Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica, Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´ısica

Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro

“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

10 Colis˜oes 2

10.1 Quest˜oes . . . . 2 10.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . 2 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 2

10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Di- mens˜ao . . . . 4 10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma

Dimens˜ao . . . . 5 10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes . 6 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 7

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br

(listam2.tex)

10 Colis˜oes

10.1 Quest˜oes

Q 10-1

Explique como a conservac¸˜ao de energia se aplica a uma bola quicando numa parede.

10.2 Problemas e Exerc´ıcios

10.2.1 Impulso e Momento Linear

E 10-3 (10-1/6

edic¸˜ao)

Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma forc¸a m´edia de

N em um intervalo de

ms. Se a bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria ap´os o impacto?

Se

for a magnitude da forc¸a m´edia ent˜ao a magni- tude do impulso ´e

, onde

´e o intervalo de tempo durante o qual a forc¸a ´e exercida (veja Eq. 10-8).

Este impulso iguala a magnitude da troca de momen- tum da bola e como a bola est´a inicialmente em repouso, iguala a magnitude

do momento final. Resolvendo a euqac¸˜ao

para

encontramos

"!$#

%"

m/s

E 10-9 (10-5/6

)

Uma forc¸a com valor m´edio de

^&

N ´e aplicada a uma bola de ac¸o de

^'

kg, que se desloca a

^('

m/s, em uma colis˜ao que dura

^*)

ms. Se a forc¸a estivesse no senti- do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade final da bola.

Considere a direc¸˜ao inicial do movimento como po- sitiva e chame de

a magnitude da forc¸a m´edia,

a durac¸˜ao da forc¸a,

a massa da bola,

⁺

a velocidade inicial da bola,

^,

a velocidade final da bola. Ent˜ao a forc¸a atua na direc¸˜ao negativa e o teorema do impulso- momento fornece

-

./0 , -

+

Resolvendo para

^,

obtemos

, + -

1

('

-

&*

*)2 !3#&

'

-54

)

m/s

A velocidade final da bola ´e

^{4 )}

m/s.

P 10-12 (10-9/6

)

Um carro de

^'

kg, deslocando-se a

⁶

m/s, est´a ini- cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixo

⁷

. Ap´os completar uma curva `a direita de

⁸⁹

para o sentido positivo do eixo

^:

em

^';4

s, o distraido moto- rista investe para cima de uma ´arvore, que p´ara o carro em

⁶

ms. Em notac¸˜ao de vetores unit´arios, qual ´e o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a colis˜ao? Qual a intensidade da forc¸a m´edia que age so- bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colis˜ao?

(e) Qual ´e o ˆangulo entre a forc¸a m´edia em (c) e o senti- do positivo do eixo

^:

?

(a) O momento inicial do carro ´e

< +

=>?

'

"6A@B

)C'*

kg

^D

m/s

^A@

e o momento final ´e

)E'*

kg

^D

m/s

^GF

. O impulso que nele atua ´e igual `a variac¸˜ao de momento:

H < , - < +

)E'*

kg

^D

m/s

F -

@CI

(b) O momento inicial do carro ´e

^{< +}

)C'*

kg

^D

m/s

^JF

e o momento final ´e

^{< , K}

, uma vez que ele para. O impulso atuando sobre o carro ´e

H < , - < + -

)C'*

kg

^D

m/s

^JF

(c) A forc¸a m´edia que atua no carro ´e

L

IM <

H

)C'*

kg

^D

m/s

F -

@E

'N

4

4

&6

N

F -

@C

e sua magnitude ´e

OM

4

N

^{QP RS 4 UT}

6

N.

(d) A forc¸a m´edia ´e

L

OM

H

-

)E'*

kg

^D

m/s

^GF

6?&

!3#

-

"('*6

N

^.F

-

"V2 W

N

^XF

e sua magnitude ´e

^L

OM

%"VY?&

W

N.

(e) A forc¸a m´edia ´e dada acima em notac¸˜ao vetorial unit´aria. Suas componentes

^:

e

⁷

tem magnitudes iguais. A componente

^:

´e positiva e a componente

⁷

´e negativa, de modo que a forc¸a est´a a

^{'* 9}

abaixo do eixo

^:

.

