Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas
Modelos de fun¸c˜oes de densidade discretas
Anna Regina Cˆorbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´orica 6
Anna Regina Cˆorbo Vari´aveis Aleat´orias Discretas
Densidade Uniforme Discreta
Defini¸c˜ao
Uma vari´avel aleat´oriaX ser´a uma Vari´avel Aleat´oria Discreta Uniforme, se cada um dosn valores poss´ıveis x1,x2,· · ·,xn tiver igual probabilidade, isto ´e,
f(xi) = 1 n Nota¸c˜ao:X ∼Unif(n)
Distribui¸c˜ ao Binomial
Experimento Binomial
Um experimento aleat´orio binomial consiste emN repetidas tentativas de modo que:
1 As tentativas sejam independentes
2 Cada tentativa resulte em somente dois resultados poss´ıveis, designados “sucesso” e “falha”.
3 A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por p, permane¸ca constante.
Anna Regina Cˆorbo Vari´aveis Aleat´orias Discretas
Distribui¸c˜ ao Binomial
Defini¸c˜ao
A vari´avel aleat´oriaX, que ´e igual ao n´umero de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma
densidade binomial com parˆametrosp e n= 1,2,3,· · · A fun¸c˜ao densidade de X ´e dada por:
f(x) = n
x
px(1−p)n−x, ondex = 0,1,2,· · · ,n
Nota¸c˜ao:X ∼Bin(n,p)
Distribui¸c˜ ao Binomial
Exemplo 1
Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa mol´ecula rara. Considere que as amostras sejam independentes com rela¸c˜ao `a presen¸ca da mol´ecula rara. Encontre a probabilidade de que nas pr´oximas 18 amostras:
a) exatamente 2 contenham a mol´ecula rara.
b) no m´ınimo 4 amostras contenham a mol´ecula.
c) entre 3 e 6 amostras contenham a mol´ecula.
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Densidade Geom´ etrica
Defini¸c˜ao
Em uma s´erie de tentativas independentes, com probabilidade constantep de um sucesso, fa¸ca a vari´avel aleat´oriaX denotar o n´umero de tentativas at´e que o primeiro sucesso ocorra. Ent˜ao X tem densidade geom´etrica com parˆametrop e
f(x) = (1−p)x−1p, para x= 1,2,3,· · · Nota¸c˜ao:X ∼Geom(p)
Densidade Geom´ etrica
Exemplo 2
A probabilidade de uma amostra de ´agua conter uma part´ıcula grande de contamina¸c˜ao ´e de 0,02. Se for considerado que as amostras sejam independentes, qual ser´a a probabilidade de que exatamente 125 amostras necessitem ser analisadas antes de uma contaminada ser detectada?
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Densidade Hipergeom´ etrica
Defini¸c˜ao
Uma s´erie de N objetos cont´em
→K objetos classificados como sucessos e
→N−K objetos classificados como falhas
Uma amostra de tamanhon objetos ´e selecionada ao acaso (sem reposi¸c˜ao) a partir de N objetos, em queK 6N e n 6N.
Densidade Hipergeom´ etrica
Defini¸c˜ao
SejaX a vari´avel aleat´oria que representa o n´umero de sucessos na amostra. Ent˜ao
X tem densidade hipergeom´etrica com parˆametros N, K, n e
f(x) = K
x
N−K n−x
N
n
Nota¸c˜ao:X ∼Hiper(N,K,n)
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Densidade Hipergeom´ etrica
Exemplo 3
Numa loja existem 100 pe¸cas de um fornecedor local e 200 pe¸cas de um fornecedor de um estado vizinho. Se quatro pe¸cas forem selecionadas, qual ser´a a probabilidade de:
a) Todas elas sejam provenientes do fornecedor local?
b) De 2 ou mais pe¸cas sejam provenientes do fornecedor local?
c) No m´ınimo, uma pe¸ca seja proveniente do fornecedor local?
Distribui¸c˜ ao de Poisson
Defini¸c˜ao
A Vari´avel Aleat´oriaX tem distribui¸c˜ao de Poisson com paramˆetroλcuja densidade ´e dada por:
f(x) = e−λ(λ)x
x! , ondex = 0,1,2,· · · ,n Nota¸c˜ao:X ∼Poisson(λ)
Este valor deλtamb´em ´e chamado de n´umero m´edio de contagens no intervalo em estudo.
A distribui¸c˜ao de Poisson ´e largamente empregada quando se deseja contar o n´umero de eventos de certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo, superf´ıcie ou volume.
Anna Regina Cˆorbo Vari´aveis Aleat´orias Discretas
Distribui¸c˜ ao de Poisson
Exemplo 4
Considere um fio de cobre de tal modo que o n´umero de falhas neste fio siga a distribui¸c˜ao de Poisson, com uma m´edia de 2,3 falhas por mil´ımetro.
a) Determine a probabilidade de existir exatamente 2 falhas em 1 mil´ımetro de fio.
b) Determine a probabilidade de existir 10 falhas em 5 mil´ımetros de fio.
c) Determine a probabilidade de existir, no m´ınimo, uma falha em 2 mil´ımetros de fio.
