Conceitos Básicos
Mariana Dias Júlia Justino
Novembro 2010
Conteúdo
1 Cálculo Algébrico 1
1.1 Conjuntos de Números . . . 1
1.1.1 Conjunto dos números naturais . . . 1
1.1.2 Conjunto dos números inteiros . . . 1
1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários . . . 1
1.1.4 Conjunto dos números reais . . . 2
1.2 Expressões Algébricas . . . 3
1.2.1 Polinómios . . . 3
1.2.2 Fracções Algébricas . . . 7
1.3 Equações e Inequações Algébricas . . . 9
1.3.1 Equações de 1o grau . . . 10
1.3.2 Equações de 2o grau . . . 10
1.3.3 Equações bi-quadradas . . . 11
1.3.4 Inequações de 1o grau . . . 12
1.4 Equações e Inequações com Módulos . . . 12
1.5 Exercícios Propostos . . . 15
1.6 Soluções . . . 26
2 Geometria no Plano 36 2.1 Vectores no Plano . . . 36
2.2 Estudo da Recta . . . 38
2.2.1 Equações da recta . . . 38
2.3 Cónicas . . . 42
2.3.1 Elipse e Circunferência . . . 43
2.3.2 Parábola . . . 44
2.3.3 Hipérbole . . . 46
2.4 Exercícios Propostos . . . 48
2.5 Soluções . . . 51
3 Funções Reais de Variável Real 55 3.1 Definição . . . 55
3.2 Representação Gráfica . . . 58
3.3 Transformações do gráfico de uma função . . . 60
3.4 Propriedades . . . 63
3.4.1 Classificação . . . 63
3.4.2 Paridade . . . 65
3.4.3 Funções periódicas . . . 66
3.4.4 Sinal . . . 67
3.4.5 Monotonia . . . 68
3.4.6 Extremos . . . 71
3.4.7 Concavidade . . . 72
3.4.8 Pontos de Inflexão . . . 73
3.4.9 Função Limitada . . . 73
3.5 Operações com Funções . . . 74
3.6 Funções Algébricas . . . 79
3.6.1 Função afim . . . 79
3.6.2 Função quadrática . . . 81
3.6.3 Função cúbica . . . 85
3.6.4 Função algébrica racional fraccionária . . . 86
3.6.5 Função algébrica irracional . . . 86
3.7 Exercícios Propostos . . . 87
3.8 Soluções . . . 97
4 Complementos sobre Equações e Inequações Algébricas 107 4.1 Equações Fraccionárias . . . 107
4.2 Inequações de 2o grau . . . 107
4.3 Inequações Fraccionárias . . . 108
4.4 Exercícios Propostos . . . 109
4.5 Soluções . . . 111
1 Cálculo Algébrico
1.1 Conjuntos de Números
1.1.1 Conjunto dos números naturais
N={1, 2, 3, ...}, onde N0 ={0, 1, 2, 3, ...}. 1.1.2 Conjunto dos números inteiros
Z={...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}, onde Z+ ={1, 2, ...}=N e Z−0 ={...,−2,−1, 0}. 1.1.3 Conjunto dos números racionais ou fraccionários
Definição 1 Designa-se fracção à expressão ab onde a é o numerador e b o denomi- nador. Se o numerador é menor que o denominador, a fracção diz-seprópria (por exemplo
2
3, 14, 35); se o numerador é maior ou igual ao denominador a fracção diz-seimprópria (por exemplo 43, 55, 64); se o numerador é múltiplo do denominador a fracção diz-seaparente(por exemplo 63, 126, 84).
Definição 2 Chamam-se fracções equivalentes às fracções que representam a mesma parte do todo (por exemplo, 12, 24, 126 são equivalentes). Para encontrar fracções equiva- lentes, basta multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural (por exemplo, 12··22 = 24··33 = 126 são algumas fracções equivalentes a 12). Uma fracção pode ser sim- plificada se se dividir ambos os termos da fracção pelo factor comum (por exemplo, 12:39:3 = 34 é uma fracção simplificada de 129 ). Uma fracção que não possa ser simplificada, porque os termos não possuem nenhum factor em comum, diz-se fracção irredutível.
O conjunto dos números racionais ou fraccionários é constituído por números que se podem escrever na forma de fracção em que o numerador e o denominador são números inteiros tais que o denominador nunca se anula, ou seja,
Q=a
b :a∈Z e b∈Z\ {0}®
={nos racionais},
ondenúmeros racionaissão números representáveis por dízimasfinitas ou dízimas infinitas periódicas.
Operações com números fraccionários
• Adição e subtracção
— Denominadores iguais: Para somar ou subtrair fracções com denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Exemplo 1 49 +29 = 69 = 23; 56 −16 = 46 = 23.
— Denominadores diferentes: Para somar ou subtrair fracções com denominadores diferentes, utiliza-se o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) para obter fracções equivalentes, de denominadores iguais ao m.m.c. Depois soma-se ou subtrai-se normalmente as fracções.
Exemplo 2 45 +52, onde o m.m.c.(5,2)=10. Logo, 5 4
(×2) + 2 5
(×5) = 108 +2510 = 3310.
• Multiplicação: Na multiplicação de fracções, basta multiplicar numerador por nu- merador e denominador por denominador.
Exemplo 3 45 × 32 = 45××32 = 1210 = 65.
• Divisão: Na divisão de fracções, deve-se multiplicar a primeira fracção pelo inverso da segunda.
Exemplo 4 45 ÷ 32 = 45 × 23 = 158 .
• Potenciação: Na potenciação, quando se eleva uma fracção a um determinado ex- poente, está-se a elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
Exemplo 5 ¡4
5
¢2
= 4522 = 1625.
• Radiciação: Na radiciação, quando se aplica uma raíz a uma fracção, está-se a aplicar essa raíz ao numerador e ao denominador.