P 10-13 (10-??/6

)

A forc¸a sobre um objeto de

kg aumenta uniforme- mente de zero a

N em

^'

s. Qual ´e a velocidade final do objeto se ele partiu do repouso?

Tome a magnitude da forc¸a como sendo

^Z\[5

, on- de

^[

´e uma constante de proporcionalidade. A condic¸˜ao que

^]\

N quando

^/'

s conduz a

[\

N

^{_^}

'

s

^`ZC"

N/s

A magnitude do impulso exercido no objeto ´e

a b W

c

ed.

b W

c

[5XdS fg

[5 gNh

hhWc

fg

C"

'*

g

&

N

^D

s

A magnitude deste impulso ´e igual `a magnitude da variac¸˜ao do momento do objeto ou, como o objeto par- tiu do repouso, ´e igual ` magnitude do momento final:

a=,

. Portanto

,1

&

Z&

m/s

P 10-14 (10-13/6

)

Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos de

g por segundo com uma velocidade de

m/s, que s˜ao detidos por uma parede r´ıgida. (a) Qual ´e o mo- mento linear de cada chumbinho? (b) Qual ´e a energia cin´etica de cada um? (c) Qual ´e a forc¸a m´edia exercida pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se ca- da chumbinho permanecer em contato com a parede por

4

ms, qual ser´a a forc¸a m´edia exercida sobre a parede por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por que esta forc¸a ´e t˜ao diferente da forc¸a em (c)?

(a) Se

for a massa dum chumbinho e

for sua ve- locidade quando ele atinge a parede, ent˜ao o momento

´e

ⁱ

/0

!3#

]

kg

^D

m/s

^j

na direc¸˜ao da parede.

(b) A energia cin´etica dum chumbinho ´e

k fg

0 g fg

?& !3#

*

g

=

J

(c) A forc¸a na parede ´e dada pela taxa na qual o momen- to ´e transferido dos chumbinhos para a parede. Como os chumbinhos n˜ao voltam para tr´as, cada chumbinho transfere

i

U

kg

^D

m/s. Se

^lmn&

chumbinhos co- lidem num tempo

^BK

segundo, ent˜ao a taxa m´edia com que o momento ´e transferido ´e

OM i

l

1

&

]&

N

A forc¸a na parede tem a direc¸˜ao da velocidade inicial dos chumbinhos.

(d) Se

¹

´e o intervalo de tempo para um chumbinho ser freado pela parede, ent˜ao a forc¸a m´edia exercida na parede por chumbinho ´e

OM

i

;

4

!3#

n 444

44

N

A forc¸a tem a direc¸˜ao da velocidade inicial do chumbi- nho.

(e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o interva- lo em que um chumbinho est´a em contato com a parede, enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo de tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede.

Na maior parte do tempo nenhum chumbinho est´a em contato com a parede, de modo que a forc¸a m´edia na parte (c) ´e muito menor que a m´edia em (d).

P 10-26 (10-15/6

)

Uma espac¸onave ´e separada em duas partes detonando- se as ligac¸˜oes explosivas que as mantinham juntas. As massas das partes s˜ao

^&

e

^&o

kg; o m´odulo do im- pulso sobre cada parte ´e de

⁶

N

^D

s. Com que velocida- de relativa as duas partes se separam?

Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha que o impulso tenha magnitude

e esteja no sentido po- sitivo. Seja

f

,

f

a massa e a velocidade da parte mais leve ap´os as ligac¸˜oes explodirem. Suponha que ambas as partes est˜ao em repouso antes da explos˜ao. Ent˜ao,

p

/

f f

, de modo que

f

f

6

C

\

m/s

O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu- de mas no sentido oposto, de modo que

^{- %q g g}

, onde

^g

,

^g

s˜ao a massa e a velocidade da parte mais pesada. Portanto

g -

g -

6

&o -

V 4 )

m/s

A velocidade relativa das partes ap´os a explos˜ao ´e

- -

V

4

)X=;'NC)

m/s

P 10-28 (10-38/6

)

