MAT Cálculo Diferencial e Integral I - 1 semestre de 2018 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado

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Registro das aulas e exerc´ıcios sugeridos - Atualizado 26.6.2018

1. Segunda-feira, 5 de mar¸co de 2018

Apresenta¸cão do curso. Veja-se o arquivo relativo às informa¸cões do curso na minha pagina web www.ime.usp.br/∼pluigi

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Os principais sistemas numéricos usados no curso: o conjunto N dos números naturais, Z dos números inteiros relativos, Q dos números racionais e R dos números reais.

Defini¸cão (intuitiva) de número real: um número real é um alinhamento decimal, limitado ou não, periódico ou não, com sinal.

Vamos dar como conhecidas as opera¸cões algébicas de soma e produto, as propriedades delas, a rela¸cão de ordem e o axioma de continuidade. A parte seguinte em azul é um aprofundamento desses conceitos. O leitor interessado pode continuar a leitura, mas essa parte não será cobrada.

Em R são definidas duas opera¸cões, soma e produto e uma rela¸cão de ordem, que verificam as propriedades seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c);

S3) Existência do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a + 0 = a e 0 é dito elemento neutro da soma; S4) Existência do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a + (−a) = 0

(a + (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a − a = 0). Analogamente temos propriedade do produto:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);

P3) Existência do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 é dito elemento neutro do produto; P4) Existência do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.

A propriedade distributiva liga soma e produto: SP) ∀a, b, c ∈ R, (a + b)c = ac + bc.

As duas propriedade seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento: OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, ent˜ao a + c ≤ b + c;

OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, ent˜ao ac ≤ bc.

A rela¸c˜ao de ordem verifica tambem as propriedades transitiva e anti-sim´etrica.

Todas essas propriedades podem ser demonstradas a partir de uma defini¸cão mais rigorosa, e não somente intuitiva, do conjunto R dos números reais. A questão é delicada. No sec. XIX, diante de um grande desenvolvimento da Matemática, foi percebido que era necessária uma abordagem rigorosa e não intuitiva aos números reais. Vários matemáticos se ocuparam disso. Entre eles. G. Peano, G. Cantor, R. Dedekind. Tente dar uma olhada (por exemplo nas páginas wikipedia) a esses personagens.

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De um jeito diferente, mas equivalente, foi dada uma defini¸cão axiomática do conjunto dos números reais: R é um conjunto abstrato com duas opera¸cões, soma e produto, e uma rela¸cão de ordem tais que as 11 propriedades acima são verificadas, assim como uma outra propriedade, o axioma de continuidade, que veremos a seguir. Desse jeito as propriedades acima não precisam ser demonstradas, mas se tornam axiomas, fatos que fondam o nascimento de R. Todas as outras propriedades algébricas de R podem ser provadas unicamente usando as 11 propriedades acima.

O exerc´ıcio seguinte pode parecer bizarro. Os itens devem ser provados usando unicament as 11 pro-priedades acima.

Exerc´ıcio 1. Provar, usando as primeiras 11 propriedades dos n´umeros reais, as propriedades seguintes: 1) ∀a ∈ R, a · 0 = 0;

2) ∀a ∈ R, a > 0 ⇒ −a < 0;

3) ∀a, b ∈ R, se a > 0 e b < 0, ent˜ao ab < 0; 4) ∀a, b, c ∈ R, se c < 0, se a ≤ b, ent˜ao ac ≥ bc;

5) ∀a, b, ∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se a2 ≤ b2_.

6) ∀a, b, ∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se 1/a ≥ 1/b.

Em outras palavras, os exerc´ıcios anteriores precisam de uma abordagem à qual o aluno não está acos-tumado. Por exemplo: parece óbvio que, dado um número a ∈ R, temos a · 0 = 0. Porque precisa ser demonstrado? Porque neste caso o esfor¸co é aquele de “esquecer” aquilo que conhecemos sobre os números. Eles são, neste exerc´ıcio, simplesmente e unicamente um conjunto que verifica as propriedades listadas acima. Portanto a demonstra¸cão de que a · 0 = 0 deve se basear no uso de algumas das propriedades acima e nada mais.

Se o aluno encontra dificuldade nestes exerc´ıcios acima, não deve ficar preocupado. O objetivo é ver a lógica que fica atrás desta constru¸cão.

O conceito de conjunto será pensado como conceito primitivo, ou seja, cole¸cão de objetos. Não iremos aprofundar a teoria dos conjuntos.

Exerc´ıcio 2. Prove as propriedades distributivas: dados trˆes conjuntos A, B e C, 1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

2) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

e as Leis de De Morgan: dados trˆes conjuntos A, B e C contidos num conjunto U , 3) CU(A ∪ B) = CUA ∩ CUB,

4) CU(A ∩ B) = CUA ∪ CUB.

Exerc´ıcios: escreva a união e a interse¸cão de A e B. Diga se vale A ⊆ B ou B ⊆ A. Determine A\B e B\A. Lembro que o conjunto A\B é definido como o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B 3. A = (0, 1), B = [0, 1] 4. A = (−∞, 0), B = [−1, 5] 5. A = 2n 2n + 1, n ∈ N , B = n n + 1, n ∈ N 6. A = (0, 2) ∪ (3, 4), B = [2, 3] 7. A = (−3, 0], B = [−2, 2)

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2. Quarta-feira, 7 de mar¸co de 2018

Seja agora E um subconjunto de R. Um número real M é dito majorante de E se x ≤ M para todo x ∈ E. Um número real m é dito minorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.

Um conjunto E é dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito limitado inferiormente se admite pelo menos um minorante. É dito limitado se é limitado superiormente e inferiormente.

Se E é limitado superiormente definimos supremo de E, sup E, o m´ınimo dos majorantes; se E é limitado inferiormente definimos ´ınfimo de E, inf E, o máximo dos minorantes. Se E é ilimitado superiormente escrevemos sup E = +∞, se E é ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.

O máximo de um conjunto E é o elemento maior, se existe, enquanto o m´ınimo é o elemento menor, se existe.

Um conjunto ´e dito finito se possui um n´umero finito de elementos.

Propriedade (ou axioma) de continuidade: um conjunto de n´umeros reais, limitado superiormente (inferiormente) admite supremo (´ınfimo) em R.

A demonstra¸cão, não trivial, da propriedade acima não é um objetivo do nosso curso.

Q não verifica a propriedade de continuidade. Prove este fato como exerc´ıcio. É uma conseqüência do fato de que, por exemplo, não existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.

Exerc´ıcios: Determine o supremo e o ´ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o m´aximo e o m´ınimo

8. (2, 3) 9. [0, +∞) 10. [−5, 1) ∪ (1, 4] 11. (0, 3] ∪ [3, 5] 12. 1 −1 n, n ≥ 1 ∪ 1 + 1 n, n ≥ 1 13. S n≥2 − 1 2n, 1 − 1 n 14. {x ∈ Q : x2< 2} 15. 2n n2_{+ 1}, n ∈ N

Defini¸cão de raiz n-esima. Dados um número inteiro n ≥ 1 e um número real não negativo x, a raiz enésima de x, em s´ımbolos √n_{x, ´}_{e o n´}_{umero n˜}_{ao negativo y tal que y}n_{= x.}

Exerc´ıcio 16. Prove que, dado x > 0, a raiz quadrada de x é única (sugestão: usar a propriedade que liga o ordenamento e o produto).

Dado un número real a, definimos módulo (ou valor absoluto) de a número não negativo |a| =

(

a se a ≥ 0 −a se a < 0.

Exerc´ıcio 17. Prove as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b|, |a − b| ≥ |a| − |b|.

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Exerc´ıcio: Escrever a união e a interse¸cão dos seguintes pares de conjuntos A e B. Dizer se vale a rela¸cão A ⊆ B ou B ⊆ A. Determinar enfim A\B e B\A.

18. A = {x ∈ R :√x2_{− 4 ≥ 0}, B = {x ∈ R : x}2_{− 4 ≥ 0}}

Resolver as inequa¸c˜oes seguintes.

19. x2_{− 2x − 1 ≤ 0} _{20. 3x}2_{− x + 2 > 0} 21. x − 2 x + 1 > 1 x − 1 22. x2_{+ x − 1} x2_{− 2x + 1} ≤ 1 2 23. x4−3 4x 2 _> 1 4 24. x 2 _{≤ 1} 25. 2 x + 3 < 4 x − 1 26. 3 x2 + 1 ≤ x 2_{− 1} 27. √x − 1 < x − 3 28. √x2_{+ 2x − 1 > 3 − x} 29. √x − 1 <√x 30. |x2− 4x − 5| > −x 31. √−x < 5 + x 32. | − 6x + 3| > −x + 2

Exerc´ıcio 33. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Prove que sup A ≤ sup B e inf A ≥ inf B.

Exerc´ıcio 34. Seja A = S

n≥2

An, onde, para cada n, An =

− 1 2n, 1 − 1 n

. Determine supremo, ´ınfimo, m´aximo e m´ınimo (se existem)

Dados a e b reais, defini¸c˜ao de intervalo de extremos a e b:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. O primeiro ´e dito fechado, o quarto ´e dito aberto. Intervalos ilimitados:

[a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a, +∞) = {x ∈ R : a < x}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.

