Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Ciclo Comum das Graduações em Engenharia
Unidade Nova Iguaçu Cálculo IV
Exercícios - Lista 1
Funções de uma Variável Complexa- Parte I - Corpo dos Números Complexos Prof.: Julius Monteiro
1. Mostre que as operações soma e produto denidas em C são associativas e comutativas e que o produto é distributivo em relação a soma.
2. Explique, de acordo com a apresentação deCque demos em aula, o signicado preciso da escrita i2=−1.
3. Determine a forma polar dos seguintes números complexos:
a) (1 +i)3, b) (−1)15.
4. Sejamz= 2 + 3ie w= 4−3i.Coloque os seguintes números complexos na forma algébrica:
a) z2+ ¯zw;
b) Im(w2) +iRe( ¯w2);
c) 5zw,
d) (−1 +i)7.
5. Prove que, dados dois números complexosz e w,se verica a igualdade
|z+w|2=|z|2+ 2Re(zw) +¯ |w|2.
6. Descreva geometricamente o conjunto S dos números complexos z que satisfazem à condição
|z−1|= 2|z+ 1|.Faça o mesmo, agora para a condição |1 +z| ≤ |1−z|.
7. Considere um polinômio complexo com coecientes reais:
p(z) =a0+a1z+a2z2+· · ·+anzn, a0, a1, a2,· · ·, an∈R Mostre que sez0∈Cé uma raíz dep,então z¯0 também é.
8. Determine e represente gracamente as raízes cúbicas de −8. Qual destas raízes é apresentada pela sua calculadora cientíca? Qual dessas raízes é apresentada pela biblioteca padrão <com- plex> do C++?
9. Dê exemplos mostrando que é possível termos:
a) Arg(z−1)6=−Arg(z);
b) Arg(zw)6=Arg(z) +Arg(w);
c) √3
z2 6= (√3 z)2.
10. Prove que polinômios complexos de grau 2 podem ser resolvidos pela fórmula quadrática usual.
Use esta fórmula para encontrar as soluções dez2+ 4z+ 5 = 0.
11. Funções complexas de variável real podem ser tradas pelos métodos do cálculo de variáveis reais.
De fato, pela identicação que zemos no nosso curso, uma função complexa de variável real g(t) =u(t) +iv(t)
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é uma curva parametrizada no plano complexo. Então dg
dt = du dt +idv
dt.
No curso de Cáculo II são estudadas EDO's lineares de segunda ordem homogêneas com coeci- entes constantes (reais, é claro):
d2y
dt2 +a1dy
dt +a0y= 0.
Naquele curso, a solução geral é obtida a partir da análise da chamada equação característica:
λ2+a1λ+a0 = 0.
Obtenha a solução geral desta EDO, no caso em que o discriminante da equação característica é negativo. Embora, neste caso, o uso de números complexos seja necessário, a solução geral não deve conter números complexos!
12. A fórmula de Euler permite a descrição de quantidade reais que variam de maneira senoidal por meio de exponenciais complexas. Considere as funções dadas por f1(t) = acos(ωt−θ) e f2(t) = asen(ωt−θ), em que a (amplitude), ω (frequência angular) e θ (fase) são constantes reais eté uma variável real. Seja a função complexa de variável real dada porg(t) =Be−iωt,onde B =aeiθ ∈Cé chamada de amplitude complexa. Verique quef1(t) =Re(g) ef2(t) =Im(g) 13. A relação entre tensão e corrente senoidais num circuito eléctrico com resistências, capacitores e
bobinas pode ser facilmente expressa em termos de números complexos.
Considere o circuito RLC em série da gura abaixo. Sabendo que a relação entre a tensãoV(t)e a correnteI(t)no instantet, nos terminais de uma resistênciaR, de uma bobina de indutânciaLe de um capacitorC, é, respectivamente,V(t) =RI(t),V(t) =LI0(t) eV(t) = C1 R
I(t)dt, mostre que se a tensão aplicada nos terminais do circuito RLC for senoidal com frequência angular ω e amplitude complexa V0, então a corrente no circuito é senoidal com frequência angular ω e amplitude complexa I0, e a relação entre ambas éV0=I0(R+i(ωL−ωC1 ))
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