O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E SUAS OPERAÇÕES

1 Contando de diferentes maneiras

Página 6

1. Experimentação

Se cada grupo receber 73 pedrinhas, o quadro será o seguinte:

Observação: o resultado expressa a contagem a seguir:

• Grupo 1: 2 agrupamentos de 25 + 4 agrupamentos de 5 + 3 unidades = 50 + 20 + 3 = 73 • Grupo 2: 2 agrupamentos de 36 + 1 unidade = 72 + 1 = 73

• Grupo 3: 1 agrupamento de 49 + 3 agrupamentos de 7 + 3 unidades = 49 + 21 + 3 = 73 • Grupo 4: 1 agrupamento de 64 + 1 agrupamento de 8 + 1 unidade = 64 + 8 + 1 = 73 Professor, o objetivo principal dessa atividade é propiciar a vivência do aluno com um novo tipo de contagem. O mais importante é que haja uma orientação sobre como eles devem realizá-la.

Páginas 6-7

2.

a) Grupo 1: (234)5 Grupo 2: (136)9

b) Grupo 1: 2.(5 . 5) + 3 . 5 + 4 = 69 Grupo 2: 1.(9 . 9) + 3 . 9 + 6 = 114 c) Foi o Grupo 2, que contou 114 pedrinhas, contra 69 pedrinhas do Grupo 1.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

2 3. a) 234 = 2 . 100 + 3 . 10 + 4 . 1 b) 136 = 1 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1 c) 1 568 = 1 . 1 000 + 5 . 100 + 6 . 10 + 8 . 1 d) 28 001 = 2 . 10 000 + 8 . 1 000 + 1 . 1 e) 4 203 045 = 4 . 1 000 000 + 2 . 100 000 + 3 . 1 000 + 4 . 10 + 5 . 1 Páginas 7-10 4.

a) A multiplicação 6 . 25 = 150 é uma forma de abreviar a soma

25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25. Antônio terá recebido R$ 150,00 de mesada ao longo dos 6 meses.

b) Nesse problema, a operação de adição está associada à ideia de reunir, agrupar. Portanto, basta fazer a adição 72 + 17 + 25 = 114. O total de moedas no cofre é 114. c) A ideia nesse problema é a de retirar: 20 – 5 – 9 = 6. Dos R$ 20,00, sobraram R$ 6,00.

d) Em cada coluna temos 10 ladrilhos. Portanto, em 15 colunas teremos 10.15 = 150 ladrilhos.

e) Para saber quantas caixas serão necessárias para armazenar as 336 latas, precisamos determinar o número de grupos com 16 latas que cabem nesse total. Assim, temos que 336 ÷ 16 = 21. Serão necessárias 21 caixas.

f) Comparamos os pontos de Carlos com os de André por meio da subtração 46 – 32 = 14. Carlos fez 14 pontos a mais que André.

g) Neste caso, a ideia associada é a de restaurar, ou seja, recompor a quantidade original de figurinhas: 48 + 15 = 63. Ou seja, João tinha 63 figurinhas antes de dar 15 para seu amigo.

h) Para repartir a herança equitativamente, basta realizar a divisão 3 216 ÷ 3 = 1 072. Cada filho terá direito a 1 072 moedas.

i) Para cada salada, podemos escolher entre cinco opções de pratos quentes. Nesse caso, a ideia emergente de combinação é traduzida por uma multiplicação: 3 . 5 = 15. Ou seja, existem 15 combinações diferentes de saladas e pratos quentes.

3

Página 10

5. P

Prroobblleemmaa OOppeerraaççããoo IdIdeeiiaa pprriinncciippaall Problema a Multiplicação Abreviar a soma de parcelas Problema b Adição Reunir

Problema c Subtração Retirar

Problema d Multiplicação Calcular o número de elementos dispostos em linhas e colunas

Problema e Divisão Formar agrupamentos

Problema f Subtração Comparar

Problema g Adição Restaurar

Problema h Divisão Repartir

Problema i Multiplicação Combinar

Página 11 6. a) 80 b) 200 c) 80 e 20 d) 90 e 120 7.

a) Fazendo a operação inversa, obtemos o número pensado: 95 – 38 = 57. b) Agora, a operação inversa é a divisão: 119 ÷ 7 = 17.

c) Nesse caso, é necessário realizar duas operações inversas: multiplicação e adição 6 + 5 = 11 e 11 . 3 = 33.

