Equa¸ c˜ oes de Maxwell Mar¸co de 2017

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Segunda Lista de Eletromagnetismo

Equa¸ c˜ oes de Maxwell Mar¸co de 2017

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1. Um dos campos abaixo n˜ ao pode ser de natureza eletrost´ atica. Qual deles n˜ ao ´ e um campo ele- trost´ atico? Obs: O campo ´ e eletrost´ atico quando ∇ × ~ E ~ = 0.

(a) E ~ = k(xy x ˆ + 2yz y ˆ + 3xz z) ˆ (b) E ~ = k[y

x ˆ + (2xy + z

)ˆ y + 2yz z] ˆ

Aqui k ´ e uma constante com uma unidade apropriada.

Resposta : O item (a) n˜ ao ´ e eletrost´ atico, pois ∇ × ~ E ~ 6= 0

2. Um campo el´ etrico (est´ atico) em coordenadas cil´ındricas ´ e dado por:

E ~ = 1 ε

2z

sen φ

2

ˆ

r + z

cos φ

2

φ ˆ + 4zr sen φ

2

ˆ k

Determine: (a) A densidade volum´ etrica de carga ρ. (b) A carga contida no volume delimitado por

−2 ≤ z ≤ 1, 1 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤ φ ≤ π.

Resposta : (a) ρ = sen

3z²

2r

+ 4r

. (b) 531 C.

3. Considere o campo magn´ etico (est´ atico) a seguir:

B ~ = µ

h

y

z ˆ i + 2 (x + 1) yz ˆ j − (x + 1) z

k ˆ i

Determine: (a) O vetor densidade de corrente. (b) A corrente que atravessa a superf´ıcie y = −1; 0

≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1.

Resposta :(a) J ~ = −2 (x + 1) y ˆ i + (y

+ z

) ˆ j . (b) 4/3 A.

4. Considere o seguinte campo eletrost´ atico em coordenadas esf´ ericas:

E ~ = 3Ar

r ˆ para r < a onde A ´ e uma constante de unidade apropriada.

(a) Ache a densidade de carga ρ para r < a.

(b) Ache a carga total Q

dentro da esfera de raio a e com seu centro na origem do sistema de coordenadas.

Resposta :(a) ρ = 12Aε

r; (b) Q

= 12ε

Aπa

5. Dado um campo el´ etrico numa regi˜ ao do espa¸co (em coordenadas esf´ ericas):

E(~ ~ r) = Aˆ r + Bsen(θ)cos(φ) ˆ φ r

com A e B constantes, determine a densidade de carga.

Resposta : ρ =

(A − Bsen(φ))

6. Em alguma regi˜ ao do espa¸co um campo el´ etrico ´ e descrito por:

E ~ = A

xy ˆ i + x

ˆ j + zy ˆ k

sendo A constante. Use as Equa¸c˜ oes de Maxwell para obter a densidade de carga ρ.

Resposta :ρ = 2yAε

7. Em alguma regi˜ ao do espa¸co existem campos eletromagn´ eticos descritos por:

E ~ = A h

(x

+ 2ayt)

ˆ i + ˆ j i B ~ = b (x + y)

ˆ i − ˆ j

+ A (µ

ε

ay

+ at

− 2xt) ˆ k sendo A, a e b s˜ ao constantes. Determine:

(a) A densidade de carga ρ.

(b) A densidade de corrente J ~ .

(c) Com ambas as densidades ρ e J ~ mostre que elas satisfazem a Equa¸c˜ ao da Continuidade, ou seja, mostre que:

∇ · ~ J ~ = − ∂ρ

∂t Resposta : (a) ρ = 2Aε

(x + at); (b) J ~ =

2Aat

µ0

− 2Aaε

y ˆ j −

0

k. ˆ

8. Encontre a densidade de carga em uma regi˜ ao na qual existe um campo el´ etrico em coordenadas cil´ındricas dado por:

E ~ = az

r r ˆ + br φ ˆ + cr

z

ˆ k sendo a, b e c constantes.

Resposta :ρ = 2zcr

ε

9. Encontre a densidade de carga em uma regi˜ ao na qual existe um campo el´ etrico em coordenadas esf´ ericas dado por:

E ~ = ar

r ˆ + b cos θ r

θ ˆ + c φ ˆ sendo a, b e c constantes.

Resposta :ρ = 4arε

+

1

sen(θ)

− 2sen(θ)

10. Quais dos campos vetoriais abaixo podem representar campos magn´ eticos? Para cada um destes determine a densidade de corrente J ~ .