3. Sexta-feira, 9 de mar¸co de 2018

Defini¸cão de fun¸cão. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma fun¸cão f : A → B é una lei que a cada elemento de A associa um e só um elemento de B.

A se chama dom´ınio da fun¸c˜ao, B ´e dito contradom´ınio. O conjunto dos valores atingidos por f se chama imagem de f , Im (f ) ou f (A), ou seja:

Im (f ) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f (x) = y}. Im (f ) ´e um subconjunto do contradom´ınio (pode ser igual).

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A fun¸cão é dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f (a) 6= f (b). É dita sobrejetora se Im (f ) = B. Se f é injetora e sobrejetora é chamada bijetora (ou correspondência biun´ıvoca).

Defini¸cão. Dado um subconjunto E de R, uma fun¸cão real é uma fun¸cão f : E → R. Exemplos.

(1) f : R → R, f (x) = x.

(2) f : R → R, definida por f (x) =√x, não é uma fun¸cão. De fato, para cada x < 0,√x não existe. (3) Pelo contrário, é bem definida a fun¸cão f : [0, +∞) → R, f (x) =√x.

(4) f : R → R, f (x) = x2. Im (f ) = [0, +∞).

(5) f : [0, 1] → R, f (x) = x2_{. O dom´ınio e a imagem desta fun¸}_c˜_{ao s˜}_{ao diferentes dos aqueles do exemplo}

anterior. Se duas fun¸cões têm dom´ınios diferentes são duas fun¸cões, ainda se possuem a mesma lei. (6) f : R → R, f (x) = ( 1/x se x 6= 0 0 se x = 0. (7) f : [0, 4] → R, f (x) = ( x + 3 se 0 ≤ x ≤ 3 x2− 5 se 3 < x ≤ 4. ´

E dito gr´afico de f o subconjunto de R2

G(f ) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f (x)}.

A fun¸c˜ao √x, assim como √n_{x, ´}_{e definida, lembre-se, gra¸cas ao teorema de existˆ}_{encia da raiz quadrada,}

mais em geral n-esima, que vamos aqui lembrar. A prova ser´a dada em seguida, precisando do conceito de fun¸c˜ao cont´ınua.

Teorema. (Existência e unicidade da raiz n-esima. A demonstra¸cão é adiada.) Dado x ≥ 0 e dado n ∈ N, n ≥ 1, existe e é único o número positivo y tal que yn= x. y se chama raiz enésima de x.

Lembre que a prova da unicidade ´e f´acil e pode ser feita como exerc´ıcio.

Exerc´ıcios: dadas as fun¸c˜oes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado 35. x3+ 2, (−1, 1) 36. x + 3, [0, 5]

37. 2|x|, (−1, 3) 38. x2+ |x|, (−3, 2)

39. [x − 2]2_, _{(−2, 2]} _{40. (dif´ıcil)} _x(x−[x]), _{(−1, +∞)}

No exerc´ıcio acima [x − 2] é a parte inteira de x − 2. A parte inteira de um número real x, denotada pelo s´ımbolo [x], é o maior inteiro que não ultrapassa x. Por exemplo: [1] = 1, [9/4] = 2, [−1/2] = −1, etc.

Exerc´ıcio 41. Uma fun¸cão f : R → R é chamada par se f (x) = f (−x), para todo x. É chamada impar se f (x) = −f (−x), para todo x. Prove que x2+ 1 é par e que x

3_{− x}

x2_{+ 1} ´e impar.

Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma fun¸c˜ao dada. Dado um subconjunto C de B, ´e dito imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f (x) ∈ C}.

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Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a fun¸cão g : B → R, definida por g(x) = f (x) para todo x ∈ B é dita restri¸cão de f em B, o s´ımbolo é f |B.

Se f : A → B é injetora, definimos a fun¸cão inversa de f como a fun¸cão g : Im f → A que associa a cada y ∈ Im f o único x ∈ A tal que f (x) = y. Neste caso f é também chamada invers´ıvel e a fun¸cão inversa é denotada, em geral, por f−1.

Observa¸cão: cuidado em não fazer confusão entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre é um conjunto e a fun¸cão inversa, quando existe, que é uma fun¸cão. A nota¸cão não ajuda, sendo f−1 o mesmo s´ımbolo para os dois conceitos.

Uma fun¸cão f : E → R é dita monótona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2 em

E, com x1< x2, resulta f (x1) ≤ f (x2) (resp. f (x1) < f (x2)).

Uma fun¸cão f : E → R é dita monótona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada x1,

x2 em E, com x1 < x2, resulta f (x1) ≥ f (x2) (resp. f (x1) > f (x2)).

Exerc´ıcio 42. Estudar a monotonia das fun¸c˜oes seguintes: (1) f : R → R, f (x) = x2,

(2) f : [2, 6] → R, f (x) = x4, (3) f : [0, +∞) → R, f (x) =√x, (4) f : (−∞, −2), f (x) =√−x, (5) f [−5, −4] ∪ [1, 2], f (x) = 1/x.

Exerc´ıcio 43. Desenhar os gr´aficos das fun¸c˜oes acima.

Exerc´ıcio 44. Provar que a soma e de duas fun¸cões crescentes é uma fun¸cão crescente. E o produto?

Exerc´ıcios: dadas as fun¸c˜oes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados ao lado

45. 2 − x, (−10, 3] 46. x2− x + 3, (0, 5) 47. x

x − 2, R 48. p|x − 1|, [0, 1]

49. [1 + x2], (1, 4) 50. sign (x2− 2), (1/2, 2)

Determine, para cada fun¸c˜ao seguinte, o maior dom´ınio onde ´e invers´ıvel. 51. f (x) = ( x + 2 se 0 < x < 1 x + 1 se 2 < x < 3 52. f (x) = ( x2 se − 1 < x ≤ 0 x − 1 se 1 ≤ x < 2

Exerc´ıcio 53. Prove que uma fun¸cão estritamente crescente ou decrescente é invers´ıvel. Se f : A → R é invers´ıvel, necessariamente é estritamente monótona? Procure exemplos.

Exerc´ıcio 54. A fun¸cão f : R → R, definida como f (x) = x2 é invers´ıvel? Exerc´ıcio 55. A fun¸cão f : R → R, definida como f (x) = x3 é invers´ıvel?

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Exerc´ıcio 56. A fun¸cão f : [−3, −2] ∪ [0, 1] → R, definida como f (x) = x2 é invers´ıvel? Exerc´ıcio 57. A fun¸cão f : R → R, definida como f (x) =p|x| é invers´ıvel?

Exerc´ıcio 58. A fun¸c˜ao f : [0, +∞) → R, definida como f (x) =√x3_{+ x}4_{+ 2 ´}_{e invers´ıvel?}

As fun¸cões trigonométricas. Seja a circunferência C do plano cartesiano, com centro na origem e raio 1, dita circunferência trigonométrica. Observando a figura, A é o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto P é um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferência, o arco de extremos A e P no sentido anti-horário tem um comprimento entre 0 e 2π.

-6 A O P

Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2π]. Definimos o seno de x, sen x, como a ordenada de P , e o cosseno de x, cos x, como a abscissa di P .

O dom´ınio pode ser estendido de [0, 2π] a R.

Portanto, as fun¸cões sen x e cos x são definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; são periodicas com per´ıodo 2π.

Conseq¨uˆencia imediata do teorema de Pitagora: sen2_{x + cos}2_{x = 1 para todo x ∈ R.}

As fórmulas algébricas das fun¸cões trigonométricas podem ser provadas usando a ferramenta clássica da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.

Dados x, y ∈ R, adi¸c˜ao:

sen (x + y) = sen x cos y + sen y cos x, cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y; prostaf´erese

sen x − sen y = 2 cosx + y 2 sen

x − y

2 , cos x − cos y = −2 sen x + y

2 sen x − y

2 .

Exerc´ıcio 59. Determine sen 2x e cos 2x em fun¸cão de sen x e cos x (fórmulas de duplica¸cão). Determine senx

2 e cos x

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Uma outra fun¸cão trigonométrica é a tangente:

tg x = sen x cos x,

definida quando o coseno não é nulo; portanto o dom´ınio é o conjunto n

x ∈ R : x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z o

.

Exerc´ıcio 60. Provar que a tangente é periódica com per´ıodo π. Dica: use as fórmulas de duplica¸cão. A fun¸cões trigonométricas não são invert´ıveis (porque são periódicas). Porém, observamos que sen x é estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Então, a restri¸cão de sen x a [−π/2, π/2] é invert´ıvel. A sua fun¸cão inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1] → R com imagem igual a [−π/2, π/2].

Analogamente, cos x `e invert´ıvel em [0, π]. A sua fun¸c˜ao inversa se chama arcocosseno, arccos : [−1, 1] → R, com imagem [0, π].