Exemplo 6 q4
25 = √√4 25 = 25. 1.1.4 Conjunto dos números reais
R=Q∪{nos irracionais},
onde osnúmeros irracionais são números representáveis por dízimas infinitas não periódi- cas, tais queR\Q={nos irracionais}.
Propriedade 1 . 1. R=Q∪· (R\Q);
2. N⊂Z⊂Q⊂R, isto é:
R Q
Z N
R\Q
Exemplo 7 −3 = −31 = −3.0; 18 = 0.125; 112 = 0.181 8(18) são números racionais e
√2=1.414 2...; e=2.718 2...; π=3.141 5... são números irracionais.
1.2 Expressões Algébricas
Definição 3 Umaexpressão com uma variável diz-se algébrica quando, sobre a variável, não incidem outras operações além de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou extracção de raíz.
Definição 4 Chama-sedomínio da expressão algébrica, e representa-se por D, ao con- junto dos números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão.
Exemplo 8 A expressão algébrica 2x tem como domínio D=R\ {0}; a expressão algébrica
√x+3 tem como domínio D= [−3,+∞[.
1.2.1 Polinómios
Definição 5 Chama-sepolinómio de grau n numa variável xa toda a expressão algébrica de tipo:
anxn +an−1xn−1+. . .+a1x+a0
onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈R e an 6=0. Neste caso, anxn, an−1xn−1, . . . , a1x, a0 dizem-se termos do polinómio, an, an−1, . . . , a1, a0 coeficientes e a0 diz-se o termo indepen- dente.
Definição 6 Seja P(x) um polinómio de grau n. Diz-se que α ∈R é uma raíz real de P se P(α) =0.
Propriedade 2 Considerando um qualquer polinómio de grau 2, ax2+bx+c,as suas raízes reais podem ser obtidas através da Fórmula Resolvente:
α= −b±√
b2−4ac
2a ,
onde ∆=b2−4ac é designado porbinómio discriminante.
Se ∆
⎧⎨
⎩
> 0, então há duas raízes reais e distintas
=0, então há uma raíz real
< 0, então não há raízes reais
.
Exemplo 9 Determine as raízes reais de P(x) =x2+3x−4.
Resolução: Usando a fórmula resolvente, tem-se que P(x) =0 ⇔x= −3±
√32−4.1.(−4)
2.1 = −3±√29+16 = −3±2√25 = −32±5 ⇔
⇔x=1∨x=−4.
Logo, −4 e 1 são as raízes de P.
Observação 1 .
• Qualquer polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais distintas;
• Todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raíz real.
Definição 7 Dois polinómiosdizem-se idênticosse e só se são iguais os coeficientes dos termos do mesmo grau.
Definição 8 Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau.
Definição 9 Um polinómio diz-secompleto quando existem todos os termos desde o termo de maior grau até ao termo independente.
Definição 10 Um polinómio com um só termo diz-semonómio, com dois termosbinómio e com três termos trinómio.
Exemplo 10 O polinómio x2 +1 é um binómio não completo de grau 2 que não admite raízes reais (∆< 0).
Operações com polinómios
• Adição: Para adicionar dois polinómios, aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplo 11 ¡
3x2+x+1¢ + ¡
5x2+3¢
= 3x2 + x + 1 + 5x2 + 3 =
=¡
3x2+5x2¢
+x+ (1+3) =8x2 +x+4.
• Subtracção: Para subtrair dois polinómios, adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtrativo.
Exemplo 12 ¡
3x2+x+1¢
− ¡
5x2−3x¢
= 3x2 + x + 1 − 5x2 + 3x =
=¡
3x2−5x2¢
+ (x+3x) +1=−2x2 +4x+1.
• Multiplicação: Para calcular o produto de dois polinómios, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.
Exemplo 13 ¡
3x2+x+1¢
× ¡
5x2 +3¢
= 15x4 + 9x2 + 5x3 + 3x + 5x2 + 3 =
=15x4+5x3+14x2+3x+3.
— Casos Notáveis: Há produtos de polinómios que aparecem com muita frequên- cia com variadas aplicações na Matemática e que merecem especial atenção: o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.
Quadrado do Binómio- o quadrado do binómio obtém-se adicionando o quadrado do primeiro termo com o dobro do produto do primeiro pelo segundo e com o quadrado do segundo termo:
(a+b)2 =a2+2ab+b2.
a
a
b
b b2
a2
ab
ab a
a
b
b b2
a2
ab ab
De notar que se os dois termos do binómio têm o mesmo sinal, o termo 2ab é
positivo e se têm sinais contrários, o termo 2abé negativo. Logo, (a−b)2 =a2−2ab+b2.
Diferença de Quadrados- o produto de dois polinómios que só diferem no sinal de um dos termos é igual à diferença dos quadrados dos termos:
(a+b) (a−b) =a2−b2.
a
b
b b2
2 2
a−b a
a
b
b b2
2 2
a−b a
• Divisão: Efectuar a divisão inteira de um polinómio chamado dividendoD(x)de grau n,por outro polinómio chamado divisord(x)de graum,onde m < n,é encontrar um polinómio quociente q(x) de grau (n−m) e um polinómio resto r(x) de grau < m, em que
D(x)
| {z }
dividendo
=d(x)
| {z }
divisor
· q(x)
| {z }
quociente
+r(x)
|{z}
resto
.
A este processo dá-se o nome de Algoritmo da Divisão.
Exemplo 14 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4xx−23−3x+1. Resolução:
3x4 −4x3 +0x2 −3x +1 x −2
−3x4 +6x3 3x3 +2x2 +4x +5 2x3 +0x2 −3x +1
−2x3 +4x2
4x2 −3x +1
−4x2 +8x
5x +1
−5x +10 11
Assim, q(x) =3x3+2x2+4x+5 e r(x) =11, ou seja, D(x) =3x4−4x3−3x+1= (x−2)·¡
3x3 +2x2+4x+5¢ +11.
