Equa¸ c˜ oes de Maxwell

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NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 12 (vers˜ao 09/01/2014)

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell

Equa¸c˜oes de Maxwell

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Eletrodinˆ amica antes de Maxwell

■ Até aqui, apresentamos as seguintes leis, que especificam a divergência e o rotacional dos campos elétrico e magnético:

(i) ∇ · E = 1

ǫ₀ρ (lei de Gauss) (ii) ∇ · B = 0 (sem nome) (iii) ∇ × E = −∂B

∂t (lei de Faraday) (iv) ∇ × B = µ₀J (lei de Amp`ere)

■ As equa¸cões acima representavam o estado de arte da teoria eletromagnética antes de Maxwell, mas possuem uma inconsistência teórica, conforme

veremos `a seguir.

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Eletrodinˆ amica antes de Maxwell

■ De acordo com o resultado do c´alculo vetorial, o divergente do rotacional de qualquer vetor deve ser zero. Aplicando o divergente na Eq. (iii), tem-se que

∇ · (∇ × E) = ∇ ·

−∂B

∂t

= − ∂

∂t(∇ · B) = 0 onde na ´ultima igualdade utilizamos a Eq. (ii), ∇ · B = 0.

■ No entanto, aplicando-se o divergente na Eq. (iv),

∇ · (∇ × B) = µ₀(∇ · J)

o termo à direita não se anula, exceto no caso de correntes estacionárias, onde ∇ · J = 0. Para uma situa¸cão geral, a lei de Ampère apresenta uma inconsistência teórica.

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Eletrodinˆ amica antes de Maxwell

■ Há uma outra forma de verificar que a lei de Ampère apresenta um falha no regime não- estacionário. Considere o processo de carregamento de um capacitor. Vamos aplicar a lei de Ampère na forma diferencial,

I

B · dl = µ₀I_inc ^Bateria

Capacitor

Espira amperiana

onde escolhemos a espira amperiana conforme mostrada na figura acima.

■ I_inc ´e a corrente que atravessa qualquer superf´ıcie delimitada pela espira amperiana. Durante o carregamento do capacitor, temos uma discrepˆancia:

◆ se a superf´ıcie escolhida for plana, temos que I_inc = I, que ´e a corrente que passa pelo circuito.

◆ Por outro lado, se tomarmos a superf´ıcie no formato de um bal˜ao, que engloba uma placa do capacitor, temos que I_inc = 0.

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Como Maxwell corrigiu a lei de Amp` ere

■ O problema na lei de Amp`ere est´a no fato de que para o caso geral,

∇ · J 6= 0 no regime não-estacionário. Aplicando a equa¸cão da continuidade e a lei de Gauss, otemos

∇ · J = −∂ρ

∂t = − ∂

∂t(ǫ₀∇ · E) = −∇ ·

ǫ₀∂E

∂t

■ Se combinarmos o termo ǫ₀(∂E/∂t com J na lei de Amp`ere, observa-se que eliminamos o termo extra, tal que o divergente do rotacional de B se anula:

∇ × B = µ₀J + µ₀ǫ₀∂E

∂t

■ Maxwell introduziu esse termo extra por outras raz˜oes, diferentes da

inconsistˆencia da lei de Amp`ere, e o chamou de corrente de deslocamento: J_d ≡ ǫ₀∂E

∂t

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Como Maxwell corrigiu a lei de Amp` ere

◆ Embora tenha esse nome, J_d não tem nada a ver com corrente, mas é um termo que se adiciona a J na equa¸cão de Ampère.

■ Na forma integral, a lei de Amp`ere fica I

B · dl = µ₀I_inc + µ₀ǫ₀

Z ∂E

∂t

· da

■ Vejamos como a corrente de deslocamento resolve o paradoxo do capacitor sendo carregado. Assumindo-se que a distância entre as placas do capacitor seja bem pequena, o campo elétrico nessa região é uniforme e dado por

E = 1

ǫ₀σ = 1 ǫ₀

Q A

onde Q ´e a carga na placa, em um dado instante, e A a sua ´area. Temos que

∂E

∂t = 1 ǫ₀A

dQ

dt = 1 ǫ₀AI

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Como Maxwell corrigiu a lei de Amp` ere

■ Se escolhermos a superf´ıcie plana, tem-se que E = 0 e I_inc = I. Portanto, I

B · dl = µ₀I

■ Se usarmos a superf´ıcie em forma de bal˜ao, I_inc = 0 e ∂E/∂t = I/ǫ₀A. Logo, I

B · dl = 0 + µ₀ǫ₀

Z ∂E

∂t da = µ₀ǫ₀ I ǫ₀A

Z

da

| {z }

=A

= µ₀I

portanto a resposta ´e independente da escolha da superf´ıcie delimitada pela espira amperiana.

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Como Maxwell corrigiu a lei de Amp` ere – exemplo

Ex. 1 Um fio circular, de raio a, conduz uma corrente constante I, uniformemente distribu´ıda sobre a sua se¸c˜ao transversal. Uma fenda estreita no fio, de largura

w ≪ a, forma um capacitor de placas paralelas, conforme mostra a figura abaixo.

Encontre o campo magn´etico na fenda a uma distˆancia s < a do eixo.