A tangente `e invert´ıvel em (−π/2, π/2). A sua fun¸c˜ao inversa se chama arcotangente, arctg : R → R, e tem imagem (−π/2, π/2).

grafici di f (x) = sen x e f (x) = cos x. -6 y = sen x -6 y = cos x grafico di f (x) = tg x. -6 y = tg x

gr´aficos de f (x) = arcsen x, f (x) = arccos x e f (x) = arctg x. -6 -6 -6

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Exerc´ıcio (dif´ıcil) 62. Desenhe o gráfico de f (x) = 1 + 2 x 1 + x2 (parte inteira). Exerc´ıcios. Diga se as fun¸cões seguintes são periódicas. Se sim, encontre o per´ıodo.

63. x cos x, 64. 6 sen2x,

65. 1 + tg x, 66. sen (x2_),

67. 4, 68. [x],

69. cos 4x, 70. sen (3x).

Exerc´ıcios. Diga se as fun¸c˜oes seguintes s˜ao pares ou impares.

71. x2+ 1, 72. sen x x , 73. x 3_{− x} x2_{+ 1}, 74. [x], 75. sen x2, 76. cos 3x.

Uma outra fam´ılia de fun¸cões são as potências com expoente racional. Se n é inteiro, n ≥ 1, sabemos que existe e é única a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da página 5). Portanto é definida a fun¸cão √n_{x. Se}

n é par, o dom´ınio é [0, +∞), se n é impar, o dom´ınio é R. A raiz √n_{x pode ser denotada pelo s´ımbolo x}_n1_.

Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n são primos ente si, é definida a fun¸cão xm/n = √n

xm_,

cujo dom´ınio é [0, +∞) se n é par, enquanto é R se n é impar.

Dado um racional negativo, m/n, onde m, n ∈ Z são primos ente si, é definida a fun¸cão xm/n = 1 x−m/n, cujo dom´ınio é (0, +∞) se n é par, enquanto é R\{0} se n é impar.

Exerc´ıcio 77. Escreva em detalhes o processo resumido acima. Ou seja, a constru¸cão das potências com expoente racional a partir das potências com expoente inteiro e positivo.

Exerc´ıcio 78. Determine para quais valores do expoente r racional a fun¸c˜ao xr pode ser definida em tudo R.

Exerc´ıcio 79. Dado a < 0, a gente poderia definir a0 = 1. O leitor explique quais problemas provocaria uma defini¸c˜ao deste tipo.

Exerc´ıcio 80. seja a positivo, real, fixado e diferente de 1. Considere a fun¸c˜ao f (r) = ar, definida em Q. Prove que

(1) f ´e estritamente crescente se a > 1; (2) f ´e estritamente decrescente se a < 1.

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Agora, por meio do exerc´ıcio acima, podemos finalmente dar a defini¸cão das potências com expoente real (de fato, irracional, porque se o expoente for racional, acabamos de fazer a constru¸cão). Ou seja podemos definir 2π, por exemplo. O método é o seguinte. Sejam a > 0 e b ∈ R, fixados. Suponhamos primeiramente que a seja maior de 1. Definimos

ab = sup{ar: r ∈ Q e r ≤ b}. Se for 0 < a < 1, definimos analogamente

ab= inf{ar : r ∈ Q e r ≥ b}. Exerc´ıcio 81. O leitor analise esta defini¸c˜ao, conforme foi feito na ´aula.

Podemos provar, mas é um exerc´ıcio longo e cansativo, que as potências com expoente real verificam as clássicas propriedades das potências, que daqui para frente serão normalmente usadas quando for necessário.

Sejam duas fun¸cões f : A → R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos fun¸cão composta g ◦ f : A → R, a fun¸cão

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A → R como (f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Escreva as composi¸cões f ◦ g e g ◦ f das fun¸cões seguintes, determinando os dom´ınios das fun¸cões obtidas

82. f (x) = x + x3, g(x) = 3 − x 83. f (x) = x2, g(x) =√x 84. f (x) = x + 1 x − 1, g(x) = 2 − x 2 _{85. f (x) =} 1 x2, g(x) = ( √ x)2 86. f (x) = 1 + x x , g(x) = 2 − x 87. f (x) = 2 x_, _{g(x) = 3x − 1}

Escreva as fun¸cões seguintes como composi¸cão de fun¸cões. (As composi¸cões obtidas podem não ser as únicas poss´ıveis.)

88. x

2

√

x2_{− 1} 89. x

4

Uma fun¸cão é dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é limitada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (´ınfimo) de f , sup f (inf f ) é, por defini¸cão, o supremo (´ınfimo) de Im f .

Introdu¸c˜ao ao conceito de limite de uma fun¸c˜ao. Primeiro tipo de limite.

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Defini¸cão 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condi¸cões não são necessari-amente alternativas). Seja f : I → R uma fun¸cão dada. O número real l é dito limite de f (x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se

lim

x→xf (x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f (x) − l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x − x| < δ e tal que x 6= x.

Exemplo na sala de aula: podemos provar, usando a defini¸c˜ao acima, que lim

x→0x 2_{= 0.}

Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸cão de limite, que os limites seguintes são corretos. Os exerc´ıcios seguintes são muitos. Fa¸ca somente um ou dois.

90. lim x→3x = 3 91. limx→0(x 2_{− 1) = −1} 92. lim x→0 1 x n˜ao existe 93. limx→1x 3 _{= 1} 94. lim x→0|x| = 0 95. limx→2[x] n˜ao existe 96. lim x→−1−[x] = −2 97. lim_x→0x 2_{/|x| = 0}

Segundo tipo de limite.

Defini¸cão 2. Seja f : (a, +∞) → R uma fun¸cão dada. O número real l é dito limite de f (x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se

lim

x→+∞f (x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f (x) − l| < ε para cada x ∈ (a, +∞), tal que x > r. Exerc´ıcio 98. Escreva a defini¸c˜ao acima no caso an´alogo onde x tende para −∞

Exerc´ıcio 99. Prove, usando a defini¸c˜ao acima, que limx→+∞1/x = 0.

Terceiro tipo de limite.

Defini¸cão 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I que pode ou não pertencer a I. Seja f : I → R uma fun¸cão dada. Dizemos que +∞ é o limite de f (x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se

lim

x→xf (x) = +∞,

(12)

Exerc´ıcio 100. Escreva a defini¸cão acima no caso análogo onde o limite é −∞. Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸cão de limite, que os limites seguintes são corretos.

101. lim x→0 1 x2 = +∞ 102. _x→+∞lim 1 x2 = 0

Exerc´ıcios. Escreva as fun¸c˜oes seguintes como soma de uma fun¸c˜ao par e de uma impar.

103. x2− x + 3 104. x − 1

x2_{+ 1}

105. sen 2x + cosx

2 − x 106. f (x)

No último exerc´ıcio (que é dif´ıcil) f (x) é uma fun¸cão qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h onde g é par e h é impar e as duas fun¸cões são obtidas através de opera¸cões algébricas oportunas sobre f .

Em sala de aula não foi considerado um quarto tipo (o seguinte) de limite, que se torna fácil à luz dos três primeiros e que o leitor pode entender sem dificuldade.

Defini¸cão 4. Seja f : (a, +∞) → R uma fun¸cão dada. Dizemos que +∞ é o limite de f (x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se

lim

x→+∞f (x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f (x) > m para cada x ∈ (a, +∞), tal que x > r.

Exerc´ıcio 107. Escreva a defini¸cão acima nos casos análogos onde x tende para −∞ e o limite é −∞ (quantos são os casos?)

Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸c˜ao de limite, que os limites seguintes s˜ao corretos. 108. lim x→0 1 x4 = +∞ 109. _x→+∞lim x = +∞ 110. lim x→−∞x 2 _{= +∞} _111. _lim x→+∞ x x + 1 = 1

Teorema 5 ( Álgebra dos limites - formas finitas - (sem prova)). Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou seja x um extremo de I que pode ou não pertencer ao intervalo. Sejam f, g : I → R duas fun¸cões dadas. Sejam dados os limites

lim

x→xf (x) = l ∈ R, e x→xlimg(x) = m ∈ R.

Ent˜ao,

(1) limx→x(f (x) + g(x)) = l + m (soma);

(2) limx→x(f (x) − g(x)) = l − m (diferen¸ca);

(3) limx→x(f (x) · g(x)) = l · m (produto);

(13)

Os limites lim

x→xx = x e, dada uma constante real a, limx→xa = a podem ser provados s´o usando a defini¸c˜ao.

A partir dos dois resultados, todos os limites de polinômios e fun¸cões racionais (razões de polinômios), se são das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a álgebra dos limites.

Um outra lista de limites que vamos dar sem prova ´e a seguinte: seja α ∈ R fixado e a fun¸c˜ao xα _{definida in (0, +∞). Ent˜}_ao:

lim x→xx α _{= x}α_; lim x→+∞x α_{= +∞, se α > 0;} _lim x→+∞x α_{= 0, se α < 0;}

Observa¸c˜ao: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser deduzidos sabendo que lim

x→xx = x e usando a ´algebra dos limites no caso do produto. Se o expoente n˜ao for

inteiro precisa usar a defini¸c˜ao para provar os limites acima.

Exerc´ıcio 112. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o dom´ınio da fun¸cão xα pode não ser limitado ao intervalo (0, +∞). Analize os vários casos e determine as várias extensões poss´ıveis do dom´ınio.