4 Página 12 8. a) adição b) multiplicação 9. a) Seis. 80 ÷ 5 = 16; 16 – 10 = 6 b) Três. 5 . 2 = 10; 10 – 4 = 6; 6 ÷ 2 = 3. Páginas 12-13 10. Alternativa c.

11. Elas não respeitam a ordem das operações: as operações multiplicativas (multiplicação e divisão) devem ser realizadas antes das aditivas (adição e subtração). 134 54 80 18 8 20 32 26 28 52 15 3 5 15 17 640 8 80 2 1 4 5 2 4 20

5 12.

₍

₍

_{) (}

₎

₎

(

)

(

)

(

)

800 4 . 200 4 . 50 150 4 . 50 2 300 4 . 50 2 20 . 15 4 . 50 2 16 4 . 10 25 = = = = + = = + ÷ = = + ÷ = = + ÷ + − 13. a) 1 + 2 . 3 = 1 + 6 = 7 b) 1 . 2 + 3 = 2 + 3 = 5 c) 10 – 2 . 4 + 5 = 10 – 8 + 5 = 7 d) 10 ÷ 2 + 4 . 5 = 5 + 20 = 25 e) 4 + 3 . 2 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 ou 4. 3 – 2 – 1 = 9 f) (4 + 3) . 2 – 1 = 7 . 2 – 1 = 14 – 1 = 13 g) (20 – 10) ÷ (4 + 1) = 10 ÷ 5 = 2 h) 20 – 10 ÷ (4 + 1) = 20 – 10 ÷ 5 = 20 – 2 = 18 Páginas 14-15 14. a) 39 b) 40 c) 102 d) 25 e) 35 f) 1

6 Páginas 15-16 15. a) Menor b) Maior c) Menor d) Maior e) Maior f) Maior g) Menor h) Maior i) Igual Páginas 16-17 16. a) 24 + 18 = 42 b) 55 + 38 = 93 c) 26 + 39 = 65 d) 78 + 27 = 105 e) 45 + 86 = 131 f) 134 + 69 = 203 g) 143 + 48 = 191 h) 216 + 67 = 283 i) 237 + 66 = 303 j) 333 + 59 = 392 k) 444 + 117 = 561 l) 115 + 218 = 333

7 Páginas 19-20 1. a) Padrão: + 9 / sequência 39, 48, 57. b) Padrão: + 11 / sequência 49, 60, 71. c) Padrão: – 5 / sequência 12, 7, 2. d) Padrão: × 3 / sequência 162, 486, 1 458. e) Padrão: × 10 / sequência 100 000, 1 000 000. f) Padrão: ÷ 2 / sequência 50, 25.

g) Padrão: 2ª potência / sequência 36, 49, 64. h) Padrão: + 2, 3, 4, ... / sequência 15, 21, 28, 36.

2. Professor, enfatize que cada sequência deve envolver uma operação diferente: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Páginas 20-21 3. a) 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 b) 11, 14, 17, 20, 23, 26 c) 7, 14, 21, 28, 35, 42 d) 5, 10, 15, 20, 25, 30 e) 0, 6, 12, 18, 24, 30 f) 0, 12, 24, 36, 48

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

EXPLORANDO OS NATURAIS

8 4. a) M(2) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, ... b) M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, ... c) M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ... d) M(5) = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ... e) M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, ... f) M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, ... g) M(12) = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, ... 5. a) 0, 6, 12, 18, 24, ... = M(6) b) 0, 12, 24, 36, ... = M(12) c) 0, 12, 24, 36, 48, ... = M(12) d) 0, 10, 20, ... = M(10) Páginas 21-22 6.