(a) A ~ (x, y, z) = A

x

z ˆ i + A

ˆ j − A

xz

ˆ k

(b) B ~ (x, y, z) = B

xy

ˆ i + B

x

y

ˆ j + 3B

ˆ k

(e) E ~ (x, y, z) = E

z

ˆ i + y

ˆ j + x

ˆ k

Resposta : Os campos (a) e (d) podem ser magn´ eticos. As suas densidades s˜ ao (a) J ~ (x, y, z) =

A1

(

)

µ0

ˆ j e (d) J ~ (x, y, z) =

(

)

µ0

k ˆ

11. Dado o campo el´ etrico induzido, encontre a varia¸c˜ ao temporal do campo magn´ etico:

E(x, y, z) = ~ E

"

z z

ˆ i + x

x

ˆ j + y

y

k ˆ

#

sendo z

, y

e x

constantes.

Resposta :

= −E

h

2y yo2

ˆ i +

2z zo2

ˆ j +

2x xo2

ˆ k i

12. No circuito RC abaixo o capacitor de placas planas e circulares de raio r

possui uma diferen¸ca de potencial ∆V .

Quando a chave ´ e fechada ela come¸ca a se descarregar e um campo magn´ etico surge entre as placas do capacitor:

B ~ = µ

∆V 2πR e

r r

φ ˆ

sendo R a resistˆ encia, C a capacitˆ ancia e µ

a permeabilidade. Determine o vetor densidade de deslocamento J ~

.

Resposta : J ~

=

∆V

R

e

02

k ˆ

13. Considere o vetor campo el´ etrico E ~ (x, y, z) =

0L⁷

xy

z

ˆ i + x

yz

ˆ j + x

y

z ˆ k

, onde as constantes Q

e L tˆ em dimens˜ oes, respectivamente, de carga e comprimento.

(a) Determine a densidade de volum´ etrica de carga ρ (x, y, z).

(b) Calcule a carga total contida no cubo 0 ≤ x ≤ 2L, 0 ≤ y ≤ 2L, 0 ≤ z ≤ 2L.

14. O campo magn´ etico a seguir:

B ~ = a sin (by) e

ˆ k

´

e produzido por uma corrente estacion´ aria. Considerando a e b constantes determine qual ´ e a den- sidade dessa corrente.

Resposta : J ~ =

0

h

cos(by)ˆ i − sen(by)ˆ j i

15. Determinar o vetor campo magn´ etico sabendo que o vetor campo el´ etrico ´ e dado por:

E ~ = E

cos (ωt − βz) ˆ i sendo ω e β constantes.

Resposta : B ~ =

cos (ωt − βz) ˆ j

16. Determinar o vetor campo magn´ etico quando o vetor campo el´ etrico for dado por:

E ~ = E

sen (x) sen (t) ˆ j Resposta : B ~ = E

cos (x) cos (t) ˆ k

17. Um vetor campo magn´ etico no espa¸co livre ( J ~ = 0 e σ = 0) ´ e dado por:

B ~ = B

cos (ωt − βz) ˆ j sendo ω e β constantes.

Resposta : E ~ =

0

cos (ωt − βz) ˆ i

18. Um vetor campo el´ etrico no v´ acuo ´ e dado por E ~ = E

sen (βz) cos (ωt) ˆ i, sendo ω e β constantes.

Determinar o vetor campo magn´ etico.

Resposta : B ~ = −

cos (βz) sen (ωt) ˆ j

19. Um vetor campo magn´ etico no espa¸co livre ( J ~ = 0) ´ e dado por:

B ~ = B

sen (αx) sen (ωt − βz) ˆ i + B

cos (αx) cos (ωt − βz) ˆ k sendo ω, β e α constantes. Determine o vetor campo el´ etrico.

Resposta : E ~ =

0µ0

sen (αx) sen (ωt − βz) ˆ j

20. A densidade de corrente de deslocamento ´ e dada por J ~

= J

cos (ωt − kz) ˆ i, sendo J

, ω e k cons- tantes. Determine:

(a) Determine o vetor campo el´ etrico E; ~ (b) Determine o vetor campo magn´ etico B ~ Resposta : (a) E ~ =

0ω

sen (ωt − kz) ˆ i e (b) B ~ =

0ω²

sen (ωt − kz) ˆ j

21. O campo el´ etrico em um determinado meio ´ e dado por:

sendo k e x

constantes. Determine o vetor campo magn´ etico.

Resposta : B ~ =

0

e

x x0−kt

k ˆ

22. O campo el´ etrico em um determinado meio ´ e dado por

E ~ (z, t) = E

e

sen (kz − ωt) ˆ i (a) Determine o campo magn´ etico B ~ .

(b) Determine a densidade de corrente J. ~ Resposta : (a) B ~ = E

e

ω

cos (kz − ωt) +

sin (kz − ωt) ˆ j e (b) J ~ =

0ω

E

e

sin (kz − ωt) ˆ i