Solu¸c˜ao

■ Conforme última equa¸cão da pág. 6, a densidade de corrente de deslocamento na fenda é

J_d = ǫ₀∂E

∂t

Como E = Q/ǫ₀πa², tem-se que ∂E/∂t = I/ǫ₀πa². Logo, J_d = I/πa² xˆ

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Como Maxwell corrigiu a lei de Amp` ere – exemplo

■ Escolhendo-se uma espira amperiana de raio s, paralela `as placas do capacitor, temos que

I

B · dl = µ₀I^d ⇒ B(2πs) = µ₀ Z

J · da = µ₀ I

πa²πs² Portanto,

B = µ₀ 2π

Is a² φˆ

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell

■ Com a contribui¸cão de Maxwell para a lei de Ampère, temos as seguintes equa¸cões:

(i) ∇ · E = 1

ǫ₀ρ (lei de Gauss)

(ii) ∇ · B = 0 (sem nome)

(iii) ∇ × E = −∂B

∂t (lei de Faraday) (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀ǫ₀∂E

∂t (lei de Amp`ere com a corre¸c˜ao de Maxwell)

■ Essas equa¸c˜oes, juntas com a lei da for¸ca,

F = q(E + v × B)

resumem o conteúdo teórico da eletrodinâmica clássica (exceto para algumas propriedades especiais da matéria).

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell

■ Observe que a equa¸c˜ao da continuidade,

∇ · J = −∂ρ

∂t

que representa a conserva¸cão da carga elétrica, pode ser derivada das equa¸cões de Maxwell (aplicando o divergente na Eq. (iv)).

■ Uma forma mais lógica de se escrever as equa¸cões de Maxwell é colocar todos os termos com os campos no lado esquerdo das equa¸cões, enquanto que as cargas e correntes ficam do lado direito. Esta nota¸cão enfatiza que todos os campos eletromagnéticos são no fim das contas atribu´ıdas às cargas e as correntes.

■ Reciprocamente, a lei das for¸cas diz como os campos eletromagn´eticos afetam as cargas el´etricas.

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell – exemplo

Ex. 2 Suponha que

E(r, t) = − 1 4πǫ₀

q

r²θ(vt − r) ˆr; B(r, t) = 0 onde a fun¸c˜ao degrau ´e definida como

θ(x) ≡

( 1, se x > 0 0, se x ≤ 0

Mostre que estes campos satisfazem todas as equa¸cões de Maxwell e determine ρ e J. Descreva a situa¸cão f´ısica que dá origem a esses campos.

Solu¸c˜ao

■ Aplicando o divergente no campo el´etrico:

∇ · E = − 1

4πǫ₀q∇ ·

θ(vt − r) ˆr r²

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell – exemplo

Como ∇ · (fA) = f(∇ · A) + A · (∇f), temos que

∇ · E = − 1 4πǫ₀q

θ(vt − r) ∇ ·

ˆr r²

+ ˆr

r² ·

∇θ(vt − r)

Temos que ∇ ·

ˆr r²

= 4πδ³(r) [veja discuss˜ao na p´ag. 45 do livro-texto] e

∇θ(vt − r) = ∂

∂rθ(vt − r

| {z }

≡u

) ˆr = dθ du

∂u

∂r ˆr = −δ(vt − r) ˆr onde usamos a identidade dθ

du = δ(u).

Portanto,

∇ · E = − 1 4πǫ₀q

4πδ³(r)θ(vt − r) − 1

r²δ(vt − r)

= 1 ǫ₀ρ

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell – exemplo

Logo, a densidade de carga fica

ρ = −qδ³(r)θ(t) + q

4πr²δ(vt − r)

onde usamos o fato que δ³(r)θ(vt − r) = δ³(r)θ(t), visto que para t < 0 o campo e a carga total ´e zero.

■ Interpreta¸cão f´ısica. Trata-se de um campo elétrico de um sistema formado por uma carga −q, na origem, e carga +q, distribu´ıda uniformemente sobre uma bolha esférica, cujo raio é r = vt. Observe que o campo elétrico fora da bolha é zero.

■ A equa¸c˜ao

∇ · B = 0

´e satisfeita trivialmente, visto que B(r, t) = 0.

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Equa¸ c˜ oes de Maxwell – exemplo

■ Vamos agora calcular o rotacional do campo el´etrico. Como E(r, t) s´o

depende de uma variável (não depende de θ e/ou φ) e B(r, t) = 0, a equa¸cão de Faraday é satisfeita:

∇ × E(r, t) = 0

■ Finalmente, vamos verificar a lei de Amp`ere:

0 − µ₀ǫ₀∂E

∂t = −µ₀ǫ₀(−) 1 4πǫ₀

q r²

∂

∂tθ(vt − r)

| {z }

=v δ(vt−r)

ˆr = µ₀J

Temos portanto que densidade de corrente ´e J = q

4πr²vδ(vt − r) ˆr

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Carga magn´ etica

■ As equa¸cões de Maxwell mostram uma certa simetria entre os campos E e B. Sobretudo, no espa¸co livre, onde ρ e J são iguais a zero, é notável a simetria entre esses campos:

∇ · E = 0, ∇ × E = −∂B

∂t

∇ · B = 0, ∇ × B = µ₀ǫ₀∂E

∂t Vemos que se fizermos

E → B e B → −µ₀ǫ₀E

o primeiro par de equa¸c˜oes se transforma no segundo par e vice-versa.

■ Para o caso geral, a simetria é quebrada porque não existe uma densidade de carga magnética ρ^m e por consequência a corrente magnética J_m.

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Carga magn´ etica

■ Se existisse carga magn´etica, as equa¸c˜oes de Maxwell ficariam

∇ · E = 1

ǫ₀ρ^e, ∇ × E = −µ₀J_m − ∂B

∂t

∇ · B = µ₀ρ^m, ∇ × B = µ₀J_e + µ₀ǫ₀∂E

∂t

■ Ambas as cargas seriam conservadas, visto que

∇ · J_m = −∂ρ^m

∂t e ∇ · J_e = −∂ρ^e

∂t

■ Contudo, a Natureza diz que essa simetria não existe. Apesar de uma busca dedicada, ninguém encontrou quaisquer evidências de um monopolo

magn´etico.

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Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.