Observação 2 Quando o polinómio r(x) é nulo, ou seja, D(x) =d(x)·q(x), então a divisão inteira dos polinómios é denominada exacta. Diz-se, neste caso, que D(x) é divisível pord(x).
Regra de Ruffini- serve para dividir um polinómioD(x)de graunpor um binómio de tipo (x−α). Se D(x) = a0xn+a1xn−1+a2xn−2+. . .+an−1x+an, a Regra de Ruffini assume o seguinte aspecto:
a0 a1 a2 . . . an−1 an
α αq0 αq1 αqn−2 αqn−1 a0 a1+αq0 a2+αq1 . . . an−1+αqn−2 an +αqn−1
k k k k k
q0 q1 q2 qn−1 r(x)
Assim,D(x) = (x−α)·¡
q0xn−1+q1xn−2 +. . .+qn−1
¢+r(x).
Exemplo 15 Calcule o quociente e o resto da divisão 3x4−4xx−23−3x+1. Resolução:
3 −4 0 −3 1
2 6 4 8 10
3 2 4 5 11
Assim, q(x) =3x3+2x2+4x+5 e r(x) =11, ou seja, D(x) =3x4−4x3−3x+1= (x−2)·¡
3x3 +2x2+4x+5¢ +11.
Decomposição de polinómios em factores
Se um polinómio na variávelx, de graun, anxn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 admiten raízes reais, α1,α2, . . . ,αn, pode escrever-se como um produto:
an(x−α1) (x−α2). . .(x−αn), an 6=0.
Exemplo 16 Decomponha em factores do 1o grau os seguintes polinómios:
1. 2x2−12x+10;
2. 2(x−1)2−3(x−1). Resolução:
1. zeros: 2x2−12x+10=0⇔x= 12±√144−804 ⇔x=1∨x=5.
Assim, 2x2−12x+10=2(x−1) (x−5).
2. 2(x−1)2−3(x−1) = (x−1) [2(x−1)−3] = (x−1) (2x−5).
Propriedade 3 Todo o polinómio P(x) com coeficientes reais pode ser representado como produto do coeficiente do termo de maior grau(an)por polinómios do 1o grau do tipo x−α (em que α toma os valores das raízes reais do polinómio) e polinómios de segundo grau do tipo x2+bx+c, sem raízes reais.
Exemplo 17 −3x3+6x2−9x+6=−3(x−1)¡
x2−x+2¢
é um polinómio de grau3 com uma única raíz real: α=1.
Método dos coeficientes indeterminados
Este método baseia-se no princípio de que dois polinómios são idênticos se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais.
Exemplo 18 Calcule o quociente e o resto da divisão 2x3+3x2x22−1+x−5.
Resolução: O quociente q(x) será um polinómio de 1o grau, por isso da forma q(x) = ax+b, e o resto r(x) não pode exceder o primeiro grau, da forma r(x) = cx+d, com a, b, c e d∈R e a6=0. Como
D(x) =d(x)·q(x) +r(x) vem
2x3 +3x2+x−5=¡
2x2 −1¢
·(ax+b) + (cx+d). Efectuando-se os cálculos no 2o membro
2x3+3x2+x−5=2ax3+2bx2−ax−b+cx+d=2ax3+2bx2+ (c−a)x+ (d−b). Obtem-se dois polinómios, um no 1o membro e outro no 2o, que são idênticos. Pode-se então
escrever ⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
2=2a 3=2b 1=c−a
−5=d−b
⇔
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
a= 22 =1 b= 32 1=c−1
−5=d−32
⇔
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
a=1 b= 32 c=2 d=−72
.
Então q(x) =x+32 e r(x) =2x− 72. 1.2.2 Fracções Algébricas
Definição 11 Dados dois polinómios P(x) e Q(x), onde Q(x) é um polinómio não nulo, designa-se fracção algébrica a toda a expressão da forma Q(x)P(x), isto é, o quociente entre dois polinómios. A incógnita x poderá tomar qualquer valor real, desde que o seu valor não anule o denominador. Ao conjunto de números que, substituídos no lugar da variável, dão sentido à expressão dá-se o nome de domínio da fracção algébrica, e representa-se por D.
Existem muitas semelhanças nas definições e operações entre fracções algébricas e números fraccionários.
Definição 12 Consideremos uma fracção algébrica Q(x)P(x) tal que Q(x)6=0. Se P(x) e Q(x) são divisíveis pelo mesmo polinómiod(x),então existem dois polinómiosM(x) eN(x) que:
P(x) =M(x)·d(x) e Q(x) =N(x)·d(x) com N(x)6=0, verificando-se:
P(x)
Q(x) = M(x)·d(x)
N(x)·d(x) = M(x) N(x). Diremos que M(x)N(x) é a simplificação de Q(x)P(x).
Assim, para simplificar fracções algébricas, depois de factorizados o numerador e o deno- minador, dividem-se ambos os termos pelos factores comuns, não esquecendo o domínio em que a simplificação é válida.
Definição 13 Duas fracções Q(x)P(x) e M(x)N(x) são equivalentes se uma delas é a simplificação da outra.
Exemplo 19 Simplifique as seguintes fracções algébricas, indicando os respectivos domínios:
1. x2+4x+4x+2 ; 2. (x2−1)(x2−4)
(x−1)(x+2)(x−3). Resolução:
1. x2+4x+4x+2 = x+2
(x+2)2 = x+21 , onde D=R\ {−2}. 2. (x2−1)(x2−4)
(x−1)(x+2)(x−3) = (x−1)(x+1)(x−2)(x+2)
(x−1)(x+2)(x−3) = (x+1)(x−2)(x−3) , onde D=R\ {−2, 1, 3}.