Outros limites que vamos dar sem prova s˜ao os seguintes: lim x→xx x _{= a}x_; lim x→−∞a x _{= 0, se a > 1;} _lim x→−∞a x_{= +∞, se 0 < a < 1;} lim x→+∞a x _{= +∞, se a > 1;} _lim x→+∞a x_{= 0, se 0 < a < 1;}

Exerc´ıcio 113. O teorema da ´Algebra dos limites pode ser escrito facilmente para fun¸c˜oes f e g nos casos em que queremos estudar limx→+∞f (x) e limx→+∞f (g) (e analogamente quando x → −∞). O leitor

escreva os enunciados correspondentes.

Teorema 6 ( ´Algebra dos limites – Formas infinitas resolv´ıveis que podem ser resovidas). (Sem prova) Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas fun¸c˜oes dadas; ou sejam f, g : (a, +∞) → R ou f, g : (−∞, b) → R. Temos os casos seguintes:

1) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, então lim x→x (ou x→±∞) (f (x) + g(x)) = +∞; 2) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, então lim x→x (ou x→±∞) (f (x) + g(x)) = −∞; 3) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = +∞, então lim x→x (ou x→±∞) (f (x) + g(x)) = +∞; 4) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = −∞, então lim x→x (ou x→±∞) (f (x) + g(x)) = −∞;

(14)

Produto: limx→x (ou x→±∞)

(f (x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

5a) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m > 0; 5b) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m < 0; 5c) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = +∞; 5d) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = −∞; limx→x (ou x→±∞)

(f (x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:

6a) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m > 0; 6b) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m > 0; 6c) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = −∞; Quociente: limx→x (ou x→±∞)

(f (x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes: 7a) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m > 0; 7b) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m < 0; 7c) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞ ou l > 0, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x; 7d) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞ ou l < 0, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x; limx→x (ou x→±∞)

(f (x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes: 7a) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m > 0; 7b) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = m ∈ R, m < 0; 7c) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞ ou l < 0, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

(15)

7d) se lim x→x (ou x→±∞) f (x) = +∞ ou l > 0, e lim x→x (ou x→±∞) g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x−δ, x+δ) e x 6= x;

Os casos acima representam as formas resolv´ıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral. Os casos abaixo são as assim chamadas formas indeterminadas. Não temos de fato a possibilidade de escrever uma álgebra dos limites para as formas seguintes. A existência e o valor dos limites nos casos seguintes depende do exerc´ıcio:

+∞ − ∞, 0 · (±∞), ±∞/ ± ∞, 0/0.

Vamos apresentar agora outros limites importantes, sem demonstra¸c˜ao. Dado a ∈ R, a > 0, a 6= 1, dado x > 0, h´a lim

x→xlogax = logax, para cada a > 0, a 6= 1 x > 0;

lim

x→+∞logax = +∞, se a > 1;x→+∞lim logax = −∞, se 0 < a < 1;

lim

x→0logax = −∞, se a > 1; x→0limlogax = +∞, se 0 < a < 1;

Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem) 114. lim x→0 x x + 1 115. limx→1 x2+ 1 x − 1 116. lim x→0 x3+ x + 3 4x2_{− 2x + 1} 117. _x→+∞lim 2x + x2 2x2_{+ x − 1} 118. lim x→0(x − 1) √ x2_{+ 1} 119. lim x→−1+ x2+ 1 x − 1 120. x→−∞lim [x] − x 2 121. lim x→+∞ x3+ 3x − 2 x2_{− 2x + 1} 122. lim_x→0 x2+ x − 4 2x2 123. lim x→2 x2+ x − 5 x2_{− 4x + 4} 124. lim x→+∞ √ x2_{+ 1 − x} _125. _lim x→+∞ √ x2_{+ 1 − 2x} 126. lim x→−∞ √ x2_{+ 1 − x} _127. _lim x→+∞ x3− 1 x2_{− 1} 128. lim x→+∞( √ x − 4 −√x + 5) 129. lim x→−∞( √ x2_{− x −}√_{3 − x)}

Exerc´ıcio 130. Prove a f´ormula seguinte: (xn− 1) = (xn−1_{+ x}n−2_{+ ... + x + 1)(x − 1), onde n ´}_{e inteiro}

(16)

10. Segunda-feira, 2 de abril de 2018

Exerc´ıcio 131. Aqui em seguida questões de vária natureza. 1. Estude a inequa¸cão √x − 1 < x − 3.

2. Prove que a soma de dois números racionais é racional. Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional.

Em geral: uma propriedade P é chamada aditiva se, toda vez que duas entidades a e b verificam P, também a soma a + b verifica P. O leitor escreva algumas propriedades aditivas que encontrou no curso até agora.

3. Prove que [x] + [y] ≤ [x + y] para todo x, y ∈ R ([x] denota a parte inteira de x).

4. Determine a imagem do intervalo (−1, 1) através da fun¸cão x3 + 2. Para abordar o exerc´ıcio uma técnica poss´ıvel é a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos números reais segundo a qual ac ≤ bc se a ≤ b e c > 0. Use para provar que x3 (e consequentemente x3+ 2) é uma fun¸cão crescente.

5. Determine a imagem do intervalo (−2, 1] através da fun¸cão [x − 2]2 (de novo [·] denota a parte inteira). 6. Determine a imagem inversa de (0, 5) através da fun¸cão x2− x + 3.

7. Escreva f (x) = x − 1

x2_{+ 1} como soma de uma fun¸c˜ao par e de uma impar.

8. Desenhe o gráfico da fun¸cão f (x) = max{x, x2} e da fun¸cão g(x) = max{|x|, x2}. 9. Calcule o dom´ınio de arccos x

x + 1.

Teorema 7 (Confronto dos limites – com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas).

Primeiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo n˜ao limitado. Sejam f, g, h : I → R fun¸c˜oes dadas. Suponhamos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os limites

lim x→x (ou x→±∞) f (x) = l, e lim x→x (ou x→±∞) h(x) = l, onde l ∈ R. Ent˜ao, lim x→x (ou x→±∞) g(x) = l.

Exerc´ıcio 132. Prove o resultado acima nos trˆes casos enunciados. Segundo resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo n˜ao limitado. Sejam f, g : I → R fun¸c˜oes dadas. Suponhamos que f (x) ≤ g(x) para cada x. Se

lim

x→x (ou x→±∞)

(17)

ent˜ao,

lim

x→x (ou x→±∞)

g(x) = +∞.

Se, por outro lado

lim x→x (ou x→±∞) g(x) = −∞. ent˜ao, lim x→x (ou x→±∞) f (x) = −∞.

Exerc´ıcio 133. Prove o teorema em todos seus casos.

Exerc´ıcio 134. Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→0|x| = 0.

Exerc´ıcio 135. Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→+∞ n

√

x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N. Exerc´ıcio 136. (d´ıficil) Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→+∞ sen x n˜ao pode ser zero.

Exerc´ıcio 137. Usando o comportamento de sen x, tente entender (e desenhar o gráfico) o comportamente de sen (1/x) quando, em particular, x é próximo de zero.

Aplicando o teorema do confronto podemos resolver o exerc´ıcio seguinte. Exerc´ıcio 138. Prove que limx→+∞( sen x + x) = +∞.

Exerc´ıcio 139. Prove que limx→0 sen x = 0.

Exerc´ıcio 140. limx→+∞

sen x x = 0.

Exerc´ıcio 141. Prove que, se limx→cf (x) = 0 e g(x) ´e limitada, ent˜ao limx→c(f (x) · g(x)) = 0.

11. Quarta-feira, 4 de abril de 2018

Teorema 8 (limite de fun¸c˜oes compostas – sem prova). Seja f (x) dada e suponhamos que exista o limite lim

x→x (ou x→±∞)

f (x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.

Seja g(x) uma outra fun¸c˜ao dada e suponhamos que exista o limite lim

x→lg(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.

Suponhamos que a composi¸cão g(f (x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f (x) 6= l para x 6= x e x próximo de x. Então,

lim

x→x (ou x→±∞)

(18)

Observa¸cão: parece estranha a hipótese f (x) 6= l para x 6= x e x próximo de x. Todavia, se não for verificada a condi¸cão, o limite da composi¸cão pode não ser m, como no caso seguinte:

f (x) = 0, ∀x ∈ R, g(x) = (

0 se x 6= 0 1 se x = 0. ´

E f´acil ver que limx→0g(f (x)) = 1, enquanto limx→0g(x) = 0.

Uma condi¸cão que pode substituir a condi¸cão acima é g(l) = m, se m e l for reais. Esta condi¸cão será encontrada no caso das fun¸cões cont´ınuas.

Exerc´ıcio 142. Prove que limx→0cos x = 1. Use o limite analogo sobre o seno e o teorema anterior.

Pode ser provado (n˜ao iremos dar os detalhes) que para todos x ∈ R h´a limx→x sen x = sen x e

limx→xcos x = cos x.

O limite seguinte é muito importante e pode ser provado pelo teorema do confronto. O leitor fa¸ca o exerc´ıcio seguinte usando também a constru¸cãogeométrica vista em sala de áula.