A espac¸onave Voyager 2 (de massa

e velocidade

relativa ao Sol) aproxima-se do planeta J´upiter (de mas- sa

^p

e velocidade

^r

relativa ao Sol) como mostra a Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no sentido oposto. Qual ´e a sua velocidade, em relac¸˜ao ao Sol, ap´os este encontro com efeito estilingue? Conside- ra

^stC

km/s e

^rut6

km/s (a velocidade orbital de J´upiter). A massa de J´upiter ´e muito maior do que a da espac¸onave;

^pwv

. (Para informac¸˜oes adicionais, veja “The slingshot effect: explanation and analogies”, de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics Teacher, novembro de 1985.)

Considere o encontro num sistema de referˆencia fixo em J´upiter. Quando eventuais perdas de energia forem desprez´ıveis, o encontro pode ser pensado como uma colis˜ao el´astica na qual a espac¸onave emerge da “co- lis˜ao” com uma velocidade de mesma magnitude que a velocidade que possuia antes do encontro. Como a ve- locidade inicial da espac¸onave ´e

+

/2xrn]&5x=6=

km/s

medida a partir de J´upiter, ela se afastar´a de J´upiter com

,

km/s. Passando para o sistema original de re- ferˆencia no qual o Sol est´a em repouso, tal velocidade ´e dada por

*y, /

,

xrn\5x=6\6o

km/s

10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Dimens˜ao

E 10-29 (10-35/6

)

Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual ´e a velocidade

^>

do bloco de

⁴

kg ap´os a colis˜ao? (b) A colis˜ao ´e el´astica? (c) Suponha que a velocidade inicial do bloco de

^"'

kg seja oposta `a exibida. Ap´os a colis˜ao,

a velocidade

^>

do bloco de

⁴

kg pode estar no sentido ilustrado?

(a) Seja

f

,

f +

e

f ,

a massa e a velocidade inicial e final do bloco `a esquerda, e

^g

,

^{g +}

e

^{g ,}

as corres- pondentes grandezas do bloco `a direita. O momento do sistema composto pelos dois blocos ´e conservado, de modo que

f f +Nxz

g g

+{/

f f ,|xz

g g

,Nj

donde tiramos que

f , f f + x}

g g + - g g ,

f

5x

"'

45~

"

-

'N8*BZ8

m/s

O bloco continua andando para a direita ap´os a colis˜ao.

(b) Para ver se a colis˜ao ´e inel´astica, comparamos os va- lores da energia cin´etica total antes e depois da colis˜ao.

A energia cin´etica total ANTES da colis˜ao ´e

k + fg f gf+

x}

g g g +

4

g

x}

'€

"

g

=6 )

J

A energia cin´etica total DEPOIS da colis˜ao ´e

k , fg f gf ,

xRf g g g

g ,

fg

4

8

g x fg

'€

'N8*

g

\6 )

J

Como

^{k + k ,}

, vemos que a colis˜ao ´e el´astica, (c) Neste caso temos

^{g + - "}

m/s e

f , f f

+$xz

g g + - g g ,

f

"5x

'

4 ~ - -

';8  -

"

4

m/s

Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sen- tido mostrado.

E 10-33 (10-37/6

)

Um carro de

^6'

g de massa, deslocando-se em um tri- lho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de

m/s, atinge um segundo carro de massa desconhe-

cida, inicialmente em repouso. A colis˜ao entre eles ´e

el´astica. Ap´os a mesma, o primeiro carro continua em

seu sentido original a

⁴⁴

m/s. (a) Qual ´e a massa do

segundo carro? (b) Qual ´e a sua velocidade ap´os o im-

pacto? (c) Qual a velocidade do centro de massa do

sistema formado pelos dois carrinhos?