Definição 14 Dadas as fracções Q(x)P(x) e M(x)N(x) tais que Q(x)6=0 e N(x)6=0, as expressões P(x)·N(x)
Q(x)·N(x) e M(x)·Q(x) N(x)·Q(x)
são expressões algébricas equivalentes às dadas e com igual denominador. A Q(x)·N(x) dá-se o nome de denominador comum.
Método para determinar o Mínimo Denominador Comum 1. Factorizam-se os polinómios dos denominadores;
2. Multiplicam-se todos os factores diferentes;
3. Se existem factores com a mesma base, mas expoente diferente, considera-se o que tem maior expoente.
Operações com Fracções Algébricas
• Adição e subtracção: Para somar ou subtrair duas ou mais fracções algébricas, devem-se reduzir todas ao mesmo denominador comum e só depois somar ou subtrair os polinómios.
P(x)
Q(x) ± M(x)
N(x) = P(x)·N(x)
Q(x)·N(x) ± M(x)·Q(x)
Q(x)·N(x) = P(x)·N(x)±M(x)·Q(x) Q(x)·N(x) .
• Multiplicação: Para multiplicar duas ou mais fracções algébricas, devem-se multi- plicar os polinómios dos numeradores entre si, e os denominadores entre si.
P(x)
Q(x) × M(x)
N(x) = P(x)·M(x) Q(x)·N(x).
• Divisão: O quociente de duas fracções algébricasfica definido através da multiplicação da primeira fracção pelo inverso da segunda.
P(x)
Q(x) ÷M(x)
N(x) = P(x)
Q(x) × N(x)
M(x) = P(x)·N(x) Q(x)·M(x).
Exemplo 20 Efectue os cálculos e simplifique, indicando os respectivos domínios:
1. x+22 −x+12 ; 2. x− 2x+1x−1 ; 3. xx22+3x−4 ×x+2x+3; 4. x+3x2 ÷ xx−12+1.
Resolução:
1. x+22 − x+12 = x+22
(x+1) − x+12
(x+2) = 2(x+1)−2(x+2)
(x+2)(x+1) = 2x+2−2x−4(x+2)(x+1) = −x2+3x+22 , onde D=R\ {−2,−1}.
2. x− 2x+1x−1 = x2−x−2x−1x−1 = x2−3x−1x−1 , onde D=R\ {1}. 3. xx22+3x−4 ×x+2x+3 = (x2+3x)(x+2)
(x2−4)(x+3) = x(x+3)(x+2)
(x−2)(x+2)(x+3) = x−2x , onde D=R\ {−3,−2, 2}. 4. x+3x2 ÷ xx−12+1 = x+3x2 × xx−12+1 = (x+3)(x−1)x2(x2+1) = x2x+2x−34+x2 , onde D=R\ {0, 1}.
1.3 Equações e Inequações Algébricas
Definição 15 A equação algébrica é uma igualdade entre duas expressões matemáti- cas que podem conter uma ou mais variáveis (ou incógnitas) sujeitas a operações algébri- cas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação). Por exemplo, ax +b = 0, x2 −2x = 1, ax4 = bx. O objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir as incógnitas da equação. Toda a equação tem:
• uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;
• um sinal de igualdade (=) ;
• uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
• uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
As expressões do 1o e 2o membros da equação chamam-se termos da equação.
−3
incógnita
%x +4
| {z }
1o membro
= |{z}10
2o membro
Resolver uma equação significa obter o valor da incógnita ou das incógnitas, isto é, obter as raízes da equação.
Quando se adiciona (ou se subtrai) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, ao multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. É este o processo que permite resolver uma equação.
1.3.1 Equações de 1o grau
Definição 16 As equações de 1o grau com uma variável são da forma mx+b=0, com m, b∈R, m6=0.
Exemplo 21 Resolva a seguinte equação algébrica −3x+4=10.
Resolução:
−3x+4=10⇔ Equação inicial
⇔−3x+4−4=10−4⇔ Subtraímos ambos os membros por 4
⇔−3x=6⇔
⇔ −3x−3 = −36 ⇔ Dividimos ambos os membros por −3
⇔x=−2 C.S.={−2} é a solução da equação.
1.3.2 Equações de 2o grau
Definição 17 Umaequação de 2o grau na incógnitaxé da forma ax2+bx+c=0, onde os números a, b e c são os coeficientes da equação, sendo a6=0. Estas equações podem ser completas, se todos os coeficientes são diferentes de zero, ou incompletas, se b=0 ouc=0 ou b=c=0.
Resolução de equações completas
Sabemos que uma equação completa de 2o grau é uma equação do tipoax2+bx+c=0,onde todos os coeficientes são diferentes de zero. Para a resolver, basta usar a fórmula resolvente.
Exemplo 22 Resolva as seguintes equações completas de 2o grau:
1. x2 −6x+8=0;
2. x2 −10x+25=0;
3. x2 +2x+7=0.
Resolução:
1. x2−6x+8=0⇔x= 6±√36−322 ⇔
∆>0x= 6±2√4 ⇔x= 6±22 ⇔x=4∨x=2, ou seja, a equação tem duas raízes reais, C.S.={2, 4}.
2. x2 −10x+25 = 0 ⇔ x = 10±√100−1002 ⇔
∆=0 x= 6±20 ⇔ x =3, ou seja, a equação tem uma raíz real, C.S.={3}.
3. x2 +2x+7=0 ⇔x= −2±√24−28 ∆<0⇔ x= −2±√2−24, ou seja, a equação não tem raízes reais, C.S.=∅.
Resolução de equações incompletas
• Equações do tipo ax2=0
Basta dividir toda a equação por a (a6=0) para se obter x2 = 0. Assim, a equação tem como conjunto solução C.S.={0}.