Exerc´ıcio 143. limx→0

sen x x = 1.

Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem) 144. lim x→0(x − 1) √ x2_{+ 1} _145. _lim x→+∞( sen x + x) 146. lim x→1 x2+ 1 x − 1 147. x→−∞lim ([x] + x) 148. lim x→0 x2+ 1 x − 1 149. limx→2x(x + 2)(x − 3) 150. lim x→1 x3− 1 x2_{− 1} 151. lim_x→0 3 √ 1 + x −√3 1 − x x 152. lim x→0 √ 2 + x −√2 x 153. limx→0 1 x 3x − 2 2x + 3− 3x + 2 2x − 3 154. lim x→0 1 − cos x x sen x 155. limx→π 1 + cos x π − x 156. lim x→0 1 1 − cos x 157. limx→02/|x| 158. lim x→+∞ x2+ 3 4x2_{+ x} 159. _x→+∞lim 3 − x3− x 1 − 2x2 160. lim x→+∞ x2 x + 1− x 161. lim x→+∞ x2+ sen x 2x + x2_{+ 3} 162. lim x→+∞ √ 1 + x2₊√_x √ x − x 163. x→−∞lim x( √ 1 + x4_{− x}2₎

Exerc´ıcio 164. Calcule os limites seguintes, explicando, nos detalhes, como devem ser usados os ´ultimos teoremas encontrados. limx→+∞ √ x2_{+ 1,} _lim x→0 sen x2 x2 , limx→0 sen 2x 3x , limx→0 1 − cos√x x .

(19)

Vamos agora lebrar um conceito j´a encontrado

Defini¸c˜ao 9 (limites direito e esquerdo). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma fun¸c˜ao dada. Denotamos por

g : (x, b) → R, g(x) = f (x)

a restri¸cão de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ é o limite direito de f (x) para x que tende para x, em s´ımbolos é lim x→x+f (x) = l, se lim x→xg(x) = l.

Analogamente, denotamos por

h : (a, x) → R, h(x) = f (x)

a restri¸cão de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ é o limite esquerdo de f (x) para x que tende para x, em s´ımbolos é lim x→x−f (x) = l, se lim x→xh(x) = l.

Teorema 10 (sem prova). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma fun¸c˜ao dada. Ent˜ao,

lim

x→xf (x) = l se e somente se x→xlim+f (x) = l = lim_x→x−f (x).

Teorema 11 (conserva¸c˜ao do sinal – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas). Sejam dados uma fun¸c˜ao f real definida em um intervalo I e um ponto x ∈ I ou extremo de I. Seja

lim

x→xf (x) = l > 0.

Ent˜ao existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para cada x ∈ (x − δ, x + δ) ∩ I e x 6= x. Obviamente o teorema vale no caso de limite negativo.

Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem) 165. lim x→0(x − 1) √ x2_{+ 1} _166. _lim x→+∞( sen x + x) 167. lim x→1 x2+ 1 x − 1 168. x→−∞lim ([x] + x) 169. lim x→0 x2+ 1 x3 170. lim_x→2x(x + 2)(x − 3) 171. lim x→1 x3− 1 x2_{− 1} 172. lim_x→0 3 √ 1 + x −√3_{1 − x} x 173. lim x→0 √ 2 + x −√2 x 174. limx→0 1 x 3x − 2 2x + 3− 3x + 2 2x − 3

(20)

175. lim x→0 1 − cos x x sen x 176. limx→π 1 + cos x π − x 177. lim x→0 1 1 − cos x 178. limx→02/|x| 179. lim x→+∞ x2+ 3 4x2_{+ x} 180. _x→+∞lim 3 − x3− x 1 − 2x2 181. lim x→+∞ x2 x + 1− x 182. lim x→+∞ x2_{+ sen x} 2x + x2_{+ 3} 183. lim x→+∞ √ 1 + x2₊√_x √ x − x 184. x→−∞lim x( √ 1 + x4_{− x}2₎

Exerc´ıcio 185. aplique o teorema dos limites de fun¸c˜oes compostas para calcular o limite lim

x→π

1 + cos x π − x Exerc´ıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:

186. lim x→+∞ sen x + x 187. x→−∞lim [x] − x 2 188. lim x→+∞ sen x √ x + cos x 189. x→−∞lim √ x2_{− 2x + x}

190. Diga qual ´e, entre as seguintes, a defini¸c˜ao correta do limite lim

x→4f (x) =

7.

a) Para cada λ e µ positivos, se |x − 4| < µ e x 6= 4 ent˜ao, |f (x) − 7| < λ.

b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0, se |x−4| < µ ent˜ao, |f (x)−7| < λ.

c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe x tal que |x − 4| < λ e |f (x) − 7| < µ.

d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se |x − 4| < λ e x 6= λ ent˜ao, |f (x) − 7| < µ.

e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se |x − 4| < λ e x 6= 4 ent˜ao |f (x) − 7| < µ.

f) Nenhuma das respostas acima ´e correta.

191. Suponhamos que

lim

x→+∞ f (x) = −∞.

Diga qual, entre as afirma¸c˜oes seguintes, ´e correta .

a) Se x > 0 ent˜ao f (x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f (x) < 0 para cada x > ε.

c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que para x > η temos f (x) > ε > 0.

d) Nenhuma das respostas acima ´e correta.

(21)

192. Consideramos a proposi¸c˜ao seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I, seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f (x) ≥ g(x) para cada x e

que lim

x→x0f (x) = 0. Então, limx→x0g(x) = 0. A proposi¸cão é:

a) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

b) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.

c) Verdadeira sem necessidade de outras hip´oteses suplementares.

d) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar f (x0) =

g(x0) = 0.

e) Falsa, tamb´em colocando as hip´oteses suplementares acima.

193. Dada f : R → R, suponhamos que lim

x→+∞f (x) = −∞. Ent˜ao: a) f ´e decrescente. b) lim x→+∞f (x 2_{) = +∞.} c) ∀m ≥ 0, temos f (x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f (x) ≤ k se x ≥ m. e) lim

x→−∞f (x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima ´e

correta.

194. Dada f : N → N, f (x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das afirma¸c˜oes s˜ao corretas.

a) f ´e injetora. b) f ´e sobrejetora.

c) f é limitada inferiormente. d) A nota¸cão f (x) = x + 1 non faz sentido porque o dom´ınio é N e a variável a ser usada deve ser deno-tada por n.

Exerc´ıcio 195. Procure uma f : R → R que n˜ao seja crescente, mas que verifique lim

x→+∞f (x) = +∞. Esta fun¸c˜ao deve ser definitivamente crescente?

Isto ´e, existe r tal que f ´e crescente em (r, +∞)?

12. Sexta-feira, 6 de abril de 2018 e 13. Segunda-feira, 9 de abril de 2018 Exerc´ıcios em sala de ´aula. Prepara¸c˜ao para prova P1.

14. Quarta-feira, 11 de abril de 2018 Prova P1

(22)

Introdu¸cão às fun¸cões cont´ınuas

Defini¸cão 12. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma fun¸cão dada e x ∈ I dado. f é dita cont´ınua em x se lim

x→xf (x) = f (x).

Em outras palavras, f ´e dita cont´ınua em x se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ (x − δ, x + δ) ∩ I temos f (x) ∈ (f (x) − ε, f (x) + ε).

f ´e dita cont´ınua em I (ou, simplesmente, cont´ınua) se ´e cont´ınua em todos os pontos de I.

O conceito de continuidade de uma fun¸cão é pontual. Ou seja, dizemos que uma fun¸cão é cont´ınua em um ponto. Outros conceitos, já encontrados, são só globais: invertibilidade, limita¸cão de uma fun¸cão, monotonia. Não faz sentido, por exemplo, dizer que uma fun¸cão é limitada (ou invers´ıvel, ou crescente) em um ponto.

Exemplos: diretamente da defini¸cão e dos resultados sobre os limites vistos nas áulas anteriores segue que são cont´ınuas as fun¸cões seguintes: os polinômios P (x), as fun¸cões racionais P (x)/Q(x) nos pontos x tais que Q(x) 6= 0, f (x) = xα (e portanto, em particular, f (x) = √n_{x), as fun¸}_c˜_{oes trigonom´}_{etricas, as fun¸}_c˜_oes

exponenciais e os logaritmos.

Iremos ver em seguida uma outra prova do fato que √n_{x ´}_{e cont´ınua.}

Defini¸cão 13. Dada f : I → R e dado x ∈ I, se f não for cont´ınua em x, dizemos que f é descont´ınua em x ∈ I e que x é um ponto de descontinuidade.

Portanto não faz sentido dizer que x é um ponto de descontinuidade para f se x não pertence ao dom´ınio da fun¸cão.

Exerc´ıcio 196. Determine em quais pontos s˜ao cont´ınuas as fun¸c˜oes seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): f (x) = 1/x, f (x) = ( 1/x se x 6= 0 0 se x = 0. g(x) = ( −x2_{+ 1} _{se x ≥ 2} 1 − 2x se x < 3. f (x) = sen x x g(x) = ( cos x se x > π −1 se x < π. f (x) = ( x + 3 se x > 1 2 − x2 se x < 1. g(x) =        x2 se x > 1 1 se x = 1 x2 se x < 1.

