Vari´ aveis Aleat´ orias Cont´ınuas
Anna Regina Cˆ orbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´ orica 7
Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e cont´ınua se o conjunto de poss´ıveis valores da V.A. ´ e um intervalo de n´ umeros reais.
Ex.: Temperatura, Peso, Voltagem.
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Vari´ avel Aleat´ oria Cont´ınua
Defini¸c˜ ao:
Para uma vari´ avel aleat´ oria cont´ınua X , uma fun¸ c˜ ao f densidade de probabilidade ´ e uma fun¸c˜ ao tal que:
1
f (x) > 0 para todo x.
2
Z
∞−∞
f (x)dx = 1
3
P (a 6 X 6 b) =
Z
ba
f (x)dx
A fun¸ c˜ ao densidade de probabilidade f (x) ´ e usada para calcular uma ´ area que representa a probabilidade de X assumir um valor em [a, b].
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Vari´ avel Aleat´ oria Cont´ınua
Mas qual ´ e o valor de P (X = a), para um valor qualquer de a (probabilidade pontual)? Note que
P (X = a) = P (a 6 X 6 a) = Z
aa
f (x)dx = 0 Deste modo, temos
P(x
16 X 6 x
2) = P (x
1< X < x
2)
Exemplo 1
Seja f (x ) = 1, 5x
2para −1 < x < 1, uma fun¸ c˜ ao densidade de probabilidade. Determine:
a) P (X > 0)
b) P (−0, 5 6 X 6 0, 5) c) P(X < −2)
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M´ edia de uma VA cont´ınua
Suponha que X seja uma V.A. cont´ınua com fun¸ c˜ ao densidade de probabilidade f (x). A M´ edia ou Valor Esperado de X ´ e dada por:
µ = E [X ] =
Z
∞−∞
x · f (x)dx
A Variˆ ancia de X ´ e dada por:
σ
2= V [X ] =
Z
∞−∞
(x − µ)
2· f (x)dx O Desvio-padr˜ ao de X ´ e
σ = p
V [X ]
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M´ edia e Variˆ ancia de uma VA cont´ınua
Exemplo 2
O tamanho (em micrˆ ometros) de uma part´ıcula ´ e modelada pela fun¸c˜ ao densidade:
f (x) = 2x
−3, para x > 1.
Determine a m´ edia de X .
Defini¸ c˜ ao
A fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de uma VA cont´ınua X ´ e dada por:
F (x) = P(X 6 x) = Z
x−∞
f (t)dt , para − ∞ < x < ∞.
Existe rela¸c˜ ao entre fun¸ c˜ ao densidade f e a fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao F ?
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