'

000

*

T /QD T m/s ^G>D^C km/h^D

P 7-36 (7-19/6^. )

Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um bloco, inicialmente em repouso, de massa^K com uma aceleração constante^M ^H . Depois que o bloco desceu uma distância

8

, calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso, (c) a energia cin´etica do bloco e (d) a velocidade do bloco.

(a) Chame de^" a magnitude da força da corda sobre o bloco. A força ^" aponta para cima, enquanto que a força da gravidade, de magnitude^KJM , aponta para baixo. A aceleração é^M ^H , para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda lei de Newton diz-nos queKJMfI$"

KJM

H , de modo

que^" ² ^KJM ^H . A forc¸a est´a direcionada no sentido

oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz ´e

3

Ir"98

I 2H

KJMQ8

D

(b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho

KJMV8

.

(c) O trabalho total feito sobre o bloco ´e

I 2H

KJMV8

O

KJMQ8

H

KJMQ8

D

Como o bloco parte do repouso, o valor acima coinci- de com sua energia cin´etica

ap´os haver baixado uma distˆancia

8

.

(d) A velocidade ap´os haver baixado uma distˆancia

8

´e

N

K

MQ8

D

7.2.5 Potˆencia

P 7-43 (???/6^. )

Um bloco de granito de ^HB00 kg é puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de ^D^2H m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a rampa é^0SD^H . Qual a potência do guindaste?

Para determinar a magnitude^" da forc¸a com que o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de corpo livre.

Chamemos de

^

a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao de

"

. A normal ^Y aponta perpendicularmente `a rampa, enquanto que a magnitude^Z

M

da forc¸a da gravidade aponta verticalmente para baixo.

Da figura dada vemos que ˆangulo do plano inclinado vale

tan ^~ ^x ²⁰

H0

z 2VT 1 D

Tomemos o eixo na direc¸˜ao do plano inclinado, apontando para cima e o eixo apontando no mesmo sentido da normal^Y .

Como a aceleração é zero, as componentes e da segunda lei de Newton são, respectivamente,

"JI_^aI

Z M

sen ⁰

`oI

Z

M:7;<

0SD

Da segunda equação obtemos que ^` ^Z ^M:7;< , de modo que ^{^} ^b ^c ^` ^b ^c ^Z ^M:A;< . Substiutindo este resultado na primeira equação e resolvendo-a para^"

obtemos

" Z M x

sen^O ^bdc

:A;<

z D

(6)

A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a velocidade do bloco, de modo que a potˆencia do guindaste

´e

X "

Z M x

sen^(O ^b ^c ^:7;< ^z

'

H00 *7'CSDG *7' D2H * x

sen^2BT ¹ ^O0SD^H ^:A;B< ^2BT ¹ ^z

T kW^D

P 7-47 (???/6^. )

Uma força de^/ N age sobre um corpo de ^D/ kg inicial- mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado pela força no primeiro, segundo e terceiro segundos e (b) a potência instantânea aplicada pela força no final do terceiro segundo.

(a) A potˆencia ´e dada por^X ^" e o trabalho feito por⁴ entre o instante ^~ e

´e

t

X 8

t

" 8

D

Como⁴ é a força total, a magnitude da aceleração é

¡ ^ Z e a velocidade em função do tempo é dada

por ^¡ ^" ^Z . Portanto

t

"

Z 8 "

Z x I ~ z D

Para ^~ ⁰ s e

s temos

~

x /

/ z)¢

' * I '0 * £ 0SDG2 J^D

Para ^~ s e

e s temos

x /

/ zR¢

'@*

I ' *

£

D/ J^D

Para ^~e s e

2 s temos

x /

/ zR¢

'2 * I

'@* £ HD J^D

(b) Substitua

" Z em ^X

" obtendo ent˜ao

X " Z para a potˆencia num instante qualquer.