Exerc´ıcio 197. Determine em quais pontos são cont´ınuas a fun¸cão sinal, a fun¸cão parte inteira e a fun¸cão de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).

Teorema 14 ( Álgebra das fun¸cões cont´ınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R cont´ınuas em um ponto x ∈ I. Então, são cont´ınuas em x: f + g, f − g, f · g, f /g se x 6= 0.

Exerc´ıcio 198. Dê a prova da continuidade da soma no teorema anterior, usando com cuidado ε e δ. Teorema 15 (Continuidade das fun¸cões compostas – sem prova). Seja f : I → R cont´ınua em x ∈ I. Seja J um intervalo que contém Im f e seja g : J → R cont´ınua em y = f (x). Então, g ◦ f é cont´ınua em x.

(23)

Exerc´ıcio 199. Determine em quais pontos s˜ao cont´ınuas as fun¸c˜oes seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): f (x) = ( x/|x| se x 6= 0 0 se x = 0. f (x) =    x + 2 |x| + 1 se x ≥ 0 2 − x se x < 0. f (x) = ( sen (1/x) se x 6= 0 0 se x = 0. f (x) =    x + |x| x2 se x 6= 0 0 se x = 0. f (x) = [x]2− x2

Exerc´ıcio 200. (muito muito d´ıficil) Seja f : (0, 1] → R definida como f (x) =

(

1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n) 0 se x ´e irracional.

Prove que f ´e cont´ınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discont´ınua nos racionais.

Exerc´ıcio 201. Determine as solu¸c˜oes de x

2_{− 2x}

|x − 1| ≥ 1. Em seguida, determine a imagem da fun¸c˜ao f (x) = x

2_{− 2x}

x − 1 , definida em [0, +∞).

Exerc´ıcio 202. Determine o dom´ınio de√2 sen x + 1. A fun¸cão é crescente? responda usando a defini¸cão de fun¸cão crescente.

Exerc´ıcio 203. Calcule, se existem, os limites seguintes: lim

x→0 √ x + 1 + x2_{− 1} x , limx→0 √ x + 1 + x2_{− 1} √ x · sen 1 x !

Exerc´ıcio 204. Determine n ∈ N tal que o limite seguinte seja finito e n˜ao nulo: lim

x→0

sennx√1 + x2_{− 1}

x3_{+ x}4 .

Teorema 16 (da conserva¸cão do sinal para as fun¸cões cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Sejam I intervalo e f : I → R cont´ınua em x ∈ I. Suponhamos f (x) 6= 0. Então existe δ > 0 tal que f (x) tem o mesmo sinal de f (x) para todo x ∈ (x − δ, x + δ) ∩ I. Exerc´ıcio 205. Dê a demonstra¸cão do teorema anterior.

Vamos colocar aqui um limite fundamental que foi apresentado em uma das ´aulas anteriores e foi dado sem demonstra¸c˜ao.

lim x→+∞ 1 + 1 x x = e, e lim x→−∞ 1 +1 x x = e.

Como dito, não foi dada (não sendo simples) a demonstra¸cão dos dois limites acima. Pegando o primeiro dos dois, de fato se prova que f (x) =

1 +1

x x

´

e estritamente crescente e limitada e portanto converge, quando x → +∞, a um número positivo real. Este número é chamado e e essa é uma poss´ıvel defini¸cão

(24)

de e. Sendo f (1) = 2, segue imediatamente que e > 2. Com outras técnicas de cálculo pode se provar que e < 3. Também pode ser provado que e é irracional.

Se x for negativo, f (x) é definida quando x < −1 porque a base da potência tem que ser positiva. E, curiosamente, o limite quando x → −∞ existe e é o mesmo valor e.

Em sala de ´aula foram provados os limites seguintes, como consequˆencia direta dos limites acima. Coloco eles aqui como exerc´ıcio junto com outros limites.

Exerc´ıcio Calcule os limites seguintes. 206. lim x→+∞ log 1 +1 x x 207. lim x→0 log(1 + x) x 208. lim x→0 ex− 1 x 209. limx→0 log cos x x2 210. lim x→+∞ 1 + a x x 211. lim x→+∞ 1 + 1 x2 x

Calcule como depende de a ∈ R o valor do limite do exerc´ıcio 210. 16. Segunda-feira, 16 de abril de 2018

Teorema 17 (do anulamento para as fun¸c˜oes cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Seja f : [a, b] → R cont´ınua (em todo o dom´ınio). Seja f (a)f (b) < 0. Ent˜ao, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

Exerc´ıcio 212. Dˆe a demonstra¸c˜ao do teorema acima.

Uma consequˆencia do teorema do anulamento ´e o resultado seguinte.

Teorema 18 (dos valores intermediários para as fun¸cões cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Seja I intervalo (qualquer) e f : I → R cont´ınua. Então, f atinge todos os valores entre inf f e sup f

Lembramos que inf f e sup f são, respectivamente, o ´ınfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que o intervalo aberto (inf f, sup f ) é contido em Im f . Não podemos saber, em geral, se [inf f, sup f ] = Im f (ou um dos extremos pertence à imagem), porque não sabemos a priori se f possui ´maximo ou m´ınimo.

Uma conseqüência (corolário) imediato do teorema é que, dada uma fun¸cão cont´ınua definida em um intervalo, a imagem é um intervalo.

Aten¸cão ao fato que se o dom´ınio não é um intervalo, a imagem não necessariamente é um intervalo. Exerc´ıcio 213. Dê a demonstra¸cão do teorema dos valores intermediários.

Uma aplica¸cão importante do teorema dos valores intermediários é a existência da raiz quadrada de um número positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema à fun¸cão x2 definida em (0, +∞) (lembrando a defini¸cão correta de raiz quadrada).

(25)

Uma outra aplica¸cão é a existência de, pelo menos, uma solu¸cão real de qualquer equa¸cão polinomial de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) é um polinômio de grau impar, limx→+∞P (x) = +∞ se o

coeficiente da potência de grau máximo é positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞P (x) = −∞ (+∞, se

aquele coeficiente ´e negativo).

Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um número positivo, como para aprox-imar as solu¸cões reais de equa¸cões polinomiais ou de equa¸cões mais complicadas (ex. x tg x = p, onde p é dado).

Exerc´ıcios:

214. Construa algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um número positivo e para determinar uma solu¸cão (aproximada) de uma equa¸cão polinomial de grau impar (escolha o polinômio e o erro na aproxima¸cão)

215. Prove que a equa¸c˜ao x3_{+ x = a possui uma e s´}_{o uma solu¸}_c˜_{ao real para cada a ∈ R dado.}

216. Seja f : R → R cont´ınua. Suponhamos que x − 5 < f (x) < x + 1 para cada x ∈ R. Prove que a equa¸c˜ao f (x) = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao.

217. Procure Im f , onde f ´e a fun¸c˜ao do exerc´ıcio acima.

218. Prove que a equa¸c˜ao x8+ 5x5− 6x4_{+ 2x}3_{+ 3x − 1 = 0 possui pelo menos uma solu¸}_c˜_{ao real.}

* * *

´

E interessante a rela¸cão entre continuidade e invertibilidade de uma fun¸cão. É importante lembrar (ou observar, se não lembra) que é óbvio que uma fun¸cão estritamente monótona é invers´ıvel. O vice-versa é falso.

Exerc´ıcio 219. Consideramos as fun¸c˜oes seguintes:

f (x) = ( x se x ∈ [0, 1) x − 1 se x ∈ [2, 3] g(x) = ( x se x ∈ [0, 1) 3 − x se x ∈ [1, 2] h(x) = ( x se x ∈ [0, 1) 5 − x se x ∈ [2, 3] Desenhe o gráfico de f , g e h. Determine se são cont´ınuas, invers´ıveis, monótonas, e se o dom´ınio é um intervalo. Se são invers´ıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se são cont´ınuas, monótonas, e se o dom´ınio é um intervalo.

Em particular, a fun¸cão f do exerc´ıcio é cont´ınua e invers´ıvel, mas a inversa é descont´ınua. A h é cont´ınua e invers´ıvel, mas não é monótona. Esta falta de propriedade acontece porque o dom´ınio não é um intervalo. Teorema (monotonia de uma fun¸cão invers´ıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R cont´ınua e invers´ıvel. Então é monótona.

O resultado mais importante ´e o seguinte (cuja prova ´e baseada no teorema acima)

Teorema (continuidade da fun¸cão inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R cont´ınua e invers´ıvel. Então a fun¸cão inversa f−1 é cont´ınua.

(26)

A continuidade da fun¸cão √n_{x, definida em [0, +∞) se n ´}_{e par, e em R se n é impar, é uma conseq¨}_uˆ_encia

do teorema acima, embora temos provado (no cap´ıtulo sobre os limites) que limx→x

√

x = √x (aula 25 mar¸co).

São cont´ınuas as fun¸cões trigonométricas inversas: arcsen, arccos e arctg .

