45be41a  ATENÇÃO:

COLÉGIO PEDRO II – U. E. SÃO CRISTÓVÃO III 3ª CERTIFICAÇÃO – ANO 2012 – MATEMÁTICA I

3º ANO – TARDE

NOTA:

Professor: Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº : Turma:

ATENÇÃO:

 Resolva as questões de maneira clara e organizada.

 Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.

 A prova é individual e sem consulta.

 Reclamações de provas feitas a lápis NÃO serão aceitas. NÃO é permitido o uso de corretor.

 A interpretação das questões faz parte da prova.

1ª QUESTÃO (valor: 0,5)

Obtenha os valores das constantes reais a e b para que se tenha:

4 x

3 x 2 x

b 2 x

a

2



 

 



Solução. Igualando os denominadores e comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos numeradores, temos:

4 1 4 1a 5

4 b 5 5b 3b 4 2a 2

2b 2a 2 3b 2a 2

)2(

1b a 4 x

3x 4

x

)b2 a2(

x)b a(

4 x

3x 4

x b2 bx a2 ax 4 x

3x 4

x )2 x(b )2 x(a 4

x 3x 2x b 2x a

4 x) 2x ).(2 x(

MMC

2 2

2 2

2 2

2 2













 

 









 

 











 



 







 

 

 







 



 





 



 





 

 









.

Resposta:

4 b 5 4 e

a   1  .

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Para que valores de a e b o polinômio P(x) = –2x

³

+ ax

²

+ b é divisível pelo polinômio

1

G(x) = x

²

+ x + 1?

Solução. Para que o polinômio P(x) seja divisível pelo polinômio G(x), o resto da divisão de P(x) por G(x) deve ser nulo.

O resto deve ser nulo: 0b 02 2b

02 ab

0a 0)2 0a

ab(

x)22

a(   

 









 





 ^.

Logo, a = 0 e b = 2.

3ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Encontre as raízes da equação x

³

– 4x

²

– 2x + 20 = 0, sabendo que uma das raízes é x = -2.

Solução. O polinômio é de grau 3. Aplicando Briot-Ruffini para a raiz x = -2, temos:

-2 1 -4 -2 20 1 -6 10 0 O quociente é q(x) = x

²

– 6x + 10. Encontrando as raízes, vem:

 



 





 





 



 

 



 









 

i 2 3

i2 x 6

i 2 3

i2 x 6

2 4 6 2

40 36 6 )1(

2

) 10 )(1 (4 )6 ( )6 x (

2 2 1

.

As raízes são: S   3  ,i 3  ,i  2  .

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Resolva a equação x

³

+ 9x

²

+ 23x + 15 = 0 sabendo que suas raízes formam uma progressão aritmética de razão 2.

Solução. Se as raízes são formam uma PA de razão 2, podemos representá-los por:

Raízes: (x – 2, x, x + 2) => Soma = x – 2 + x + x + 2 = 3x.

Utilizando a relação de Girard para a soma de raízes, temos:

2

BOA PROVA

  ^{,5 1,3}

S 12 3x 3x

52 3x : Raízes

3 3 x9 9 x3 x3 Soma

1 9 Soma )9(

015 x23 x9x

3 2 1 2 3





 



 















 





 

 







 





.

OBS: Caso a questão seja:

Resolva a equação x

³

- 9x

²

+ 23x - 15 = 0 sabendo que suas raízes formam uma progressão aritmética de razão 2.

Solução. Se as raízes são formam uma PA de razão 2, podemos representá-los por:

Raízes: (x – 2, x, x + 2) => Soma = x – 2 + x + x + 2 = 3x.

Utilizando a relação de Girard para a soma de raízes, temos:

  ^5,3,1

S 52 3x 3x

12 3x :Raízes

3 3 x9 9 x3 x3 Soma

1 9 Soma )9(

015 x23 x9x

3 2 1 2 3

 



 















 

 





 

 





.

3

BOA PROVA