(a) Seja

f

,

f +

,

f ,

a massa e as velocidades inicial e final do carro que originalmente se move. Seja

^g

e

g ,

a massa e a velocidade final do carro originalmente parado (

^{g+ }

. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-18, temos

f ,1

f - g

f x}

g f +_

Desta express˜ao obtemos para

^g

:

g f + - f,

f ,‚x}

f + f

- 44

5x

44

6'*

g

^`=88

g

(b) A velocidade do segundo carro ´e dada por

g , E

f

f x}

g f +

;6'

6'*ƒx 88

8

m/s

(c) A velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸˜ao

„ f

xz

g

G…{†‡

f f + x}

g g +

Lembrando que

^{g + /}

, temos

…{†‡

f f+

f xz

g

6'*

6'5x88

= 86

m/s

Observe que usamos gramas em vez de kilogramas.

E 10-34 (10-41/6

)

Um corpo de

^"

kg de massa colide elasticamente com outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido original com um quarto de sua velocidade original. (a) Qual ´e a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci- dade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de

^"

kg era de

';

m/s?

(a) Sejam

f

,

f +

,

f ,

a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao do corpo que se move originalmen- te. Sejam

^g

e

^{g ,}

a massa e a volcidade final do corpo originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 temos

f ,1

f - g

f x}

g f +_

Resolvendo para

^g

obtemos, para

f

,1=

f

+ˆ^E'

,

g f+ - f ,

f , x}

f + f -

E^C'

C^C'Bx=

f 6

"Z

kg

(b) A velocidade do centro de massa do sistem formado pelos dois corpos satisfaz a equac¸˜ao

„ f

x}

g

‰ …{†

f f +Nx}

g g

+_

Resolvendo para

^Š†

com

^{g +{\}

encontramos

…Š† f f+

f x}

g

*

'N*

"Bx/

=

m/s

E 10-37 (10-43/6

)

Duas esferas de titˆanio se aproximam frontalmente com velocidades de mesmo m´odulo e colidem elasticamente.

Ap´os a colis˜ao, uma das esferas, cuja massa ´e de

⁶

g, permanece em repouso. Qual ´e a massa da outra esfera?

Seja

f

,

f +

,

f ,

a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao de uma das part´ıculas e

^g

,

^{g +}

,

^{g ,}

a massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao, da ou- tra part´ıcula. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-28, temos

f , f - g

f xz

g f+ x E

g

f x}

g g +

Suponha que a esfera

esteja viajando originalmente no sentido positivo e fique parada ap´os a colis˜ao. A esfera

est´a viajando originalmente no sentido negativo. Subs- tituindo

f

+‹

,

^{g +Π-}

e

f

,

na express˜ao acima, obtemos

^/

f - 6

g

. Ou seja,

g f

6

6

g

6

Z

g

10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao

E 10-41 (10-23/6

)

Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me- teoro com a Terra h´a cerca de 20.000 anos. Estima-se a massa do meteoro em

^{‹Ž f}

c

kg e sua velocidade em

)

m/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti- ria `a Terra numa colis˜ao frontal?

Seja

^

a massa do meteoro e

^

a massa da Terra.

Seja

^

a velocidade do meteoro imediatamente antes

da colis˜ao e

a velocidade da Terra (com o meteoro)

ap´os a colis˜ao. O momento do sistema Terra-meteoro ´e

conservado durante a colis˜ao. Portanto, no sistema de referˆencia Terra antes da colis˜ao temos

‚%

‘’xz‘X‰3j

de modo que encontramos para

|‘

‘’xz‘

)

fc

"8o?&

gW

x

fc

4

?&

!

fQf

m/s

Para ficar mais f´acil de imaginar o que seja esta velo- cidade note que, como

^{6 4 Œ“E'”6 4 •R6;&6 4}

, temos

4

?& ! fQf

m/s

^{4 ?& ! fQf}

6 &6

4

*

m/ano

&o8

m/ano

o8

mm/ano

E uma velocidade ´ MUITO dif´ıcil de se medir, n˜ao?...

E 10-42 (10-21/6

)

Um tren´o em forma de caixa de

⁴

kg est´a deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de

⁸

m/s, quando um pa- cote de

^&

kg ´e largado de cima para dentro dele. Qual

´e a nova velocidade do tren´o?