• Equações do tipo ax2+c=0
Basta dividir toda a equação pora(a6=0)e passar o termo constante para o segundo membro para se obterx2 =−ac.Se−ca < 0,não existe solução no conjunto dos números reais; se−ac > 0,a equação tem duas raízes,x=−p
−ca∨x=p
−ca,sendo o conjunto soluçãoC.S.=©
−p
−ac,p
−acª .
• Equações do tipo ax2+bx= 0
Neste caso, factorizando a equação, obtem-se x(ax+b) = 0. Assim, a equação terá duas raízes x=0∨x=−ba,sendo o conjunto solução C.S.=©
0,−baª . Exemplo 23 Resolva as seguintes equações incompletas de 2o grau:
1. 4x2 =0;
2. 4x2−8=0;
3. x2 +5=0;
4. 4x2−12x=0.
Resolução:
1. 4x2 =0⇔x2 =0⇔x=0, ou seja, C.S.={0}.
2. 4x2 −8 = 0 ⇔ 4x2 = 8 ⇔ x2 = 84 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = −√
2 ∨x = √
2, ou seja, C.S.=
−√ 2,√
2® .
3. x2 +5=0⇔x2 =−5 equação impossível, ou seja, C.S.=∅.
4. 4x2 −12x = 0 ⇔ x(4x−12) = 0 ⇔ x = 0∨4x−12 = 0 ⇔ x = 0∨4x = 12 ⇔
⇔x=0∨x= 124 ⇔x=0∨x=3, ou seja, C.S.={0, 3}. 1.3.3 Equações bi-quadradas
Definição 18 As equações bi-quadradassão equações de 4o grau na incógnitaxde forma geral ax4 +bx2 +c =0. Na verdade, esta equação pode ser escrita como uma equação de 2o grau, através da substituição y = x2, obtendo-se ay2 +by+c = 0. Para resolver este tipo de equação, aplica-se a fórmula resolvente à última equação e obtêm-se as soluções y1
e y2. O procedimento final deve ser cuidadoso, uma vez que as possíveis soluções serão x2 =y1∨x2 =y2 e se y1 ou y2 for negativo, estas não existirão para x.
Exemplo 24 Resolva as seguintes equações bi-quadradas:
1. x4 −5x2 −36=0;
2. x4 +13x2 +36=0.
Resolução:
1. x4−5x2−36=0 ⇔
y=x2 y2−5y−36=0⇔y= 5±√25+1442 ⇔y= 5±√2169 ⇔y= 5±213 ⇔
⇔y=9∨y=−4, ou seja, x2 =9∨x| {z }2 =−4
impossível
⇔x=−3∨x=3.
Logo, C.S.={−3, 3}. 2. x4 +13x2 +36 = 0 ⇔
y=x2 y2+13y+36 = 0 ⇔ y = −13±√2169−144 ⇔ y = −13±2√25 ⇔
⇔y= −132±5 ⇔y=−9∨y=−4, ou seja,x| {z }2 =−9
impossível
∨x| {z }2 =−4
impossível
.
Logo, C.S.=∅.
Definição 19 Relacionadas com as equações algébricas, existem as chamadas inequações algébricas (ou desigualdades algébricas), que são sentenças matemáticas com uma ou mais variáveis (ou incógnitas) em que os termos estão ligados por um dos quatros seguintes sinais de desigualdades: < (menor); > (maior); ≤ (menor ou igual); ≥ (maior ou igual).
Nas inequações, o objectivo é obter o conjunto de todos os possíveis valores que podem assumir as incógnitas da equação.
1.3.4 Inequações de 1o grau
Definição 20 As inequações de 1o grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: mx+b < 0, mx+b > 0, mx+b≤ 0 ou mx+b ≥ 0, com m, b ∈ R, m6=0.
Exemplo 25 Resolva as seguintes inequações algébricas de 1o grau:
1. 2x−7≥0;
2. −35x+72 < 0.
Resolução:
1. 2x−7≥0⇔2x≥7⇔x≥ 72. Logo, C.S.=£7
2,+∞£ . 2. −35x+72 < 0⇔−35x <−72 ⇔x > −
7 2
−35 ⇔x > 356 . Logo, C.S.=¤35
6,+∞£ .
1.4 Equações e Inequações com Módulos
Definição 21 O módulo (ouvalor absoluto) de um número real x, que se indica por|x|, é definido por:
|x|=
¯ x , x≥0
−x , x < 0 .
Isto é, sexé positivo ou zero,|x|é igual ao própriox(por exemplo,|2|=2), sexé negativo,
|x| é igual a −x (por exemplo, |−2|=2).
Geometricamente, o módulo de um número real xé igual à distância do ponto que o número x representa na recta real ao ponto0 de origem. Assim:
• Se |x| < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x|< a⇔−a < x < a.
−aa a
− a
• Se |x|> a(coma > 0) significa que a distância entre xe a origem é maior que a,isto é,xdeve estar à direita deaou à esquerda de−a,ou seja, |x|> a⇔x > a∨x <−a.
−aa a
− a
Definição 22 Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação com módulos.
Exemplo 26 Resolva as seguintes equações com módulos:
1. ¯¯x2−5x¯¯=6;
2. |x−6|=|3−2x|. Resolução:
1. ¯¯x2−5x¯¯ =6⇔x2−5x=6∨x2 −5x =−6⇔x2−5x−6=0∨x2−5x+6=0⇔
⇔x=−1∨x=6∨x=2∨x=3.
Logo, C.S.={−1, 2, 3, 6}.
2. |x−6| = |3−2x| ⇔ x − 6 = 3 − 2x ∨ x − 6 = −(3−2x) ⇔
⇔ x+2x = 3+6∨x−2x = −3 +6 ⇔ 3x = 9∨−x = 3 ⇔ x = 3∨x = −3.
Logo, C.S.={−3, 3}.
Definição 23 Chama-se inequação com módulos a uma inequação em que a incógnita está contida num módulo.