a) 48 minutos, pois o m.m.c (12,16) = 48. Todavia, é muito comum que, nesse tipo de atividade, alguns alunos se apoiem na situação concreta para determinar a saída conjunta, ao invés de determinar o mínimo múltiplo comum. Assim, é esperado que alguns alunos escrevam os horários de saída dos dois ônibus para verificar os horários iguais. Leito: 16:30 / 16:46 / 17:02 / 17:18 / 17:34 / 17:50 / 18:06 / 18:22 / 18:38 / 18:54 / 19:10 / 19:26 / 19:42 / 19:58 / 20:14 / 20:30 Convencional: 16:30 / 16:42 / 16:54 / 17:06 / 17:18 / 17:30 / 17:42 / 17:54 / 18:06 / 18:18 / 18:30 / 18:42 / 18:54 / 19:06 / 19:18 / 19:30 / 19:42 / 19:54 / 20:06 / 20:18 / 20:30

Recorrendo a essa estratégia, é possível observar as seguintes regularidades sobre as saídas conjuntas: elas ocorrem a cada 3 saídas do leito e 4 saídas do convencional; o intervalo de tempo é de 48 minutos. Essa estratégia é válida do ponto de vista da resolução de problemas e deve ser valorizada pelo professor. Contudo, é possível

9 convencer os alunos de que há outra maneira de achar o tempo da saída conjunta, determinando-se o mínimo múltiplo comum entre 12 e 16, que é 48.

b) Calculando os primeiros múltiplos para cada uma das distâncias, obtém-se o mínimo múltiplo comum entre 120 e 300, que é 600.

c) A diferença desse problema em relação aos anteriores é a utilização da ideia de frequência. É possível que alguns alunos tentem calcular diretamente o m.m.c. entre 15 e 10, por reconhecerem a característica de periodicidade no problema. Isso levará a uma resposta (30) que não é coerente com a questão apresentada. O entendimento correto do problema depende da interpretação da ideia de frequência. Se uma luz pisca 15 vezes por minuto, então o intervalo de tempo entre cada piscada é de

60 ÷ 15 = 4 segundos. Para a segunda luz, esse intervalo é de 60 ÷ 10 = 6 segundos. Assim, a solução do problema é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6, que é 12. Portanto, as luzes piscarão simultaneamente a cada 12 segundos.

Divisores de um número natural

7. a) 1, 2, 4, 7, 14, 28. b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. c) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. d) 1, 2, 13, 26. e) 1, 7, 49. f) 1, 71. Páginas 22-24 8. a) D(12) = 1, 2, 3, 6, 12 D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 D(12,30) = 1, 2, 3, 6 b) D(28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28 D(48) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48 D(28,48) = 1, 2, 4

10 c) D(26) = 1, 2, 13, 26 D(28) = 1, 2, 4, 7, 14, 28 D(26,28) = 1, 2 d) D(25) = 1, 5, 25 D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 D(25,100) = 1, 5, 25 e) D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 D(72) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 D(12,72) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 f) D(7) = 1, 7 D(16) = 1, 2, 4, 8, 16 D(7,16) = 1 9. a) 6 b) 4 c) 2 d) 25 e) 12 f) 1

10. Para dividir os dois tubos em pedaços iguais, sem sobras, é necessário que o tamanho de cada pedaço seja divisor comum de 24 e de 40. O maior tamanho corresponderá ao máximo divisor comum entre 24 e 40, que é 8.

Páginas 25-27

11. N

Núúmmeerrooss pprriimmooss NúNúmmeerrooss ccoommppoossttooss 2, 3, 7, 11, 13, 23, 31 6, 12, 15, 21, 24

11 12.

T

T

A

A

B

B

E

E

L

L

A

A

1

1

–

–

C

C

R

R

I

I

V

V

O

O

D

D

E

E

E

E

R

R

A

A

T

T

Ó

Ó

S

S

T

T

E

E

N

N

E

E

S

S

T

T

A

A

B

B

E

E

L

L

A

A

2

2

–

–

O

O

S

S

2

2

5

5

N

N

Ú

Ú

M

M

E

E

R

R

O

O

S

S

P

P

R

R

I

I

M

M

O

O

S

S

M

M

E

E

N

N

O

O

R

R

E

E

S

S

Q

Q

U

U

E

E

1

1

0

0

0

0

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 13.

a) As respostas podem variar. Se eles observarem a diferença entre dois termos consecutivos da sequência, perceberão que não há regularidade. (3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2; 11 – 7 = 4; 13 – 11 = 2; 17 – 13 = 4; ...). Contudo, a diferença será sempre um número par, com exceção da primeira.

b) Os dois algarismos que aparecem com mais frequência são o 3 e o 7. Os que nunca aparecem são os pares 0, 4, 6, 8, com exceção do 2.