17. Quarta-feira, 18 de abril de 2018

Conclu´ımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso. Lembre que, dada f : A → R, onde A é um conjunto qualquer, o máximo de f é definido como o máximo da imagem de f , se existe. Enquanto o m´ınimo de f é definido como o m´ınimo da imagem de f (se existe).

Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma fun¸c˜ao f : [a, b] → R cont´ınua possui m´aximo e m´ınimo. Exerc´ıcios:

220. Seja f : [0, 1] → R, f (x) = x − [x] ([x] é a parte inteira de x). Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

221. Seja f : [0, 1) → R, f (x) = x. Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

222. Seja f : [0, +∞) → R, f (x) = x. Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

223. Procure exmplos de fun¸cões que não respeitam algumas das hipóteses do Teorema de Weierstrass, mas que possuem máximo e m´ınimo.

* * *

Introduzimos agora a no¸cão de fun¸cão derivável e de derivada de uma fun¸cão.

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma fun¸c˜ao dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equa¸c˜oes

y = f (x0) + m(x − x0) representam as retas secantes ao gr´afico de f no ponto (x0, f (x0)) (s´o excluindo a

reta vertical que tem equa¸c˜ao x = x0).

Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no gr´afico de f , (x, f (x)). A raz˜ao f (x) − f (x0)

x − x0

se chama razão incremental de f , relativa a x0 e x e é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f

por (x0, f (x0)) e (x, f (x)). Se existe o limite desta raz˜ao quando x → x0, este limite d´a, intuitivamente, o

coeficiente angular de uma “reta posi¸c˜ao limite” das secantes (quando x → x0).

Defini¸c˜ao 19. Se existe e ´e finito o limite lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

= l.

(27)

A derivada de f em x0 (se existe) ´e denotada, normalmente, por um dos s´ımbolos seguintes:

f0(x0),

df

dx(x0), Df (x0), Df (x)|x=x0. O primeiro ´e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a raz˜ao incremental e portanto o limite acima ´e obtida pondo x − x0 = h.

Temos

f (x0+ h) − f (x0)

h e h→0lim

f (x0+ h) − f (x0)

h .

A no¸cão de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma fun¸cão em um ponto. Dada f : I → R, se f é derivável em todos os pontos de I, dizemos que f é derivável e fica bem definida uma nova fun¸cão, a derivada de f , x 7→ f0(x), definida em I.

Se f é derivável x0, a reta de equa¸cão y = f (x0) + f0(x0)(x − x0) é definida reta tangente ao gráfico de f

no ponto (x0, f (x0)).

Aten¸cão: a precedente é a verdadeira defini¸cão de reta tangente; outras poss´ıveis defini¸cões, como “a reta que encosta o gráfico só em um ponto”, são corretas só em casos muito particulares, por exemplo a circunferência.

Reta secante e reta tangente em (x0, f (x0)). -6 x1 x0 -6 H H H H H H H H H H H H x0

Exerc´ıcio 224. Na parábola de equa¸cão y = x2 procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo de π/4 com o eixo x.

Exerc´ıcio 225. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto só à for¸ca peso (desconsiderando o atrito do ar). A fun¸cão espa¸co dependendo do tempo é s(t) = 1

2gt

2_{, onde g ´}_{e a constante gravitacional terrestre,}

e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo. Derivadas de duas fun¸c˜oes elementares.

FUNC¸ ˜AO f (x) DERIVADA f0(x)

c (fun¸c˜ao constante) 0

x 1

Exerc´ıcio 226. Prove os resultados da tabela acima.

(28)

-6 c a -6 a b -6 c d a -6 c d

Exerc´ıcio 228. Calcule, usando a defini¸c˜ao, a derivadas das fun¸c˜oes seguintes: 3x − 2, x2− x, x7_{+ 1,} √_x.

Exerc´ıcio 229. Prove que |x| não é derivável em zero enquanto |x|3 é derivável em zero. Calcule a derivada de |x| e de |x|3 (nos pontos onde as fun¸cões são deriváveis).

Exerc´ıcio 230. Seja f (x) = x3. Calcule f0(0), f0(−2), f (1/2).

Exerc´ıcio 231. Prove que a derivada de uma fun¸cão par é uma fun¸cão impar. Lembre que uma fun¸cão f : R → R é dita par se f (x) = f (−x) para todo x e é dita impar se f (x) = −f (−x) para todo x.

18. Sexta-feira, 20 de abril de 2018

Outras fun¸c˜oes deriv´aveis na tabela seguinte:

xn(n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1

sen x cos x

cos x − sen x

ex ex

(29)

Exerc´ıcio 233. Prove, usando unicamente a defini¸cão de derivada, que √x não é derivável em zero. Proposi¸cão 20 (Algebra das derivadas - a ideia da prova foi dada em sala de áula). Sejam f, g : I → R duas fun¸cões deriváveis em um ponto x0 ∈ I. Então são deriváveis em x0 as fun¸cões f ± g, f · g, 1/g e f /g

(nestes ´ultimos dois casos se g(x0) 6= 0) e temos as f´ormulas:

(1) (f + g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0), (2) (f − g)0(x0) = f0(x0) − g0(x0), (3) (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f (x0)g0(x0), (4) (1/g)0(x0) = − g0(x0) (g(x0))2 , (5) (f /g)0(x0) = f0(x0)g(x0) − f (x0)g0(x0) (g(x0))2

Como exemplo, se n ´e inteiro positivo e x 6= 0, D 1

xn = −n

1 xn+1

Do item (5) segue que a tangente ´e deriv´avel: D tg x = 1

cos2_x = 1 + tg 2_x.

Proposi¸cão 21 (Derivada da fun¸cão composta – idéia da prova feita na sala de áula). Sejam dadas duas fun¸cões f : I → R e g : J → R, tais que Im (f ) ⊆ J. Sejam f derivável em um ponto x0 ∈ I e g derivável

em y0= f (x0). Então g ◦ f é derivável em x0 e (g ◦ f )0(x0) = g0(y0)f0(x0).

Exerc´ıcio 234. Calcule as derivadas de sen2x e cos x2.

19. Segunda-feira, 23 de abril de 2018 e 20. Quarta-feira, 25 de abril de 2018

Proposi¸cão (idéia da prova feita na sala de aula; não será cobrada nas provas) (Derivada da fun¸cão inversa) Seja I intervalo, f : I → R invers´ıvel e g : Im (f ) → R a fun¸cão inversa de f . Se f é derivável em um ponto x0 e f0(x0) 6= 0, então, g é derivável em y0 = f (x0) e temos g0(y0) = 1/f0(x0).

Como aplica¸c˜ao dos ´ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas

n

√

x (= x1/n) 1

nx

1/n−1_{(veja-se a analogia com as outras f´}_ormulas)

xm/n _{(m, n inteiros)} m

nx

m/n−1 _{(veja-se a analogia com as outras f´}_ormulas)

arcsen x √ 1 1 − x2 arccos x −√ 1 1 − x2 arctg x 1 1 + x2

(30)

log x 1 x

xa a xa−1

ax ax log a

Exerc´ıcio 235. Prove as f´ormulas acima.

Exerc´ıcio 236. Calcule em particular a derivada de 2x. Sugest˜ao: qualquer n´umero positivo a pode ser escrito como a = elog a_.

Exerc´ıcio 237. Calcule as derivadas das fun¸c˜oes seguintes: a) x

2_{− 1}

x(x + 2), b) sen x arccos x, c) √

1 + x2_,

d) arcsen x − sen x, e) x√1 + x2_, _{f) arctg}r 1 − x

1 + x, g) arctg (2x − x

2₎ _{h) log}√3

x2_{+ 1} _{i) e}sen x_.

Exerc´ıcio 238. Encontre um ponto P na hip´erbole de equa¸c˜ao y = 1

1 + x tal que a tangente por P encontre a origem do plano.

Exerc´ıcio 239. Calcule a área do triângulo formado pelos eixos do plano e pela tangente à curva y = sen x no ponto 3π 4 , 1 √ 2

Exerc´ıcio 240. Encontre a equa¸cões das tangentes à parábola y = x2− 4x + 3 que passam pela origem. Exerc´ıcio 241. Calcule a área do triângulo que tem como vertices os pontos comuns das parábolas y = x2 e y = x − x2 e o ponto de interse¸cão entre o eixo das abscissas e a tangente à parábola 2y = x2 em (−2, 2). Exerc´ıcios. Determine em quais pontos são deriváveis as fun¸cões seguintes e calcule as derivadas.

242. sign x · x2 _243. 1 tg x 244. p|x| 245. f (x) =    x2_{− 1} _{x ≥ 1} x x < 1 246. sen |x| 247. [x]

Exerc´ıcios. Calcule as derivadas das fun¸c˜oes seguintes.

248. x sen2x 249. cos( sen x)

250. x 2_{+ 2} x3_{− 3x} 251. cos x − 1 x + 2 252. arctg√x 253. √arctg x 254. sen x 2 tg (x + 2) 255. √ x + √₃ 1 x4_{+ 1}

Exerc´ıcios. Escreva a equa¸cão da reta tangente ao gráfico em (x0, f (x0)) das fun¸cões seguintes.