Ao final do terceiro segundo temos

X '/ * '2 *

/ / W^D

P 7-48 (7-35/6^. )

Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de ⁰⁰ kg e deve subir^/H m em² min. O contrapeso do elevador tem uma massa de ^C/0 kg. Calcu- le a potência (em cavalos-vapor) que o motor do elevador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessário para colocar o elevador em movimento e para freá-lo, isto

´e, suponha que se mova o tempo todo com velocidade constante.

O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravidade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: ^$¤Oe¥%Oe¦ . Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cinética não muda e, de acordo com o teorema do Trabalho- Energia, o trabalho total feito é zero. Isto significa que

$¤RO$¥)O¦ 0 .

O elevador move-se^/H m para cima, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele ´e

¤r

I Z ¤

MV8

I ' 00 *7'CSDG *7'/H *l

I

PSD2/f

0 J^D O contrapeso move-se para baixo pela mesma distˆancia, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele ´e

$¥

ZE¥

MQ8

N' C/0

*A' CSDG

*7' /H

* /QD02

0 J^D Como ⁰ , o trabalho feito pelo motor ´e

¦J

I ¤ I ¥§ 'PSD2/

I

/QD02 * 0

D2 0 J^D

Este trabalho ´e feito num intervalo de tempo ^¨f

2 min ^G0 s e, portanto, a potˆencia fornecida pelo motor para levantar o elevador ´e

X

¦

¨f

D2

0

G0

T2/ W^D

Este valor corresponde a

T2/ W

THP W/hp ^0SD^CC hp^D

P 7-49 (???/6^. )

A força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante é proporcional à velocidade. Se são necessários ⁰ hp para manter uma velocidade de^H km/h, quantos cavalos-vapor são necessários para manter uma velocidade de km/h?

(7)

Como o problema afirma que a forc¸a ´e proporcional

à velocidade, podemos escrever que a força é dada por

"

X " e© D

´e

X

«©

. Portanto, dividindo-se^X

X x

~ z X ~ D

Para^X ^~r ⁰ hp e

2 ~ , vemos sem problemas que

X x

H z ' 0 *!N'2 * ' 0 *) C0 hp^D

Observe que é poss´ıvel determinar-se explicitamente o valor de^© a partir dos dados do problema. Porém, tal solução é menos elegante que a acima apresentada, onde determinamos^© implicitamente, chegando ao resultado final mais rapidamente.

7.2.6 Energia Cin´etica a Velocidades Elevadas

E 7-50 (???/6^. )

Um elétron se desloca de^/QD cm em^0SD ^/ ns. (a) Qual é a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da luz? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt?

(c) Qual o erro percentual que você cometeria se usas- se a fórmula clássica para calcular a energia cinética do elétron?

(a) A velocidade do el´etron ´e

8

/SD

0

0>D /g

0

J D0H

0¬ m/s^D

Como a velocidade da luz ´e ^e ^D^CCG( ⁰ ^¬ m/s, temos

D0H

DCCG

0>DPGD

(b) Como a velocidade do elétron é pr óxima da veloci- dade da luz,devemos usar expressão relativ´ıstica para a energia cinética:

ZE x

® I I -z

'CSD

0 ~

*7'@ DCCG 0 ¬-*

x

® I '0>DPG * I z

2>D0

0 ~ J^D Este valor ´e equivalente a

2SD0

0Q

~

DP0

0

~¯

DC0

0

C0 keV^D

(c) Classicamente a energia cin´etica ´e dada por

Zq

' CSD

0 #

~

*A'°

D0H±

0

¬-*

DC0f

0 ~ J^D

Portanto, o erro percentual é, simplificando já a potência comum ^0Q ^~ que aparece no numerador e denomina- dor,

erro percentual ^2SD⁰

I DC

2SD0

0SD2BT

ou seja, ^2BT² . Perceba que n˜ao usar a f´ormula relativ´ıstica produz um grande erro!!