A

Allggaarriissmmoo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

N

12

Páginas 28-30

14.

a) É possível que os alunos tenham dificuldade com alguns termos próprios da Biologia: ninfas, ciclo vital, vantagem evolutiva, parasita. Pode-se também sugerir a eles que consultem o professor de Ciências para esclarecer essas dúvidas.

b) Para que o ciclo de vida dos dois coincida o mínimo de vezes possível.

c) Eles se encontrariam a cada 12 anos (que é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 12), o que representaria um risco para as cigarras.

d) O ciclo de 34 anos equivale ao mínimo múltiplo comum entre 17 e 2. Da mesma forma, 272 é o mínimo múltiplo comum entre 17 e 16.

Potenciação

15.

a) Os pais dos meus bisavós são meus tataravós (ou trisavós), e os avós dos meus bisavós são meus tetravós.

Observação: a palavra “tataravô” causa certa confusão. Nós sabemos que o pai do pai é o avô e que o pai do avô é o bisavô. Mas e o pai do bisavô? Muita gente diz que é o tataravô, no entanto, os dicionários definem o trisavô como pai do bisavô. Alguns dicionários afirmam que tataravô é forma paralela de tetravô, aquele que seria pai do trisavô. Outros dicionários preferem aceitar aquilo que o povo consagrou no dia a dia, ou seja, tataravô como pai do bisavô.

13 c) 1ª geração de antecedentes: os pais correspondem a 21 = 2 antecedentes;

2ª geração de antecedentes: os avós são 22, ou 4 antecedentes; 3ª geração de antecedentes: os bisavós correspondem a 23, ou seja, 8. 4ª geração de antecedentes: o número de tataravós será 24, ou seja, 16. d) Serão 210, ou seja, 1 024 antecedentes na 10ª geração.

e) Admitindo-se que trisavó seja o mesmo que tataravó, os tataravós correspondem à quarta geração. São, portanto, 24 = 16. Cada tataravó terá 16 antecedentes. Portanto, o número total de tataravós dos seus tataravós será de 16 . 16 = 256.

16. Um diagrama possível:         

1

6 5 4 3 2 1         

2

6 5 4 3 2 1         

3

6 5 4 3 2 1         

4

6 5 4 3 2 1         

5

6 5 4 3 2 1         

6

6 5 4 3 2 1 1º dado: 61 = 6 possibilidades 2º dado: 62 = 36 possibilidades 3º dado: 63 = 216 possibilidades

14 Páginas 32-35 1. Atividade prática. 2. a) 2 b) 2 1 c) 4 1 d) 2 1 e) 8 1 f) 16 1 g) 4 3 4 2 4 1 = + h) 16 3 16 1 16 2 16 1 8 1_{+ = + =}

PESQUISA INDIVIDUAL

Página 35 3. Resposta pessoal.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

15

VOCÊ APREND EU?

Páginas 36-37 4. a) Aproximadamente 4 2 1 ou 2 9 polegadas. b) Aproximadamente 1 4 1 ou 4 5 polegadas. c) Aproximadamente 3 8 5 ou 8 29 polegadas. d) Aproximadamente 4 4 3 ou 4 19 polegadas.