Exemplo 27 Resolva as seguintes inequações com módulos:
1. |2x+6|< 2;
2. |−2x+3|≥4.
Resolução:
1. |2x+6| < 2 ⇔ 2x+6 < 2 ∧ 2x+ 6 > −2 ⇔ 2x < 2 −6 ∧ 2x > −2 −6 ⇔
⇔2x <−4∧2x >−8⇔x < −42 ∧x > −82 ⇔x <−2∧x >−4.
Logo, C.S.= ]−4,−2[.
2. |−2x+3| ≥ 4 ⇔ −2x + 3 ≥ 4 ∨−2x+ 3 ≤ −4 ⇔ −2x ≥ 1 ∨−2x ≤ −7 ⇔
⇔x≤−12 ∨x≥ 72. Logo, C.S.=¤
−∞,−12¤
∪£7
2,+∞£ .
Observação 3 Considerando os números reaisx e y, tem-se por definição, que√
x=y⇔
⇔ y2 = x e y ≥ 0. Daí pode-se concluir que √
x2 = x só é verdadeiro se x ≥ 0. Se x < 0, por exemplo x= −3, teríamos
q
(−3)2 6= −3. Assim, usando a definição de módulo, pode escrever-se √
x2 =|x|, ∀x∈R. De uma forma mais geral:
√n
xn =
¯ |x| ,∀x∈R e n par x ,∀x∈R e n ímpar .
1.5 Exercícios Propostos
Exercício 1 Efectue as seguintes operações e simplifique o resultado:
1. 12 −43; 2. 23 ×h¡3
2
¢2
+13i
; 3.
q9 4 ÷ 52; 4. 109 ÷¡
−25¢
; 5. ¡
−47¢
÷4;
6. 22÷ 12; 7. ¡
−14¢
÷√ 16;
8. 56 ÷³√ 25 62 −16´
.
Exercício 2 Indique, justificando, quais dos seguintes números reais são racionais ou irra- cionais:
1. √ 5;
2. 0;
3. ln2;
4. 1.(3) ; 5. 0.75;
6. −0.14285714 . . . .
Exercício 3 Indique o domínio das seguintes expressões algébricas:
1. 2+xx−12; 2. √
x+5;
3. √3 1
2−x; 4. 2x+1x2+1; 5. −√x3x.
Exercício 4 Do polinómio 3x5−x10 +7−x2 indique:
1. o termo independente;
2. o coeficiente do termo de grau 2;
3. o grau do polinómio.
Exercício 5 Qual é o grau de cada um dos seguintes polinómios?
1. 5x2−3x;
2. 0x+3;
3. 0x2+0x+0.
Exercício 6 Dado o polinómio 5x2 −3x4+x3+1, 1. ordene-o segundo as potências crescentes de x;
2. indique o seu grau e justifique se é completo ou incompleto.
Exercício 7 Considere o polinómio−5x3 −x4+23x2−5x.
1. Ordene-o segundo as potências decrescentes de x.
2. É um polinómio completo ou incompleto? Porquê?
Exercício 8 Dê um exemplo de um polinómio do 1o grau:
1. completo;
2. incompleto.
Exercício 9 Averigue se os polinómios seguintes admitem as raízes −1, 1 e 2: 1. x3 +1;
2. x3 −2x2 −x+2;
3. x3 −2x2 −3x.
Exercício 10 Determine as raízes reais dos seguintes polinómios:
1. 2x−1;
2. x2 +x;
3. x2 −2x+1;
4. x2 +x−2;
5. −x2−x+1.
Exercício 11 Escreva na forma de polinómio a soma dos seguintes pares de polinómios:
1. x2 −2x3 +x+3 e 3x−x4 −4x2; 2. x2 −12 +23x3 e 3x−12x2+13x3; 3. x4 −1 e x3 +3x.
Exercício 12 Considere os polinómiosP(x) =5x−32x2 eQ(x) = 12x2−x+2x3−1.Calcule:
1. a sua soma;
2. a soma de P(x) com o simétrico de Q(x).
Exercício 13 Sendo M(x) = 5x4 −3x+1 e N(x) = 3x4 −2x2 +x3−2x+3, defina na forma de polinómio:
1. M(x)−N(x) ; 2. N(x)−M(x).
Exercício 14 Dados os polinómios R(x) = 3x − x2 + 3, S(x) = x3 − 2x + 5 e T(x) =2x2−2x3+5−x, calcule:
1. R+S+T; 2. R−(S+T) ; 3. R−S+T.
Exercício 15 Considere os polinómios A(x) = x2 − 2x+1, B(x) = −3x2 +2x+ 1 e C(x) =x3−2x+1. Calcule:
1. A−3B+4C;
2. (C−A)2−3(A−B) ; 3. (3A+B)2−2C;
4. C2−A2.
Exercício 16 Escreva na forma de polinómio:
1. ¡
x2+2−4x¢
(3x−2) ; 2. (x−3) (x+2)−(2x+2)2; 3. £
4x2−3x¡2
3x+1¢¤
.(4x−1) ; 4. (2x+1) (x−1)−(x+4) (x−2).
Exercício 17 Sendo A(x) =x2+1−2x,B(x) =3x+1 e C(x) =2−x2, verifique que:
1. A.B=B.A;
2. (A.B).C=A.(B.C).
Exercício 18 Dados os polinómios M=3x2−1, N=x+2 e P =2x+3, calcule:
1. M−N+2P;
2. M×N+P2;
3. (M+N)2−(M+P).
Exercício 19 Calcule os números reais a e b de modo que a expressão designatória x2 −2ax+b se transforme num polinómio equivalente à expressão (x−1) (x+3).