Precisamos considerar apenas a componente horizon- tal do momento do tren´o e do pacote. Seja

^0–

,

^E–

a mas- sa e a velocidade inicial do tren´o. Seja

^˜—

, a massa do pacote e

velocidade final do conjunto tren´o

^x

pacote.

A componente horizontal do momento deste conjunto conserva-se de modo que

– – –

x}˜—‰3j

de onde tiramos

– –

0–™xz —

8*

4

4

x/C

\6

m/s

P 10-53 (10-29/6

)

Um vag˜ao de carga de

^6*

t colide com um carrinho auxi- liar que est´a em repouso. Eles se unem e

^*)š

da energia cin´etica inicial ´e dissipada em calor, som, vibrac¸˜oes, etc.

Encontre o peso do carrinho auxiliar.

Seja

M

e

M

a massa e a velocidade inicial do vag˜ao,

a›

a massa do carrinho auxiliar e

a velocidade fi- nal dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸˜ao do

momento total do sistema formado pelos dois carros fornece-nos

M M M

x}‘›œ‰

donde tiramos

‹

M M

M x} ›

A energia cin´etica inicial do sistema ´e

^{k +2}

M g

M

^

enquanto que a energia cin´etica final ´e

k , fg M

xz

›

‰

g

fg M

xza›Q

M M g

M

xza›œ

g

fg gM g

M

M x} ›

Como

^)š

da energia cin´etica original ´e perdida, temos

k , =;)6

k +

, ou seja,

fg gM gM

M xza›

\ ž)E6Xf g M gM j

que, simplificada, fornece-nos

M ^ M x

›

Ÿe;)6

.

Resolvendo para

^›

encontramos

‘›`

)

ž)E6 M

=;6€)C

M

6*)

6*

C"8

toneladas

C"8?&

#

kg

A raz˜ao das massas ´e, obviamente, a mesma raz˜ao dos pesos e, chamando de

^„

M

o peso do vag˜ao, temos que o peso

^„

do carrinho auxiliar ´e

„

=;6€)

„ M

6*)

6?&

#

8;o*

&

4 8;‚

#

N

Observe que o resultado final n˜ao depende das velocida- des em jogo.

10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes

E 10-63 (10-49/6

)

Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini-

cialmente em repouso. Ap´os a colis˜ao, a branca desloca-

se a

⁶

m/s ao longo de uma reta em ˆangulo de

⁹

com

a sua direc¸˜ao original de movimento, e o m´odulo da ve-

locidade da segunda bola ´e de

m/s. Encontre (a) o

ˆangulo entre a direc¸˜ao de movimento da segunda bola e

a direc¸˜ao de movimento original da bola branca e (b) a

velocidade original da branca. (c) A energia cin´etica se

conserva?

(a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo- la branca como sendo a massa

f

e a outra bola como sendo a massa

^g

. Conservac¸˜ao das componentes

^:

e

⁷

do momento total do sistema formado pelas duas bolas nos fornece duas equac¸˜oes, respectivamente:

f +

f

,` I¡¢ £

f

xz

g

,` I¡*¢"£

g

-

f ,

sen

^£

f

x}0

g ,

sen

^{£ g}

Observe que as massa podem ser simplificadas em am- bas equac¸˜oes. Usando a segunda equac¸˜ao obtemos que

sen

^{£ g f,}

g ,

sen

^£

f 6;

sen

^{9 \ 4 4}

Portanto o ˆangulo ´e

^{£ g /'N&9}

.

(b) Resolvendo a primeria das equac¸˜oes de conservac¸˜ao acima para

f+

encontramos

f+ f

,` I¡*¢"£

f

xz

g

, (¡¢"£

g

6;  I¡*¢ 9 x

"  (¡¢ 'N 9 'N)

m/s

(c) A energia cin´etica inicial ´e

k + fg

g+ fg

'N)

g

n6?

A energia cin´etica final ´e

k , fg

0 gf , x fg

gg ,

fg

\¤

6 g x

* gI¥

=o V(

Portanto a energia cin´etica n˜ao ´e conservada.

10.2.5 Problemas Adicionais