256. x3+ 2x + 3, x0 = −1/2 tg x2, x =

√ π

(31)

Exerc´ıcios. Diga em quais pontos as fun¸cões seguintes são deriváveis e calcule a derivada (nos pontos onde existe). Depois, diga se as derivadas são cont´ınuas.

257. f (x) =    x2cos1 x x 6= 0 0 x = 0 258. f (x) = ( e−x21 x > 0 0 x ≤ 0 259. f (x) =    x sen1 x x 6= 0 0 x = 0 260. f (x) = ( (x − 1)2− 1 x > 0 sen x x ≤ 0 261. f (x) =            2x x2_{+ 2} x > 0 0 x = 0 x −x2_{− 3} x < 0 262. f (x) = ( x2+ 1 x > 0 sen x x < 0

M´aximos e m´ınimos, absolutos e relativos

Defini¸c˜ao 22. Seja A um subconjunto de R e f : A → R uma fun¸c˜ao.

a) O máximo absoluto de f é o máximo (se existe) da imagem de f . O m´ınimo absoluto de f é o m´ınimo (se existe) da imagem de f .

b) Um ponto x0 ∈ A é dito ponto de máximo absoluto se f (x0) é o máximo absoluto de f . Um ponto

x0∈ A ´e dito ponto de m´ınimo absoluto se f (x0) ´e o m´ınimo absoluto de f .

c) Um ponto x0 ∈ A ´e dito ponto de m´aximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que

f (x) ≤ f (x0), para cada x ∈ A ∩ (x0− δ, x0+ δ). Um ponto x0∈ A ´e dito ponto de m´ınimo relativo

se existe um intervalo (x0− δ, x0+ δ), tal que f (x) ≥ f (x0), para cada x ∈ A ∩ (x0− δ, x0+ δ).

Exerc´ıcio 263. Seja a fun¸cão f (x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o máximo e o m´ınimo de f (porque existem?) e os pontos de máximo e m´ınimo relativos.

Exerc´ıcio 264. Seja a fun¸cão f (x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o máximo e o m´ınimo de f (porque existem?) e os pontos de máximo e m´ınimo relativos.

Exerc´ıcio 265. Determine, justificando a resposta, os pontos de m´aximo e m´ınimo absoluto de sen x. Exerc´ıcio 266. Determine, justificando a resposta, os pontos de m´aximo e m´ınimo absoluto e relativo de f (x) =        x2 se − 1 ≤ x < 0 2 se x = 0 3 − x se 0 < x ≤ 3 .

As defini¸cões acima envolvem fun¸cões quaisquer, ou seja, que podem não ser cont´ınuas nem deriváveis. Contudo, se a fun¸cão estudada é derivável, a sua derivada nos dá informa¸cões sobre os máximos e os m´ınimos. Teorema 23 (de Fermat - sem prova). (Condi¸cão necessária para a existência dos pontos de máximo ou de m´ınimo relativo.) Seja I intervalo de R e f : I → R uma fun¸cão dada. Seja x0 um ponto interno de I

(ou seja um ponto que pertence a I, mas não é extremo) e seja também um ponto de máximo ou de m´ınimo relativo de f . Suponhamos que f seja derivável em x0. Então, f0(x0) = 0.

(32)

Dada uma fun¸c˜ao f : I → R, um ponto x0 tal que f0(0) = 0 se chama ponto cr´ıtico ou ponto estacion´ario.

Exemplo: f (x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do dom´ınio são internos e f é derivável. Sabemos que x = 0 é ponto de máximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f0(0) = 0, coisa que pode ser calculada facilmente.

O vice-versa do teorema não vale. Dada uma fun¸cão f , se f0(x0) = 0, não sabemos se x0 é ponto de

máximo ou m´ınimo relativo. x = 0 é ponto cr´ıtico de f (x) = x3, mas não é ponto de máximo nem de m´ınimo relativo.

O teorema de Fermat é usado só para estudar pontos internos ao dom´ınio. Se, por exemplo, consideramos f (x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 é ponto de m´ınimo e 1 é ponto de máximo. Porém, f0(x) = 1, para todo x. Neste caso os pontos de máximo e de m´ınimo são os extremos do dom´ınio; o teorema de Fermat não pode ser aplicado.

21. Sexta-feira, 27 de abril de 2018 e 22. Quarta-feira, 2 de maio de 2018

A seguinte é uma versão do Teorema de Fermat que é equivalente e de fato mais utilizada nas aplica¸cões. Teorema 24 (de Fermat – versão equivalente – sem prova). Seja I intervalo de R e f : I → R uma fun¸cão dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I, mas não é extremo) e seja também

um ponto de m´aximo ou de m´ınimo relativo de f . Suponhamos que f seja deriv´avel em x0 e que f0(x0) 6= 0.

Então, x0 não é um ponto nem de máximo nem de m´ınimo relativo.

Observa¸cão 25. Resumindo, os ponto de máximo ou de m´ınimo relativo de uma fun¸cão f : I → R, devem ser procurados entre:

(1) os pontos internos do dom´ınio onde f é derivável e a derivada é zero; (2) os pontos onde f não é derivável;

(3) os extremos de I.

Exemplo: f (x) = x3/3 − x2/2 − 3; a fun¸cão é definida em R, que é aberto (todos os pontos são interiores), é derivável em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos são candidatos a ser pontos de máximo ou de m´ınimo relativo, mas ainda não temos condi¸cões suficientes para dizer se de fato são.

Exerc´ıcio 267. (exerc´ıcio útil): analise a observa¸cão acima. Procure exemplos de fun¸cões onde pontos de máximo ou m´ınimo são pontos cr´ıticos internos, outros exemplos de fun¸cões onde pontos de máximo ou m´ınimo são pontos extremos do dom´ınio onde a fun¸cão é derivável mas a derivada não é zero, e exemplos de fun¸cões onde pontos de máximo ou m´ınimo são pontos onde a derivada não existe.

Exerc´ıcio 268. Seja f : [a, b] → R derivável. Prove (pelo menos) uma das rela¸cões seguintes: (1) se f0(a) > 0, então a é ponto de m´ınimo relativo;

(2) se f0(a) < 0, então a é ponto de máximo relativo; (3) se f0(b) > 0, então a é ponto de máximo relativo; (4) se f0(b) < 0, então a é ponto de m´ınimo relativo.

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Como o teorema de Fermat dá uma condi¸cão necessária para a existência dos pontos de máximo ou de m´ınimo relativo de uma fun¸cão, as rela¸cões deste exerc´ıcio fornece uma condi¸cão suficiente.

Exerc´ıcio 269. Entre todos os números não negativos x e y, tais que x + y = 1, determine aqueles tais que o produto xy é máximo.

Exerc´ıcio 270. Entre todos os números não negativos x e y, tais que x2+ y2 = 1, determine aqueles tais que a soma x + y é máxima.

Exerc´ıcio 271. Entre todos os retângulos inscritos em uma circunfêrencia, determine aquele de per´ımetro máximo.

Exerc´ıcios. Determine os pontos cr´ıticos das fun¸cões seguintes, nos dom´ınios associados. Mais em geral, determine os pontos candidatos a serem pontos de máximo ou m´ınimo relativo. Enfim, diga quais fun¸cões possuem máximo ou m´ınimo absolutos.

272. sen x − cos x, [0, 2π] 273. x 1 + x2, [−2, 3] 274. x(x − 2)2, [0, 3] 275. sen x + | cos x|, [0, π] 276. x2+ 2 x, (0, +∞) 277. x 1 + x2, R 278. x − arctg x, R 279. x 2 1 + x2, R

280. x log x, (0, +∞) 281. log x − 3arctg x, (0, +∞).

Exerc´ıcio 282. Divida 8 em duas partes tais que seja m´ınima a soma dos cubos delas.

Exerc´ıcio 283. Seja V o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero. Determine o lado do triângulos tal que a área total seja m´ınima.

Exerc´ıcio 284. Entre todos os cilindros inscritos na esfera de raio 1 determine: a) aquele de ´area lateral m´axima;

b) aquele de ´area total m´axima.

Exerc´ıcio 285. Entre todos os cones inscritos na esfera de raio 1 determine: a) aquele de volume m´aximo;

b) aquele de área lateral máxima; c) aquele de área total máxima.

Exemplo. Consideramos f (x) = x 4 4 − 5 9x 3₋x2

3 + 1. A fun¸cão é cont´ınua, porém está definida em R, que não é limitado. Portanto não podemos aplicar o Teorema de Weierstrass, ou seja, não sabemos, a priori, se f possui máximo e m´ınimo. Podemos ver que lim

x→±∞f (x) = +∞ (prove como exerc´ıcio). Portanto f n˜ao

possui m´aximo absoluto. Por outro lado, possui m´ınimo absoluto. Para prova-lo, vamos utilizar o limite acima na maneira seguinte.

Primeiramente pegamos, a caso, um valor do dom´ınio, por exemplo x = 0. Temos f (0) = 1. Portanto o m´ınimo absoluto, se existir, ser´a ≤ 1. Seja M = 2. Pela defini¸c˜ao de limite e pelo fato de que lim

x→±∞f (x) =