Exercício 20 Usando o algoritmo da divisão, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. 4x2−3x+1 por x+1;
2. 12x2 −3x3+2x por 3x−2;
3. 4x3−3x2 +13x+x5 por x2−2x+3;
4. 3x4−3−x2 por x−2;
5. 3x2−x3 +2 por −2x−x2+1;
6. x3 −1 por x+1;
7. 3x+2 por x+1;
8. x2 −5x+1 por x3 +2;
9. x4 −23x3+3x2+2x−1 porx3−2x;
10. 12x3 +2x2−22x+1 por 13x+3.
Exercício 21 Complete:
4x3 −4x2 ¤ ¤ 2x ¤
¤ ¤ ¤ ¤ +9
−10x2 ¤
¤ ¤
¤ ¤¤ ¤
−2
Exercício 22 Usando a regra de Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
1. x4 −x2−3x+1 por x+3;
2. −18x2+12x4−3x+1 por 2x+1;
3. 3x2−5x+4 por x−2;
4. x4 −x3+1 por x+2;
5. −2x+8x3−1 porx+12.
Exercício 23 Mostre que x5+1 é divisível por x+1.
Exercício 24 Mostre que x3−4x2−11x+30é divisível porx−2e determine as suas outras raízes.
Exercício 25 Determine o valor de m de modo que o polinómio x3−mx+1 seja divisível por x−1.
Exercício 26 Escreva o polinómio de 2o grau que admite raízes 1 e 2 e dividido por x+1 dê resto 3.
Exercício 27 Calcule o resto da divisão de xn+1, n∈N, por x+1 se:
1. n é par;
2. n é ímpar.
Exercício 28 Utilize a regra de Ruffini para efectuar as seguintes divisões:
1. 4x3−3 por 2x−1;
2. 3x4+x2 +1 por 3x+2;
3. 8x2−5x+3 por 4x+1.
Exercício 29 Calcule o parâmetro realkde modo que seja2o resto da divisão do polinómio x4 −x2+kx+2 por x−1.
Exercício 30 Dados os polinómios A(x) =x2−3x+2 e B(x) =x2 −2x+5.
1. Determineα∈R, de modo que A(x) e B(x) divididos por x−α dêm restos iguais;
2. Indique o resto comum da alínea anterior.
Exercício 31 Sem efectuar a divisão, verifique que o polinómioP(x) =x3−7x+6é divisível por x−2 e por x+3.
Exercício 32 Considere o polinómio x3+8x2 −7.
1. Verifique que o polinómio é divisível por x+1;
2. Aproveite o resultado anterior para decompor o polinómio num produto.
Exercício 33 Para cada valor naturaln, a expressão(x+5)2n+(x+6)n−1representa um polinómio emxde coeficientes reais. Prove que esse polinómio é divisível por(x+6) (x+5).
Exercício 34 Factorize:
1. 25x2−16;
2. 4x2+6x;
3. x2 −x+ 14; 4. −2x3+x2+x;
5. 5t3 +4t2 −t;
6. 8x3+1.
Exercício 35 Decomponha em factores o mais elementares possível os polinómios:
1. 3x2−21x+18;
2. x5 −5x3 +4x sabendo que admite as raízes 1 e −2;
3. 36x4−13x2 +1 sabendo que é divisível por x2− 14; 4. x3 +5x2 +8x+4 sabendo que admite a raíz −2.
Exercício 36 Para todo o k ∈ R, a expressão 2x2 −3x+k transforma-se num polinómio do 2o grau.
1. Calcule k de modo que o polinómio admita 2 como zero;
2. Substitua k pelo valor encontrado e factorize o polinómio.
Exercício 37 Determine o polinómio do 2o grau que admite como zero único o número−3 e que dividido por x+2 dá resto igual a 5.
Exercício 38 Considere 2x3−x2 +ax+b, coma, b∈R.
1. Calcule a e b de modo que o polinómio seja divisível por (x−1) (x−2). 2. Para os valores encontrados determine o terceiro zero do polinómio e factorize.
Exercício 39 Seja A(x) um polinómio emx:A(x) =x3−6x2+11x−6.
1. DetermineB(x) tal que A(x) = (x−1).B(x).
2. Escreva A(x) como um produto de factores do 1o grau.
Exercício 40 Considere o polinómio P(x) =4x5+8x4+x3−5x2−x+1.
1. Verifique que −1 é zero triplo de P(x).
2. Factorize o polinómio.
Exercício 41 Calcule a e b pertencentes a R de modo que para todo o valor real de x se tenha x2 +ax+1= (x−b)2.
Exercício 42 Determinek, m ende modo que sejam equivalentes as expressões4x2+mx+
n
e (x−1)2+kx2.
Exercício 43 Determine os números reais a, b e c de modo que:
(x−a)2+ (y−b)2−c2 =x2+y2−4x+6y−3.
Exercício 44 Considere o polinómio P(x) =6x3−7x2−16x+c, onde c∈R. Sabendo que 2 é raíz de P, determine o valor de c e as restantes raízes de P.
Exercício 45 Para cada valor real de m, a expressão 2x4+mx3 + (m+20)x2−4 é um polinómio emx.
1. Determine o valor de m para o qual o polinómio é divisível por x−1.
2. Considere o valor m obtido na alínea anterior e prove que2 é uma raiz de multiplici- dade 2 desse polinómio. Factorize.
Exercício 46 Determineaebde modo quex3−2x2+ax+bseja divisível por(x−3) (x+1). Exercício 47 Calcule m∈R de modo que 4x2+12x+mseja equivalente ao quadrado de um polinómio.
Exercício 48 Calcule os zeros do polinómio P(x) sabendo que P(y−1) =y2−5y+6.
Exercício 49 Determine o domínio, em R, de cada uma das seguintes expressões:
1. 1+x−13 ; 2. x−12 +x+32 ; 3. (x−3)(xx−22+7x+12); 4. xx22−4+x;
5. x3−x2+4; 6. x2−x+32 .