16

Frações equivalentes

Páginas 39-40 1. a) 100 60 50 30 10 6 20 12 5 3 _{= = = =} b) 100 125 80 100 40 50 24 30 4 5 = = = = c) 100 20 150 30 10 2 5 1 25 5 = = = = d) 5 2 10 4 20 8 100 40 _{= = =} e) 49 21 35 15 28 12 7 3_{= = =} f) 45 36 15 12 90 72 = =

Comparação de Frações

2. a) 7 9 7 7 7 2 7 1 < < < 7 1 7 2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

17 7 7 7 9 b) 12 2 6 2 4 2 3 2 _{> > >} 3 2 4 2 6 2 12 2 c) 8 7 7 4 5 2_{< <} 5 2 7 4 8 7

18 Página 41 3. a) 9 2 > 15 2 b) 10 11 > 10 5 c) 10 3 < 9 3 d) 100 33 < 100 77 e) 12 5 < 5 12 f) 17 9 > 19 9 g) 45 22 < 60 35 h) 8 9 < 2 i) 8 4 = 14 7 j) 3 < 3 1 3 4. a) 5 2 < 15 7 15 6 < 15 7 b) 4 7 > 10 13 20 35 > 20 26

19 c) 7 4 < 8 5 56 32 < 56 35 d) 12 5 > 18 7 36 15 > 36 14 e) 10 2 = 25 5 50 10 = 50 10 f) 100 32 > 20 6 100 32 > 100 30 Páginas 41-44 5. a) 2 1 . 420 = 210 b) 4 1 . 20 = 5 c) 4 3 . 60 = 45 d) 5 1 . 400 = 80 e) 5 3 . 600 = 360 f) 10 2 . 700 = 140 g) 6 1 . 72 = 12

20 h) 100 20 . 500 = 100 6. a) 15 minutos b) 20 minutos c) 12 minutos d) 10 minutos e) 45 minutos f) 40 minutos g) 24 minutos h) 50 minutos i) 40 minutos j) 15 minutos LI ÇÃO DE CASA Página 44 7. a) 2 1 hora b) 6 1 hora c) 4 1 hora d) 60 1 hora e) 6 5 hora f) 3 1 hora g) 12 5 hora h) 5 3 hora

21

VOCÊ APREND EU?

Páginas 44-47 8. a) 11 sétimos; 7 11 7 6 7 5 _{+ =} b) 10 terços; 3 10 3 8 3 2_{+ =} c) 9 décimos; 10 9 10 6 10 15 = −

d) 15 quinze avos ou 1 unidade; 1 15 15 15 3 15 18 = = − e) 6 quartos ou 3 meios; 2 3 4 6 4 5 4 1_{+ = =}

9. Algumas respostas possíveis: a) 2 décimos = 3 quinze avos

b) 6 dezesseis avos = 9 vinte e quatro avos c) 14 vigésimos = 70 centésimos

d) 14 doze avos = 21 dezoito avos e) 2 décimos = 1 quinto 10. a) L Liinngguuaaggeemm mmiissttaa FoForrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 2 quintos + 1 quarto = = + 4 1 5 2

2 . 4 vinte avos + 1 . 5 vinte avos =

= + 20 5 . 1 20 4 . 2

8 vinte avos + 5 vinte avos =

= + 20 5 20 8 13 vinte avos 20 13

22 b) L Liinngguuaaggeemm mmiissttaa FoForrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 10 terços + 5 oitavos = = + 8 5 3 10

10 . 8 vinte e quatro avos + 5 . 3 vinte e quatro

avos = + ₂₄ = 3 . 5 24 8 . 10

80 vinte e quatro avos + 15 vinte e quatro avos

= + ₂₄ = 15 24 80

95 vinte e quatro avos

24 95 c) L Liinngguuaaggeemm mmiissttaa FoForrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 5 meios – 2 quintos = = − 5 2 2 5 5 . 5 décimos – 2 . 2 décimos = _{− =} 10 2 . 2 10 5 . 5 25 décimos – 4 décimos = = − 10 4 10 25 21 décimos 10 21 d) L Liinngguuaaggeemm mmiissttaa FoForrmmaa ffrraacciioonnáárriiaa 15 quartos – 7 décimos = = − 10 7 4 15

15 . 10 quarenta avos – 7 . 4 quarenta avos =

= − 40 4 . 7 40 10 . 15

150 quarenta avos – 28 quarenta avos =

= − 40 28 40 150 122 quarenta avos 40 122