Exercício 50 Simplifique as fracções, indicando o respectivo domínio:
1. 2x2x−22−2; 2. (3x+3)(x2+2)
2x2+4 ; 3. x2x−2x+12−x ; 4. xx42−9+3; 5. 2xx23−x−2+2x2; 6. xx22+2x−4 ; 7. 3x23x−12−15x+12; 8. x3x−2x2−2x−32−x+2; 9. x32x−7x3−3x2+3x+32+x ; 10. x4x−5x4−162+4.
Exercício 51 Considere as seguintes expressões designatórias, em R, A= x−23x , B= xx22−4+x e C= x+1x+2.
1. Determine o domínio de cada uma das expressões anteriores;
2. Calcule e simplifique A+B, ABC e (CB)
x+A.
Exercício 52 Efectue, no respectivo domínio, as seguintes adições:
1. 3y2 +32; 2. 2x52 − x+1x ; 3. 2a+34a2 +a+16a .
Exercício 53 Efectue, no respectivo domínio, as operações indicadas e, se possível, simpli- fique o resultado:
1. x−2x +2x+1x+2 − x2x2−42 ; 2. x2x−1 −x+1x2 +x21+x; 3. 2x+12x+3 +x−22x − 2x20+4x2−x−6.
Exercício 54 Calcule os parâmetros A e B de modo que sejam equivalentes, no respectivo domínio, as expressões:
1. x−1A +x−2B e (x−1)(x−2)3x−4 ; 2. Ax−Bx−1x+2 e x2x+2+x+1.
Exercício 55 Efectue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores da variável para os quais a simplificação é válida:
1. 2x× x−1x+3; 2. 3x2 ×1−xx−3; 3. x−1x+3 × x+1x+3; 4. x4 × 5x−43; 5. x22−x+3x ×xx22−4−9; 6. x2+2x+12x ×1−xx22; 7. x2+4x+4x−2 ×x2−4x+4x+2 .
Exercício 56 Efectue as seguintes divisões, simplifique o resultado e indique os valores de x para os quais são válidas as operações e as simplificações:
1. (−3x) : x+12 ; 2. x4x−14 : x23x+1;
3. x215x−25 : x2+10x+259x2 ; 4. xx22+4x+3−5x+4 : x+3x−4.
Exercício 57 Efectue as operações, simplifique o mais possível e indique o domínio de va- lidade:
1. 2x − x−22 ;
2. xx−12−1 +xx+12−1 + x−13x ; 3. xx−12−1 × xx+12−1 × x−13x ; 4. xx+22−4 × x(x+1)x3+3x × x25x−4; 5. x22x−9 ÷ x2+6x+94x2 ; 6. ¡4
x −1¢2
× x2x−162 ; 7. x−
x xx+1 x−1+x.
Exercício 58 Transforme numa fracção racional irredutível equivalente cada uma das ex- pressões racionais seguintes e determine o domínio:
1. ¡
2+x27−4
¢:¡
1−x+23 ¢
; 2. ³
2
y+3 +y−32 ´ ³
y2−9 y2
´;
3. 1+1a 3
+ 1
1+a+21 + 1
1+a+12; 4.
8
(x−3)(x 2−9)+ 1
x 2−9+ 1
x 2−6 x+9
(1+x−37 )2 .
Exercício 59 Simplifique as fracções e determine o domínio:
1. x2+2xy+yx2−y2 2; 2. a2a2−4ab+4b2b−4ab22.
Exercício 60 Efectue as operações seguintes e simplifique o resultado. Indique os domínios de validade:
1. ³
1
x −x2+xyx − y
(x+y)2
´: y
(x+y)2; 2. a2−6ab+9b4c2 2 ·2aca22−9b+6bc22.
Exercício 61 Resolva as seguintes equações algébricas:
1. 2x+4=2;
2. 6−x=2;
3. 1−6x =−1;
4. −3x2 =0;
5. x2 −4x+3=0;
6. x2 −3x=4;
7. x2 −2x+4=0;
8. −3x2+5x=8;
9. x2 +2x+1=0;
10. x2 +6x+9=0;
11. x2 −1=0;
12. 2x2+5=0;
13. 9x2−18=0;
14. −x2+8x=0;
15. 4x2+6x=0;
16. 4x2−4x=−1;
17. x4 −2x2 −8=0;
18. x4 −13x2 +36=0;
19. (3x+1) (2x−5) =0;
20. ¡
x2−1¢
(4−3x) =0;
21. ¡
x3−2x2+x¢ ¡
x2+25¢
=0;
22. (x−1)2−(2x−3)2 =0.
Exercício 62 Resolva os seguintes sistemas de equações:
1.
¯ x+y=1 2x+y=3 ; 2.
¯ x+y−12=0 x2+y2 =80 ; 3.
¯ x2+y2−2x =0
x2+y2−8x+12=0 .
Exercício 63 Resolva cada uma das seguintes inequações:
1. 4x−1≥−5;
2. 2x− 12 < 0;
3. 6−2x ≤2;
4. −x−5 > 12.
Exercício 64 Resolva, em R, as seguintes condições com módulos:
1. |2x−7|=20;
2. ¯¯x2+2x¯¯−3x=0;
3. |x−2|=|1−x|; 4. |x−4|≥2;
5. |2x−1|>−3;
6. |x+3|≤2x;
7. |2x+3|< 4x+1.
1.6 Soluções
Solução 1 . 1. −56. 2. 3118. 3. 35. 4. −94. 5. −17. 6. 8.
7. −161 . 8. −30.
Solução 2 . 1. no irracional.
2. no racional.
3. no irracional.
4. no racional.
5. no racional.
6. no irracional.
Solução 3 . 1. D=R\ {1}. 2. D= [−5,+∞[. 3. D=R\ {2}. 4. D=R. 5. D=R+. Solução 4 .
1. 7.
2. −1.
3. 10.
